Problemas y Ejercicios Estudiantes - Mtin01

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA TECNOLÓGICA DE CHILE - INACAP a

PROBLEMAS Y EJERCICIOS UNIDAD 01 -MATEMÁTICA MTIN01

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS VICERRECTORÍA ACADÉMICA DE PREGRADO 2017

Matemática  – MTIN01

PROBLEMAS Y EJERCICIOS MATEMÁTICA MTIN01 Edición 2017 Autores: Alejandro García Miño Lorena Rosas Toro Germán Osses Romano

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Matemática  – MTIN01

PRESENTACIÓN La Vicerrectoría Académica de Pregrado (VRAP) de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP, ha puesto a disposición de los docentes que impartan la asignatura MATEMÁTICA (MTIN01) el Material de Apoyo para Estudiantes de MATEMÁTICA. MATEMÁTICA tiene dos propósitos fundamentales, primero nivelar a los alumnos de las áreas de Ingeniería en habilidades matemáticas necesarias para la vida, mediante estrategias de clase expositiva, solución de ejercicios y problemas y, segundo, contribuir en la formación técnica de los alumnos, mediante el desarrollo de destrezas que mejoren su desempeño profesional. Para ello esta asignatura busca promover el desarrollo de la competencia genérica de resolución de problemas. Competencia que busca promover en los estudiantes el desarrollo del razonamiento lógico necesario para asumir desafíos del mañana como futuro profesional. El texto del docente ofrece una variedad de problemas asociados a los contenidos presentes en el programa de la asignatura. La propuesta constituye una guía para organizar, orientar y complementar el trabajo del estudiante de MTIN01. Esperamos que este material sea de ayuda tanto para el docente como para el estudiante.

Éxito en esta etapa final de la asignatura

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS VICERRECTORÍA ACADÉMICA DE PREGRADO UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE INACAP  – 2017

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Matemática  – MTIN01

UNIDAD 01 RESOLUCION DE PROBLEMAS

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Matemática  – MTIN01

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PROBLEMA 01 Cinco hermanos deciden comprar un ramo de flores solo con monedas de $100 para el día de la madre. El costo del ramo es de $2.000 y cada hermano aporta un número distinto de monedas. Los hermanos deciden que a mayor edad más monedas aportan.

Considerando la información previa, responda las siguientes preguntas 1. ¿Cuántas monedas entregó cada hermano? 2. ¿Cuál es el número máximo de monedas que puede aportar el hermano mayor? 3. ¿Cuál es el número mínimo de monedas que puede aportar el hermano menor? 4. Uno de los hermanos menciona que vio otro posible regalo: Una libreta que cuesta $1.200. A los demás hermanos le gustó la idea. Pero finalmente, le regalaron el ramo de flores. ¿Por qué no le regalaron la libreta si el costo era menor?

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PROBLEMA 02 Hugo, Paco y Luis son tres amigos que se juntaban todos los miércoles para jugar PlayStation de manera Online durante una hora. Ellos trabajan en una empresa multinacional y la rutina horaria de cada uno de ellos era la misma de lunes a viernes. Se acostaban a dormir a las 00:00 hrs. A las 07:00 hrs. se despertaban y luego se preparaban para ir al trabajo. El horario de entrada al trabajo era a las 08:30 hrs. Luego, tenían el horario de colación desde las 13:00 hrs. a las 14:·30 hrs. De vuelta de la colación seguían trabajando hasta las 18:00 hrs. y llegaban a las 18:45 hrs. a su casa desde el trabajo. Pero un día, los jefes de la empresa confirman que Hugo y Paco han sido seleccionados para viajar durante seis meses a otro país. Hugo se fue a México y Paco se fue a España. La pasión de estos amigos por jugar PlayStation es muy fuerte y a pesar de que la rutina horaria de lunes a viernes no ha cambiado, la diferencia de horarios entre los países puede producir problemas para que ellos se reúnan. Esta diferencia se muestra a continuación:

Considerando la información previa, responda las siguientes preguntas 1. ¿En qué horario se pueden juntar los tres amigos para jugar PlayStation? 2. ¿En qué horario se pueden juntar dos de los amigos para jugar PlayStation? 3. Un día decidieron ver el partido Chile v/s España y conversar por whatssap. El partido era en Chile y se jugó a las 20:45 hrs. ¿A qué hora lo vieron sus amigos en México y España? 4. A la semana siguiente, decidieron ver la revancha del partido Chile v/s España y conversar por whatssap. El partido era en España y se jugó a las 20:45 hrs. ¿A qué hora lo vieron sus amigos en México y España?

