Probleme de Algebra Purdea- Pelea

IOAN PURDEA

COSMIN PELEA

˘ PROBLEME DE ALGEBRA

Edit¸ia a II-a rev˘azut˘a ¸si completat˘a

2007

Cuprins Prefat¸˘ a

I

ENUNT ¸ URI

1 Relat¸ii. Funct¸ii

i

1 3

2 Grupoizi. Semigrupuri. Grupuri

29

3 Inele ¸si corpuri

55

4 Semigrupuri ¸si inele de fract¸ii

69

5 Divizibilitatea ˆın monoizi comutativi cu simplificare ¸si ˆın domenii de integritate

73

6 Spat¸ii vectoriale

79

7 Corpuri comutative. Teoria lui Galois

99

II

˘ SOLUT ¸ II, INDICAT ¸ II ¸si RASPUNSURI

103

1 Relat¸ii. Funct¸ii

105

2 Grupoizi. Semigrupuri. Grupuri

149

3 Inele ¸si corpuri

189

4 Semigrupuri ¸si inele de fract¸ii

223

5 Divizibilitatea ˆın monoizi comutativi cu simplificare ¸si ˆın domenii de integritate

229

6 Spat¸ii vectoriale

243

7 Corpuri comutative. Teoria lui Galois

279

Bibliografie

293

CUPRINS Index

297

Prefat¸˘ a Aceast˘a culegere de probleme urmeaz˘a structura cursului ,,Algebr˘ a” de Ioan Purdea ¸si Ioana Pop ([34]), ap˘arut ˆın 2003 la Editura GIL, Zal˘au, ¸si are la baz˘a activitatea ¸si experient¸a celor doi autori, a unuia de peste 45 de ani, iar a celuilalt de aproape 10 ani, ˆın predarea algebrei la Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a a Universit˘a¸tii ,,Babe¸s-Bolyai” din Cluj Napoca, precum ¸si lect¸iile ¸tinute de ace¸stia pentru profesorii de matematic˘a din gimnaziu ¸si liceu la cursurile de perfect¸ionare ˆın specialitate. Lucrarea de fat¸˘a se adreseaz˘a student¸ilor de la sect¸iile de matematic˘a, informatic˘a, matematic˘a ¸si informatic˘a. matematic˘a ¸si fizic˘a, fizic˘a, precum ¸si student¸ilor din ˆınv˘a¸t˘amˆantul tehnic ¸si economic. De asemenea, se adreseaz˘a profesorilor de matematic˘a pentru preg˘atirea examenului de definitivat ˆın ˆınv˘a¸t˘amˆant, a examenului de gradul II ¸si a concursului de ocupare a catedrelor vacante. ˆIn bogatul material din aceast˘a carte se g˘asesc probleme care pot fi abordate cu succes ¸si de c˘atre elevii de liceu. Lucrarea are dou˘a p˘art¸i: prima cuprinde enunt¸urile problemelor ¸si, acolo unde este necesar, unele preciz˘ari de natur˘a teoretic˘a, iar partea a doua cuprinde solut¸ii, indicat¸ii ¸si r˘aspunsuri. Cele peste 830 de probleme sunt distribuite ˆın 7 capitole, acelea¸si capitole ca cele din cursul ment¸ionat, ¸si este urm˘arit˘a succesiunea paragrafelor din fiecare capitol al cursului. Pentru toate problemele cu grad mediu sau sporit de dificultate am prezentat ˆın cea de a doua parte fie solut¸ia complet˘a, fie am furnizat indicat¸ii am˘anunt¸ite pentru rezolvarea lor. Mult¸umim colegilor Rodica Covaci, Septimiu Crivei ¸si Simion Breaz pentru ajutorul acordat la preg˘atirea manuscrisului pentru tipar.

