Problemas Selectos - Lumbreras

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_

v

^ iritm ática Razones y Proporciones

15

Promedios

18

Magnitudes Proporcionales

21

Tanto por Ciento

25

Regla de Mezcla

28

Regla de Interés

31

Regia de Descuento

34

Longitud y Tiempo

37

Estadística

39

Lógica Proposicionai

43

Teoría de Conjuntos

46

Teoría de la Numeración

51

Cuatro Operaciones

54

Sucesiones

62

Teoría de ia Divisibilidad

64

Clasificación de los Números Enteros Positivos, de Acuerdo a Cantidad de Divisores

69

Máximo Común DivisorjMCD) y Mínimo Común Múltiplo(MCM)

72

Relaciones Binarias

77

Números Racionales

79

p

Potenciación y Radicación

86

Análisis Combinatorio y Probabilidades

89

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Y

cjlgcbrci Leyes de Exponentes

103

Productos Notables

104

Polinomios

107

División de Polinomios

110

Divisibilidad de Polinomios Cocientes Notables

113

Sistema de Números Reales

115

Factorización de Polinomios

116

MCD, MCM y Fracciones Algebraicas

119

Radicación y Racionalización

121

Números Complejos

122

Matrices Determinantes

133

Sistema de Ecuaciones

137

Desigualdades

140

Inecuaciones

142

Valor Absoluto y Máximo Entero

148

Funciones y Relaciones

150 ~

Logaritmos

158

Integrales y Aplicaciones

168

Sucesiones

169

Series

171

Binomio de Newton

177

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G e o m e t r ía Topología

189

Segmentos y Ángulos

190

Triángulos

192

Congruencia de Triángulos

195

Polígonos

199

Cuadriláteros

201

Circunferencia

204

Cuadrilátero Inscrito y Cuadrilátero Inscriptible

208

Puntos Notables

212

Proporcionalidad de Segmentos

215

Semejanza de Triángulos

217

Relaciones Métricas en la Circunferencia

221

Relaciones Métricas en el Triángulo Rectángulo

224

Relaciones Métricas en Triángulos Oblicuángulos

227

Relaciones Métricas en Cuadriláteros

230

Polígonos Regulares

233

/

Areas de Regiones Triangulares

235

r

Areas de Regiones Cuadrangulares

239

I

Areas de Regiones Circulares

242

Geometría del Espacio

247

Poliedros - Poliedros Regulares

251

Prisma, Pirámide, Cono, Cilindro, Esfera

255

Geometría Analítica Escalar

268

Geometría Analítica Vectorial

270

Cónicas

273

Máximos y Mínimos

276

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T rig o n o m c tría Ángulo Trigonométrico y sus Aplicaciones Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo

'

285 291

Razones Trigonométricas de un Angulo Trigonométrico en Posición Normal

303

Circunferencia Trigonométrica

310

Identidades Trigonométricas Fundamentales

317

Identidades Trigonométricas de la Suma y Diferencia 322

de Dos Arcos Identidades trigonométricas de reducción al primer cuadrante

326

Identidades Trigonométricas de Arco Múltiple

327

Identidades Transformaciones Trigonométricas

333

Resolución de Triángulos Oblicuángulos

337

Funciones Trigonométricas

348

Funciones Trigonométricas Inversas

351

Ecuaciones Trigonométricas

357

Números Complejos

366

Límites y Derivadas Trigonométricas

372

Funciones Trigonométricas y Coordenadas Polares

377

Rotación y Traslación de Ejes Coordenados

379

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r is ic a C

'

v

Análisis Dimensional y Ecuaciones Dimensionales

389

Vectores

390

Cinemática

392

M.R.U.

392

M.R.U.V.

394

M.V.C.L.

395

M.RC1.

396

M.C.U.

399

M.C.U.V.

400

Gráficas

401

Estática

406

Centro de Gravedad

417

Dinámica

418

Dinámica Curvilínea

425

Trabajo Mecánico

430

Energía

431

Impulso y Cantidad de Movimiento

443

Choques

449

Gravitación

453

Movimiento Armónico Simple (M A S .)