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PROBLEMA 03 Laura tiene tres hijos que son algo mentirosos. Uno de ellos se llama José. José miente el lunes, martes y miércoles, y deja de mentir los restantes días de la semana. Miguel, es otro de sus hijos. Miguel miente los días jueves viernes y sábado, y deja de mentir los restantes días de la semana. Sebastián, el tercer hijo, miente toda la semana.

Considerando la información previa, responda las siguientes preguntas 1. Un día Laura se encuentra a solas con José y le dice: ¿tienes algo que contarme? José responde: “si mam á, ayer mentí y en tres días más volveré a mentir” ¿En qué o c uales días de la semana sucedió esto? 2. Un día Laura se encuentra a solas con José y Miguel y les dice: ¿tienen algo que contarme? José dice: “si mam á, ayer mentí” y Miguel dice: “yo también mentí ayer mamá”  ¿En qué o cuales días de la semana sucedió esto? 3. Un día Laura se encuentra a solas con Sebastián y Miguel y les dice: ¿tienen algo que contarme? Sebastián dice: “si mamá, Miguel mintió ayer y antes de ayer” y Miguel dice: “yo solo mentí ayer mama”  ¿En qué o cuales días de la semana sucedió esto? 4. Un día Laura se encuentra con los tres hermanos y les dice: ¿tienen algo que contarme? Sebastián dice: “si mama, hoy no mentí”. Miguel y José responden al mismo tiempo: “Sebastián miente”  ¿En qué o cuales días de la semana sucedió esto? 5. El martes, mientras los hermanos jugaban en la pieza se rompe un vidrio. Laura conversa con los tres hijos y les dice: ¿quién rompió el vidrio? Sebastián dice: “ fue José mamá”. José responde: “fue Miguel mamá”. Miguel dice: “Yo no fui mamá”. ¿Quién rompió el vidrio ? 6. La misma situación anterior sucedió el día viernes. Laura conversa con los tres hijos y les dice: ¿quién rompió el vidrio? Sebastián dice: “fue José mamá”. José responde: “fue Miguel mamá”. Miguel dice: “Yo no fui mamá”. ¿Qui én rompió el vidrio?

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PROBLEMA 04 Una profesora mostró la siguiente figura a sus alumnos

Posteriormente, pregunto: ¿Cuántos cuadrados observan? La mayoría de los alumnos respondió “cuatro”. Sin embargo, un alumno llamado Ricardo dijo “cinco”. La profesora dijo: “correcto Ricardo!!!”

Considerando la información previa, responda las siguientes preguntas 1. ¿Por qué la profesora dio la razón a Ricardo? 2. De acuerdo a la pregunta anterior, ¿Cuántos cuadrados observan en la siguiente figura?

3. Análogamente, ¿Cuántos cuadrados observan en la siguiente figura?

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PROBLEMA 05 Una estrella ubicada en un tablero se mueve de manera horizontal y vertical provocando cambios de colores (de blanco a gris y viceversa) en algunas casillas del tablero. El siguiente ejemplo corresponde al movimiento de la estrella desde la casilla B2 hasta la casilla D3, con la trayectoria: B2 - C2 - D2 - D3

Considerando la información previa, responda las siguientes preguntas 1. Explique en palabras lo que sucede cada vez que la estrella se mueve de una casilla a otra. 2. Si la estrella hubiese seguido la siguiente trayectoria: B2 - B3 - C3 - D3. ¿Hubiese quedado el mismo tablero final? 3. Considere la estrella en la ubicación C4 con el siguiente tablero

Dibuje el tablero final de la estrella considerando la siguiente trayectoria: C4 - B4 - B3 - B2 - B1 4. Considere la estrella en la ubicación A1 con el siguiente tablero

Dibuje el tablero final de la estrella considerando la siguiente trayectoria “diagonal”: A1 - B2 - C3 - D4 - E5 - F6.