Autorii

i

ii

˘ PREFAT ¸A

Partea I ENUNT ¸ URI

1

Capitolul 1 Relat¸ii. Funct¸ii 1.1. Fie A o mult¸ime cu m elemente ¸si B o mult¸ime cu n elemente. S˘a se determine num˘arul: a) elementelor lui A × B; b) submult¸imilor lui A × B; c) relat¸iilor ˆıntre elementele lui A ¸si B. 1.2. Fie mult¸imile A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}, C = {1, 2, 3, 4} ¸si relat¸iile binare (A, B, R1 ), (B, C, R2), (B, C, R3 ) cu graficele R1 = {(1, 3), (2, 3), (1, 2)}, R2 = {(3, 1), (1, 4), (3, 4)} ¸si R3 = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 3)}. S˘a se determine: a) relat¸ia universal˘a ˆıntre elementele mult¸imilor A ¸si B, complementara ei ¸si complementara relat¸iei (A, B, R1 ); b) reuniunea si intersect¸ia relat¸iilor (B, C, R2 ) ¸si (B, C, R3); c) relat¸iile (A, C, R2 ◦ R1 ) ¸si (B, B, R1 ◦ R2 ); −1

−1

−1

d) relat¸iile (B, A, R1 ), (C, B, R2 ), (C, A, R2 ◦ R1 ).

1.3. Fie ≤ relat¸ia de inegalitate ˆın R ¸si ≥ inversa sa. S˘a se reprezinte ˆıntr-un sistem de coordonate ortogonal graficul: a) relat¸iei ≤ ; b) relat¸iei ≥ ; c) intersect¸iei relat¸iilor ≤ ¸si ≥ ; d) reuniunii relat¸iilor ≤ ¸si ≥ ; e) complementarei relat¸iei ≤ . 1.4. Fie < relat¸ia de inegalitate strict˘a ˆın N. S˘a se determine relat¸iile ◦ < .

Dac˘ a A ¸si B sunt mult¸imi fixate atunci, adesea, o relat¸ie (binar˘ a) ρ = (A, B, R) ˆıntre elementele mult¸imilor A ¸si B se identific˘ a cu graficul s˘ au R.

1.5. Fie ρ graficul unei relat¸ii ˆıntre numere reale. S˘a se indice transformarea geo−1 −1 metric˘a ce ne conduce de la ρ la ρ . S˘a se construiasc˘a ρ0 ˆın cazul ˆın care √ ρ0 = {(x, y) ∈ R2 | y = 3 x}. 1.6. Fie R1 , R2 ⊆ A × B. S˘a se arate c˘a −1

−1

R1 = R2 ⇔ R1 = R2 . 3

4

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (ENUNT ¸ URI)

1.7. Fie ρij ⊆ Rn × Rn (i, j = 1, . . . , n) relat¸iile definite astfel: (a1 , . . . , an )ρij (b1 , . . . , bn ) ⇔ a1 + · · · + ai = b1 + · · · + bj . S˘a se determine relat¸iile ρi =

n \

ρij (i = 1, . . . , n), ρ =

j=1

n \

′

ρii ¸si ρ =

i=1

n \

ρij .

i,j=1

1.8. Fie R, S, T ¸si Rk (k ∈ N∗ ) relat¸iile definite ˆın N astfel: mRn ⇔ m|n (m divide pe n); mSn ⇔ m < n; mRk n ⇔ |m − n| = k.

S˘a se determine R2 , S ◦ R, T 2 , R ◦ Rk , Rk ◦ R, Rk ◦ S, S ◦ Rk , Rk ◦ R1 . 1.9. Fie C[a, b] = {f : [a, b] → R | f este continu˘a} ¸si ρ1 , ρ2 , ρ3 relat¸iile definite pe C[a, b] prin: f ρ1 g ⇔ ∀x ∈ [a, b], f (x) ≤ g(x); f ρ2 g ⇔ f (a) = g(a), f (b) = g(b); f ρ3 g ⇔ ∀x ∈ [a, b], f (x) 6= g(x).

S˘a se determine ρ21 , ρ22 , ρ23 , ρ2 ◦ ρ1 , ρ3 ◦ ρ2 , ρ2 ◦ ρ3 .

