Problemas11_12

PROBLEMAS DE FÍSICA CUÁNTICA Licenciatura de Física Curso: 2011/12

Departamento de Física de la Materia Condensada Universidad de Zaragoza Pedro Cerbuna 12 50009 Zaragoza

© Luis A. Morellón Alquézar  http://fmc.unizar.es/people/morellon/Download.htm

ÍNDICE a. Física cuántica antigua

5

  b. Resolución de la ecuación de Schrödinger

9

c. Formalismo matricial. Oscilador armónico. Problemas tridimensionales tridimensionales

13

d. Potenciales centrales: momento angular.

14

e. Átomo de hidrógeno

15

f. Matrices de momento angular

16

Soluciones

20

Problemas de exámenes

28

Problemas avanzados

43

Constantes físicas fundamentales fundamentales

45

Problemas de Física Cuántica 5  _____________________________________________________________________________________ 

FÍSICA CUÁNTICA ANTIGUA 1. Derivar la expresión de Planck para la energía promedio < > y su espectro del cuerpo negro.

2. ¿Existe para la fórmula de radiación de Rayleigh-Jeans una ley equivalente a la de desplazamiento de Wien? Dada una temperatura T determínese el intervalo de frecuencias  sobre el que las expresiones de Rayleigh-Jeans y de Planck para la densidad T() difieren en menos de un 10 por 100.

3. Suponiendo que la temperatura en la superficie del sol es 5700 K, calcular la masa en reposo que se pierde por segundo en la radiación del sol. ¿Qué fracción de la masa en reposo del sol se pierde cada año en radiación electromagnética? Radio del sol: 7.0108 m, masa del sol en reposo: 2.0 1030 kg.

4. Derivar la ley de Stefan-Boltzmann a partir de T()d 5. Derive la ley del desplazamiento de Wien, maxT = 0.2014 hc/k . Demostrar que también existe max tal que max = cte T. ¿Se verifica que max max = c?

6. A una distancia de un metro de una fuente luminosa de potencia 1 W se coloca una  placa de potasio. Supóngase que un fotoelectrón emitido puede recibir su energía de un área circular cuyo radio r es del orden del tamaño atómico, r   1 Å. La energía necesaria  para extraer un electrón de la superficie del K es 2.1 eV. ¿Cuánto tiempo se tardaría en emitir el fotoelectrón?

7. El potencial de detención para el efecto fotoeléctrico con luz monocromática incidente sobre Na es: 1.85 V si =3000 Å y 0.82 V para =4000 Å. Determínese: 1) El valor de la constante de Planck, 2) la función de trabajo del Na y 3) la longitud de onda umbral para el Na.

Problemas de Física Cuántica 6  _____________________________________________________________________________________ 

8. Considere un haz de rayos x con = 1.00 Å y un haz de rayos  de una fuente de 137

Cs con = 1.8810-2 Å. Si la radiación dispersada por efecto Compton se detecta a

90º del haz incidente: (a) ¿Cuál es el cambio en la longitud de onda en cada caso? (b) ¿Cuál es la energía cinética que adquiere el electrón de retroceso? (c) ¿Qué porcentaje de la energía inicial del fotón se pierde en la colisión?

9. Derivar las siguientes expresiones entre (1) la energía cinética  K  del electrón de retroceso y la energía  E del fotón incidente en el efecto Compton y (2) entre la dirección de movimiento del fotón dispersado   y del electrón de retroceso  .

  2h    2     sen 2   2 m c  K     0    E    2h    2    sen 1   2 2  m0 c  

(1)

ctg 

    1  2  

 

   tg   m 0 c 2   h  

(2)

10. Demostrar que (a) un electrón libre no puede radiar un fotón, (b) un fotón no puede transferir toda su energía a un electrón libre y (c) que un fotón no puede crear un par  e+e- en el vacío.

11. Un fotón puede producir un par e +e- en las proximidades de una tercera partícula de masa en reposo M 0. Demostrar que la energía umbral para la creación del par (partículas en reposo en el sistema CM) es:  E min

 2m0 c 2 (1 

m0  M 0

)

Para fotones de energía E min, calcular el momento transferido a la partícula M 0. Si la   partícula es un núcleo de Pb, calcule la energía cinética del núcleo de retroceso y discutir si está justificado despreciar esta energía.

12. Un par e+e- en reposo se aniquila creando un par de fotones. ¿A qué velocidad debe de moverse un observador en la dirección de emisión de los fotones para que la longitud de onda de un fotón sea el doble que la del otro?

Problemas de Física Cuántica 7  _____________________________________________________________________________________ 

13. Para fotones de 0.06 MeV, la sección eficaz Compton de atenuación por átomo en Al es 8.17 barn y 4.23 barn para el efecto fotoeléctrico. Calcular la atenuación que   producen 3.7 g/cm2 de Al en un haz de fotones de esa energía y las atenuaciones debidas a las dos interacciones por separado.