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PROBLEMA 06 José tiene dos cofres con monedas de chocolate. Ambos cofres tienen la misma cantidad de monedas. El primer cofre se lo regala a un grupo de 4 niñas para que se repartan las monedas de chocolate equitativamente. Ellas aceptaron y no hubo problema alguno. Por otro lado, José regala el segundo cofre a un grupo de 5 niños para que se repartan las monedas equitativamente. Pero al intentarlo, les sobraron 3 monedas de chocolate.

Considerando la información previa, responda las siguientes preguntas 1. ¿Cuántas monedas había en cada cofre? 2. Encuentre al menos 5 soluciones a este problema. 3. Encuentre la regularidad de las soluciones. 4. ¿Podría tener cada cofre 50 monedas de chocolate? Explique su respuesta. 5. ¿Podría tener cada cofre 288 monedas de chocolate? 6. ¿Cuál es el número máximo de monedas de chocolate que puede tener el cofre? Discuta su respuesta con algún compañero. 7. Si el cofre tiene una capacidad máxima de 500 monedas de chocolate, ¿Cuántas soluciones tiene el problema?

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PROBLEMA 07 Considere la siguiente secuencia

Considerando la información previa, responda las siguientes preguntas 1. Dibuje la FIGURA 4 y FIGURA 5. 2. ¿Cuántos fósforos hay en la FIGURA 10? 3. ¿Cuántos fósforos hay en la FIGURA 17? 4. Encuentre una regularidad que permita calcular la cantidad de fósforos de cada figura. 5. Utilizando la regularidad anterior, ¿Cuántos fósforos hay en la FIGURA 736? 6. ¿Cuántos fósforos hay en la FIGURA 2561?

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PROBLEMA 08 Observe la siguiente secuencia de figuras

Considerando la información previa, responda las siguientes preguntas 1. Dibuje la FIGURA 4 y FIGURA 5. 2. ¿Cuántos fósforos hay en la FIGURA 10? 3. ¿Cuántos fósforos hay en la FIGURA 20? 4. Un libro dice que hay tres posibles generalizaciones de esta secuencia: Generalización 01:

3∙+1

Generalización 02:

4∙−1

Generalización 03:

4 + 3 ∙ ( − 1)

¿Cuál de las tres generalizaciones es adecuada para la secuencia? 5. ¿Cuántos fósforos tiene la FIGURA 362? 6. ¿Existirá una figura que tenga 20 fósforos? Explique su respuesta. 7. ¿Existirá una figura que tenga 37 fósforos? Explique su respuesta. 8. ¿Existirá una figura que tenga 868 fósforos? Explique su respuesta.

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PROBLEMA 09 Se marcan tres puntos en un plano cartesiano, siguiendo una secuencia, como lo muestra la siguiente grilla.

Considerando la información previa, responda las siguientes preguntas 1. ¿Cuál es la ubicación del Punto04? 2. ¿Es posible dibujar marcar ese punto en la grilla? 3. ¿Cuántos puntos más, siguiendo la secuencia, es posible marcar en la grilla? 4. ¿Cuál es la ubicación del Punto15? 5. Encuentre una regularidad que permita generalizar la ubicación de los puntos. 6. Considerando la regularidad de la pregunta anterior, ¿Cuál es la ubicación del Punto204? 7. ¿Existirá un punto de la secuencia que esté en la ubicación ( 30 , 22 )? 8. ¿Existirá un punto de la secuencia que esté en la ubicación ( 171 , 114 )?

