Probleme de sinteza

E:5760 – G.M. 1/1977

[ BC ] se ia punctul

Pe cercul de diametru

 A astfel

încât dac

 AB

este latur a unui poligon

regulat înscris în acest cerc, atunci i  AC  este latur a unui poligon regulat înscris în acela i cerc. S se afle toate poziiile pe care le poate lua punctul  A pe cerc.   V. ifui, ifui, Piatra Neam   Soluie.

[ BC ] .

Limitm deocamdat locul punctului  A la unul din semicercurile determinate de diametrul Ducem

OM ⊥ AB ;

unghiului

în triunghiul isoscel

[

 AOB . n

[ AB ] este latura unui poligon regulat cu

Dac

 m ( AOM ) = n

1

(

Analog, dac

)

m AOB =

2

n

În triunghiul dreptunghic

= 1 − s in

Dar

2

1 80° m

 AMO

, sin

n

= co s

180° · § + ¨ 2 sR in ¸ m ¹ ©

= co s

n, m ≥ 3 ,

1 80°

2

2

A= Osi sM in

n

1 80°

m

n

360°

)

n



n

2

(

= 2

2

)R sin 2

180°

AM AB  = OA 2R

=

m laturi,

 BAC  se

scrie

180° n

avem

AC= 2 R sin

2

2

AB +

+ sin

2

AC =

180° m

2B sin R =A

2

n

180° m

(

2

) 

BC = 2 R

= 1  sin

2

180°

=

n

180° m

deci unghiurile de msuri

180°

(

m AOB =

n

[ AC ] este latur a unui poligon regulat cu

1 80° · § in  ¨ 2 sR ¸ n ¹ ©

laturi, atunci

n

180°

Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic

sin

] este median, înlime i bisectoarea

OAB, OM  

§ ©

= sin ¨ 90° −

180° · m

¸ ¹

180° n

180° n

= 90° −

i 180° m

180° m

sunt ascuite; rezult

§ 1 1 · 180°  180° ¨ + ¸ = 2 ©n m¹

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Rezult c

m, n

verific ecuaia

−2 m + n + 4 = 4  m − 2

(

Cum

)

(

1

+

n

1

=

1 2

m

⇔

m+n mn

=

1 2

⇔ mn − 2 m + n = 0  mn −

(

)

) (n − 2) = 4

m i n sunt

numere întregi, avem posibilitile : -n − 2 = 1 -n = 3 360° i) ® ®  m AOB = = 120° 2 4 6 m m − = = n ¯ ¯ -n − 2 = 2 -n = 4 360° ii) ® ®  m AOB = = 90° 2 2 4 m m n − = = ¯ ¯ - n − 2 = 4 -n = 6 360° iii) ® ®  m AOB = = 60° m m 2 1 3 − = = 6 ¯ ¯ Deci, dac limitm locul lui  A la unul din semicercuri, ob inem trei poziii convenabile pentru  A ; pe întreg cercul sunt ase poziii, anume : - cele patru vârfuri ale hexagonului regulat înscris în cerc, în care  B i C  sunt vârfuri opuse, excluzând  B i C  ; - capetele diametrului perpendicular pe [ BC ] .

(

n

(

(

)

n

n

)

)

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

8901 - G.M.B. 5/1968 + 22442 – G.M. 8/1991 În punctele  A úi  B ale unui cerc, care nu sunt diametral opuse, se duc dou  tangente la cerc, care se întîlnesc în C  . Prin  A se duce o paralel la  BC  , care taie cercul în  D . Dreapta CD

taie cercul în  E  , iar dreapta a) ADE≡ CAE≡ BCE   b) Triunghiurile ∆ ACF  úi c) FC 2 = FA ⋅  EF  d) [FB ] ≡ [FC ] n

 AE 

intersecteaza pe  BC  în

F  .

S se demonstreze c:

n

n

sunt asemenea;

∆CEF 

e) S se determine msura unghiului

C  astfel l

încît

 AE  = 2 EF  .

