Probleme de aritmetica

Probleme care se rezolvă prin metoda falsei ipoteze Metoda falsei ipoteze constă în formularea de către rezolvitor a unei noi ipoteze (sau mai multe), ajungându-se la o nepotrivire cu enunţul, nepotrivire ce ne duce la determinarea necunoscutelor. Problemă: Într-o ogradă sunt fazani şi iepuri, în total fiind 100 picioare şi 36 capete.Câţi fazani şi câţi iepuri sunt ? Rezolvare: Dacă în ogradă ar fi doar fazani am avea 36 de capete şi 72 de picioare de fazan. Cum problema spune că avem 100 de picioare, obţinem că 28 de picioare sunt ale iepurilor care au patru picioare. Deci 28:2=14, adică avem 14 iepuri. Din 36-14=22 obţinem că în ogradă sunt 22 fazani. Răspuns: 14 iepuri şi 22 fazani Problemă: Un biciclist urcă cu 6 km/h şi coboară aceeaşi pantă cu 20 km/h. Ştiind că drumul urcat şi coborât a durat 3h şi 15 minute, să se afle lungimea drumului. Rezolvare: Presupunem că lungimea pantei este de 60km. În baza ipotezei făcute timpul de urcare va fi t u = 60 km : 6 km/h = 10 ore iar timpul de coborâre va fi t c = 60 km : 20 km/h = 3 ore, timpul total în acest caz fiind t = 13 h. t 13 / 4 1 Comparăm timpul total ipotetic cu cel real din problemă şi avem real = = . 13 4 t Dacă t real este de patru ori mai mic decât timpul ipotetic rezultă că drumul real este mai mic de patru ori decât drumul ipotetic (60 km) adică d = 15 km. Răspuns: 15 km. Problemă: La un depozit s-au adus 48 saci cu orez, unii de 50 kg, alţii de 54 kg şi alţii de 63 kg. Să se afle câţi saci au fost de fiecare fel ştiind că numărul sacilor de 50 kg era cu 8 mai mic numărul celor de 54kg şi că în total s-au adus 2552 kg orez. Rezolvare: Dacă s-ar mai adăuga 8 saci de 50 kg (adică 400kg) atunci datele noii probleme ar fi: S-au adus 56 saci de câte 50kg, 54kg, 63kg, în total 2952 kg orez. Numărul celor de 50kg este triplul celor de 54 kg. Presupunem că ar fi 30 saci de 50 kg. Avem 1500 kg în cei 30 saci de câte 50kg fiecare, 540 kg în 10 saci de 54kg fiecare şi 1008 kg în cei 16 saci de 63kg, deci în total 3048 kg. Observăm că a crescut cantitatea de orez cu 3048-2952=96kg. Emitem o nouă ipoteză asupra numărului de saci de 50kg: în loc de 30 saci luăm 27saci sau 33 saci(multiplu de 3). Fie 33 saci de 50kg. În acest caz am avea 1650kg în cei 33 saci de 50kg, 594kg în cei 11 saci de 54kg, 756kg în cei 12 saci de 63 kg fiecare, deci în total 3000 kg.

Observăm că dacă s-a mărit cu 3 numărul sacilor de 50kg (de la 30 la 33) atunci cantitatea totală a scăzut cu 3048 – 3000 =48kg. Noi avem 2952 kg, deci mai trebuie micşorată cantitatea cu 48kg. Atunci, dacă, mărind cu 3 numărul sacilor de 50 cantitatea a scăzut la 48, pentru a avea 2952 kg mai mărim cu încă 3 numărul sacilor de 50kg. Aşadar avem 36 saci de 50kg, 12 saci de 54kg şi 8 saci de 63kg.Având în vedere că am mai adăugat la început 8 saci de 50kg avem : 28 saci de 50kg,12 saci de 54 kg şi 8 saci 63 kg.