456

Ondas Mecánicas

464

Estática de Fluidos

468

Fenómenos Térmicos

475

Electrostática

491

Electrodinámica

498

Electromagnetismo

506

Ondas Electromagnéticas

516

Óptica Geométrica

520

Óptica Física

527

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Ouímicci Estructura Atómica

539

Química Nuclear

542

Modelo Atómico Moderno

545

Clasificación de los ElementosQuímicos

548

Enlace Químico

552

Nomenclatura Inorgánica

558

Unidades Químicas para la M asa

562

Densidad, Presión, Temperaturay Diagrama de Fases

566

Estado Sólido

570

Estado Líquido

571

Estado Gaseoso - Gases I

574

Mezcla Gaseosa

578

Gases Húmedos

580

Reacciones Químicas

581

Estequíometría

587

Ley de la Combinación Química(Peso Equivalente y Equivalente-Gramo)

594

Coloides

596

Soluciones

597

Unidades Físicas de Concentración

598

Cinética Química

602

Equilibrio Químico

606

Ácidos y Bases, pH y pOH, Hidrólisis - Buffer

612

Electrólisis

618

Celdas Galvánicas

621

Carbono e Hidrocarburos

625

Funciones Oxigenadas

630

Nitrogenados

638

Compuestos Aromáticos

640

Petróleo

643

Contaminación Ambiental

646

Carbohidratos

651

Química Descriptiva

654

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/ Aritm ética

Razones y Proporciones

¿Cuántos niños más entrevistó Luis que Pedro?

La razón de 2 números enteros se eleva al cuadrado. Si a sus términos se Íes disminuye

A) 5

en 3 unidades calcule la diferencia de dichos

C ) 15

números.

D) 20 B) 8

A) 4

C ) 12

5.

E) 25

Dos cirios de igual calidad y diámetro difieren en 20 cm de longitud y se encienden al mismo

E) 7

D) 9

B) 10

tiempo, luego de unos momentos se observa Calcule en qué relación se encuentran dos

que la longitud de uno es 5 veces la del otro, y

cantidades sabiendo que la razón geométrica

15 minutos después se termina el más

de la raíz cuadrada del producto de dichas

pequeño. Si el mayor duró 3 h 15 min ¿cuál

cantidades y la semisuma de dichas cantidades

era su longitud?

es como 7 es a 25. B) 63 cm

A ) 60 cm A ) 3 es a 4

B) 7 es a 1

C ) 70 cm

C ) 13 es a 26

D) 55 cm E) 25 es a 9

D) 49 es a 1

Se tiene 2 toneles de distinto tamaño, cuyos

6.

contenidos están en la relación 25/11. Se pasa hay en este último y luego se hace la misma hacia el otro

tonel y

Si

- =- =k b c

a > b > c > k , siendo los

términos y la razón enteros y la suma de los extremos menos la suma de los medios es 450; halle el máximo valor que puede tomar

del primer tonel al segundo tantos litros como op eración

E) 65 cm

así

sucesivamente hasta que el tonel más pequeño A) 512 C ) 4 232 D) 800

queda con 160 litros. Calcule con cuántos litros quedó en el otro tonel. 7 A) 100

B) 180

D) 240

C )2 0 0 E) 310

Pedro y Luis son encuestadores y entablan la siguiente conversación, después de 5 días de trabajo.

B) 648 E) 1 800

Una proporción aritmética continua, cuyos términos son enteros y mayores que 2 , se convierte en geométrica del mismo tipo cuando a sus términos medios se les disminuye dos unidades. Calcule el mayor de los términos, si todos son los menores posibles. A) 12 D) 18

Pedro: D e cada 5 personas adultas que

B) 14

C ) 16 E) 10

encuestaba 2 eran mujeres y por cada 5 niños, 3 eran mujeres adultas.

