Problemas Tipo Semejanza Resuelto Del 1 Al 5

 

 

 Leyes de Semejanza de las Turbinas Turbinas

65

nq    n Q1/2 H -3/4

nq –número de revoluciones revoluciones que debería tener una turbina para evacuar un caudal de 1 m3 /s bajo un salto neto de 1m, en condiciones de óptimo rendimiento.

Notas: 1.-

Una turbomáquina no tiene solo un punto de funcionamiento (P a, H,   ) sino todo un

campo; es decir puede funcionar a diversos números de revoluciones, suministrar o absorber más o menos potencia, etc. por tanto a cada punto de funcionamiento le corresponde un valor de nS. 2.- Al punto n nomina ominall o punto d de e diseño ((gene generalme ralmente nte de ópt óptimo imo ren rendimien dimiento) to) le corresponde un nS característico. Si no se especifica lo contrario, la ecuación se refiere al punto de óptimo rendimiento Ej emplo emplo 1

En el ensayo de una turbina Francis se obtuvieron los resultados en el punto de óptimo rendim ren dimien iento. to. H = 5 m; Q =1 =1,5 ,5 m3 /s; n =200 rpm; Pa= 55 KW; D1 =750 mm; calcule: a) El rendimiento y el número de revoluciones específico de esta turbina. b) n, Q y P a si esta turbina se instala en otra central bajo un salto neto de H =15 m. Solución:

H = 5 m; Q = 1,5 m3 /s; n = 200 rpm; Pa = 55 KW = 74,76 CV.

  

a)

Pa

n S  

P

 



n Pa  H 

Pa

  Q H 

1 / 2

5 / 4



55 000 9 806 x 1,5 x5

 0,75

1 / 2



200 x 74,76   5 / 4 5

 231,9 m CV 

b) Aplicando las leyes 1,2 y 3 por tratarse de la misma turbina:

n p  n m

Q p  Qm

 H  p  H m  H  p  H m

15

   x    200

 1,5  x

5

15 5

 346,4 rpm

  2,60 m 3 / s

 

66

Pa  p

  H  p     Pa m   H    m  

3 / 2

 15    000 x   55   5  

3 / 2

 285,8 KW 

Ej emplo emplo 2

Una turbina fue diseñada para trabajar en las siguientes condiciones: H = 40 m; Q = 10 100 0 m3 /s; n = 200 rpm;    = 0, 85; 85; f = 60 Hz. Sin embargo una vez construida hubo necesidad de hacer un cambio en el proyecto consistente en alterar la carga a 25 m en lugar de los 40 m originales. En el nuevo proyecto se desea usar la misma turbina, hac haciendo iendo los a ajustes justes necesarios para que trabaje con la misma efici eficiencia encia o lo más cerc cercano ano po posible sible a ella. a) Determine los valores de Q, n y P a necesarios. b) Seleccione entre los cinco generadores disponibles el más apropiado: P = 16, 20, 24, 26 y 28 pares de polos c) Ajuste los valores de n, Q y P a en función al generador seleccionado. Solución:

Se trata de la misma turbina trabajando en saltos diferentes, entonces D m = Dp y Hm   Hp Modelo

Prototipo

Hm = 40 m

Hp = 25 m

Qm = 100 m3 /s

Qp = ¿?

nm = 200 rpm

np = ¿?

m = 0,85

 

p = 0,85

f m = 60 Hz

fp = 60  Hz

La potencia en el eje del modelo se calcula según: Pam =   Q H   = 9806 x 100 x 40 x 0 0,85 ,85 = 33 340, 340,4 4 KW Utilizando las tres primeras leyes de semejanza para turbinas se obtiene:

n p  n m

Q p  Qm

 H  p  H m

  200

 H  p  100   H m

25

 

40

25 40

 158,11 rpm

  3  79,06 m / s

 

 

 Leyes de Semejanza de las Turbinas Turbinas

Pa  p  Pa m

  H  p      H    m  

3 / 2

 25   33  340,4    40 

67

3 / 2

 16 473,7 KW 

Pero para para man mantener tener una ffrecu recuencia encia de 60 Hz es nece necesario sario q que ue se ccumpla umpla que: n  60  f   P    60 60  22,8  pares de  polos 158,11 P El gener generador ador más cerc cercano ano ttiene iene P = 23 po porr lo qu que e se u usará sará és éste, te, ca cambian mbiando do   n al valor real

n  60

 f  P

 60

60 23

 156, 52 rpm Los valores de H, Q y P a deberán reajustarse también:

2

2

 n p     156,62   H  p  H m     40    24, 52 m 200 n    m Q p

78, 31 m3 / s   Qm  nn p   1 00  156,62     200   m

  H  p  Pa p  Pa m     H m 

3/ 2

   24,52   33  340, 4    40 

3/ 2

 16001, 5 KW

 

Ej emplo emplo 3

Una turbina Pelton trabaja con los siguientes datos: H = 480 m; Q = 2,8 m 3 /s; n = 360 rpm;  = 0,82; 0,82; f = 60 Hz., D = 2,10 m Determine Q, n y P a para otra turbina Pelton de la misma fábrica pero que tiene un diámetro de 250 mm y una una carga de 60 600 0 m, de manera que trabaj trabaje e en condicion condiciones es semejantes a la primera. Si es necesario ajuste el diámetro para obtener un valor factible de   n.

Solución:

Se trata de turbinas diferentes trabajando en saltos diferentes, entonces Dm   Dp y Hm   Hp Modelo

Prototipo

Hm = 480 m

Hp = 600 m

Qm = 2, 8 m3 /s

Qp = ¿?

nm = 360 rpm

np = ¿?

 

68

m = 0, 82

 

p = 0, 82

f m = 60 Hz

fp = 60  Hz

Dm = ¿?

Dp = 2,50 m

La potencia en el eje del modelo se calcula según: Pam =   Q H   = 9806 x 2,8 2,8 x 480 x 0 0,82 ,82 = 10 8 807 07 KW = 1 14 4 688,9 CV La velocidad de giro del generador del prototipo debería ser:  H  p   D   m

600  2,10    360        338,09 rpm 480   2,5    H m   D p  

n p  n m

lo que exigiría un generador con P

 60

60

n

 60  

60 338,09

 10,64  pares de  polos

Es decir, habrá que tomar P = 11, que es el valor factible más cercano y n tendrá que valer:

n  60

60

P

60     60  327.27 rpm 11

Como no pueden mantenerse las 338,09 rpm indispensables para mantener la carga de 600m y el diámetro de 2,50m, se permite alterar este último lo necesario para dar la velocidad de giro factible de 327,27 rpm.

El diámetro de la turbina deberá ser:

 D p   Dm

 H  p  n   m

600   360      2,10       2,58 m n  480  327,27   H m    p  

 H  p  D p Q p

El caudal necesario será:

La potencia útil será:

  H  p  Pa  Pa     H m   p

m

3/ 2

 Qm

 H m

2

2

    Dm   2, 8 

 2,58  3 480  2,1 ,10 0   4, 78 m / s 

600 600

3/ 2

 Dp     600   2, 58     10  807        22 796, 65 KW  480     2,10   Dm 

Ej emplo emplo 4

Se dispone de un aprovechamiento hidráulico con caudal constante en una corriente que fluye a 750 litros/s; utiliza un salto neto H = 24 m con un grupo turboalternador en acoplamiento directo de 7 pares de polos, siendo el rendimiento global de la instalación del

 

 

 

 Leyes de Semejanza de las Turbinas Turbinas

69

86%, y absorbiendo el referido grupo la aportación diaria del caudal citado durante 4,5 horas ininterrumpidamente, a caudal constante. Con el fin de incrementar la potencia del apro aprovechamiento vechamiento hidráu hidráulico lico se incrementa el salto neto utilizado, y se acopla a la misma turbina otro alternador de 6 pares de polos que sustituye al primero. Suponiendo que el rendimiento global no se modifica, se pide: a) La potencia en CV del primer grupo, y el caudal. b) El salto neto a ut utilizar ilizar en el nuev nuevo o grupo y nu nueva eva potencia. c) El número de horas ininterrumpidas de funcionamiento a caudal constante del nuevo grupo. d) La capacidad de regulación del embalse que necesita el nuevo grupo.

Solución:

Modelo

Prototipo

Hm = 24 m

Hp = ¿?

Qm = ¿?

Qp = ¿?

P = 7    nm = 514,29 rpm

P = 6    np = 600 rpm

m = 0,86

p = 0,86

 

Pa m= ¿?

