Problemas

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE INSTITUTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA DE LOS ALIMENTOS (ICYTAL) / ASIGNATURA: INGENIERIA DE PROCESOS III (ITCL 234) PROFESOR: Elton F. Morales Blancas

UNIDAD 2: TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION (ESTADO ESTACIONARIO)

GUIA DE PROBLEMAS

1. Una plancha de acero de espesor L con una conductividad térmica K es sometida a un flujo de calor uniforme y constante q0 (W/m²) en la superficie límite a X=0. En la otra superficie límite X=L, el calor es disipado por convección hacia un fluido con temperatura T∞ y con un coeficiente de transferencia de calor h. Calcular las temperaturas superficiales T1 y T2 para:

L = 2cm ; K = 20 W

T1

mº C

; q 0 = 10 5 W

m2

; T∞ = 50º C ; h = 500 W

m2 ºC

T2

q T∞

Desde T2 a T ∞ se transmite calor por convección, por lo tanto se utiliza la fórmula: q = h ⋅ A(T2 −T∞ )

q = h(T2 −T ∞ ) A

Reemplazando:

10 5

W W (T2 − 50º C ) = 500 2 2 m m ºC

200ºC = T2 – 50ºC

T2 = 250ºC

Desde T2 a T1 la transferencia de calor es por conducción, por lo tanto utilizamos la fórmula:

(T − T2 ) q = K (T1 − T2 ) q =K 1 A e A e

10 5

(T − T ) q = K (T1 − T2 ) q = −K 2 1 A e A e

W W (T1 − 250 ) = 20 2 m º C 0,02m m

100 ºC = T1 – 250

T1 = 350ºC

2. Un cilindro hueco con radio interior r = a y radio exterior r = b es calentado en la superficie interior a una velocidad q0 (W/m²) y disipa calor por convección desde la superficie exterior hacia un fluido a una temperatura T ∞ con un coeficiente de transferencia de calor h. La conductividad térmica es constante.

Calcular las temperaturas T1 y T2 correspondientes a las superficies interior y exterior, respectivamente, para a = 3cm; b = 5cm; h = 400 W/m²-°C; T ∞ = 100 °C; K = 15 W/m-°C ; q0 = 105 W/m².

q = h × A × ( ∆T )

POR CONVECCIÓN (T2 Æ T ∞ )

Y como el área del cilindro es A = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ H despejamos q en función de la longitud: q = H

(T2 − T∞) 1 2 × π × rexterior × h

Solución Como q está en función del área del cilindro se despeja de modo que quede en función de la longitud del cilindro. q W = 105 2 A m

Área del cilindro = 2 × π × rint erno × H q = 105

W × 2 ×π × r × H m2

q = 105

W × 2 × π × 0.03m × H m2 W q = 18849 H m

Calculo de T2 : por convección entre la superficie del cilindro y el medio

q = H

18849

(T2 − T∞) 1 2 × π × rexterior × h

(T2 − 100º C ) 1

W = m

2 × π × 0.05m × 400

W m2 º C

T2 = 250ºC

POR CONDUCCIÓN (T1 Æ T2) :

q = −k × A ×

dT dr

Calculo de T1 : por conducción entre la superficie interna y externa del cilindro De la misma manera dejamos q en función de la longitud del cilindro: q 2 × π × k × (T1 − T2 ) = r H Ln ( externo ) rint erno

18849

W = m

W × (T1 − 250º C ) mº C 0.05m Ln( ) 0.03m

2 × π × 15

T1 =352ºC

3. Se usa un serpentín de enfriamiento de acero inoxidable 304 de 1,0 pie de longitud, con diámetro interno de 0,25 pulg. y diámetro externo de 0,40 pulg., para extraer calor de un baño . La temperatura en la superficie interior del tubo es de 40 °F y 80 °F en el exterior. La conductividad térmica del acero inoxidable 304 depende de la temperatura: K = 7,75 + 7,78 X 10 -3 T, donde K está en BTU/hr-pie-°F y T en °F. Calcúlese la extracción de calor en BTU/s y Watts.

