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PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA DERIVADA
MARITZA LUCIA RAMOS MARIN
UNIVERSIDAD LIBRE SECCIONAL PEREIRA FACULTAD DE INGENIERIA PEREIRA, MAYO 23 2012
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA DERIVADA
MARITZA LUCIA RAMOS MARIN
Trabajo presentado al profesor Bernardo Patiño en la asignatura de Cálculo Diferencial como requisito para optar a la nota requerida. requerida.
UNIVERSIDAD LIBRE SECCIONAL PEREIRA FACULTAD DE INGENIERIA PEREIRA, MAYO 23
2012
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA DERIVADA
1. Se desea construir una caja rectangular rectangular con una pieza de cartón cartón de 24 pulgadas de largo por 9 de ancho cortando cuadrados idénticos con las cuatro esquinas, y doblando los lados. Encuentre las dimensiones de la caja de máximo volumen. ¿Cuál es ese volumen?
Solución: Sea X el lado del cuadrado que se va a cortar; V el volumen de la caja resultante. Luego: V=x (9-2x) (24-2x) = 216 x – 66 x2 + 4x3
X no puede ser menor que cero ni mayor que 4.5 o sea que se debe maximizar V sobre el intervalo [0,4.5]. Los puntos estacionarios se encuentran igualando a cero la derivada de y resolviendo la ecuación resultante: V’ (x) = 216-132x + 12x2 = 12 (18-11x+x2) V’ (x) = 12 (9-x) (2-x) = 0 (9-x) = 0X=9 y (2-x) = 0 X= 2 Como 9 no está en el intervalo solo se toma 2. Luego hay 3 puntos críticos que son: 0, 2, 2, 4.5. En los puntos puntos frontera V (0) = 0 y V (4.5)= 0; en 2 el volumen V= 200. Se concluye que la caja tiene un volumen máximo de 200 pulgadas cúbicas cuando X=2 o sea que la caja tiene 20 pulgadas de largo, 5 pulgadas de ancho y 2 pulgadas de alto o profundidad. 2. Un volante debe contener contener 50 pulgadas cuadradas cuadradas de material impreso con 4 pulgadas de margen arriba y abajo y 2 pulgadas de margen a los
lados. ¿Qué dimensiones debe tener el volante para que gaste menos papel?
Solución: Sea X la anchura y “Y” la altura del volante su área será A=XY. Las dimensiones del texto serán: X-4 de ancho y Y-8 de largo. Como el área es de 50 pulgadas pulgadas cuadradas, cuadradas, entonces el área será 50= (x-4) (y-8) despejo Y y queda: Y= +8 por lo tanto el área será: A= + 8x. Los valores permitidos serán X>4 o sea (4, ∞).Derivando = +8= ; igualando a cero =0
X= -1 y X= 9 como X tiene que ser mayor que cuatro ( X>4) el valor X= -1 no es permitido; entonces el área alcanza su mínimo valor cuando X=9 por lo tanto Y=18. Así que las dimensiones del volante en que se usara la mínima cantidad de papel son 9 x 18 pulgadas. 3. Se tienen 100 m de tela de alambre con la cual se planea construir construir dos corrales adyascentes idénticos. Cuáles son las dimensiones del cercado total para el que es máxima el área.
Solución: Sea X el ancho y “Y” la longitud del cercado total; entonces 2y+3x=100
y=
–
además 0
x
y = 50 -
como A=XY A = x (50 -
hay que maximizar en [0, ]
) = 50x - ;
derivando A queda:
= 50 -3x; luego 50-3x=0
para X = 0 y X=
x = . Los puntos críticos son 0,
el área A = 0; para X =
lo tanto las dimensiones son X=
,
produce A = 416.67 por
y Y = 25 m.
4. Se va a cortar una viga rectangular de de un tronco de sección sección transversal transversal circular. Si la resistencia de una viga es proporcional al producto de su anchura por el cuadrado de su altura; encuentre las dimensiones de la sección transversal que da la viga de mayor resistencia.
Solución: El diámetro del tronco es “a”, la anchura de la viga es “X” y la altura “Y”.