Pa p= ¿?

a) El río puede aportar un volumen diario al embalse de:

  Q x t  0, 75 m3 / s x 86 400 s  64 800 m3

el que será utilizado por el grupo del modelo en 4,5 horas a un caudal constante de: Q



 t



64800 4, 5 x 3600

4

3

m / s

La potencia útil del grupo del modelo es: Pa m   Q   H    9806 9806 x 4 x 24 x 0,86  809 09,58 ,58 KW

b) Como se trata de la misma turbina (D m = Dp) trabajando en saltos diferentes (H m   Hp) 2

La altura neta del nuevo grupo será:

2

 n p     600     24      H  p   H m    32,67 m n 514,29 m        

 

 

70

La potencia en el eje será:

Pa p  Pa m

  H  p      H m 

3/ 2

   32,67   8 0 958    24 

3/ 2

 1 285, 78 KW

 

c) El caudal necesario para el nuevo grupo:

1 / 2

  H  p    Q p  Qm    H m  

1 / 2

 32,67   4      24  

 

 4,67 m3 / s

El número de horas de servicio del nuevo grupo será: t    

 diario



Q

64 800 4,67

 13 875,80 s  3,85 horas

d) La capacidad de regulación del embalse

deberá ser:

regulación  4,67 m3 / s  x  4,50   3,85 h  x 3 600 s / h   10 927,8m3

Es decir, el embalse deberá se serr capaz de almac almacenar enar un volu volumen men de 64 800+10 927,8 = 75727,8 m3 para que el nuevo grupo siga funcionan funcionando do 4,5 horas al dí día. a.

Ej emplo emplo 5

Una turbina Pelton se elige para mover un alternador de 5 pares de polos en acoplamiento directo. El chorro de agua tiene u un n diámetro de 70 mm y u una na velocida velocidad d de 100 m/s. El ángulo de la cuchara es de 170º; la relación de la velocidad tangencial del álabe a la velocidad del chorro chorro es 0,47. El coeficiente de re reducción ducción de vvelocidad elocidad C V = 1 y

  2

= 0,85  1.

Determine: a) Los triángulos de velocidades de entrada y salida b) El diámetro de la rueda en el centro de las cazoletas c) La potencia desarrollada por la turbina y el par motor d) Las alturas de Euler y neta del salto, rendimiento manométrico y número específico de revoluciones. e) El caudal, la potencia, el par motor y la velocidad angular en rpm de una turbina geométricamente semejante a la anterior, con relación de semejanza   = 2, funcionando con el mismo salto. f) El caudal, la potencia, el par motor y el número de rpm de una turbina geométricamente semejante a la anterior, con relación de semejanza   = 2, funcionando con un salto de 1000 m.

 

 

 Leyes de Semejanza de las Turbinas Turbinas

71

g) El caudal, la potencia, el par motor y el número de rpm,   =1, para una turbina que tiene 4 inyectore inyectoress de 50 mm de diá diámetro metro,, con C1 = 100 m/s, funcionando con el salto neto del apartado (d). h) El caudal, la potencia, el par motor y el número de rpm,   =1, para una turbina que tiene 4 inyectores de 50 mm de diámetro, con C1 = 100 m/s, funcionando con un salto neto

de

1 000 m.

Solución:

 

La velocidad angular de la turbina, para un acople directo con el generador, es n  Para una una frec frecuenc uencia ia de 60 HZ, n 

La velocidad periférica:

 720 rpm entonces:   

 0,47C 1   0,47   100  47 m

u

El caudal del chorro: Q  C 1 

60  60    5

60

4

 75,40 rad  s

s

4

El triángulo de salida:

C 1     100 m s

    2  180    170  10        180

u1

    u  47 m s   1  C1  u1    10 100  47  53

m s 

 0  ;  1  0

   2

82W1  0, 85 85  53  45, 05 05 m s  0, 82

C2 m

 W2 s en10  45 45, 0 05 5  sen10  7, 7, 82 m

C2u

 u2  W2 cos1 s10 0  47  45,05cos1 ,05cos10 0  2,63 m

C 2 

C 2 m  C 2u   2

2

7,82  

2

b) El d diám iámetr etro od del el rod rodete ete D:



2u D   

2  47



75, 4

 1,25 m.

s

  2,63 2  8,25 m s

 C 2 m     7,82  71, 41   ar  ctg    71, 2,63 C     2u 

 2  arctg 

 D u    2

P

   2   d   100      0,07 2  0,38 m 3 s

a) El triángulo de entrada:

 1

 2  n

60 f 

s

 

72

c) La pote potenc ncia ia inte intern rna: a:

Pi

   Q u  W1 cos 1  W2 cos  2   1000  0, 3388  47  53  45 45, 05 05 co cos10   1738 94 949, 42 42 W

El momento hidráulico:  M  F X  . r    Q  W1 cos 1  W2 cos  2  

 D 2

  53  45, 05 cos 10  

1, 25 2

 23 124, 32 Nm

d) La altu altura ra ne neta ta H: 2

C1  Cv 2 gH  

H

C 1

Cv 2  2  g

La altura de Euler:  Hu 



100 2

1

u1C1u   u2 C2 u

La eficiencia hidráulica:  h 

g

 Hu  H 

 