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PROBLEMA 10 En el siguiente plano cartesiano se muestran cuatro secuencias para diferentes figuras: Diamantes, círculos, cruces y triángulos. Estas secuencias se muestran en la siguiente grilla.

Considerando la información previa, responda las siguientes preguntas 1. Encuentre una generalización para cada una de las secuencias. 2. ¿Cuál es la ubicación de diamante 36? 3. ¿Cuál es la ubicación del circulo 53? 4. ¿Cuál es la ubicación del triángulo 33? 5. ¿Cuál es la ubicación de la cruz 46?

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PROBLEMA 11

Una estructura está conformada por nodos (Representadas por círculos) y aristas (Representadas por segmentos de línea recta). Cada arista está sujeta de dos nodos como se muestra en la figura.

Se ha diseñado una secuencia basada en cuadriláteros como se muestra a continuación

Considerando la información previa, responda las siguientes preguntas 1. Dibuja las dos siguientes fases. 2. Completa la tabla adjunta, incluyendo una generalización. Etapa FASE 1 FASE 2 FASE 3 FASE 4 FASE 8 FASE 15 FASE 237 FASE 2834 FASE N

Cantidad de cuadriláteros

Cantidad de nodos

Cantidad de aristas

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PROBLEMA 12 Observe la siguiente secuencia de figuras formadas por puntos negros, puntos blancos y aristas.

Considerando la información previa, responda las siguientes preguntas 1. ¿Cuántos puntos blancos hay en la FIGURA 10? 2. ¿Cuántos puntos negros hay en la FIGURA 12? 3. ¿Cuántas aristas hay en la FIGURA 15? 4. Encuentre una regularidad que permita calcular la cantidad de puntos negros de cada figura. 5. Encuentre una regularidad que permita calcular la cantidad de puntos blancos de cada figura. 6. Encuentre una regularidad que permita calcular la cantidad de aristas de cada figura. 7. ¿Cuántos puntos negros, puntos blancos y aristas hay en la Figura 362?

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PROBLEMA 13 Observe la siguiente secuencia de figuras formadas por rectángulos negros y rectángulos blancos.

Considerando la información previa, responda las siguientes preguntas 1. ¿Cuántos rectángulos blancos hay en la FIGURA 8? 2. ¿Cuántos rectangulos negros hay en la FIGURA 10? 3. Encuentre una regularidad que permita calcular la cantidad de rectángulos negros de cada figura. 4. Encuentre una regularidad que permita calcular la cantidad de rectángulos blancos de cada figura. 5. ¿Cuántos rectángulos negros y rectángulos blancos hay en la Figura 73?

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PROBLEMA 14 Observe la siguiente secuencia de figuras formadas por triángulos negros, blancos y grises.

Considerando la información previa, responda las siguientes preguntas 1. Dibuje la FASE 5 y FASE 6. 2. ¿Cuantos triángulos negros hay en la FASE 8? 3. ¿Cuántos triángulos blancos hay en la FASE 9? 4. ¿Cuántos triángulos grises hay en la FASE 10? 6. Encuentre una regularidad que permita calcular la cantidad de triángulos blancos de cada fase. 7. Encuentre una regularidad que permita calcular la cantidad de triángulos grises de cada fase. 8. Encuentre una regularidad que permita calcular la cantidad de triángulos negros de cada fase. 9. ¿Cuántos triangulos negros, blancos y grises hay en la FASE 59?

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PROBLEMA 15 Observe la siguiente secuencia de figuras formadas por triángulos, circulos y cuadrados.

Considerando la información previa, responda las siguientes preguntas Completa la siguiente tabla, incluyendo una generalización.

FASE

CIRCULOS

TRIANGULOS

CUADRADOS

TOTAL DE FIGURAS

1 2 3 4 5 30 80 162 N

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PROBLEMA 16 Una estructura está conformada por nodos (Representadas por círculos) y aristas (Representadas por segmentos de línea recta). Cada arista está sujeta de dos nodos como se muestra en la figura.