1.10. Fie A = {1, 2, 3, 4} ¸si fie pe A relat¸iile R = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (4, 4), (4, 3)}, S = {(2, 4), (3, 4), (1, 1)}, S ′ = {(4, 4), (1, 4)}. S˘a se determine relat¸iile (S ∩ S ′ ) ◦ R, (S ◦ R) ∩ (S ′ ◦ R), R ◦ (S ∩ S ′ ), (R ◦ S) ∩ (R ◦ S ′ ). 1.11. Fie mult¸imile A = {a1 , a2 , a3 , a4 }, B = {b1 , b2 , b3 , b4 , b5 }, X = {a2 , a4 }, Y = {b1 , b2 , b4 , b5 } ¸si R = {(a1 , b2 ), (a3 , b5 ), (a1 , b3 ), (a2 , b4 )} ⊆ A × B. S˘a se determine −1

−1

R(X), Rha2 i, R(Y ), Rhb5 i, pr1 R, pr2 R. 1.12. Fie ρ relat¸ia binar˘a definit˘a ˆın N astfel: mρn ⇔ m divide pe n. −1

S˘a se determine ρh1i, ρ ({4, 9}), pr1 ρ, pr2 ρ. 1.13. Fie ρ = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y 2 ≤ 1}. S˘a se determine ρh−1i, ρh0i, ρh1i, ρh2i, ρ([0, 1]), pr1 ρ, pr2 ρ. 1.14. Fie A, B ⊆ R, X ⊆ A, Y ⊆ B, ρ ⊆ A × B. S˘a se dea interpretarea geometric˘a −1 pentru fiecare dintre mult¸imile ρ(X), ρ (Y ), pr1 ρ, pr2 ρ. S˘a se analizeze cazurile particulare X = {x}, Y = {y}. 1.15. Fie A, B dou˘a mult¸imi, R ⊆ A × B ¸si X ⊆ A. S˘a se arate c˘a [ R(X) = Rhxi. x∈X

5 1.16. Fie A, B mult¸imi, R1 , R2 ⊆ A × B. S˘a se arate c˘a −1

−1

R1 = R2 ⇔ ∀x ∈ A, R1 hxi = R2 hxi ⇔ ∀y ∈ B, R1 hyi = R2 hyi. 1.17. Fie A, B mult¸imi, R ⊆ A × B, a ∈ A ¸si X ⊆ A. S˘a se arate c˘a: a) Rhai = 6 ∅ ⇔ a ∈ pr1 R; b) R(X) = R(X ∩ pr1 R); c) R(X) = ∅ ⇔ X ∩ pr1 R = ∅.     1 1 2 2 1.18. Fie ρ = {(x, y) ∈ R × R | x + y = 1}, X = −2, ¸si Y = − , 1 . S˘a se 2 2 determine ρ(X ∩ Y ) ¸si ρ(X) ∩ ρ(Y ). 1.19. Fie ρ = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y 2 = 1}, ρ′ = {(x, y) ∈ R × R | x > 2} ¸si X = [0, 3]. S˘a se determine (ρ ∩ ρ′ )(X) ¸si ρ(X) ∩ ρ′ (X). 1.20. Fie X = {z ∈ C | |z| = 1} ¸si ρ1 , ρ2 , ρ3 relat¸iile binare definite ˆın C astfel: z1 ρ1 z2 ⇔ |z1 | = |z2 |; z1 ρ2 z2 ⇔ arg z1 = arg z2 sau z1 = 0 = z2 ; z1 ρ3 z2 ⇔ z1 = z2 ,

(unde arg zi ¸si zi sunt argumentul redus, respectiv, conjugatul num˘arului complex zi (i = 1, 2)). S˘a se determine ρk (R), ρk (X) ¸si ρk hii (k = 1, 2, 3). 1.21. Fie A, B dou˘a mult¸imi, X, X ′ ⊆ A ¸si Y ⊆ B. S˘a se arate c˘a: −1

a) X × Y = Y × X; b) Y 6= ∅ ⇒ pr1 (X × Y ) = X; c) X 6= ∅ ⇒ pr2 (X × Y ) = Y ; d) x ∈ X ⇒ (X × Y )hxi = Y ; e) x ∈ / X ⇒ (X × Y )hxi = ∅; f) X ∩ X ′ 6= ∅ ⇒ (X × Y )(X ′ ) = Y ; g) X ∩ X ′ = ∅ ⇒ (X × Y )(X ′ ) = ∅. 1.22. Fie A, B, C trei mult¸imi, R ⊆ A × B, S ⊆ B × C, X ⊆ A, Y, Y ′ ⊆ B ¸si Z ⊆ C. S˘a se arate c˘a: a) S ◦ (X × Y ) = X × S(Y ); −1