8,

Luis: Sin embargo, yo entrevistaba 2 varones adultos por cada 3 mujeres adultas y 4 mujeres

Rara 4 números a, b, c y d enteros positivos donde 1< a < b < c < d , además: a c a c 40

adultas por cada 5 niños.

b

Pedro: A pesar de ello hemos entrevistado

d

b

d

be

calcule id - a ) min

igual cantidad de personas. Luis: Sí, pero yo entrevisté 90 mujeres adultas más que tú

Al 5 D) 8

B) 6

C) 7 E) 12 15

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Prosternas Selectos

9.

\

En una caja se tiene bolas verdes, rosadas y

13. Dada

la

proporción

a c —= — ,

. ¿que

blancas, se saca 2 verdes por cada 3 bolas rosadas; la nueva relación de las bolas verdes,

afirmaciones son verdaderas?

rosadas y blancas está en la relación como 33,11 y 1 respectivamente. Si a continuación se añade 8 bolas blancas se forma una

I

proporción geométrica continua; calcule cuántas bolas verdes había al inicio, sabiendo

II.

que el total de bolas que habían inicialmente en la caja fue 636 .

III.

a 4+6

(c - d f

c+d

q6

(q-t-6)2

cd

(c + d )2

a " + 6"

cn+ d "

an- 6n

cn - d n

C )2 9 2

B) 259

A ) 129

( a - 6)4

E) 392

D) 132

A) solo I

B) solo III

D) ninguna

C ) solo II E) todas

10. De una serie de 3 razones geométricas equivalentes la suma de los cuadrados de los antecedentes y la suma de los cuadrados de

14.

equivalentes continuas cuya constante es el

los consecuentes está en la relación como 81

término medio de una proporción aritmética

es a 121. Si el producto de los 2 últimos

continua de términos enteros, cuya suma de

antecedentes es 162, calcule la menor

los cuadrados de los términos extremos es 20;

diferencia entre el mayor y el menor de los

calcule la razón geom étrica del primer

consecuentes sabiendo que el primer

antecedente con el tercer consecuente.

consecuente tiene 3 divisores. A) 90

B) 70

11.

A ) 27

C ) 120

D) 130

15. a +b b

C )3 2 E) 35

En cierta universidad el examen de admisión consta de 3 exámenes eliminatorios donde el

b

a+b+c

B) 25

D) 43

E) 110

En la serie

En una serie de 6 razones geométricas

primer examen es aprobado por 4 de cada 9;

c

donde a, 6, c y k € Z y a + 6 = 6 0 calcule c - k

en el segundo aprueban 3 por cada 5 desaprobados; en el tercero desaprueban 5 por cada 2 aprobados. Pero se dispone que

B) 3

A) 7

C) 1

D) 4

E) 5

además se les considere como “aprobados” al 40%, 20% y 10% de los desaprobados de cada examen respectivamente. Con estas condiciones determine la relación de la

12. Si

cantidad de personas que rindieron el primer a _ q+ c _ 6 _ ^

y tercer exam en, respecto al total de

6

postulantes inicial.

d

c

d -c -3 9

keZ-{2} A)

Calcule d - 6.

A) 2 D) 5

B) 3

C) 4 E) 6

1 3

1 D) 10

16

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5 B) 42

C)

2 3

2 E) 21

I

i

/

i

16. Sobre una pista rectilínea se ubica los puntos A, B, C y D (en ese orden). Ana partirá de A rumbo a C, así mismo Andrés partirá de A pero rumbo a D. Carmen partirá de C rumbo a A y Daniel parte de D también rumbo a A. Parten simultáneamente y todos ellos se encuentran en B a las 10:50 a.m. Luego se observa que Carmen llega a su destino 27 minutos después de Daniel, quien llegó a las 11:08 a.m. Si Andrés llega a su destino a las 11:40, determine la hora en que Ana llegó a su destino. Además cada uno de ellos mantuvo su rapidez constante. A) 11:00 a.m. C ) 11:20 a.m. D) 11:30 a.m. 17.

B) 11:10 a.m, E) 11:40 a.m.

las escaleras. Cuando el primero llega al séptimo el otro llega al quinto, en ese instante Ana baja y se cruza con el primero a la altura del décimo. Luego de qué tiempo estará a un piso de separación con el otro, si Juan sube 3 pisos en ocho segundos (Dé la respuesta en segundos) A) 1 D) 2

A) 11:05 a.m. C ) 10:45 a.m. D) 11:25 a.m.