Eliza Rizescu, Bucure úti 

f) S se arate c 4

2

AF =

2

2

AC + 2 AB

el, profesor, Rm. Vâlcea  Adrian B l el, Soluie.

a)

ADE≡ BCE,   ca

n

n

(

)

m ADE = n

alterne interne formate de dreptele 1

( )

(

)

m AE = m CAE  

2

p 

n



 AD úi  BC 

cu secanta  DC  . Dar

ADE≡ CAE≡ BCE. 

n

n

n

b) Conform punctului a), cele dou triunghiuri au CAF ≡ ECF   . În plus, mai avem (unghi comun). Rezult c ele sunt asemenea(cazul II). c) Scriem asemnarea triunghiurilor de la punctul b): n

FC 

=

 EF 

 AF 

n

AFC≡ CFE 

n

n

2

⇔ FC  =  AF  ⋅  EF 

FC 

d) Puterea lui F  fa de cerc se scrie  ρ (F ) =  EF  ⋅  AF  = FO 2 − OB 2 ( O este centrul cercului). Dar triunghiul OBF  este dreptunghic în  B , deci: 2 2 2 FO − OB = FB . Rezult c  EF  ⋅  AF  = FB 2 = FC 2 (conform punctului c)), deci [FB] ≡ [FC ] . e) Fie { H } = CD ∩  AB, {G} =  BE  ∩ AC  . Conform teoremei lui Ceva în triunghiul  ABC  pentru AF, BG úi CH  , avem: cevienele concurente   AF AG

FC

BH

=1

AG =

AH  

(1)

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

 AE 

=

 EF 

 AH 

+

 BH 

 AG CG

inem acum cont de ipoteza  AE  = 2 EF  úi de rela ia ia (1) úi ob inem: inem:  AG

=

CG

Triunghiul

 AH   BH 

 ABC 

=1



[CH ] este median în

este isoscel ( [CA] ≡ [CB ] , ca tangente duse din

mediana [CH ] este úi înl ime ime  CH perpendicular pe mijlocul coardei) cercului Dar



(

)

m EAD = 90 n

∆ ABC  .

⊥ AB .

Pe de alt parte,

punctele



O, C , H  sunt

C 

la cerc), deci

OH  ⊥  AB

(diametrul este

coliniare  [ ED ] diametru al

(unghiul  EAD fiind înscris în semicercul  EBD )  q 

n

[

] este median

AD& BC BC EA⊥ BC     AF 

úi



înl ime ime în triunghiul  ABC  

( )

[ AB] ≡ [ AC ] ≡ [ BC ] , adic triunghiul  ABC  este echilateral. Rezult

m C  =

f) Teorema medianei în ∆ ABC  se scrie 4 AF2 = 2 rezult imediat c 4 AF2 = 2 AB2 + AC2 ,  q.e.d.

BC .   Cum

2

EA⊥ AD.

2

AB + 2 AC −

l

2

60 . AC= BC, 

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

16968 – G.M. 12/1977 + 20482* - G.M. 7/1985 Cercurile de centre O1 i O2 se taie în punctele  A i

cercul ( O2 ) în

 D ,

 N  intersecia

 BC  cu

lui

iar tangenta în

 A la

 B

. Tangenta în

 A la

cercul ( O2 ) taie cercul ( O1 ) în

cercul ( O1 ) taie C  .

Se noteaz

cercul ( O2 ) i  M  intersecia lui  BD cu cercul ( O1 ) . S se arate c :

a) [ DM] ≡ [ CN]   b) Triunghiurile  AMC  i

( 16968, 16968, G.M. 12/1977, Refica Mustafa)  AND sunt

isoscele i asemenea ( 20482*, 20482*,

G.M. 7/1985, Daniel 

Lesnic) 2

c) Fie { H} =

MC∩ DN.   S

DH ⋅ BD

se calculeze raportul

2

CH ⋅ BC  

(V. Brînz nescu, concursul 

G.M., cl. VII-VIII, august 1990, G.M. 10-11-12/1990)

Soluie.

