Problemas Teoria de Juegos
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Teoria de juegos. UNI...
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS Microeconomía César Miranda Torres
Microeconomia - Robert Pindyck 1. Cahuana Ke Kevin 2. Mayuri Hidalgo Jesus 3. Pahuara Borda Yovani 4. Salguero Bazalar Ailton
Problemas sobre Teoría de Juegos
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13.1 Teoría de los juegos y las decisiones estratégicas
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César Miranda Torres
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Conceptos Juego: Situación de conflicto en la que los jugadores (participante (participantes) s) toman decisiones estratégica. Decisión estratégica: estratégica: Toma en cuenta al otro “jugador” Ganancia: Valor resultante posible luego de una decisión tomada. Estrategia óptima: Maximiza nuestras ganancias
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Juego J. cooperativo: Situación en que ambos participantes pueden llegar a acuerdos para generar ganancias para todos los jugadores. J. no cooperativo: Situación en la que no es posible negociar o hacer cumplir un contrato vinculante entre jugadores.
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13.2 Las estrategias dominantes
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Estrategia dominante Situación en la que un jugador tiene una estrategia óptima independiente de la decisión del jugador contrario. En caso de que cada empresa tenga una estrategia dominante, el resultado es un equilibrio de estrategias dominantes.
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Ejemplo Dos empresas planean sus estrategia óptima respecto a la inversión en publicidad. Se tiene la siguiente matriz de ganancias.
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Ejemplo La empresa 1 tiene estrategia dominante en invertir en publicidad. La empresa 1 tiene estrategia dominante en invertir en publicidad.
Tenemos un equilibrio de estrategia dominante.
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13.3 Reconsideración del equilibrio de Nash
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Reconsideración del equilibrio de Nash ◈
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Hasta ahora se han buscado estrategias “estables” o “indiscutibles”, y las dominantes son de este tipo; sin embargo, los jugadores (uno o más) no siempre tienen una estrategia dominante. Por tanto se necesita un concepto más general. EQUILIBRIO DE NASH: Es un conjunto tal de estrategias que cada jugador hace lo mejor para él, dado lo que hacen sus adversarios. Como ningún jugador tiene incentivos para alejarse de su estrategia de Nash, las estrategias son estables.
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Comparación entre equilibrio de estrategias ◈
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Estrategias dominantes: 1. “Yo obtengo el mejor resultado posible independientemente del que obtengas tú” 2. “Tú obtienes el mejor resultado posible independientemente del que obtenga yo” VS
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Equilibrio de Nash: 1. “Yo obtengo el mejor resultado posible, dado el que obtienes tú” 2. “Tú obtienes el mejor resultado posible, dado el que obtengo yo”
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Ejemplo PROBLEMA DE LA ELECCIÓN DE UN PRODUCTO CARACTERÍSTICAS: Dos empresas de cereales de desayuno. Hay un mercado para un productor de cereales crujientes y otro para un productor de cereales dulces. Cada empresa tiene recursos para introducir solamente un tipo de cereal. Actuan de forma no cooperativa. ◈ ◈
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Ejemplo La MATRIZ DE GANANCIAS de las dos empresas se podría representar de la siguiente forma:
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Ejemplo ANÁLISIS DE LOS DATOS: Se puede apreciar que en los dos casos, ninguna de las dos empresas tienen estrategias dominantes. ◈
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CONCLUSIÓN: Dulce/ Crujiente o Crujiente/Dulce es un equilibrio de Nash. ◈
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Estrategia maximin
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ESTRATEGIA MAXIMIN: Estrategia que maximiza la ganancia mínima que puede obtenerse. Procedimiento: ● La empresa determina el peor resultado para cada opción. ● Elige la opción que maximiza la recompensa entre los peores resultados.
