Problemas+Resueltos+de+fuerzas+en+VIGAS+y+CABLES-MS+1-2013

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

: MECÁNICA DE SÓLIDOS I

CURSO

PROFESOR : Ing. JORGE MONTAÑO PISFIL

PROBLEMAS RESUELTOS DE FUERZAS EN VIGAS Y CABLES C ABLES PROBLEMA Nº 1 La viga compuesta tiene un soporte fijo en A, está conectada mediante un pasador en B y se sostiene por medio de un rodillo en C. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga.

500 50 0 bf  /  pie  pie

A

C

B 3 pies

6 pies

Resolución Para resolver este problema, primero analizamos la viga completa o viga compuesta  ABC   (viga conformada por las vigas  AB y BC )

y luego una de sus partes, partes, de esta manera determino determino las las

reacciones en los apoyos A apoyos  A,, B y C .

An álisis de la viga c om pu esta AB C

4500 bf   4,5 pies

 M  A  R A X  C A

 R AY 

B 3 pies

Por segunda condición de equilibrio:

6 pies

 M   

Totales  A

0

+

 RC 

  M  A  9 RC   4500 (4,5)  0

  M  A  9 RC   20250 bf    pie  . . . (1)

Por primera condición de equilibrio:

 F 

X 

 F 

Y 

0

 R A X   0

 R AY    RC   4500 bf   . . . (2)

0

An ális is d e la vi ga B C 

3000 bf  

3 pies

 R B X 

3 pies

C

B

 RC 

 R BY  Por segunda condición de equilibrio:

 M   

Totales  B

+

0

 RC   1500 bf  

  RC  ( 6  pies )   3000 bf  (3 pies )  0 Por primera condición de equilibrio:

 F 

X 

 F 

Y 

0

0

 R B X   0

 R BY    RC   3000 bf  

 R BY   1500 bf  

Reemplazando en la ecuación (1), tenemos que:

 M  A  6750 bf    pie

Reemplazando en la ecuación (2), tenemos que:

 R AY   3000 bf  

Determin ación del número de co rtes y análisis d e segm entos de vig a obtenid os  Desde el extremo A de la viga compuesta hasta el extremo C, es suficiente hacer un solo corte, porque entre dichos extremos solo hay un tipo de fuerzas distribuidas y no actúan más fuerzas o momentos externos sobre esta viga. Si asumimos que el punto de “corte” es el punto D, a una distancia x del extremo A, tenemos que:

(500 x) bf  

 M  D

6750 bf    pie x/2

D A

x

V  D

3000 bf  

Por segunda condición de equilibrio:

 M   

Totales  D

0 +

  M  D  500 x ( x / 2)  6750  3000 x  0  M  D  (3000 x  250 x 2  6750) bf    pie



V  D 

dM D dx

 (3000  500 x) bf  

* Si evaluamos las ecuaciones del cortante y del momento flector para  x  0 , tenemos: V  D  3000 bf  

;

   M  D  6750 bf    pie

* Si evaluamos las ecuaciones del cortante y del momento flector para  x  9  pies , tenemos: V  D  1500 bf  

;

M D  0

Diagramas “V vs. x ” (fuerza cortante en función de la posición x) y “M vs. x ” (momento

flector en función de la posición x) Para realizar estos diagramas se recomienda primero hacer el DCL de la viga completa y debajo de este dibujar los diagramas solicitados.

4500 lbf 6750 lbf.pie

1500 lbf 3000 lbf

V (lbf) 3000

6 0

9

x ( pies)

-1500

M (lbf.pie) 2250

0 6

9

-6750

* De estos diagramas se observa que: V  MAXIMO  3000 bf  

 y

   M  MAXIMO  6750 bf    pie

x ( pies)

PROBLEMA Nº 2 Si se supone que la reacción del suelo sobre la viga A B que muestra la figura está dirigida hacia arriba y es uniformemente distribuida, trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. Determine asimismo los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector.