Am pstrat pentru uniformitate notaiile problemei 16968. Începem cu punctul b).

Patrulaterul  ABN  este n

 ABDN  este

exterior patrulaterului

( O ) ) = m ( CAD ) =

1

n

1

 ABCM  ,

( ) (în

m AD

p 

2

( ) = m ( ABN  ) . Unghiul 1 m ( ABN ) = m ( AMC ) = m ( AC )  (în cercul 2

înscris în cercul ( O2 ) , deci deci

isoscel. În mod analog, se arat  c i triunghiul AMC≡

n

a) Asemnarea dovedit ne asigur c

(

n

n

n

cercul ( O2 ) ) = m

triunghiuri este asigurat de congruena

m ADN

( AND ) .

p 

Aadar, triunghiul

n

 AMC  este

n

 AND este

isoscel. Asemnarea celor dou

ADN. 

n

)

(

) . Adunm la cele dou msura

m MAC = m DAN   n

n

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

rezult congruena ∆ DAM≡ ∆ ce rezolv i problema 16968.

(

) . De aici, obinem c [

] [

DM ≡

NAC   L.U.L.

]

CN,  ceea

c) În rezolvarea punctului b), am dovedit c CAD ≡ AMC ≡ ACM   (triunghiul  AMC  isoscel), ceea ce arat c AD& CM  , deoarece formeaz unghiuri alterne interne congruente cu secanta  AC  . Analog, AC& DN .  Patrulaterul  ADHC  este paralelogram, deci CH = AD i DH= AC.   n

)

1

n

( ) (în cercul (O ) ) = m ( DAB ) (unghi format de tangenta  AD cu 2 ADB ) , ceea ce demonstreaz asemnarea triunghiurilor coarda  AB ). Analog, m ( CAB ) = m ( AD Avem

(

n

m ACB = n

m AB

n

p 

1

n

n

 ABC  i  DBA .

Aadar,

AB BC = = BD AB

. Deci,

AD

2

AB BC § AC·  = ⋅ =¨ ¸ BD BD AB © AD¹ BC

2

DH ⋅ BD AC § AD· = ⋅¨ ¸ = 1. 2 2 CH ⋅ BC AD © AC  ¹ 2

Raportul de calculat se scrie

AC  

2

.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

16043 – G.M. 9/1976

Considerm triunghiul dreptunghic isoscel

(

D∈

(

)

BC , E∈

(

) ) Fie

AB .

F  mijlocul

lui

BH KH

=

BA IH ⋅ , KA LH

HB KB

=

CI

⋅

GI

LG LG KG

l

linia mijlocie

[ DE ] ,

[ DE ] . Notm {G} = AF ∩ BC , { H } = CF ∩ AB .

Paralelele duse prin G i  H  la CF  , respectiv la Fie { L} = GK∩ HI.  S se arate c : a)

)

( ( )

ABC m A = 90 i

 AF  taie

laturile

 în K  ,  AB i  BC  în

respectiv

 I  .

.

b) Punctele   B, L, F   sunt coliniare. c) IK⊥ AB. i  Doru P. Firu, Cire u, Mehedin   i    Soluie.

a) Se scrie teorema lui Menelaus : - în ∆ DEB pentru transversala  AFG : DF FE  AE 

AE

⋅

⋅

GB

AB GD

=

 AB

= 1−

1 2

=1

; rezult

GB

2

= BC 3



îns

F  este

GB GD

BC   3 = GC 2 

mijlocul lui ( DE ) i

=2

GB GD + GB

=

GB BD

=

 E 

2 3

al lui (  AB ) , deci GB



BC

=

1 GB ⋅

2 BD

=

 DF  FE 

1 3



= 1 i

GC   = BC  

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

-

în

∆CHB pentru

FC

⋅

FH

AH

⋅

AB

GB

= 1 ; tim

GC  

AH BH+ AH FH + FC 

CH  

=

GK

2

KH

= BH 3





1

GB

= BC 3

GB

= BC− GB



înlocuind,

= i GC   2

FC

obinem

1

GB GB

FH

⋅

2 1 ⋅

3 2

 AH 

c

 BH 

= 2

FC

  =3 FH  

=1

4

= FC   3

FC

Deoarece

 AFG :