b) (Y × Z) ◦ R = R(Y ) × Z; c) Y ∩ Y ′ 6= ∅ ⇒ (Y ′ × Z) ◦ (X × Y ) = X × Z; d) Y ∩ Y ′ = ∅ ⇒ (Y ′ × Z) ◦ (X × Y ) = ∅. 1.23. Fie A o mult¸ime. S˘a se determine o relat¸ie omogen˘a ρ pe A astfel ˆıncˆat s˘a fie ˆındeplinit˘a condit¸ia: a) ρ ◦ (A × A) = A × A; b) (A × A) ◦ ρ = A × A; c) ρ ◦ (A × A) ◦ ρ = A × A; d) (A × A) ◦ ρ ◦ (A × A) = A × A; −1 e) ρ ◦ ρ = A × A.

6

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (ENUNT ¸ URI)

1.24. Fie A, B, C trei mult¸imi, R ⊆ A × B ¸si S ⊆ B × C. S˘a se arate c˘a: −1

a) S ◦ R = {(a, c) ∈ A × C | Rhai ∩ S hci = 6 ∅}; [ −1 b) S ◦ R = Rhbi × Shbi. b∈B

1.25. Fie A, B, C mult¸imi, R ⊆ A × B ¸si S ⊆ B × C. S˘a se arate c˘a: −1

a) pr1 (S ◦ R) = R(pr1 S) ⊆ pr1 R; b) pr2 (S ◦ R) = S(pr2 R) ⊆ pr2 S; c) S ◦ R = ∅ ⇔ pr2 R ∩ pr1 S = ∅; d) S ◦ R ⊆ pr1 R × pr2 S.

1.26. Fie A, B mult¸imi ¸si R ⊆ A × B. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele condit¸ii sunt echivalente: a) pentru orice x ∈ A, Rhxi = 6 ∅; −1

b) ∆A ⊆ R ◦ R; c) pr1 R = A; d) dac˘a A′ este o mult¸ime ¸si P1 , P2 ⊆ A′ × A atunci (R ◦ P1 ) ∩ (R ◦ P2 ) = ∅ ⇔ P1 ∩ P2 = ∅; e) dac˘a A′ este o mult¸ime ¸si P ⊆ A′ × A atunci R ◦ P = ∅ ⇔ P = ∅; f) dac˘a X1 , X2 ⊆ A atunci R(X1 ) ∩ R(X2 ) = ∅ ⇔ X1 ∩ X2 = ∅; g) dac˘a X ⊆ A atunci h) dac˘a Y1 , Y2 ⊆ B atunci

R(X) = ∅ ⇔ X = ∅; −1

−1

Y1 ∪ Y2 = B ⇔ R(Y1 ) ∪ R(Y2 ) = A; i) dac˘a Y ⊆ B atunci

−1

−1

R(Y ) ∪ R(CB (Y )) = A.

1.27. Fie A, B mult¸imi ¸si R ⊆ A × B. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele condit¸ii sunt echivalente: a) pentru orice x ∈ A, Rhxi cont¸ine cel mult un element; −1

b) R ◦ R ⊆ ∆B ; c) dac˘a B ′ este o mult¸ime ¸si S1 , S2 ⊆ B × B ′ atunci (S1 ∩ S2 ) ◦ R = (S1 ◦ R) ∩ (S2 ◦ R); d) dac˘a B ′ este o mult¸ime ¸si S1 , S2 ⊆ B × B ′ atunci S1 ∩ S2 = ∅ ⇒ (S1 ◦ R) ∩ (S2 ◦ R) = ∅;

7 e) dac˘a B ′ este o mult¸ime ¸si S ⊆ B × B ′ atunci (S ◦ R) ∩ (CB×B′ (S) ◦ R) = ∅; f) dac˘a Y1 , Y2 ⊆ B atunci −1

−1

Y1 ∩ Y2 = ∅ ⇒ R(Y1 ) ∩ R(Y2 ) = ∅; g) dac˘a Y ⊆ B atunci

−1

−1

R(Y ) ∩ R(CB (Y )) = ∅;

h) dac˘a Y ⊆ B atunci −1

−1

−1

R(Y ) ∩ CA ( R(Y )) = R(CB (Y )).