T2 T1 r1

q T∞

r2

1 pie = H

Datos : H= 1 pie

r 1=

0,25 pu lg 0,0833 pie = 0,125 pu lg⋅ = 0,0104 pie 2 1pu lg

T1=40ºF

r 2=

0,4 pu lg 0,0833 = 0,2 pu lg⋅ = 0,01666 pie 2 1pu lg

T2=80ºF

q= -K A

dT dr

Acilindro = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ H

Reemplazando:

q = −K ⋅ 2 ⋅π ⋅ r ⋅ H ⋅

Integrando:

qdr = − K ⋅ A ⋅ dT

dT dr

r2

T2

r1

T1

q ∫ dr = A ∫ K ⋅ dT

r2

T2

r1

T1

q ∫ dr = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ H ∫ K ⋅ dT

Reemplazando:

r2

(

)

80

dr q ∫ = 2 ⋅ π ⋅ H ∫ 7,75 + 7,78⋅10−3T dT r r1 40

q ln

2 2 ⎡ ⎛ 40 ⎞⎟⎤ 80 0,0167 = −2 ⋅ π ⋅ H ⋅ ⎢7,75(80 − 40 ) + ⎜⎜ (7,78 ⋅ 10 −3 ⋅ ) ⎟⎥ ) − (7,78 ⋅ 10 −3 ⋅ 2 2 0,0104 ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥⎦

q ln

0,0167 ⎛ BTU ⎞ = −2 ⋅ π ⋅ H (310 + 24,896 − 6,224 )⎜ ⎟ 0,0104 ⎝ hr ⎠

q = −4360,41

BTU 1hr ⋅ hr 3600 s

q = −1,21 BTU

s

1watt q = −1,21 BTU ⋅ 1055 J ⋅ s BTU 1J s q = 1277,9 watt

4. Se desea construir un almacén refrigerado con una capa interna de 20 mm de madera de pino, una capa intermedia de corcho prensado y una capa externa de 52 mm de concreto. La temperatura de la pared interior es 18°C y la de la superficie exterior, 30°C en el concreto. Las conductividades promedio son, para el pino, 0,151; para el corcho 0,0433; y para el concreto 0,762 W/m-K. El área superficial total interna que se debe usar en los cálculos es aproximadamente 50 m² (omitiendo las esquinas y los efectos de los extremos). ¿Que espesor de corcho prensado se necesita para mantener la pérdida de calor en 550 W?

a : madera de pino (20mm) b: corcho (??) c: concreto(52mm)

El calor se trasmite en serie por lo tanto el flujo de calor es el mismo en cualquier punto del circuito eléctrico.

Solución:

Ecuación general: q (Te − Ti ) = A Rtotal

Donde: Te =Temperatura externa del almacén refrigerado Ti

= Temperatura interna del almacén refrigerado

R total =Resistencia total del circuito

R total = Ra + Rb + Rc Como las resistencias se encuentran en serie entonces la Ecuación para calcular la resistencia es: R=

e k×A

Donde: e : espesor de las capas k : conductividad térmica del material A: área total de la cámara

0.02m ea m2 K = = 0.13 Ra = ka 0.151 w mº K W Rb =

Rc =

eb x = kb 0.0433 w mº K

0.052m ec m2 K = = 0.068 kc 0.762 w mº K W

Reemplazando en la ecuación general se despeja x que es el espesor de la capa de corcho: q (Te − Ti ) = A Rtotal

550W 30º C − (−18º C ) = 2 50m ⎛ m2 K m2 K x m2 K ⎞ ⎜⎜ 0.13 ⎟ + 0.068 + W W 0.0433 W ⎟⎠ ⎝ x = 0.18m Æ Por lo tanto el espesor del corcho debe ser 180mm Nota: la relación entre de temperatura que existe entre los ºK y los ºC es de uno a uno por lo tanto, las unidades de estas no influyen en el cálculo.

5. ¿Que cantidad de aislante de fibra de vidrio (K=0,02 BTU/hr-pie-°F) es necesaria para garantizar que la temperatura exterior de un horno de cocina no excederá de 120 °F? La temperatura máxima del horno que será mantenida por el control termostático de tipo convencional es de 550 °F, la temperatura del ambiente de la cocina puede variar de 60 a 90 °F y el coeficiente promedio de transferencia de calor entre la superficie del horno y la cocina es de 2,5 BTU/hr-pie²-°F.

q

T1 T2

T ∞ =60 - 90 ºF

Nota: Se escoge la mayor temperatura para el medio, ya que esto nos asegurará que sea cual sea la temperatura de este, el espesor de aislante calculado garantizará una temperatura exterior no mayor a 120ºC Datos: T1= 550 ºF T2= 120 ºF T ∞ = 90ºF h = 2,5 BTU

hr ⋅ pie 2 ⋅º F

Transferencia de calor por convección entre T2 y T ∞ : q = h(T2 −T ∞ ) A

q BTU (120 − 90 )º F = 2,5 A hr ⋅ pie 2 ⋅º F

q BTU = 75 A hr ⋅ pie 2

Entre T1 y T2 se transmite calor por conducción:

(T 1 − T 2 ) q = K A e 75

(550 − 120 )º F BTU BTU = 0,02 2 hr ⋅ pie º F e hr ⋅ pie e = 0,115 pie

6. Un gas a 450 °K fluye en el interior de una tubería de acero, número de lista 40 (K = 45 W/m-K), de 2,5 pulg. de diámetro. La tubería está aislada con 60 mm de un revestimiento que tiene un valor medio de K = 0,0623 W/m-K. El coeficiente convectivo de transferencia de calor del gas en el interior de la tubería es 40 W/m²-K y el coeficiente convectivo en el interior del revestimiento es 10. La temperatura del aire es 320 °K.

D nominal = 2 pulg. D externo = 2,375 pulg. D interno = 2,067 pulg. Calcúlese la pérdida de calor por unidad de longitud en m de tubería.

450ºk

320ºk

q

rint = 2,067 pu lg⋅

0,0254 m 0,1085 = = 0,0263 m 1pu lg 2

r ext = 2,375 pu lg⋅

0,0254 m 0,0603 = = 0,0301m 1pu lg 2

r rev = 0,03 + 0,06 = 0,09m

q=

∆Ttotal R total

Acilindro = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ H

1 = h0 ⋅ A 40 W

mº K W

Convección

⎛r ⎞ ⎛ 0,03 ⎞ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ln⎜ ⎟ r1 ⎠ 0,026 ⎠ mº K ⎝ ⎝ = = 5,0 × 10 − 4 = W K ⋅ 2 ⋅ π ⋅ H 45 W ⋅π ⋅ 2 ⋅H m ⋅º K

Conducción

⎛r ⎞ ⎛ 0,09 ⎞ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ln⎜ ⎟ r1 ⎠ 0,03 ⎠ mº K ⎝ ⎝ = = 2,8 = K ⋅ 2 ⋅ π ⋅ H 0,0623 W W ⋅π ⋅ 2 ⋅H m ⋅º K

Conducción

R gas =

R acero

R aislante

R aire =

1 m 2 ⋅º K

1 = h0 ⋅ A 10 W

⋅ 0,0263m ⋅ 2 ⋅ π ⋅ H

1 m ⋅º K

q = H

2

⋅ 0,09m ⋅ π 2 ⋅ H

= 0,151

= 0,176

mº K W

(450 − 320 )º K

(0,151 + 5,0

−4

+ 2,8 + 0,176

q = 41,53 W/m

) mWº K

Convección

7. En el interior de una tubería de acero (K = 45 W/m-K) de 2,0 pulg. de diámetro, fluye agua a temperatura promedio de 70°F, mientras en el exterior se condensa vapor de agua a 220 °F. El coeficiente convectivo del agua en el interior de la tubería es h = 500 BTU/hr-pie²-°F y el coeficiente del condensado de vapor en el exterior es h = 1600 W/m²-K. Calcúlese la pérdida de calor por unidad de longitud en pies.

Datos:

Diámetro interno: 2.0pulg

radio interno: 0.083pie

Diámetro externo: 2.4pulg

radio externo.0.0996pie

h interno = 500 BTU/hr-pie²-°F h externo = 1600 W/m²-K. =282BTU/hr-pie2-ºF K = 45 W/m-K =26 BTU/hr-pie-ºF

Solución: q = H

(T2 − T1 ) ln ri re 1 1 ) )+( )+( ( 2 × π × re × he 2 ×π × k 2 × π × ri × hi

convección

conducción

convección

Donde: re : radio externo del cilindro ri : radio interno del cilindro T2: temperatura del vapor de agua condensado

T1: temperatura del agua Resistencia del agua por convección:

1

(

2 × π × 0.083 pie × 500

Btu pie 2 º F

) = 3.83 × 10 −3

pie º F Btu

Resistencia del acero por conducción:

0.0996 pie ) pieº F 0.083 pie ) = 1,12 × 10 −3 ( Btu Btu 2 × π × 26 hr − pieº F Ln(

Resistencia del condensado de vapor (conducción):