14. Demostrar que la longitud de onda de de Broglie para una partícula de carga q, masa en reposo m0 y que se mueve a velocidades relativistas en un potencial acelerador V es:     1  qV  2   2 m 0 qV    2m 0 c   h

1 / 2

Ver que esta expresión está de acuerdo con  = h/ p en el límite no relativista.

15. Comprobar que la sección eficaz diferencial para la dispersión de una partícula de carga ze, masa M y velocidad v por un núcleo de carga Ze es, según el modelo de Rutherford:

  1      d   4 0   d  

2

2

  zZe 2   1   2  4  2Mv   sen  2

16. La fracción de un haz de protones de 6.0 MeV dispersados en ángulos iguales o superiores a 60º por una lámina fina de Au de densidad 19.3 g/cm 3 es igual a 2.010-5. Calcular el espesor de dicha lámina.

17. Un átomo muónico está formado por un núcleo con carga Ze y un muon (la masa de muon es 207 veces superior a la del electrón). Calcular: (a) El radio de la primera órbita de Bohr, (b) su energía de ligadura (tomar Z=1) y (c) la longitud de onda de la primera línea de la serie de Lyman.

18. Utilizando las reglas de cuantificación de Wilson-Sommerfeld, encontrar los niveles de energía de los siguientes sistemas: (a) Oscilador armónico, (b) Sólido rígido girando en torno a un eje principal fijo, (c) Átomo de hidrógeno (órbitas elípticas) y (d) Pozo infinito unidimensional entre – a/2 y a/2.

Problemas de Física Cuántica 8  _____________________________________________________________________________________ 

EJERCICIO COMPLEMENTARIO 1

Un observador O ve alejarse en sentidos opuestos a lo largo del eje X, dos fuentes de radiación gamma que llamaremos F 1 y F2, con velocidades v 1=(4/5)c y v2=(3/5)c. Las energías de los fotones que llegan a O medidas por éste son E 1=200 KeV y E2= 300 KeV. i) ¿Qué efectos pueden sufrir estos fotones al interaccionar con la materia situada en O? ¿Si interaccionasen uno contra otro, ¿podrían producir una pareja e +e-? ii) Si las fuentes estuviesen en reposo respecto a O, ¿cuál sería la energía de los fotones que emiten medida en O? Respecto a los efectos que sufren o causan en su interacción con la materia y entre sí, ¿hay alguna variación respecto a lo que ya ha respondido Vd. anteriormente en i)? iii) ¿Qué temperatura absoluta tendrían que tener las fuentes radiactivas, supuestas cuerpos negros para que los fotones que emiten correspondieran a la máxima radiancia del espectro? iv) Suponga que la fuente F 1 estuviese en reposo respecto a O y emitiese un flujo de 51010 fotones/cm2 y por segundo. ¿Qué espesor de plomo tendríamos que colocar para que el flujo detrás de la pared de Pb se redujese en un factor 10 6? (Longitud de atenuación del Pb para estos fotones  = 1/ = 2 cm. v) Los fotones emitidos por esta fuente F 1 en reposo respecto a O, a lo largo del eje X, encuentran materia en O y algunos salen en la dirección del eje Y. ¿Qué efecto causa esta dispersión de 90º? ¿Qué energía tienen los fotones que salen de O a lo largo del eje Y?

Problemas de Física Cuántica 9  _____________________________________________________________________________________ 

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER 19. Calcular las energías de los estados ligados de un electrón por el potencial:  x  0    V ( x)    V 0 0   x  L  0  x   L 

 para el caso V 0 = 10 eV, L = 4 Å.

20. Determínese el producto x p para los estados ligados del pozo infinito. Comparar 

x y  p con sus valores clásicos. 21. Una partícula se mueve en un pozo de anchura L y paredes infinitas centrado en L/2. En unidades ħ = 2m = L/  =1: 1) Escríbase la función de ondas ψ(x,t) de la partícula, sabiendo que: i) para t=0 las  probabilidades de que su energía sea 1 ó 4 son, respectivamente, 1/2, 1/2; ii) ψ(x,0) es real, iii) es más probable hallar la partícula en la mitad izquierda del pozo que en la derecha. 2) Dibújese |ψ(x,t)|2 para t=0, /6, /3 y describa cualitativamente el movimiento de la  partícula. 3) Calcular ψH y discútase la relación de incertidumbre energía-tiempo.

22. Calcular los coeficientes de reflexión y transmisión para el potencial escalón V ( x )

 0   V 0

0  x  0  x

23. Calcular los coeficientes de reflexión y transmisión para la barrera de potencial  x  0  0  V ( x )   V 0 0   x  a  0  x  a 

Determine el coeficiente de transmisión en el caso particular de un electrón de energía 1 eV si V0 = 2 eV y a = 1 Å. Repita el cálculo para un protón.