Se ha diseñado una secuencia basada en hexágonos como se muestra a continuación FASE 1

FASE 2

FASE 3

1. Dibuje la FASE 4 y FASE 5. 2. Completa la siguiente tabla

FASE

CANTIDAD DE HEXÁGONOS

CANTIDAD DE NODOS

CANTIDAD DE ARISTAS

Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 4 Fase 5 Fase 35 Fase 64 Fase N

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PROBLEMA 17 Una estructura está conformada por nodos (Representadas por círculos) y aristas (Representadas por segmentos de línea recta). Cada arista está sujeta de dos nodos como se muestra en la figura.

Se ha diseñado una secuencia basada en pentágonos como se muestra a continuación FASE 1

FASE 2

FASE 3

1. Dibuje la FASE 4 y FASE 5. 2. Completa la siguiente tabla

FASE

CANTIDAD DE PENTÁGONOS

CANTIDAD DE NODOS

CANTIDAD DE ARISTAS

Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 4 Fase 5 Fase 65 Fase 173 Fase N

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PROBLEMA 18 Un cubo de madera de 3cm de alto, largo y ancho, se pinta de azul y luego se corta en cubos de 1cm de alto, ancho y largo, tal como lo muestra la siguiente secuencia.

Considerando la información previa, responda las siguientes preguntas 1. ¿Cuántos cubos pequeños tienen cuatro caras pintadas? 2. ¿Cuántos cubos pequeños tienen tres caras pintadas? 3. ¿Cuántos cubos pequeños tienen dos caras pintadas? 4. ¿Cuántos cubos pequeños tienen solo una cara pintada? 5. ¿Cuántos cubos pequeños tiene todas las caras sin pintar? 6. Considere ahora un cubo de arista 4 como lo muestra la figura.

Responda las preguntas 1, 2, 3, 4 y 5, considerando este nuevo cubo. 7. Encuentre una regularidad que permita generalizar los resultados para cada pregunta. 8. Considere ahora un cubo de arista 20. Responda las preguntas 1, 2, 3, 4 y 5, considerando este nuevo cubo y la regularidad encontrada en la pregunta 7.

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PROBLEMA 19 Carlos deposita mensualmente una cantidad de dinero en el banco. Para esto decide implementar una novedosa forma de depósito, con monedas de $1, que comienza en Enero de 2015 (Mes 01). Los depósitos de los primeros tres meses se muestran a continuación:

Encuentra una generalización para los depósitos mensuales y completa la siguiente tabla

MES Ene 2015 Feb 2015 Mar 2015 Abr 2015 May 2015

Depósito

Ago 2017 Oct 2018 Sept 2019

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PROBLEMA 20 Una pared tiene 25 ampolletas enumeradas con su respectivo interruptor, como lo muestra la siguiente figura.

Dicha pared está en un pasillo que es bastante transitado. Una noche pasaron por ese pasillo muchas personas.     

La primera persona prendió todas las luces. La segunda persona presionó el interruptor de todas las ampolletas que son múltiplo de dos (N°2, N°4, N°6, N°8, etc.). La tercera persona presionó el interruptor de todas las ampolletas que son múltiplo de tres (N°3, N°6, N°9, N°12, etc.). La cuarta persona presionó el interruptor de todas las ampolletas que son múltiplo de cuatro (N°4, N°8, N°12, N°16, etc.). Y así, sucesivamente pasan las 25 personas.

Es importante mencionar que al presionar un interruptor, la ampolleta se puede prender o apagar, según sea el caso. Es decir, si la ampolleta estaba prendida se apaga cuando se presiona el interruptor, y viceversa. Considerando la información previa, responda las siguientes preguntas 1. ¿Cuántas ampolletas quedan encendidas después que pasan las 25 personas? 2. ¿Qué ampolletas quedan encendidas después que pasan las 25 personas? 3. Encuentre una regularidad que permita generalizar el resultado. 4. ¿Cuántas ampolletas quedan encendidas si pasaran 100 personas? 5. ¿Qué ampolletas quedan encendidas si pasaran 100 personas?

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