îns c

AH  2 = ; AB 3

=



transversala

& CH   , rezult (teorema lui Thales în ∆ BHC  ) c BK

= 1− BH



KH   1 = BH 3  



BK=

1

BH=

3

1 9

BH

BC   3 = GC   2

=

KH

AB ; AK= AB− BK=

8



AB

9

BA AB 9 = = 8 KA 8  AB

9

Patrulaterul FG & IH   ,

FGLH  este

avem

∆CFG

paralelogram, deci

 ∆CHI  

Se verific acum prima egalitate,

Asemnarea CI

=

GI

Cum

∆CFG  ∆CHI  

CI   CI − CG

3

IH

=

FG

=

2

BH KH

LH= FG

IH LH

IH  

=

. Cum îns

FG

CH CI IH   4 =  = CF CG LH   3

=

BA IIH H  9 4 ⋅ = ⋅ KA LH   8 3

ne-a furnizat valoarea raportului

CI  CG

=

4 3

; calculm

=4

LG= FH, 

avem

LG FH   = ; KG KG

2 FH

AH  

3

valoarea acestui raport rezult din asemnarea

 AB

2 9

3

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Întrucât rezult

IH& AG,

GM   HM 

Fiindc

⋅2⋅

1 2

BI = IG

avem

BH   1 = ; AH   2

cum

  = 1  GM = HM ⇔ M este

FGLH  este

paralelogram, diagonala

mijlocul lui

FL trece

deci punctele F , L, M  sunt coliniare; cum i   B, L, F   sunt coliniare, q.e.d. c) Observm c Îns i

BI = IG

BK   1 = KH   2

BG BH   1 = = GC AH   2

IK& AC;  cum

AC⊥



AB,



GH

HB HK = 3 = KB BK

BK   =2; BK  

[GH ]

prin mijlocul

  B, L, M   sunt

IK & GH (reciproca  

HB H B−

 M  al

lui

[GH ] ,

coliniare, rezult c

teoremei lui Thales în

∆ BGH  )

& AC  (reciproca teoremei lui Thales în ∆ BAC  ), deci

rezult

IK⊥

AB,

q.e.d.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

22609 – G.M. 2-3/1992

Fie triunghiul CI 

cu

punct

 AC  ,

  AB ABC, I centrul

respectiv

′ ∈ BCastfel A  

 AB

cercului înscris, iar

 B′ i C ′ punctele

. S se demonstreze c

( )

m A = 60 l

de intersecie ale lui

 BI  i

dac i numai dac exist un

încât  I  s fie centrul de greutate al triunghiului

 A′B′C ′ .

Marius Crainic, student, Cluj  Soluie.

Presupunem c exist

′ ∈ BC  cu A

proprietatea din enun. Se noteaz { B1} =

{C1} = CC ′ ∩ B′A′ . Conform teoremei bisectoarei în triunghiurile  BC′A′ i C ′B1 A′ B1

=

BC ′  BA′

, respectiv

B′ C1 A′ C1

=

avem :

CA′

] i [C ′C 1 ] sunt mediane ale sunt mijloacele laturilor [ A′C ′] , respectiv [ A′B′] . Din relaiile de mai

 B1 i C 1

sus, rezult c BC′ = Este îns evident c

CB′A′ ,

CB′

Deoarece  I  este centrul de greutate al triunghiului triunghiului, iar

BB′ ∩ C′ A′ i

[

 A′B′C ′ ,  B′B1

′ i CB ′ = CA′ . BA ′ ∈ ( BC)   (altfel, I ∉ Int ∆ A′ B′ C′ ,  A

deci nu poate fi centrul de greutate

al triunghiului). Rezult c putem scrie BC= BA′ + CA′ = BC′ + CB′ (1) . Se calculeaz cu ajutorul teoremei bisectoarei i al proporiilor derivate lungimile segmentelor  BC ′ i CB′ : ′ BC AC′

=

BC

=

AC

În mod similar, avem

′ BC

a 

b CB′ =

AC′ + BC′ ab a+c

=

′ BC

a a+ b



c

. Relaia (1) devine

=

a a+ b

a=

  BC ′

ac a+b

+

=

ab ab a +c

ac a+ b

⇔

c a +b

+

b a +c

=1

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

20179* - G.M. 8/1984

Fie  ABC  un triunghi oarecare i AA1 , BB1 , CC  bisectoarele sale, cu 1 C1 ∈ ( AB ) .