1 2 × π × 0.0996 pie × 282

Btu pie 2 º F

= 5.67 × 10 −3

pie º F Btu

Al reemplazar todas las resistencias en la ecuación se obtiene la perdida de calor por unidad de longitud:

q = H

3.83 × 10 −3

(220 − 70)º F pieº F pieº F pieº F + 1,12 × 10 −3 + 5.67 × 10 −3 Btu Btu Btu

q BTU = 14124.3 H hr × pie

8. Calcular el flujo de calor a través de la pared mostrada en la fig. Suponiendo que este es unidimensional.

Datos:

T1 = 50ºC T2 = 20ºC Ka =200 W/mºC Kb =50 W/mºC Kc =40 W/mºC Kd =90 W/mºC Area transversal = 1m2 Area B = 0.5m2 Area C = 0.5m2

Solución: Calculo del flujo de calor a través de la pared

Formula general:

q ∆T = A Req

Req = Ra + Rbc + Rd

Calculo de Resistencias en series (Ra y Rd):

Ra =

ea 0.01m ºC = = 5.0 × 10 −5 2 K a ⋅ Aa 200W mº C × 1m W

Rd =

ed 0.02m ºC = = 2.22 × 10 −4 2 K d ⋅ Ad 90W mº C × 1m W

Calculo de Resistencias en paralelo (Rb y Rc): 1 1 1 = + RBC Rb Rc 1 k × Ab kc × Ac = b + Rbc eb ec

1 50 (W mº C ) × 0.5m 2 40 (W mº C ) × 0.5m 2 = + Rbc 0.03m 0.03m 1 1 = Rbc 1499.9W º C Rbc = 6.67 × 10 − 4

ºC W

Req = 5.0 x10 −5 + 2.22 x10 − 4 + 6.67 x10 − 4 = 9.39 × 10 − 4

Reemplazo en la formula para el cálculo del flujo de calor: q=

(50 − 20)º C 9.39 × 10 − 4 º C w

q = 31948.9 w

ºC W

9. Una pared de un horno es construida de ladrillos que tienen dimensiones comunes 9 x 4 1/2 x 3 pulgadas. Se dispone de dos clases de material: uno que tiene una temperatura útil límite de 1900 °F y una conductividad térmica de 1 BTU/hr-pie-°F, y el otro tiene una temperatura límite máxima de 1600°F y una conductividad térmica de 0,5. Los ladrillos tienen el mismo costo y pueden colocarse de cualquier forma, pero se desea construir la pared más económica para un horno con una temperatura del lado caliente de 1900°F y del lado frío de 400 °F. Si la cantidad máxima permisible de transferencia de calor es 300 BTU/hr-pie² de área, determinar el arreglo más económico para los ladrillos disponibles.

0,25pie q 1900ºF

0,75pie 0,35pie

400ºF

1.- Tº útil límite = 1900ºF;

K= 1 BTU/ hr pie ºF

2.- Tº útil límite = 1600ºF;

K= 0,5 BTU/ hr pie ºF

Respuesta: si se tienen dos tipos de ladrillos de distinta conductividad

térmica, para economizar en ladrillos, lo ideal es utilizar aquellos que tengan la menor conductividad térmica, pero en este caso, no es posible utilizar los ladrillos de conductividad térmica 0,5 BTU/ hr pie ºF, en el interior del horno, ya que solo resisten una temperatura de 1600ºF y la temperatura al interior del horno es de 1900ºF, por esta razón utilizaremos en el interior del horno los ladrillos de conductividad térmica=1 BTU/ hr pie ºF, y posteriormente utilizaremos los otros. q= 300 BTU/ hr pie2 q A

=K⋅

T1 − T2 e

300

(1900 − T2 )º F BTU = 1BTU ⋅ 2 º hr pie F ⋅ ⋅ 0,75 pie hr ⋅ pie T2=1675 ºF

300

(1675 − T2 )º F BTU = 1BTU ⋅ 2 hr ⋅ pie⋅º F 0,25 pie hr ⋅ pie T2 =1600 ºF

300

(1600 − 400 )º F BTU = 0,5 BTU ⋅ 2 hr ⋅ pie⋅º F e hr ⋅ pie e = 2 pie

Se necesitarán 2 corridas de ladrillos de K = 1 BTU/ hr pie ºF, y 4 corridas de ladrillos de;

K= 0,5 BTU/ hr pie ºF

10. Para la pared compuesta representada en la figura adjunta, asumiendo una transferencia de calor unidireccional y sabiendo que: Area A = 1 pie² Area B = Area E Area C = AreaD=

AreaE 2

KA = 100 BTU/hr - pie - °F; KB = 20 BTU/hr - pie - °F; KC = 60 BTU/hr - pie - °F; KD = 40 BTU/hr - pie - °F; KE = 80 BTU/hr - pie - °F; KF = 100 BTU/hr - pie - °F;

a) Encontrar el flujo de calor.