B) 11:29 a.m. E) 11:20 a.m.

A) 2 640 B) 2 460 C )2 880 D) 1320 E) 3 120

En una granja en la que sólo hay gallinas y conejos, por cada 2 alas se cuentan 7 patas. Luego se compra aigunos animales más, de tal manera que por cada 7 animales que se incrementa se cuenta 4 orejas más, quedando finalmente por cada 5 animales, 3 aves. Si ai final se cuenta 412 patas más que el número de alas inicial, calcule el número de animales comprados. A) 14 D) 98

19.

B) 35

C )4 9 E) 147

Juan y Carlos llegaron simultáneamente a visitar a Ana que vive en el decimosexto piso de un edificio. Juan utiliza el ascensor y Carlos

C )0 ,5 0 E) 0,75

m; m; m; m; m;

9 h 10 9 h 20 10 h 9 h 10 9 h 20

min min min min

21. Si hace a años la relación de las edades de 2 hermanas es como n es a 2 y dentro de b años será como 7 es a n. Calcule cuál será la relación de sus edades dentro de a + b + n años, sabiendo que cuando nació una de ellas la otra tenía 6 años. Además • n es la media proporcional de 25 y 1 • 2 es la cuarta diferencial de a, b y n. A) 17 a 11 D) 7 a 13

4

18.

B) 0,25

20. A persigue a B quien le lleva 220 m de ventaja. Diga cuántos metros recorrerá A y al cabo de qué tiempo alcanzará a B, si se conoce que en un minuto A da 3 pasos mientras que B da 4 y un paso de A le descuenta 30 cm por cada 50 cm que avanza B.

Una liebre y un conejo están juntos a 30 metros de un pastizal, parten simultáneamente y se observa que por cada 3 metros que avanza la liebre, el conejo avanza 2 metros; cuando se encuentran separados por 5 metros, la liebre se sienta a esperar al conejo y éste liega después de 4 minutos, y sin demorar parten de nuevo juntos llegando la liebre al pastizal a las 11:45 am. Determine la hora en que partieron por primera vez.

A r it m é t ic a

22.

B) 11 a 9

C ) 3 a 11 E) 11 a 1

En una caravana por el desierto se emplea camellos y caballos en la relación de 5 a 7, luego de recorrer un trayecto hacen una parada llegando 9 camellos por cada 10 caballos por lo cual se refuerza con 9 camellos y 5 caballos, luego prosigue llegando al final 39 camellos habiendo muerto en este segundo tramo 24 caballos. ¿Cuántos animales iniciaron la caravana si en cada parada se observa que ha muerto un camello por cada 4 caballos?

A) 80 D) 96

B) 90

C) 120 E) 100 17

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Prob/emas Selectos

23.

V

Un ciclista recorre la Panamericana con

A) B) C) D) E)

rapidez constante, encontrándose con un bus cada a minutos y siendo alcanzado por otro cada b minutos. Pero si su rapidez fuese mayor, el tiempo de encuentro disminuyese

1 2 3 4

6 •’

wmm

i ' I í -JSé

en 2 minutos y el tiempo de alcance aumentase en 6 minutos.

Promedios

Determine cada cuánto tiempo salen los buses de sus paraderos terminales, si las velocidades de encuentro y alcance están en la relación

28.

de 2 a 3. A) 30 min

B) 20 min

E) 24 min

D) 36 min 24

C ) 25 min

A) 36 D) 26

Cuatro recipientes cúbicos, cuyas aristas son proporcionales a los cuatro primeros números primos, están ordenados en forma creciente,

En un grupo de 30 personas el promedio de las edades de los 15 mayores es 42 y de los 15 menores es 28. Si el promedio de las edades de los 10 mayores es 45 y el de les 10 menores es 22 años, ¿cuál es el promedio de los 10 restantes?