Ducem

A1 A2

AC, A2 ∈ ( AC)  ,

⊥

C2 ∈ ( BC ) . S se arate c A1 A2

+

B1 B2

B1 B2 + C1 C2

≥

9 2

⊥

A∈ ( BC) ,  B ∈ ( CA ), 1

1

CA, B2 ∈ ( AB)

i

C1C2

⊥

BC  ,

r ,  unde r  este raza cercului înscris în

triunghiul  ABC  . Ramazan Birant, student, Bucure ti  Soluie.

a

Pornim de la inegalitatea lui Nesbitt :

b+c

adun 3 : a b+c

b

+ 1+

+1+

c

+1≥

9



+

b c+ a

a+ b+ c

c

+

a+ b

b+ c+ a

+

≥

+

3 2

, ( ∀ ) a , b, c > 0 La aceasta se

c+ a+ b

9

≥

c+a a+b b+ c c+ a a+ b 2 2 În cazul în care a, b, c sunt laturile unui triunghi, putem nota a + b + c = 2 p : 1 1 · 9 § 1 + + ¸≥ b + c c + a a + b © ¹ 2 Aceasta se înmulete cu raza cercului înscris r , inând seama de formula S 2 p ¨

1 1 · 9 § 1 + + ¸ ≥ r  ©b+c c+ a a+b¹ 2

2S ¨



CA1 BC

=

b b+ c

S AAC  1

S

; rezult S AAC  = 1

Pe de alt parte, S A  AA A C  = 1

arat c B1 B2 AA

= +

2S

c+a

BB

1

+CC ≥

CA1 BC 

b b+c

2S

a+b 9

=

S ABC  = AD ⋅ BC   i S AAC  = 1

. Conform teoremei bisectoarei,

CA1 BA 1

=

1 2

CA1 ⋅ AD .

AC AB

=

b



c

S.

A1 A2 ⋅ AC 

2

  , C1 C2 =

=

pr  :

(1)

În ∆ ABC  se duce înlimea AD⊥ BC.  Avem S Calculm raportul de arii

=

b b+c

S

=

1 2

b ⋅ A1 A2  A1 A2

=

. Inegalitatea (1) se rescrie sub forma :

r ,  q.e.d.

2S

b+ c

. Analog, se

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

O:677 – G.M. 2-3/1992

Într-un triunghi oarecare  ABC  ducem bisectoarea AD, D∈ ( BC)  . Notm cu  E  mijlocul lui ( BC ) , cu  M  al doilea punct în care dreapta  AD taie cercul circumscris triunghiului i cu 2

§  BC  · P proiecia lui  E  pe  AD . S se demonstreze c   AP AP⋅ DM = ¨ ¸ . 2 © ¹ Nicolae Oprea, lector univ., Baia Mare  Soluie.

Se scrie în dou moduri puterea punctului  D fa de cerc : BD⋅ DC DC = AD⋅ DM DM   i se   înlocuiesc lungimile   BD BD, DC, AD cu expresiile binecunoscute în funcie de laturile a, b, c ale triunghiului : ac

ab

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

O:684 – G.M. 5/1992 Considerm triunghiul oarecare

 ABC  i

M∈ ( BC)  un

punct mobil ale crui proiecii pe ( AB )

i ( AC ) sunt punctele  N  i P . S se demonstreze c : AM §

¨ NP © ⋅

AN +

MP

AP·

§ ¸ + k  ¨ MN¹ ©

AN +

MN

AP·

¸=2

MP¹ MP

Doru P. Firu, profesor, Or ova  Soluie.