1.28. Fie A, B mult¸imi, R ⊆ A × B ¸si X, X ′ ⊆ A. S˘a se arate c˘a dac˘a pentru orice −1

y ∈ B sect¸iunea Rhyi are cel mult un element atunci

R(CA (X)) = pr2 R \ R(X) ¸si R(X ∩ X ′ ) = R(X) ∩ R(X ′ ). 1.29. Fie A, B, C mult¸imi, R1 , R2 ⊆ A × B ¸si S ⊆ B × C. S˘a se arate c˘a dac˘a −1

pentru orice z ∈ C sect¸iunea S hzi are cel mult un element atunci S ◦ (R1 ∩ R2 ) = (S ◦ R1 ) ∩ (S ◦ R2 ).

1.30. Fie R ⊆ B × C. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) X1 , X2 ⊆ B, X1 6= X2 ⇒ R(X1 ) 6= R(X2 ) ; b) pentru orice mult¸ime A ¸si orice relat¸ii binare R1 , R2 ⊆ A × B avem R ◦ R1 = R ◦ R2 ⇒ R1 = R2 . 1.31. Fie R ⊆ A × B. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: −1

−1

a) Y1 , Y2 ⊆ B, Y1 6= Y2 ⇒ R(Y1 ) 6= R(Y2 ); b) pentru orice mult¸ime C ¸si orice relat¸ii binare R1 , R2 ⊆ B × C avem R1 ◦ R = R2 ◦ R ⇒ R1 = R2 .

1.32. S˘a se arate c˘a dac˘a f = (A, B, F ) este o funct¸ie atunci pr1 F = A. 1.33. S˘a se precizeze dac˘a sunt sau nu egale funct¸iile: a) f : R → R, f (x) = x2 ¸si g : R → (0, ∞), g(x) = x2 ; b) f : R → R, f (x) = x2 ¸si g : (−∞, 0] → R, g(x) = x2 ; c) f : R → R, f (x) = x2 ¸si g : R → R, g(t) = t2 . 1.34. Fie f : R → R, f (x) = x2 ¸si X1 = (−1, 0], X2 = [0, 1]. S˘a se determine f (X1 ∩ X2 ) ¸si f (X1 ) ∩ f (X2 ). 1.35. a) Fie A, B ⊆ R ¸si F o mult¸ime de puncte din plan. Ce condit¸ii trebuie s˘a ˆındeplineasc˘a F pentru a fi graficul unei funct¸ii cu domeniul A ¸si codomeniul B? b) Fie A = [1, 4], B = [1, 3]. Sunt mult¸imile F ¸si G indicate ˆın figurile urm˘atoare graficele unor funct¸ii cu domeniul A ¸si codomeniul B?

8

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (ENUNT ¸ URI) y

y

3

3

G F 1

O

1

1

4

O

x

4

1

1.36. Fie F, G ⊆ A × B graficul unor funct¸ii definite pe A cu valori ˆın B. Sunt −1

F ∪ G, F ∩ G, CA×B (F ) grafice de funct¸ii definite pe A cu valori ˆın B? Dar F este graficul unei funct¸ii cu domeniul B ¸si codomeniul A? 1.37. Fie F ¸si G cu semnificat¸ia din problema precedent˘a. S˘a se dea condit¸ii necesare ¸si suficiente pentru ca F ∪ G (F ∩ G, respectiv CA×B (F )) s˘a fie grafice de funct¸ii −1

cu domeniul A ¸si codomeniul B, iar F s˘a fie graficul unei funct¸ii cu domeniul B ¸si codomeniul A. 1.38. Fie f : A → B o funct¸ie ¸si F graficul s˘au. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) f este injectiv˘a; −1

b) pentru orice y ∈ B, F hyi cont¸ine cel mult un element; c) pentru orice y ∈ B, ecuat¸ia f (x) = y (cu necunoscuta x) are cel mult o solut¸ie ˆın mult¸imea A. 1.39. Fie A, B ⊆ R, f : A → B o funct¸ie ¸si F graficul s˘au. a) S˘a se arate c˘a f este injectiv˘a dac˘a ¸si numai dac˘a orice paralel˘a la Ox, dus˘a printr-un punct din B, cont¸ine cel mult un punct din F . b) S˘a se arate c˘a dac˘a f este strict monoton˘a atunci f este injectiv˘a. Este adev˘arat˘a reciproca acestei afirmat¸ii? 1.40. Fie f : A → B o funct¸ie ¸si F graficul s˘au. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) f este surjectiv˘a; b) pr2 F = B; −1