27.

contienen agua de tal manera que las alturas de lo que les falta llenar son proporcionales a

B) 30

C123 E) 38

El prom edio aritmético de 300 números consecutivos es P. Si se anula los 20 menores y los 15 mayores ¿en cuánto varía el promedio?

los primeros números naturales, estando el A) B) C) D) E)

primero hasta el 50% de su capacidad. Si vaciamos el contenido del cuarto recipiente en los otros 3, sobraría aba litros menos de lo que faltaría para llenarlo. Si vaciáramos el contenido de los 3 en éste, calcule el contenido del cuarto recipiente. A) 1 764 L

B)

1 323 L C ) 1 647 L

D) 3 087 L 25.

28.

E) 1 552 L

3 ratones están en la parte superior del poste (ver figura), uno de ellos bajará (subirá y encuentro de él, iniciando, por las cuerdas a simultáneamente con velocidades que son números enteros consecutivos en pies/s, tales que si los ratones que bajan por las cuerdas se intercambiasen llegarían simultáneamente

Sea bk una variable que representa ingresos en nuevos soles. Si la variable bk está relacionada con ak (gastos) de la forma 6k~ 2 , a^+5 para fr = l, 2, 3,..., n, ¿cuál es el promedio aritmético de los afc, si el promedio de los bk es 27? B) 11

A) 22 D) 18

bajará) por el poste y los otros irán al y c que forman un ángulo recto. Parten

Aumenta en 2,5 Disminuye en 17,5 Disminuye en 2,5 Aumenta en 5P Disminuye en P

29.

C ) 14 E) 15

En un salón r alumnos dieron un examen. Después de la calificación se vio que la nota de los aprobados fue s y el promedio de los desaprobados fue t y el promedio de los r alumnos fue u. ¿Cuántos aprobaron el curso?

al suelo. Cuando el más veloz alcanza al ratón del poste, ambos van al encuentro inmediato

A) r

del menos veloz y cuando éste es encontrado

'u - t x \

s~t

y

r-t

t- u B) V

ty

C)

/

por el más veloz, el otro está a n pies de distancia del poste, calcule n.

s -t

D) — s -t

18

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E) \

s- 1 u -t

/ A r itm é tic a

30.

Calcule la media aritmética de las siguientes

34.

cantidades:

número se le disminuye en 9 unidades y al

1 ; 4 ; 12 ; 32 ;

A)

C)

D)

2" xn

otro se le aumenta en 8 unidades, entonces la

2

nueva MG será 12V6+1 . Halle la MA de

B)

n

ab y mn , sabiendo que a * b ¿ m ¿ n.

2” ( n - l ) + l

Además n y b son diferentes de cero.

n

B) 30,5

2n

A) 41

n

D) 52,5

n -1

E)

n 31.

La MG , de aby mn es 12%/b . Si al primer

n.2n n -1

35.

C ) 31 E) 22

La M H de 3 números enteros es 60/7 y la MG es uno de ellos y el menor posible. Si se

En una reunión que se realizó en el mes de

considera un cuarto número la M H de los 4

enero del año 2002, uno de los 5 amigos que

números aumenta en 10/7. Halle la MA de

estaban reunidos comenta: si calculamos el

los cuadrados de los 4 números.

promedio de nuestras edades actualmente es 14,8 p ero si calculamos el p rom ed io de

A) 156,5

nuestros años de nacimiento es 1986,8. Uno

D) 231,25

B) 171,25

C ) 182,5 E) 241,5

de ellos comenta esto quiere decir que hay algunos de nosotros que no cumple años

36.

Calcule el promedio armónico de:

todavía. Calcule cuántos de dichos amigos

S 1; S 2 ; S 3 ; ... ; S399

no cumple años todavía. A) 1

B) 2

D) 4

1

1 1 1 o fc_j= - + 7Y + 73- + ^4 +... k

C )3

k2

k3

E) 5 A) 0,5

32.

SI

>

Bj 0,05

E) 0,06

D) 0,6

La MA de dos números de 3 cifras diferentes

C }0 ,0 0 5

en base 5, resulta ser la mitad de un cuadrado perfecto en base 10 siendo éste mínimo. Si

37. A excede a B en 2n unidades, además los

uno de ellos resulta de invertir el orden de las

promedios aritmético y geométrico de A y B

cifras de otro, calcule el menor de dichos

son números impares consecutivos.

números en base 10.