Se maximiza a S, o sea, la resistencia de la viga que está dada por S = KXY2 donde K es una constante constante de proporcionalidad. La resistencia depende de las dos variables X y Y en donde a2 =X2 + Y 2 Y2 = a2 -X2 Luego S= KX (a2-X2) S = KXa2 KX3. Los valores admisibles de X –
= K a2 – 3 KX2 = 0 K (a2 – 3 X2) = 0 X2 = critico de (0, a) es probable que de X= √ como √ es el único punto el máximo de S, al sustituir a X = √ en Y2 + X2 = a2 Y = √ √ son 0 < X < a
5. Se quiere cercar cercar un lote rectangular de 800m2 de área. Si uno de los lados está sobre la orilla recta de un río. ¿Cuáles son las dimensiones del lote para que la longitud de la cerca sea mínima?
Solución: Supongamos que X es el ancho de la cerca. Como A = X Y y A = 800 es el largo. La longitud de la cerca total está 800 = X Y Y =
y es la dada por: L = 2X + . Ésta se puede expresar: L = ) ( ) que se minimiza L =0 L = =0 2 2 ’
’
2 X – 800 = 0 X = ó X = 0 X = 0, se descartan los valores 0 y – 20. Para comprobar que X=20 es valor mínimo relativo se halla la segunda derivada, o sea, L ” (20) > 0. Si X = 20 = = 40.
6. Se requiere construir construir un envase cilíndrico de base circular cuyo cuyo volumen 3. es 125cm Hallar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de la lamina empleada (área total) sea mínima.
Solución:
R = Es el radio de la base base en cm. cm. H = La altura del cilindro en cm A = Material gastado
A = + 2 R2 1 V = r 2 h = 125 cm3, entonces la función que se minimiza es la 1 que tiene variables ( R y h) despejamos h de la ecuación del volumen y reemplazamos h. h =
.Se minimiza ( ) = 0 = así: A’= ; R2 =0 R= 0, se descarta a R= 0 R = √ R = h = √ √ que se deduce de h= .
R. + 2 R ; A= + 2R 2
A=2
2
A=
7. ¿Cuáles son las dimensiones de un cono con área de superficie 10
que encierra el mayor volumen? [Indicación: Área de superficie = (h2+r 2)1/2; volumen = 1/3 r 2 h]
Solución: La cantidad que se debe maximizar es el volumen
V=
, se resuelve para h en términos de r y queda: h= , y luego se reemplaza a h en se deriva y se . así: V = iguala a cero así: V (r) = V (r) = 100-3r 0 r = √ h= √ √ = √ √ √ √ r = = h= √ √ =2 √ √ √ Luego las dimensiones de r y h son: r = = y h = 2 El área de la superficie es: 10
’
’
2
4
=
8. Un silo consta de un cilindro con una parte superior hemisférica. Hallar
las dimensiones del silo con un volumen fijo de V = 40 menor área de superficie. Inclúyase al piso.
que tiene la
Solución: Se toma el volumen del hemisferio y del cilindro y las áreas de cada uno. . El El volumen de una esfera es: V = y su área es A= 4
volumen de un cilindro esta dado por: VC = superficie del cilindro incluyendo su base es:
AC = V=
. Luego el volumen del silo h y su área por: A= 2 r +2 rh+
2
2
y el área de la esta dado por: 2 A= (3r +2rh).
Hay que minimizar el área y despejar h del volumen que es fijo entonces: = ,y se sustituye en el área:
)= ( ), se deriva A (r) = ( ), si A (r) = 0 10r 80 = 0 10 r = 80 r =8 r = √ ; luego h = h=2 y r=2 A=
’
’
3
3
3
–
R: luego el silo tiene radio 2 y altura 2.
9. Se va a fabricar un recipiente cilindrico abierto, de volumen de 1pie 3.Halla
las dimensiones que minimizan el area del material usado en su construcción.