Solución

Calculo de áreas: pie = 0.332 pie pu lg pie Espesor de F y C = 2 pu lg× 0.083 = 0.1666 pie pu lg

Espesor de A

= 4 pu lg× 0.083

= 8 pu lg× 0.083

Espesor de D

pie = 0.664 pie pu lg

Espesor de B y E = 1.0 pu lg× 0.0833

pie = 0.833 pie pu lg

Según la figura:

Area A = AreaB + AreaC+ AreaE AreaE +Area E 2

1pie2 = Area E+

Area E = 0.4 pie2

Por lo tanto:

Area C =

AreaE 2

Area C=

0.4 pie 2 2

Area C= 0.2pie2 Area B =Area E Area D= Area C

Cálculo de Resistencias en series:

Rc + Rd =

ec ed + kc × Ac kd × Ad

Rc + Rd =

0.1666 pie 0.6664 pie + Btu Btu 60 × 0.2 pie 2 40 × 0.2 pie 2 hrpie º F hrpie º F

Rc + Rd = 0.0138

Btu Btu + 0.0833 hr º F hr º F

Rc + Rd = 0.0971

Btu hr º F

Cálculo de Resistencias en paralelo:

1 1 1 1 1 1 + + = + + Rb RC + RD RE eb kb × Ab 0.0971 Btu eE k E × AE hr º F 1 1 1 + + = Rb RC + RD RE

1 1 1 + + Btu Btu Btu 0.833pie 20 × 0.4pie 0.0971 0.833pie 80 ×0.4pie hrpieº F hrº F hrpieº F

Ra =

0.332m ea hr º F = = 3.332 × 10 − 3 2 ka × Aa 100W mº C × 1m Btu

RF =

0.1666m eF hr º F = = 1.666 × 10 − 3 2 k F × AF 100W m º C × 1m Btu

R∞ =

1 = hi × A 10

R∞ 2 =

1 Btu × 2.2 pie 2 2 hrpie º F

1 = h2 × A 15

1 Btu × 2.2 pie 2 2 hrpie º F

= 0.045

hr º F Btu

= 0.033

hr º F Btu

La sumatoria de todas las resistencias es:

Rtotal = 0.1

BTU hr º F

El flujo de calor de la pared compuesta se calcula a partir de la ecuación:

q=

∆T (110 − 50)º F = Btu Rtotal 0.1 hr º F

q = 600

BTU hr

b) Encontrar la temperatura en la interfase de las paredes C y D.

Nota: En la figura se observa que las paredes C y D que se encuentran en serie están en paralelo con las paredes B y D, por lo tanto para poder calcular la temperatura entre ambas paredes es necesario primero calcular las temperaturas en las superficies de la figura. Siguiendo los siguientes pasos:

Cálculo de Ts1: (en la superficie por el lado A)

q = h × A × (T∞1 − TS 1 )

Reemplazando Datos obtenidos en la letra anterior:

600

Btu Btu = 10 × 2 .2 pie 2 × (110 º F − TS 1 ) 2 hr hrpie º F

Despejando TS1

TS 1 = 82.73º F

Calculo de TS2 (en la superficie por el lado F)

q = h × A × (TS 2 − T∞ 2 ) Reemplazando Datos obtenidos en la letra anterior:

600

Btu Btu = 10 × 2 .2 pie 2 × (TS 2 − 50 º F ) 2 hr hrpie º F

Despejando TS2

TS 2 = 68.18º F Con las temperaturas de las superficies se calcula ∆T

∆T = TS 1 − TS 2 ∆T = (82.73 − 68.18)º F = 14.55º F

El calor que pasa sobre las paredes es:

q = qB + qCD + qE

q=

∆T ∆T ∆T + + eB k B × AB RCD eE k E × AE

qCD =

Btu ∆T 14.55º F = = 149.85 Btu RCD 0.0971 hr hr º F

Con el cálculo de qCD se puede obtener la temperatura en la interfase de las paredes C y D.

qCD =

(TS 1 − T ) (T − TS 2 ) = RE RD

149.85

Btu 82.73º F − T = Btu hr 0.0138 hr º F

T = 80.66º F