Probleme care se rezolvă prin metoda reducerii la unitate Această metodă prezintă avantajul că este foarte accesibilă putând fi folosită de orice elev într-o gamă variată de probleme. Singura dificultate este de a reuşi să se stabilească felul dependenţei între mărimi(direct sau invers proporţionale). Problemă: Zece muncitori termină o lucrare în 6 zile. a) În câte zile ar termina lucrarea 12 muncitori lucrând în aceleaşi condiţii? b) Dacă după 2 zile de lucru pleacă 2 muncitori câte zile sunt necesare pentru finalizarea lucrării? c) Dacă după 3 zile vin încă 8 muncitori în câte zile se va finaliza lucrarea? Rezolvare: a) 10 muncitori termină lucrarea în 6 zile, atunci 1 muncitor va termina lucrarea într-un timp de 10 ori mai mare, adică în 60 zile, iar 12 muncitori vor termina lucrarea într-un timp de 12 ori mai mic decât 60, adică în 5 zile. b) 10 muncitori.....................................................6 zile 10 muncitori.....................................................6-2 = 4 zile 1 muncitor......................................................40 zile 10-2 =8 muncitori............................................40: 8 = 5 zile. c) 10 muncitori.....................................................6 zile 10 muncitori.....................................................6+3= 9 zile 1 muncitor......................................................90 zile 10+8 = 18 muncitori.........................................90: 18 = 5 zile. Răspuns: 5 zile Problemă: O lucrare poate fi executată în 20 zile de către15 muncitori. Deoarece după 8 zile de lucru unii dintr muncitori pleacă pe alt şantier lucrarea se termină după alte 30 zile. Câţi muncitori au plecat pe alt şantier? Rezolvare: Dacă 15 muncitori în 20 zile termină o lucrare, notată 1L, atunci 15 muncitori într-o zi termină 1/20 din L, deci 15 muncitori în 8 zile termină 8/20 din L. Ce parte din lucrare mai rămâne pentru următoerele 30 zile? 1L – 8/20L=12/20 L Câţi muncitori execută 12/20L? Pentru 8/20 L este nevoie de 8 zile în condiţiile în care lucrează 15 muncitori.

Pentru 1/20L.........................1 zi................................................. 15 muncitori Pentru 12/20L......................30 zile............................................. 12 ⋅15 =6muncitori. Câţi muncitori au plecat pe alt şantier? 15 – 6 = 9 muncitori.

:

30

Răspuns: 9 muncitori Problemă: Prin trei robinete, fiind deschise timp de 4 zile câte 7 ore pe zi, curg 30240 litri apă. În câte zile, prin 4 robinete cu acelaşi debit, fiind deschise câte 3 ore pe zi, curg 21600 litri apă? Rezolvare: 3 robinete……………………..28 ore(4 zile cu 7ore pe zi)…………………30240 litri 3 robinete……………………..1 oră………………………………30240:28=1080 litri 1 robinet…………………….1 oră……………………………….....1080: 3=360 litri 4 robinete...............................1 oră..................................................... 4 ⋅ 360 = 1440 litri 4 robinete...............................3 ore.................................................... 1440 ⋅ 3 = 4320 litri Dacă prin acelaşi număr de robinete în 3 ore curg 4320 litri, în câte zile zile vor curge 21600 litri? 21600 : 4320 = 5 (zile) Răspuns: 5 zile

Probleme care se rezolvă cu metoda figurativă Caracteristica acestei metode constă în reprezentarea necunoscutelor problemei şi a relaţiilor dintre acestea , cu ajutorul unor desene (de regulă segmente de dreaptă). Problemă: Fie trei numere naturale. Dacă se împarte primul număr la al doile, se obţine câtul 3 şi restul 3, iar dacă se împarte al treilea la al doilea se obţine câtul 5 şi restul 2. Ştiind că diferenţa dintre al treilea şi primul număr este 121, aflaţi cele trei numere. Rezolvare: 3

I

II 2

III 121

•

(121+3-2) : 2 = 61 (reprezinta un segment, adica numarul al II-lea)

• •

61x3+3 = 183+3 = 186 (primul numar) 61x5+2 = 305+2 = 307 (al III-lea numar)

Probleme care se rezolvă cu metoda comparaţiei Metoda comparaţiei se utilizează de regulă în problemele în care mărimile care trebuie comparate sunt caracterizate prin câte două valori fiecare. Se încearcă aducerea unei mărimi la aceeaşi valoare , simplificîndu-se astfel problema iniţială, ajungându-se la final la o singură necunoscută. Problemă: Dacă 20 de cosaşi au cosit în 15 zile 15 hectare, aflaţi câte hectare vor cosi 30 de cosaşi în 30 de zile. Rezolvare: 20 cosaşi ……….15 zile ……….15 hectare 30 cosaşi ……….30 zile ………. ? hectare ___________________________________ 20 20 10 30

cosaşi ……….15 zile ……….15 hectare cosaşi ……….30 zile ……….30 hectare cosaşi ……….30 zile ……….15 hectare cosaşi ……….30 zile ……….45 hectare Răspuns: 45 hectare

Probleme care se rezolvă cu metoda mersului invers În unele probleme relaţiile dintre mărimi sunt date într-o ordine succesivă. Dacă s-ar aplica ordinea naturală a calculelor raţionamentele devin greoaie. Metoda mersului invers constă în folosirea datelor problemei în ordine inversă. Problemă: Un elev are o sumă de bani din care cheltuieşte astfel: Pentru a cumpăra o uniformă şcolară cheltuieşte 1/3 din sumă şi încă 18 lei, pentru caiete 1/3 din suma rămasă şi încă 18 lei, pentru rechizite 1/3 din rest şi încă 18 lei; la cofetărie 1/3 din noul rest şi îi mai rămân 28 lei. Câţi lei a cheltuit pentru fiecare cumpărătură şi ce sumă a avut iniţial? Rezolvare: La cofetărie a cheltuit 1/3 din restul rămas după cumpărarea rechizitelor şi i-au rămas 28 lei. Deci, cei 28 lei corespund la 2/3 di banii rămaşi după cumpărarea rechizitelor. Deci banii cheltuiţi la cofetărie sunt 1/3 din rest, ceea ce corespunde la 14 lei. La cofetărie a cheltuit 14 lei şi i-au rămas 28 lei, aşadar restul rămas după cumpărarea rechizitelor a fost de 28lei +14lei = 42lei. –pentru rechizite a cheltuit 1/3 din restul rămas pentru cumpărarea caietelor şi încă 18 lei, adică 2/3 din banii rămaşi corespund la 42+18=60 lei Şi atunci 1/3 corespund la 60 : 2 = 30 lei. Aşadar pentru rechzite a cheltuit 30+18=48 lei.