−1

c) pentru orice y ∈ B, F hyi cont¸ine cel put¸in un element, adic˘a F hyi = 6 ∅; d) pentru orice y ∈ B, ecuat¸ia f (x) = y (cu necunoscuta x) are cel put¸in o solut¸ie ˆın A. 1.41. Fie A, B ⊆ R, f : A → B o funct¸ie ¸si F graficul s˘au. S˘a se arate c˘a f este surjectiv˘a dac˘a ¸si numai dac˘a orice paralel˘a la Ox, dus˘a printr-un punct din B, cont¸ine cel put¸in un punct din F .

9 1.42. S˘a se dea cˆate un exemplu de funct¸ie care are: a) exact dou˘a retracte (diferite) ; b) o infinitate de retracte (diferite). 1.43. S˘a se dea cˆate un exemplu de funct¸ie care are : a) exact dou˘a sect¸iuni (diferite) ; b) o infinitate de sect¸iuni (diferite). 1.44. S˘a se dea un exemplu de funct¸ie injectiv˘a a c˘arei invers˘a (considerat˘a ca ¸si relat¸ie) nu este o funct¸ie. 1.45. S˘a se dea un exemplu de funct¸ie surjectiv˘a a c˘arei invers˘a (considerat˘a ca ¸si relat¸ie) nu este o funct¸ie. 1.46. Fie A ¸si B mult¸imi finite cu m, respectiv n elemente. Cum trebuie s˘a fie m ¸si n pentru ca s˘a existe cel put¸in a) o funct¸ie injectiv˘a f : A → B ; b) o funct¸ie surjectiv˘a f : A → B ; c) o funct¸ie bijectiv˘a f : A → B ? 1.47. Fie A o mult¸ime finit˘a ¸si f : A → A. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) f este injectiv˘a ; b) f este surjectiv˘a ; c) f este bijectiv˘a. 1.48. Fie n ∈ N, n ≥ 2 ¸si f : R → R, f (x) = xn . Este f bijectiv˘a? ˆIn caz afirmativ s˘a se determine f −1 . 1.49. Pentru o funct¸ie f : A → B se consider˘a funct¸iile −1

f∗ : P(A) → P(B), f∗ (X) = f (X) ¸si f ∗ : P(B) → P(A), f ∗ (Y ) = f (Y ) (unde P(A) este mult¸imea submult¸imilor lui A). S˘a se arate c˘a sunt echivalente afirmat¸iile: a) f este injectiv˘a; b) f∗ este injectiv˘a; c) f ∗ ◦ f∗ = 1P(A) ; d) f ∗ este surjectiv˘a; e) f (X1 ∩ X2 ) = f (X1 ) ∩ f (X2 ), pentru orice X1 , X2 ⊆ A; f) f (C(X)) ⊆ C(f (X)), pentru orice X ⊆ A. 1.50. Cu notat¸iile din problema anterioar˘a, s˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) f este surjectiv˘a; b) f∗ este surjectiv˘a; c) f∗ ◦ f ∗ = 1P(B) ; d) f ∗ este injectiv˘a; e) C(f (X)) ⊆ f (C(X)), pentru orice X ⊆ A.

10

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (ENUNT ¸ URI)

1.51. Fie f : A → N. Cu ajutorul lui f , definim funct¸ia f de la mult¸imea submult¸imilor finite X ale mult¸imii A la N astfel:  X  f (x) , dac˘a X 6= ∅ f(X) = x∈X  0 , dac˘a X = ∅. a) S˘a se arate c˘a dac˘a Xi (i = 1, . . . , n) sunt mult¸imi finite atunci ! n n [ X X X f Xi = f (Xi ) − f (Xi ∩ Xj ) + f(Xi ∩ Xj ∩ Xk ) i=1

i=1

1≤i