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Ejemplo DILEMA DEL PRISIONERO CARACTERISTICAS: Dos prisioneros han sido acusados de colaborar en la comisión de un delito. Es el ejemplo clásico, que ilustra el problema al que se enfrentan las empresas oligopolísticas. MATRIZ DE GANANCIAS ◈
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Ejemplo ANÁLISIS DE LOS DATOS:
Estrategia maximin
PARA A
Confesar
PARA B
Confesar
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Las estrategias mixtas
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Recordando que las estrategias puras son en las que un jugador hace una determinada elección o emprende una determinada acción. ESTRATEGIAS MIXTAS: Estrategia en la que un jugador elige aleatoriamente entre dos o más opciones posibles, basándose en un conjunto de probabilidades elegidas.
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Ejemplo EL JUEGO DE LAS MONEDAS Con la siguiente matriz:
ANÁLISIS DE LOS DATOS: No hay Equilibrio de Nash de estrategias puras, pero sí de estrategias mixtas. A podría tirar simplemente la moneda al aire y elegir cara con una probabilidad de 1/2 y cruz con una probabilidad de 1/2. ◈
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Ejemplo ◈
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En realidad, si el jugador A sigue esta estrategia y el B hace lo mismo, tendremos un equilibrio de Nash; los dos jugadores obtienen los mejores resultados posibles, dado lo que hace el adversario. Obsérvese que aunque el resultado del juego es ALEATORIO, la ganancia esperada es 0 para ambos jugadores. Las estrategias mixtas probablemente son muy razonables para el juego de las monedas, el póker y otros juegos de ese tipo. En cambio, a una empresa puede no parecerle razonable creer que su competidora fijará su precio aleatoriamente.
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13.4 Los juegos repetidos
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Los juegos repetidos En capítulos anteriores se vió que en los mercados oligopolísticos las empresas suelen encontrarse en un dilema del prisionero cuando deciden el nivel de producción y el precio. ¿Pueden hallar una manera de resolver este dilema y que prevalezca la coordinación y la cooperación oligopolísticas (explícitas o implícitas)?
Los juegos repetidos ◈
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El dilema del prisionero es limitado. En la realidad las empresas participan de un juego repetitivo (fijan el nivel de producción y el precio una y otra vez). JUEGO REPETIDO: Juego en el que se emprenden acciones y se reciben ganancias una y otra vez.
Ejemplo PROBLEMA DE LA FIJACIÓN DE PRECIOS Se tiene la siguiente matriz de ganancias:
ANÁLISIS DE LOS DATOS: Si 1 y 2 cobran ambos un elevado precio, obtendrán los dos unos beneficios más altos que si ambos cobraran un precio bajo. ◈
Ejemplo ◈
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Sin embargo, 1 tiene que cobrar un precio alto porque si 2 cobra uno bajo, perdería dinero y, por eso si fuera poco, 2 se enriquecerá. Pero supongamos que este juego se repite una y otra vez: por ejemplo, 1 y 2 anuncian simultáneamente sus precios el primer día de cada mes. ¿Deben jugar de otra forma, por ejemplo, cambiar de precio con el paso del tiempo en respuesta a la conducta de su competidor?
Ejemplo Realizando a continuación una simulación mediante computadora, se comparó las siguientes estrategias para ver cuál daba mejores resultados. 1. Estrategia del “ojo por ojo” : En un juego repetido, estrategia en la que un jugador responde con la misma moneda a la jugada anterior del adversario , cooperando con los adversarios que
cooperan y tomando represalias contra los que no cooperan. Es decir, que si comenzamos fijando un elevado precio, que mantenemos mientras el adversario continúe «cooperando» y cobrando también un elevado precio.
Ejemplo Sin embargo, tan pronto como lo baje, lo secundaremos y bajaremos el nuestro. Si más tarde decide cooperar y volver a subir su precio, nosotros también subiremos inmediatamente el nuestro. 2. Juego repetido infinitamente: Nuestro competidor y nosotros fijamos repetidamente el precio todos los meses, indefinidamente. 3. Número finito de repeticiones: En “N” meses. CONCLUSIÓN: La estrategia que daba mejores resultados fue la del “ojo por ojo”.