 2  9, 806

 

u

466,69 509,9

El número específico de revoluciones:

2

 509, 90m

 C1    C 2u  g

 0,9153

nS  n Pa  

Pa   Pi  1738 1738,95 x1,3592 ,3592  2 363 363,58 mCV para  

con

nS 

100  2,63   100  47    466, 69 m  9,806 

12

5 4

H  

  m   1

12

 720   2 36 3 63, 5 58 8   509, 95 4  14, 4 mCV

 

e) Considerando los datos originales como datos del modelo se tiene: Hm = H p = 509,90 m; nm = 720 rpm; Qm = 0,38 m3 /s; Pa m = 1 738,9 738,95K 5KW W La relación de escalas de longitudes es   = Dp /Dm = 2 Las relaciones de semejanza cu cuando ando se conserva la altura neta son: 2

  D p  2 2 3 Q p  Qm    Qm    0, 38  2  1, 52 m /  s   Dm  2

  D p  2 2 Pa p  Pa m  ,95 5  2  6 955,8 KW   Pa m    1738,9   Dm 

 

 

 

 

 Leyes de Semejanza de las Turbinas Turbinas

73

3

 D p  3 3  M p  M m  94,56 ,56 Nm   M m    23124,32 2  184 994  D  m   Dm   nm  1  720  21  360 rpm    D p   

n p  nm 

f) Considerando los datos originales como datos del modelo se tiene: Hm = 509,90 m; H p = 1 000 000 m m;; nm = 720 rpm; Qm = 0,38 m3 /s; Pa m = 1 738, 738,95 95KW KW La relación de escalas de longitudes es   = Dp /Dm = 2 Las relaciones de semejanza para saltos diferentes y diámetros de rodetes diferentes son:

  D p  Q p  Qm     Dm 

2

Hp Hm

2

 Qm  2

 D p   H p  Pa p  Pa m      Dm   H m 

3/ 2

H p H m

 0, 38  22 x

 H    Pa m    p   H m  2

3/ 2

1000 509,90

 

 2,12 m3 / s 

  1000     1738 , 95  22 x    509,90 

3/ 2

 19 103, 79 KW

3

  D p   H p   H p    3 3   1000  805, 57 Nm  M  p  M m   M         23 124 , 32  2 x  m   362 80 509,90  D H H     m  m  m

  Dm   H  p H p   1000  nm  1  720  2 1 x  504,15 rpm    D  H H  509,90 m m   p 

n p  nm 

g) Manteniendo el salto Hm = H p = 509,90 m; C1 = 100 m/s;    = 1; turbina prototipo con cuatro inyectores. Los triángulos de velocidades se mantienen.   Dm   H  p H p  nm  1  720  11 x 1  720 rpm     75, 40 rad / s     D p  H m H m  

n p  nm 

Para una turbina con cuatro in inyectores yectores de 50 mm de diámetro, el ca caudal udal que sale de cada inyector es:

 

 

74

 d2     x 0,052  3 Q ´ C1    100    0,196 m / s   4  4   

La potencia para un inyector es: Pa ´   Q u  W1 cos 1  W2 cos  2 

 1000  0,196  47  53  45, 05 05 cos10  896 9 93 31, 81W

 

El par motor para u un n inyector: M´ = Pa / = 896 931,81/ 931,81/ 75,40 75,40=11 =11 895,6 895,65 5 Nm Para cuatro inyectores se tiene: Q = 4 Q’ = 4 x 0,196 = 0,784 m 3 /s Pa = 4 Pa’ = 4 x 896 931,81 = 3 587 727,24 W M = 4 M’ = 4 x 11 895,65 = 47 582,6 Nm h) Para Hm = 509,90 m y Hp = 1 000 m;    =1; turbina prototipo con cuatro inyectores. 2

Q p  Qm   D    Dm 

H p  Q  2 m Hm

 p

2

 D p   H p  Pa p  Pa m      Dm   H m 

3/ 2

H p  0, 784  12 x 1000  1, 098 m 3 / s  509,90 H m

 H    Pa m    p   H m  2

3/ 2

 

  1000     3 587  , 73 12 x    509,90 

3

3/ 2

 7 898, 57 KW

  D p   H p   H p    3 3   1000  525, 64 Nm  M  p  M m      M m      47 582  ,6  1 x    80 52  509,90    Dm   H m   H m 

 p 1 H p  720  11 x   1000  1 008, 3 rpm n p  nm   Dm   H  nm     D  H 509,90 H m m   p 