Problemas de Física Cuántica 10  _____________________________________________________________________________________ 

24. Calcular la función de ondas que minimiza el producto de incertidumbre x p. 25. Una partícula de masa m que se mueve libremente en un espacio monodimensional infinito está descrita en t=0 por la función de ondas  ( x,0)   A e ik 0 x e  x

2

/ a2

a) Calcular la constante de normalización  A. b) Calcular y en t=0. c) Calcular  ψ(x,t) ¿sigue normalizada? d) Calcular  x y  p en t=0 y para todo t.

26. Considerar la función de ondas tridimensional

  x  y  z      2a 2b 2c   ( x, y, z)  N e 

con

a,b,c > 0. a) Calcular la constante de normalización N.  b) Calcular la probabilidad de que una medida de X de un resultado entre 0 y a. c) Calcular la probabilidad de que medidas simultáneas de Y y Z den resultados entre –b y +b y entre –c y +c respectivamente. d) Calcular la probabilidad de que una medida del momento de un resultado en el elemento dpxdpydpz centrado en px=py=0, pz=ħ/c.

Problemas de Física Cuántica 11  _____________________________________________________________________________________ 

EJERCICIO COMPLEMENTARIO 2 Una partícula de masa m está situada en un pozo monodimensional de potencial de anchura 2a y altura infinita, V(x) = 0 entre – a < x < a.

(1) Si en t = 0 la partícula se encuentra situada en el centro del pozo, escriba la función de ondas en cualquier instante posterior,   (x, t). ¿Cuáles son los resultados de medir la energía y sus probabilidades de aparición?

(2) Construya dos estados   (x) y   (x) en t = 0 tal que (i) el resultado de medir la energía tanto en uno como en otro da como resultado unas veces la correspondiente al nivel fundamental y otras al primer estado excitado, (ii) son ortogonales entre sí, (iii) son funciones reales y (iv) el valor medio de la energía es el mismo para ambos. Calcule las probabilidades de aparición de cada uno de los resultados de medir la energía en cada uno de los estados en t = 0. Calcule   (x, t) y   (x, t) y el valor medio de la energía en el instante t para cada estado.

Problemas de Física Cuántica 12  _____________________________________________________________________________________ 

EJERCICIO COMPLEMENTARIO 3 El Hamiltoniano de una molécula diatómica con un grado de libertad de rotación es 2

 H  

 LZ 

2

, con I > 0 y el operador  L Z    i 

d  d  

(1) Calcular los autovalores y autofunciones de  H  con la condición de contorno para la función de ondas  (0)   ( 2 ) .

(2) Calcular los autovalores y autofunciones de  LZ.

(3) En t=0,  ( , 0)  N (1  cos  ) . Calcular la constante de normalización  N . Calcular  la probabilidad de encontrar la molécula entre   = 0 y   =  . Calcular los posibles valores y sus probabilidades de medida de  H y LZ en el estado .

(4) Calcular  ( , t ) , (t) y (t)

Problemas de Física Cuántica 13  _____________________________________________________________________________________ 

FORMALISMO MATRICIAL. OSCILADOR ARMÓNICO. PROBLEMAS TRIDIMENSIONALES 27. Considere un sistema físico cuyo espacio de los estados es tridimensional. En la  base ortonormal

 u1 ,

u 2 , u3

 el operador Hamiltoniano  H  y los observables  A y  B

tienen la forma:

 1 0 0     H    0  0 2 0  0 0 2    

 1 0 0     A  a  0 0 1  0 1 0    

 0 1 0     B  b  1 0 0  0 0 1    

El sistema físico se encuentra en t=0 en el estado

  ( 0 )

con 0, a, b > 0. 1 1 1 u1  u2  u 2 2 3 2



a) En t=0 se mide la energía del sistema. ¿Qué valores y con qué probabilidades se encontrarán? Calcular y H para el sistema en el estado | ψ(0)>.  b) En lugar de medir H en t=0, se mide A. ¿Qué resultados y con qué probabilidades se obtendrían?¿Cuál es el estado inmediatamente después de la medida? c) Calcular | ψ(t)> d) Calcular (t) y (t). Comentar. e) ¿Qué resultados se obtendrían si midiésemos A en el instante t? ¿Y si midiésemos B? Comentar.

28. La probabilidad por unidad de tiempo de que se produzca una transición dipolar  2

eléctrica entre un estado inicial n y otro final m es proporcional a n  x m . ¿Qué autoestados de un oscilador armónico estarán conectados por dichas transiciones?

29. Demostrar que para los estados ligados del oscilador armónico unidimensional se 2

 1 verifica: (a)  x p  (n  ) , (b)  x 2 p2  (n2  n  1) y (c) = (Teorema 2 2

del virial)

Problemas de Física Cuántica 14  _____________________________________________________________________________________ 

30. Una partícula se encuentra en un pozo de potencial infinito en tres dimensiones entre  –a