6 kN

6 kN 5 kN/m

A

B 1m

4m

1m

1m

1m

Resolución  4m

6 kN

Por condición del problema, la reacción del suelo sobre la viga A B  está dirigida hacia arriba y es uniformemente distribuida, por lo tanto la figura dada equivale a la que se muestra a continuación. En ella, “w ” representa la reacción por unidad de longitud que ejerce el suelo sobre la vi a.

6 kN

5 kN/m

1m A

1m

1m

1m

B

w

Para resolver problemas de vigas, primero se hace el DCL de la viga completa y se hallan las reacciones en los apoyos. A continuación, se determina el número de “cortes” imaginarios que se deben realizar a la viga y se hallan las ecuaciones de V  y de M , en función de x, para cada uno de los segmentos de viga que resulten después de realizar los “cortes”. Finalmente se dibujan los diagramas de “V vs x”  y “M vs x”  a partir de las ecuaciones halladas anteriormente. 

DCL de la viga completa y cálculo de “w ” (reacción por unidad de longitud que ejerce

el suelo sobre la viga) 20 kN En este diagrama de cuerpo libre, las

4 m 6 kN 1m A

fuerzas de

6 kN

1m

1m

R =8w

1m

B

20 kN y 8w

representan

las fuerzas resultantes de las fuerzas distribuidas que actúan sobre la viga. Recuerde que estas fuerzas están aplicadas en un punto de la viga que tiene la misma dirección de la recta que pasa por el centroide del área de la figura formada por las fuerzas distribuidas (o área encerrada por la curva de carga).

Por primera condición de equilibrio:

 F   0 

w  4 kN / m

8w  32 kN  0

y

Determinación del número de “cortes” imaginarios que se deben realizar a la viga y

del número de segmentos de viga que se deben analizar  Analizando las fuerzas que actúan sobre la viga completa (observe su DCL) concluimos que, desde el extremo A hasta el extremo B de la viga, debemos realizar CINCO “cortes” imaginarios (puntos C, D, E, F  y G en la figura siguiente).

y 1er corte

5to corte

2do corte

4to corte

3er corte

C

A 0  x

1  x

E

D

F

2

6

G

B 8

7

 x (m)

 x  x  x

 Al realizar los CINCO “cortes” imaginarios y observando el lado izquierdo de cada “corte”, tenemos CINCO SEGMENTOS DE VIGA que debemos analizar. Asumiendo que el extremo A  de la viga es el origen de coordenadas (ver la figura), la posición x  del punto de corte viene dada por:

0   x  1m

-

Para el segmento de viga A C  :

-

Para el segmento de viga A D  :

1m   x  2 m

-

Para el segmento de viga A E  :

2 m   x  6 m

-

Para el segmento de viga A F  :

6 m   x  7 m

-

Para el segmento de viga A G :

7 m   x  8 m

Análisis del segmento de viga A C  (0 < x < 1 m) Observando el segmento de viga A C   notamos que sobre el actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza cortante V C  y el momento de flexión M C , como se muestra en la figura siguiente.

M C

Por segunda condición de equilibrio:

x /2 

 

Totales C 

0

+

 M C   4 x( x / 2)  0

C 

A

 M 

(Es una ecuación

4x x 

 M C   (2 x 2 ) kN  m cuadrática)

V C Luego:

V C  

dM C  dx

 (4 x) kN 

(Es una ecuación lineal)

Análisis del segmento de viga A D  (1 m < x < 2 m) Sobre este segmento de viga actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 k N   dirigida hacia abajo, la fuerza cortante V D  y el momento de flexión M D  (ver figura siguiente).