Se noteaz α

=

µ

(

)

β BA,M

n

=

µ

(

)

CA Mα

n

+

β

=

  . ÎnApatrulaterul inscriptibil

 APMN  se

scrie „a doua teorem a lui Ptolemeu” (datorat de fapt matematicianului indian Brahmagupta ) : AM NP

=

AN⋅ AP AP+ MN⋅ MP MP NA⋅ NM + PA⋅ PM  

Înlocuind raportul

 AM   NP

 în relaia care trebuie demonstrat, obinem :

AN⋅ AP+ MN⋅ MP

AN⋅ MN+ AP⋅ MP AN

+

k 

§ ¨

AN +

AP·

¸=2

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

E:10276* – G.M. 7/1991

Patrulaterul convex  ABCD are diagonalele  AC  i  BD perpendiculare i AB⊥ BC.   Fie P ∈ ( DE ) , unde { E} = AC∩ BD. Dac aria triunghiului  ABC  este medie proporional între ariile triunghiurilor  APC  i  ADC  , atunci cercul circumscris triunghiului intersecie al dreptelor  AP i  DC  .

 ABC  conine

punctul de

Lauren   i  u N. Gaiu, Bucure ti  iu Soluie.

Fie { F } = ∆ ABC 

AP ∩ DC . 

Se noteaz

stabilete între a, b, c relaia

AB = c, BC = a, CA = b, DE = d .  2

2

b = a +c

Conform teoremelor catetei i înlimii, avem

2

Teorema lui Pitagora în

.

CE =

a

2

b

, AE =

c

2

b

, BE = 

ac b

. Se calculeaz

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

2

Se

calculeaz

2

2

4

b d +a

FC = DC − DF   =



2

−

2

Se scrie relaia lui Stewart în 2

2

2

a b 2

4

2

2

2

⋅

2

2

4

=

2

+

2



4

2

2

 AF  =

2

2

2

4

4

2

2

2

2

4

2

2

4



2

2

2

2

=

2

2

2

b b d +a 2

i

4

2

a b

=



4

2

2

b d +a

4

ceviana [ AF ] :

2

2

2

2

2

FC

2

+ AC ⋅ DC 2

4

4

2

2

2

b d −a c A+F   ⋅ 2 2 4 b b d +a

=

2

2

DF   2 = AF   + DC   a b

2

a b d +a c +b d −a b c −a b d +a c b d +a

2

2

b d −a c

a

b d −a c ⋅ b 2 2 4 b d +a 2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b b d +a

2

2

2

b d + a −b d + a c

AD ⋅ CF+ AC AC ⋅ DF= AF A F ⋅ DC+ DF⋅ FC⋅ DC⇔ AD ⋅ b d +c a b FC ⋅DF  ⋅ 2 2 + 2 4 b b d +a

2

b d −a c b d +a

4

b d+

∆ ADC  pentru

4

b

2

=

2

b d +a

2

b d +a

=

2

b

4

2

b b d +a

⋅

2

b d +a

2

2

b d −a c 2

2

a b

= DC

2

2

b FC

2

b d −a c DF= DC⋅   2 2 4 b d +a

4

2

2

b d +a c

2

=

2

2

(c 2

2

 2

2

b d +a 2

+ a −b

b d +a

4

2

)

4



2

b d 

2

 AF  =

2

2

b d +a

În triunghiul

4

 AFC  se

verific relaia : 4

2

Rezult c

AF +

2

b d

4

a b

2

b

C =F 2 2 + 2 2 = 4 4 b d +a b d +a

AF⊥ FC,  

inscriptibil, având

2

(

2

(b d 2

2

2

2

+a

b d +a

4

)

4

=

2

=b

2

AC

conform reciprocei teoremei lui Pitagora. Patrulaterul

)

(

)

m AB ABC + m AF AFC   = 180 , n

n

deci

F  este

   ABCF  este

situat pe cercul circumscris