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13.5 Los juegos consecutivos
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13.5 Los juegos consecutivos Son Juegos en los cuales, los jugadores mueven consecutivamente respondiendo a las acciones y reacciones de los demás jugadores, a diferencia de los anteriores Juegos en donde ambos jugadores jugaban al mismo tiempo Para este tipo de Juego se puede usar los árboles de decisiones. Microeconomía
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Forma extensiva de un Juego
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Ejemplo Dos grandes cadenas de TV compiten por las cuotas de audiencia de 8:00 a 9: 00 y de 9:00 a 10:00 de una determinada noche de la semana. Cada una tiene dos programas para esta franja horaria y ambas están probando cuál funciona mejor. Cada una puede optar por emitir su programa a primera hora o más tarde, de 9:00 a 10:00. La combinación de decisiones lleva a los siguientes “niveles de audiencia”: Microeconomía
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Ejemplo
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Pregunta ¿Cual sera el equilibrio si la cadena 1 elige primero?
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Pregunta ¿Cual sera el equilibrio si la cadena 2 elige primero?
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Solucion
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La ventaja de ser el primero en mover Como se ha observado, el jugador que juegue primero tiene la ventaja porque al saber como jugara su contrincante, puede escoger la mejor opción para el.
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Ejemplo: Walmart (1970-1980)
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Ejemplo: Walmart (1970-1980)
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13.6 Amenazas, compromiso y credibilidad
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Amenazas vanas Una firma puede amenazar a otra con realizar una jugada, de manera estratégica. Y de esta forma manipular a la otra firma. Sin embargo si en la matriz se observa que la segunda firma no tiene incentivos para cambiar de estrategia, la amenaza será en vano. Microeconomía
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Amenazas creibles creibles En este ejemplo, las dos empresas pueden tener mucha ganancia si ambas cobran un precio alto, o pueden tener muy pocas ganancias si ambas cobran un precio bajo.
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Amenazas creibles creibles Puede la empresa 1 inducir a la 2 a cobrar un precio alto, amenazandola con cobrar ella misma un bajo precio si la 2 cobra también un bajo precio?
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Compromiso y credibilidad Lo que hace creíble a una promesa o un compromiso es que la firma que que haya prometido algo, no tenga incentivos para romper su promesa. Una promesa puede romperse si una firma puede ganar mas rompiendola que cumpliendola, ya que ya conoce como va a jugar la firma 2. Microeconomía
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Ejemplo Suponga que los directivos de las cadenas se reúnen para coordinar los horarios y la 1 promete emitir su gran programa primero. ¿Es creíble esta promesa y cual seria el resultado probable?
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Solucion
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Estrategias de negociación Las amenazas y las promesas pueden ser aplicadas a diferentes casos de negociación. Teniendo en cuenta la reputación de los negociantes.
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Estrategias de negociación
Promesas Creibles
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13.7 La disuación de entrada
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Para disuadir a otras empresas de entrar en un mercado, la empresa existente debe convencerlas de que no es rentable entrar.
Una inversión anticipativa puede dar a una empresa una ventaja al crear una amenaza creíble para las competidoras potenciales.
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Política comercial estratégica y competencia internacional
Dadas sus virtudes, ¿cómo podría justificarse la intervención del Estado en un mercado internacional? En determinadas situaciones, un país puede beneficiarse adoptando medidas que den a sus industrias nacionales una ventaja competitiva.
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13.8 Las subastas
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Tipos de subastas
Las subastas pueden ser de varios tipos, entre los cuales se encuentran la subasta inglesa (oral con pujas cada vez más altas), la holandesa (oral con pujas cada vez más bajas) y mediante plicas.
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Componente de una subasta
La oportunidad del vendedor de obtener ingresos y del comprador de conseguir un objeto a un precio razonable depende del tipo de subasta y de que los artículos subastados tengan el mismo valor para todos los postores (como en la subasta de valor común) o diferentes (como en la subasta de valor privado).