6 kN

Por segunda condición de equilibrio:

M D

1m

 

Totales  D

0

 M  D  6( x  1)  4 x( x / 2)  0

D 

A

 M 

 M  D  (2 x 2  6 x  6) kN  m V D

Luego:

4x

V  D 

x 

dM C  dx

 (4 x  6) kN 

Análisis del segmento de viga A E  (2 m < x < 6 m) Sobre este segmento de viga actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 k N  dirigida hacia abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 5(x-2) dirigida hacia abajo, la fuerza cortante V E  y el momento de flexión M E  (ver figura siguiente).

5(x-2) 

6 kN

1m

Por segunda condición de equilibrio:

M E

1m

A

 

Totales  E 

0

 M  E   5( x  2) 2 / 2  6( x  1)  4 x( x / 2)  0

E 

1  M  E   (  x 2  4 x  4 ) kN  m 2

V E

4x

 M 

Luego:

x 

V  E  

dM C 

Análisis del segmento de viga A F  (6 m < x < 7 m)

dx

 ( x  4) kN 

En este caso, sobre este segmento de viga actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kN   dirigida hacia abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 20 kN dirigida hacia abajo, la fuerza cortante V F  y el momento de flexión M F  (ver figura siguiente).

20 kN  6 kN

2m

Por segunda condición de equilibrio:

2m

M F 1m

 M  F   6( x  1)  20( x  4)  4 x( x / 2)  0  M  F   (2 x 2  26 x  86) kN  m

1m

A



  Totales 0  M   F 

F  Luego:

V F

4x x 

V  F  

dM C  dx

 ( 4 x  26) kN 

Análisis del segmento de viga A G  (7 m < x < 8 m) En este caso, Sobre el segmento de viga A G  actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), las dos fuerzas concentradas de 6 k N  dirigidas hacia abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 20 kN dirigida hacia abajo, la fuerza cortante V G  y el momento de flexión M G  (ver figura siguiente).

20 kN  6 kN

2m

6 kN

2m

M G

1m

1m

1m

Por 2da condición de equilibrio:

Luego:

V G 

x 



0

 M G  ( 2 x 2  32 x  12 8) kN  m

V G

4x

  Totales  F 

 M G  6( x  1)  20( x  4)  6( x  7)  4 x( x / 2)  0

G 

A

 M 

dM C  dx

 (4 x  32) kN 

Diagramas “V vs. x ” (fuerza cortante en función de la posición x)

y

“M vs. x ”

(momento flector en función de la posición x) 20 kN 6 kN

V

6 kN

kN

4

32 kN

2

6 0

-2

-4

1

2

4

7

8

 x (m)

M

kN.m Par ábo las

4

2

0

2

1

6

4

8

7

 x (m)

De la figura se concluye que:

V max .  4 kN 

;

 M max .  4 kN   m

PROBLEMA Nº 3 Un cable de transmisión eléctrica de 240 m de longitud y masa por unidad de longitud 0,6 kg/m se suspende entre dos puntos que tienen la misma altura. Si la flecha es de 24 m. Calcule la tensión máxima en el cable y el claro (distancia horizontal entre los dos puntos de apoyo).

Resolución Según el enunciado se trata de un cable flexible sujeto a la acción de su propio peso, por lo tanto la forma que adopta es de una catenaria tal como se muestra en la figura siguiente: y

Cable B

A 24m

C

y B

c

 x   A

 x B

 x

Si consideramos que el origen del sistema de coordenadas se halla a una distancia vertical “ c ” debajo del punto más bajo del cable (ver la figura anterior), la longitud “ S” del segmento de cable CB y la coordenada “y” del punto B, vienen dados por:

S   120 m

 ;

 y  c  24 m

 Además, se cumple que:

 y 2  S 2  c 2 Reemplazamos  y  y

S 

:

(c  24)2 1202  c 2 Despejando “c ” (parámetro de la catenaria) , obtenemos:

c  288 m

Cálc u lo d e T max del cable: Se sabe que la tensión del cable es máxima en el punto donde el cable tiene mayor pendiente o mayor inclinación. En nuestro caso sería cualquiera de los apoyos, dado que los dos están al mismo nivel. Para calcular esta tensión máxima aplicamos la ecuación