După cumpărarea caietelor i-au rămas deci 90lei. Pe caiete a cheltuit 1/3 din banii rămaşi după cumpărarea uniformei şi încă 18 lei, aşadar 2/3 din banii rămaşi corespund la 90+18=108 lei. 1/3 din banii rămaşi corespund la 108 : 2 = 54 lei şi atunci banii rămaşi după cumpărarea uniformei au fost 54 ⋅ 3 = 162 lei. Deci pentru caiete a cheltuit 54+18 =72lei. Pe unformă a plătit 1/3 din sumă şi încă 18 lei, adică 2/3 din banii rămaşi după cumpărarea uniformei corespund la 162 +18 = 180 lei; 1/3 din banii rămaşi corespund la 180 : 2 = 90 lei. Deci suma avută iniţial a fost de 270lei şi pe uniformă a plătit 90 + 18 = 108 lei. Răspuns: 270 lei

Probleme de mişcare 1. Din oraşele A şi B aflate la o distanţă de 210 km, pornesc unul spre altul în acelaşi timp, doi motociclişti. Viteza medie a motociclistului care pleacă din A este

3 4

din viteza celeuilalt motociclist. După două ore de la pornire, cei doi mai aveau de parcurs, până la întâlnirea lor, 70 km. Aflaţi viteza medie a fiecărui motociclist. Rezolvare:( metoda aritmetică) Reprezentarea grafică poate fi: A B I I

v1 → I

← v2

70 km I

I

I

I

I

I

d = 2v 2  2    

d 1 = 2v 1    

Cum se ajunge la această prezentare? Deoarece v1=

3 3 v2 ⇒ d1= d2 , timpul fiind acelaşi. 4 4

Reprezentarea grafică a distanţelor parcurse poate fi aşezată astfel: d2 I I I I I

→

d1 I

I

I

210 km

I

Din desen rezultă că 7 părţi, fiecare parte fiind egală cu

1 din d2 reprezintă 4

210km–70km=140km. Câţi km a parcurs primul în două ore? 140:7.3=60 (km) Câţi km a parcurs al doilea în două ore? 140:7.4=80 (km) sau

3 . d2=60km ⇒ d2=60:3.4=80 (km) 4

Care a fost viteza medie a motociclistului care a plecat din A? 60:2=30 (km/h) Care a fost viteza medie a motociclistului care a plecat din B?

80:2=40 (km/h) sau

3 . v2=30km/h ⇒ v2=30:3.4=40(km/h) 4

Rezolvare:( metoda algebrică) Păstrăm notaţiile de mai sus. Dacă d1=2v1 şi d2=2v2, iar v1= 2v1+2v2+70km=210km ⇒ 2

3 v2 4

⇒

3 v2+2v2=140km ⇒ 3v2+4v2=2.140km ⇒ 7v2=280km ⇒ v2=40km/h ⇒ 4

v1=30km/h. 2. Un motociclist pleacă din oraşul A cu o viteză medie de 30 km/h. După 4 ore pleacă din acelaşi oraş şi în acelaşi sens un autoturism care are o viteză medie de 60 km/h. După cât timp autoturismul va ajunge din urmă motociclistul? Rezolvare:( metoda aritmetică) Reprezentarea grafică poate fi:

→ A C I

moto v1=30km/h auto v2=60km/h

→

B I

Câţi km parcurge motociclistul în cele 4 ore? 4.30=120km Când autoturismul s-a pus în mişcare, motociclistul avea un avans de 120 km (se afla în punctul B). Pentru ca autoturismul să ajungă motociclistul, el trebuie să recupereze distanţa de 120 km. Când autoturismul pleacă la drum, motociclistul îşi continuă mişcarea spre punctul C. Este posibil ca autoturismul să ajungă biciclistul? Da, deoarece viteza maşinii era mai mare. Cât recuperează într-o oră? 60-30=30km/h} In cât timp autoturismul recuperează 120 km? 120:30=4 ore Rezolvare:( metoda algebrică) Se ştie că d=vt. Deci AC=60t, BC=30t de unde AC-BC=60t-30t=4.30 de unde t=4h.