PROBLEMAS..

EJERCICIOS SESIÓN 1

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Y VALOR ESPERADO 1 Southport Autos ofrece una variedad de opciones de lujo en sus automóviles. Debido al período de espera de 6 a 8 semanas de los pedidos, el distribuidor Ben Stoler tiene un inventario de autos con varias opciones. Por el momento, el señor Stoler, que se precia de poder cumplir con las necesidades de sus clientes de inmedianto, está preocupado porque hay una escasez de autos con motores V-8 en toda la industria. Stoler ofrece las siguientes combinaciones de lujo: 1. Motor V-8 2. Interiores de piel 3. Faros de halógeno 4. Autoestéreo

Quemacocos eléctrico Seguros eléctricos Motor V-8 Motor V-8

Faros de halógeno Autoestéro Interiores de piel Seguros eléctricos

Stoler piensa que las combinaciones 2, 3 y 4 tienen la misma probabilidad de ser pedidas, pero que la combinación 1 tiene el doble de probabilidades de ser pedida que cualquiera de las otras. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que quiere un automóvil de lujo ordene uno con motor V-8? Combinación 1. Con V-8 2. Sin V-8 3. Con V-8 4. Con V-8

Probabilidad 2/5 1/5 1/5 1/5

P (1) + P (3) + ( P 4) =

2 1 1 4 + + = = 0.80 5 5 5 5

Respuesta = 80% b) Suponga que dos clientes ordenan autos de lujo. Construya una tabla que muestre la distribución de probabilidad del número de motores V-8 pedidos. Selección Cliente 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4

Selección Cliente 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

Probabilidad 0.4 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

x 0.4 x 0.2 x 0.2 x 0.2 x 0.4 x 0.2 x 0.2 x 0.2 x 0.4 x 0.2 x 0.2 x 0.2 x 0.4 x 0.2 x 0.2 x 0.2

Motores V-8 pedidos 0 1 2 Total

Motores V-8

0.16 0.08 0.08 0.08 0.08 0.04 0.04 0.04 0.08 0.04 0.04 0.04 0.08 0.04 0.04 0.04 1.00 Probabilidad 0.04 4% 0.32 32% 0.64 64% 1 100%

2 1 2 2 1 0 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2

2 Bill Johnson acaba de comprar una videograbadora en Jim´s Videotape Service a un costo de $300. Ahora tiene la opción de comprar una póliza de servicio extendido que ofrece cinco años de cobertura por $100. Después de hablar con sus amigos y leer los informes, Bill cree que puede incurrir en los siguientes gastos de mantenimiento durante los próximos cinco años. Encuentre el valor esperado de los costos de mantenimiento pronosticados ¿Debe Bill pagar los 100 por la garantía? Gasto Probabilidad Valor esperado

0 0.35 0

50 0.25 12.5

100 0.15 15

150 0.10 15

200 0.08 16

250 0.05 12.5

300 0.02 6

Gasto esperado 77

3 El jefe de bomberos del condado de Baltimore, Maryland, está elaborando un informe acerca de los incendios ocurridos en viviendas de una sola familia. Tiene los datos siguientes con respecto al número de este tipo de incendios sucedidos en los dos últimos años: AÑO 1995 1996

E 25 20

F 30 25

M 15 10

A 10 8

M 10 5

J 5 2

J 2 4

A 2 0

S 1 5

O 4 8

N 8 10

D 10 15

Basándose en los datos anteriores: a) ¿Cuál es el número esperado de incendios en viviendas con una sola familia por mes? b) ¿Cuál es el número esperado de incendios en viviendas con una sola familia por mes invernal (enero, febrero, marzo)?

EJERCICIOS SESIÓN 1

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 1 ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado ocho veces? k=4 n=8 p = 1/6 = 0.1667 q = 7/6 = 0.8333

P (k = 4) =

8! • 0.1666 4 • (1 − 0.166)8−4 = 0.026 4!•(8 − 4)!

Se tiene una probabilidad de 2.6% de obtener cuatro veces el número 3 al tirar un dado 8 veces.

2 En una fábrica de cámaras el 5% sale con defectos. Determine la probabilidad de que en una muestra de 12, se encuentren 2 cámaras defectuosas. k=2 n = 12 p = 0.05 P(2) = 0.0988 = 9.8%

3 En una oficina de servicio al cliente se atienden 100 personas diarias. Por lo general 10 personas se van sin recibir bien el servicio. Determine la probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes 3 no hayan recibido un buen servicio. k=3 n = 15 p = 0.10 q = 0.90

P (k = 3) =

15! • 0.10 3 • (1 − 0.10)15−3 = 0.1285 3!•(15 − 3)! P(k=3) = 12.85%

4 Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 10% de la caja está descompuesta. Si un comprador elige 4 verduras al azar, encuentre la probabilidad de que: a) las 4 estén descompuestas k=4 n=4 p = 0.10 q = 0.90 P(4)= 0.0001 b) de 1 a 3 estén descompuestas 1 descompuesta k=1 n=4 p = 0.10

2 descompuestas k=2 n=4 p = 0.10

3 descompuestas k=3 n=4 p = 0.10

P(1)= 0.2916

P(2)= 0.0489

P(3)= 0.0036

DISTRIBUCIÓN DE POISSON 5 La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de 0.012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 productos ya fabricados existan 5 defectuosos? Lambda = 800*0.012 = 9.6 K=5 P (k=5) = 0.04708

6 Suponga que se investiga la seguridad de un peligroso crucero vial, los registros de tránsito indican una media de 5 accidentes mensuales. Calcular la probabilidad de que en cualquier mes ocurran exactamente 0, 1, 2, 3 ó 4 accidentes. P (k=0) Lambda = 5 k=0

P (k=1) Lambda = 5 k=1

P (k=2) Lambda = 5 k=2

P (k=3) Lambda = 5 k=3

P (k=4) Lambda = 5 k=4

P (k=0)= 0.0067

P (k=0)= 0.0336

P (k=2)= 0.0842

P (k=3)= 0.1403

P (k=4)= 0.1754

7 En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 0.04 presentaban fuga de aceite. Si se instalan 150 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que: a) 4 salgan defectuosos Lambda = 150*0.04 = 6 k=4 P (k=4)= 0.1338 b) Más de 5 tengan fuga de aceite Lambda

k 6 6 6 6 6 6

0 1 2 3 4 5

P 0.002478752 0.014872513 0.044617539 0.089235078 0.133852618 0.160623141 0.4456

1 – (P0+P1+P2+P3+P4) = 0.5543 c) De 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos Lambda k 6 6 6 6

3 4 5 6

P 0.089235078 0.133852618 0.160623141 0.160623141 0.5543

P3+P4+P5+P6 = 0.5543 d) Determine el promedio y la desviación estándar de amortiguadores con defectos

8 Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 200 alternadores de un lote. Si el 2% de los alternadores del lote están defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra: a) Ninguno esté defectuoso lambda k

4 0

P(k=0) = 0.0183 b) Uno salga defectuoso lambda k

4 1

P(k=1) = 0.0732 c) Al menos dos salgan defectuosos Lambda

k 4 4 4

0 1 2

P 0.018315639 0.073262556 0.146525111 0.2381

P0+P1+P2 = 0.2381

d) Más de tres estén con defectos Lambda

k 4 4 4 4

0 1 2 3

P 0.018315639 0.073262556 0.146525111 0.146525111

1 – (P0+P1+P2+P3) = 0.5665