T   w c 2  S 2  Al reemplazar la carga por unidad de longitud “w”, igual a 5,886 N (0,6 kg x 9,81 m/s 2), el parámetro “c” de la catenaria, igual a 288 m, y la longitud “S” del cable, igual a 120 m, obtenemos:

T max 1836,432 N  Cálculo del claro (distancia h orizontal entre los dos pun tos d e apoyo) De la figura se observa que el claro viene dado por la suma de las distancias

x A y x B , pero como

estas distancias son iguales, la suma de ambas es igual al doble de una de ellas. Además, de la  x    y  ecuación de la catenaria  y  c Cos h    , despejando x   obtenemos:  x  c arco cos h    c     c  

Luego:

 288 m  24 m    yB      2(288 m) arco cos h  m 288   c      

Claro  2 x B  2 c arco cos h

Claro  233   ,5479 m

PROBLEMA Nº 4 Un cable eléctrico cuelga entre un poste y una casa. Si la masa por unidad de longitud del cable es de 2,1 kg/m, determine: a) La distancia desde la casa hasta el punto más bajo, C, del cable.  b) La tensión máxima del cable. c) La longitud del cable.

Resolución Por tratarse de un cable que tiene la forma de una catenaria, elijo primero un sistema de coordenadas cuyo origen se encuentre a una distancia verti cal “c” debajo del punto más bajo de la catenaria (ver figura siguiente).

Se sabe que la ecuación de la catenaria es:

  x   c    

 y  c Cos h

 Además, cuando los apoyos están a diferente nivel el cable se analiza por partes. 

Para el segmento de cable AC, tenemos:

  x A      c  

 y A  c Cos h

Reemplazando



, Donde:

 y A  0,5  c

( y A en m)

 0,5    1   c  

 y A  y despejando  x A  obtenemos:  x A  c arco cosh

Para el segmento de cable CB, tenemos:

  x B    c    

 y B  c Cos h

, Donde:

 y B  1,2  c

Reemplazando  y B  y despejando  x B  obtenemos:  x B

( y B en m)

 1,2    c arco cosh  1 c    

De la figura dada observamos que:

 x A   x B  8 m Reemplazando

 x A  y  x B   tenemos

 0,5    1,2    1  c arco cosh  1  8 . . . (1) c c        

c arco cosh

Para resolver esta ecuación (1) tenemos dos métodos:

Primer método: utilizando una calculadora programable Si utilizamos, por ejemplo, una calculadora CASIO FX  – 570 PLUS, obtenemos que:

c   9,99873243 m Segundo método: por TANTEOS Para aplicar este método, primero hallo el valor referencial de “ c ” aplicando la ecuación de la parábola. Es decir:

 y 

w x 2 2T 0

, donde: T 0

 wc

Luego, para el segmento de cable AC, tenemos:

0,5 

w x A2 2 wc

 x A 

c

Para el segmento de cable CB, tenemos:

1,2 

w x B2 2 wc

 x B 

2,4 c

 Además:

c

 x A   x B  8 m

Resolviendo esta ecuación obtenemos:

2,4 c  8 m

c   9,848598 m

 A partir de este valor referencial de c ( c

  9,848598 m ) hallo el verdadero valor de c. Para ello c  a este valor referencial, los demás

construyo la tabla siguiente, colocando como primer valor de

valores que asumimos deben ser siempre mayores, hasta hallar el verdadero valor de  c .