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Maldición del ganador
Situación en la que empeora la situación del ganador de una subasta de valor común debido a que ha sobreestimado el valor del artículo y, por tanto, ha pujado demasiado.
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Problema 3 Dos empresas de computadoras, A y B, están planeando comercializar redes de gestión de la información para oficinas. Cada una de ellas puede desarrollar un sistema rápido y de buena calidad (H) o un sistema más lento y de mala calidad (L). La investigación de mercado indica que los beneficios resultantes de cada empresa correspondientes a las distintas estrategias vienen dados por la matriz de ganancias adjunta:
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Solucion 3.a) a. Si las dos empresas toman sus decisiones al mismo tiempo y siguen estrategias maximin (de bajo riesgo), ¿cuál será el resultado? Cuando se utiliza una estrategia maximin, primero la empresa determina el peor resultado para cada opción, y luego elige la opción que maximiza la recompensa entre los peores resultados. Entonces: Si A elige H : lo peor que podría pasarle es cuando B gana 40. Si A elige L : lo peor que podría pasarle es cuando B gana 20. ◈ ◈
Por tanto por estrategia máxima A elige H
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Solucion 3.a) ◈ ◈
Si B elige H : lo peor que podría pasarle es cuando A gana 50. Si B elige L : lo peor que podría pasarle es cuando A gana 15.
Por tanto por estrategia máxima B también elige H
En conclusión, bajo maximin tanto A como B producen con un sistema de alta calidad.
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Solucion 3.b) b. Suponga que las dos empresas tratan de maximizar los beneficios, pero la A lleva ventaja en la planificación y puede comprometerse primero. ¿Cuál será ahora el resultado? ¿Y si es la empresa B la que tiene una ventaja inicial y puede comprometerse primero? ◈
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Si la empresa A puede comprometerse primero, y elegiría H, la empresa B elegirá racionalmente L, ya que L le da una recompensa mayor a B (45 vs. 40) y esto le daría a A a recompensa de 60. (60,45) Pero si A eligiera L, B elegirá H y esto le daría a A una recompensa de 55 en lugar de 60. (55,55) Si A se tuviera la ventaja de comprometerse primero elegiría H ya que le generaría un mayor beneficio
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Solucion 3.b)
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Si la empresa B puede comprometerse primero, y elegiría H, la empresa A elegirá racionalmente L . Dandole asi a B una recompensa de 50. Pero si B eligiría L, A elegirá racionalmente H. Dandole asi una recompensa a B de 60 en vez de 50. Si B tuviera la ventaja de comprometerse primero elegiría L ya que le generaría un mayor beneficio.
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Solucion 3.c)
c. Adquirir una ventaja cuesta dinero (hay que preparar un gran equipo de ingenieros). Considere ahora el juego de dos fases en el que, primero, cada empresa decide la cantidad de dinero que va a gastar para acelerar su planificación y, segundo, anuncia el producto (H o L) que va a producir. ¿Qué empresa gastará más para acelerar su planificación? ¿Cuánto gastará? ¿Debe la otra gastar algo para acelerar su planificación? Explique su respuesta. ◈
En este juego, hay una ventaja aparente de ser el primer en entrar al mercado. Si A se mueve primero, su ganancia es de 60. Si se mueve en segundo lugar, su ganancia es de 55, una diferencia de 5. Por lo tanto, sería dispuesto a gastar hasta 5 para la opción de anunciarse primero.
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Solucion 3.c) ◈
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Por otro lado, si B se mueve primero, su ganancia es de 55. Si se mueve en segundo lugar, su ganancia es de 45, una diferencia de 10, y por lo tanto estaría dispuesto a gastar hasta 10 para la opción de anunciarse primero. Una vez que la Empresa A se da cuenta de que la Empresa B está dispuesta a gastar algo en la opción de anunciarse primero, el valor de la opción disminuye para la Empresa A, porque si ambas empresas invirtieran, las dos elegirían producir el sistema de alta calidad, que les da a ambos una menor recompensa. La empresa A no debería gastar dinero para acelerar la introducción de su producto en el mercado, en cualquier caso. Si B va primero y elige la de mayor calidad, entonces A puede que elija el de baja calidad y termine con 55 en lugar de los 50 que obtendría si también fuera H. Esto es lo mejor para B, porque si B va H y A a L, B termina con 55 en lugar de 40, así que incluso si gasta los 10, todavía está delante por 5. La empresa A debería dejar ir a B primero. Por último, tenga en cuenta que, aunque B está mejor si A va primero y elige alto (45 vs. 40), B aún está mejor si va primero En general, vale la pena para B gastar el dinero y anunciarlo, pero No vale la pena que A gaste dinero.