Solución: de r para allar h en función A= + =
El area del material sera: A= se tiene que V= y V=1h =
A (r) = 2 Se iguala a cero 2 = 0 – = 0 r = pies; reemplazo en h y queda h= = = = * + √ = pies. Se deriva A con respecto a “r”
A’ (r) =-
’
10. Hallar las dimensiones del cono circular recto de área maxima de
superficie que puede inscribirse en una esfera de aradio r = 1
Solución: de acuerdo a s la figura S= √ A= .Como la esfera tiene un radio 1 entonces h = 1 + x = 1 + . Aqui hay dos posibilidades: Escoger El area del cono es: A =
donde “ ” es la generatriz
como variable a “x” o en la variable r. Al reemplazar el area en funcion de r se hace mas complejo por lo tanto se reemplaza en funcion de x. Luego: x2 = 1- r 2 r 2 = 1 – x2 A2 =
A = A = 2 = 2 ( )= 0 2 2
2
1+x = 0 x=-1 . El valor -1 no es valido por lo tanto se toma x= h= 1+ = . r = ( = √
x=
11. Un hombre esta en un bote y se encuentra a 24km de distancia de una
playa recta y desea un punto situado a 20Km de la playa. Puede viajar a 5Km por hora en el bote y a 13Km por hora en tierra. ¿En que punto debera atracar el bote con el objeto de minimizar el tiempo que se requiera para llegar al destino deseado?
Solución: Tomese x el numero de Km desde un punto P recoger a 5 Km/h es:
la distancia que debe
t = la distancia que recorre a lo largo de la playa es: d 2 = 20-x o sea que t2 = d t2 = .El tiempo total sera: tr = t 1 + t2. ,derivando esta expresion queda: tr= - .Se iguala a cero - = 0 169x2 = 25 x2 = 13x = 5 = 100 x= √ 2 = 10Km. x = d1 = o sea que el tiempo sera: t =
12. Un cartel debera contener un área impresa de 150 cm 2, con margenes
de 3 cm en la parte superiro e inferior, y 2cm a cada lado. Hallar el área minima total.
Solucion: Se toma x y a “y” las dimensiones del área impresa del carte l. Luego el área total esta dada por: A = (x+4)(y+6) pero como A I = 150cm2 luego el área total sera: sera: A = (x+4)( ) = xy= 150 y= 174+6x+600x-1.Se deriva para minimizar y queda: A ’ (x)= 6-600x-2 , se iguala a cero A’ (x)= 6-600x-2 =0 6x2 – 600= 0 x2 = = 100
x=10 luego y = = 15. Luego el cartel medira : y = X= 10+4 = 14 de ancho por y = 15+6 = 21 de largo.
13. Se necesita cortar y doblar un pedazo cuadrado de cartón de 1 metro
por cada lado para formar una caja que no tenga parte superior (habrá que recortar pequeños cuadrados en cada esquina). Hallar las dimensiones de la caja que contenga el mayor volumen.
Solución: Se debe maximizar el volumen: V =W2h donde h y W se relacionan así: 2h +W = 1 h = . V=
Se deriva con respecto a W y queda V = W - W Si se iguala a cero W-W =0 W (1- ) = 0 W = 0 y W = . El máximo queda para 00 = = 8 = = 0,637
o sea que el agua sube a razón de 0,637 por minuto.
45. Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto r ecto de máximo volumen que se puede inscribir en un cono circular recto dado.
Solución: Sea a la altura del cono y b el radio del cono dado, ambos constantes. h; r y v de altura, el radio y el volumen del cilindro.
- por que = h = a - y se que es el volumen del cilindro. Maximizamos = 2 a = (2- ) = 0 3r= 2b
V= (a. ) = a reemplaza h en V = a V en [o, b]
r=
–
h = a – = a-
como h = a -
= h=
46. Encuentre las dimensiones del rectángulo de máxima área que se puede inscribir en un semicírculo de radio r.
Solución: A= x h
donde r 2 =
x2 = 4r 2 – ah2 A = h.2
+ h2
4r 2 = x2 + 4h2
4h2
=
4r 2 – x2
x = x= Se deriva para maximizar 0
√ = 0 = 0 √ r = h √
4r 2 =
r 2 =
h
2
47. Cuál es el área máxima posible de un rectángulo cuya base reposa sobre el eje X con sus dos vértices superiores sobre la grafica.
Solución: Sean las dos vértices superiores dados por (x,4-X 2) y (-x, a-x2). Entonces el área está dada por A = 2x (4-x 2) n A = 2x (4-x2) = 8x -2x3 0
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