 0,5    1,2    1  c arco cosh  1   c     c  

c arco cosh

c (m)

Valor referen c ial 

La suma

9,848598 ,

7,9388135 m

9,9

7,959815 m

resultar

10

8,0005 m

igual a

9,99

7,99645391 m

8m

9,998

7,9997026 m

De la tabla se concluye que el valor que más se aproxima a

8m

debe

(sin sobrepasarlo) es

7,9997026

m, por lo tanto asumimos que:

c  9,998 m NOTA.- para mayor exactitud (que la sum a se aproxim a muc ho más a 8m) po demo s agregar más decimales al valor de “ c ” , es decir asum ir que “ c ”  es por ejemp lo

9,9985 m  , hasta

hallar su valor verdad ero. En eso co nsis te el mé tod o d e tanteos.

a) Cálculo de “  x A ” (distancia de la casa hasta el p un to m ás b ajo d el cab le): Se halló que:

 x A 

Reemplazando

c

c  9,998 m  (el valor hallado por el método de tanteos), obtenemos:

 x A  3,162 m b) Cálcu lo de la tensi ón máxim a del cable La tensión del cable es máxima en el punto que tiene mayor pendiente, es decir en el apoyo B.

T max ima  T  B  w y B  230,69  N  Donde:  y B

 c  1,2 m ;

siendo

c  9,998 m  (el valor hallado por el método de tanteos)

c)

 s  TOTAL ) Cálcu lo de la lon gitu d del cable ( 

Para calcular la longitud del cable utilizo la ecuación siguiente:

 s  c senh

 x c

Esta ecuación se aplica por separado a los segmentos de cable AC y CB, luego la longitud total del cable viene dada por:

 sTOTAL   s AC    sCB  c sen h( x A / c)  c sen h( x B / c) Reemplazando  x A

 3,162 m ,  x B  4,838 m

y

c  9,998 m   (el

valor hallado por el método

de tanteos), obtenemos que:

 sTOTAL  8,244 m PROBLEMA Nº 5 El cable de transmisión eléctrica tiene un peso por unidad de longitud de 15 bf  / pie . Si el punto más bajo del cable debe estar al menos 90 pies sobre el suelo, determine la tensión máxima desarrollada en el cable y la longitud del cable entre A  y B .

Resolución Por tratarse de una catenaria, primero elijo un sistema de coordenadas cuyo origen se halla a una distancia vertical “c ” debajo del punto más bajo del cable (ver la figura siguiente) .

C

Se sabe que la ecuación de la catenaria es:

  x     c 

 y  c Cos h

Como los apoyos están a diferente nivel, el cable se analiza por partes. 

Para el segmento de cable AC, tenemos:

  x A      c  

 y A  c Cos h

Reemplazando



, Donde:

 y A  c  90

( y A  en pies )

   

 y A  y despejando  x A  obtenemos:  x A  c arco cosh1 

90   c  

Para el segmento de cable CB, tenemos:

  x B    c    

 y B  c Cos h

, Donde:

 y B  c  30

Reemplazando  y B  y despejando  x B  obtenemos:  x B

( y B  en pies )

  30   c arco cosh1   c    

De la figura dada observamos que:

 x A   x B  300 pies Reemplazando

 x A  y  x B tenemos que:

   

c arco cosh1 

90 

  30    c arco cosh1    300  pies c   c    

Para resolver la ecuación anterior utilizamos una calculadora programable CASIO FX – 570 PLUS,

y obtenemos que:

c  211   ,3054592  pies a) Cálc u lo de la ten si ón m áxi m a de l ca bl e La tensión del cable es máxima en el punto que tiene mayor pendiente, es decir en el apoyo  A.

T max ima  T  A  w y A  4519,58188 bf   Donde:

 y A  c  90  pies ; siendo

  ,3054592 pies c  211

 s  TOTAL ) b) Cálcu lo de la lon gitu d del cable (  Para calcular la longitud del cable utilizo la ecuación siguiente:

 s  c senh

 x c

Esta ecuación se aplica por separado a los segmentos de cable AC y CB, luego la longitud total del cable viene dada por:

 sTOTAL   s AB   s BC   c sen h( x A / c)  c sen h( x B / c) Reemplazando:

  ,3054592 pies , obtenemos que:   ,6932526  pies ,  x B  111   ,3067474  pies y c  211  x A  188

 sTOTAL  331   ,3166362  pies