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Problema 4 Dos empresas se encuentran en el mercado de chocolate. Cada una puede elegir entre producir para el segmento superior del mercado (buena calidad) o para el inferior (mala calidad). Los beneficios resultantes vienen dados por la siguiente matriz de ganancias:
a.¿Qué resultados son equilibrios de Nash, si lo es alguno? b.Si el directivo de cada empresa es conservador y cada uno sigue una estrategia maximin, ¿cuál será el resultado? c.¿Cuál es el resultado cooperativo? d. ¿Qué empresa se beneficia más del resultado cooperativo? ¿Cuánto necesitaría ofrecer esa empresa a la otra para convencerla de que coludiera?
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Solución 4
a.Hay dos equilibrios de Nash (100, 800) y (900, 600). b.Ambos directivos elegirán una estrategia orientada al segmento superior y el equilibrio resultante será (50, 50), lo que generará menos beneficios a ambas partes. c.El resultado cooperativo (900, 600) maximiza los beneficios conjuntos de las dos empresas. d.La empresa 1 se beneficia extraordinariamente de la cooperación. En comparación con la siguiente oportunidad mejor, la 1 se beneficia en 900 – 100 = 800, mientras que la 2 pierde 800 – 600 = 200 con cooperación. Por tanto, la 1 necesitaría ofrecer a la 2 como mínimo 200 para compensarla por la pérdida. Microeconomía
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Problema 6 Dos empresas rivales están planeando introducir un nuevo producto. Cada una elige entre producir el producto A, el B o el C. Toman sus decisiones al mismo tiempo. El cuadro adjunto muestra las ganancias resultantes.
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Solución 6.a ¿Hay algún equilibrio de Nash en las estrategias puras? En caso afirmativo, cuáles son? Sí, hay dos: (1) dado que la empresa 2 elige A, la empresa 1 elige C; dado que la empresa 1 elige C, la 2 elige A. (2) Dado que la empresa 2 elige C, la 1 elige A; dado que la empresa 1 elige A, la 2 elige C.
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Solución 6.b Si las dos empresas utilizan estrategias maximin, ¿cuál será el resultado? Si las dos empresas utilizan estrategias maximin, la 1 elige el producto A y la 2 elige el producto A, por lo que ambas obtienen una ganancia de -10 para las dos.
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Solución 6.c Si la empresa 1 utiliza una estrategia maximin y la 2 lo sabe, ¿qué hará la 2? La empresa 2 elige el producto C con el fin de maximizar las ganancias en la casilla 10,20.
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Problema 10 Defendo ha decidido introducir un videojuego revolucionario y, al ser la primera empresa del mercado, tiene una posición de monopolio, al menos durante un tiempo. Cuando decide el tipo de planta industrial que va a construir, puede elegir entre dos tecnologías. La A es de dominio público y tiene unos costes anuales de CA(q) =10 +8q. La tecnología B es propiedad de Defendo, que la desarrolló en sus laboratorios de investigación. Tiene unos costes fijos de producción más altos, pero unos costes marginales más bajos: CB(q) =60 +2q. Defendo debe decidir qué tecnología se va a adoptar. La demanda de mercado del nuevo producto es P=20 – Q, donde Q es la producción total de la industria. Microeconomía
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Problema 10.a Suponga que Defendo estuviera seguro de que va a conservar su poder de monopolio en el mercado durante toda la vida del producto (alrededor de cinco años) sin amenaza de entrada. ¿Qué tecnología le aconsejaría? ¿Cuántos beneficios obtendría Defendo con esta elección?
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Solución 10.a - Igualando Img=Cmg: 20 - 2QA = 8 -> QA = 6, y 20 - 2QB = 2 -> QB = 9 - Hallando precio con la curva de demanda: PA = 20 - 6 = $14 y PB = 20 - 9 = $11 - Hallando el beneficio (Ingreso-Costos): Para A = (14)(6) - (10 + (8)(6)) = $26 y Para B = (11)(9) - (60 + (2)(9)) = $21. - Por tanto debería quedarse con la tecnología A Microeconomía
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Problema 10.b
Suponga que Defendo espera que su máximo rival, Offendo, considere la posibilidad de entrar en el mercado poco después de que Defendo introduzca su nuevo producto. Offendo solo tendrá acceso a la tecnología A. Si entra en el mercado, las dos empresas jugarán un juego de Cournot (en cantidades) y llegarán al equilibrio de Cournot-Nash.
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Solución 10.b.i Si Defendo adopta la tecnología A y Offendo entra en el mercado, ¿cuántos beneficios obtendrán ambas empresas? ¿Decidiría Offendo entrar en el mercado dados estos beneficios? - Hallamos la nueva demanda: P = 20 - Qd - Qo - Hallamos el beneficio para Defendo[B(D)] y Offendo[B(O)] B(D)= 12Qd-Qd^2-QdQo-10 y B(O)= 12Qo-Qo^2-QoQd-10 - Maximizándolas (Derivando parcialmente): Qd = 6 - 0.5Qo y Qo = 6 - 0.5Qd -> Qd=Qo=4 - El precio del mercado es: P=20 - 4 - 4 = 12 - Hallamos los beneficios: B(D)=(4)(12)-(10+(8)(4))=6 y B(O)= (4)(12)-(10+(8)(4))=6 Microeconomía
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Solución 10.b.ii Si Defendo adopta la tecnología B y Offendo entra en el mercado, ¿cuántos beneficios obtendrán ambas empresas? ¿Decidiría Offendo entrar en el mercado dados estos beneficios? - El nuevo beneficio para Defendo será: B(D) = 18Qd-Qd^2-QdQo-60 - Maximizándola: 18 - 2Qd - Qo = 0, ó Qd = 9 - 0.5Qo Para Offendo: Qo = 9 - 0.5Qd - Resolviendo el sistema: Qd = 8 y Qo = 2 - Entonces el nuevo precio de mercado es: P = 20 - 8 - 2 = 10 - Y los beneficios serán: B(D) = (10)(8)-(60+(2)(8)) = 4 y B(O) = (10)(2)-(10+(8)(2))=-6
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Solución 10.b.iii ¿Qué tecnología aconsejaría usted a Defendo, dada la amenaza de entrada? ¿Cuántos beneficios obtendría Defendo dada esta elección? ¿Cuál sería el excedente del consumidor dada esta elección? - Con la tecnología A se obtiene un mayor beneficio incluyendo la entrada de Offendo. Así que se le recomienda, bajo la racionalidad, que use la tecnología A - Con esto estaría quedando con beneficios de $6 en lugar de $4 - Y el excedente del consumidor: P 20 (1/2)*(20 - 12)*(8) = $32 12
Q 8
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Problema 12 Un anticuario compra periódicamente objetos en las subastas de su ciudad natal en las que los postores son únicamente otros anticuarios. La mayoría de sus pujas que tienen éxito merecen la pena desde el punto de vista económico, ya que puede revender las antigüedades y obtener beneficios. Sin embargo, de vez en cuando acude a una ciudad cercana a pujar en una subasta abierta al público. Suele observar que en las raras ocasiones en las que puja con éxito, se decepciona: la antigüedad no puede venderse obteniendo un beneficio. ¿Puede explicar por qué no tiene el mismo éxito en las dos circunstancias?
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