Calcule B.

A ) 30

B) 35

D )4 g 33.

C ) 43

A) 25

E) 50

D) 18

La M A , MG y M H de 2 números están

38.

B) 49

C )3 2 E) 28

El ingreso promedio del conjunto de obreros

representados por 3 números enteros y

y empleados de cierta empresa es S/. 800.

positivos, además se cumple

El ingreso promedio de los empleados es $/. 950 y el ingreso promedio de los obreros

(y ¡M A fMG = (3125)

8

Halle la diferencia de los números

A) 20 D) 35

B) 25

C )30 E) 40

es S/. 700. Calcule qué tanto por ciento del total del personal son obreros.

A) 60% D) 50%

B) 40%

C )3 0 % E) 70% 19

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P ro b lem as S e le c to s

39.

Un alumno del primer año de la Facultad de

42.

Ciencias de la U.N.I. desea hallar su promedio final, luego de haber culminado el año teniendo en cuenta los siguientes datos: RR

E.R E.F Créditos

Cálculo vectorial y matricial

12

10

13

6

Cálculo diferencial

14

12

15

4

Física general

11

10

14

6

Análisis real

15

12

14

4

A) 26% D) 28% 43.

Además se sabe que el promedio de prácticas calificadas (PP) tiene peso 2, el examen parcial (EP) tiene peso 1 y el examen final (EF) tiene peso 2. ¿Cuál es el valor del promedio final? Dé como respuesta la suma de cifras de la

B) 17

D ) 22 40.

44.

C ) 20 E) 23

uno. Si el promedio de notas del aula A es 12 y del aula B es 10, calcule el promedio final si a las notas de cada alumno del aula A se le aumenta 4 y a la mitad de alumnos del aula B se le aumenta 6 puntos a cada uno. B) 16

D) 19 41.

45.

A una reunión de 27 personas, llegó Herica y el promedio de las edades no se vio alterado; pero ahora la suma de todas las edades es igual a 10 veces la M H

de las edades de

Carlos y Fernando; las edades de estos últimos son tales que si se unieran a los 28 anteriores el promedio aumentaría en 3 f26. Determine la edad de Carlos si es mayor que Fernando por 56 años. Dé como respuesta la suma de las cifras.

A) 10 D ) 17

B) 12

C ) 15 E) 14

B) 8

C )2 E) 4

En la sección de acabados de una empresa para hacer los ojales se distribuye la

A) 20 D ) 35

C ) 18,5 E) 20

C )2 1 % E) 32%

producción en dos partes iguales entre las máquinas A y B. Se sabe que en una hora la máquina A hace ojales a 5 camisas, mientras que B a 7 camisas. Halle la cantidad promedio de ojales colocados en una hora si cada camisa tiene 6 botones.

Se tiene dos aulas A y B de 50 alumnos cada

A ) 14,5

B) 18%

Un tráiler de 6 ruedas debe recorrer 1 040 km. Si tiene un compartimiento posterior y utiliza además las ruedas de repuesto que lleva éste, en promedio cada rueda recorrería 910 km; pero si lleva 2 compartimientos posteriores, el promedio de recorrido de cada rueda sería 880 km empleando las ruedas de repuesto de ambos. Calcule el número total de ruedas que lleva cada compartimiento. A ) 10 D) 6

parte entera y parte decimal. A ) 11

En cierta población se observó que las tasas anuales de crecimiento poblacional de los 3 últimos años fueron: 8 %; 47% y 26%. Determine la tasa anual promedio de estos 3 últimos años.

B) 25

C ) 32 E) 38

Una hormiga recorre los n lados de un polígono, una sola vez cada lado, con velocidades de 2, 14, 35, 65, 104, 152,..., y 527 centím etros por cada minuto, respectivamente. Si calculamos la velocidad promedio considerando que es un polígono regular, el resultado será p cm/min. En cambio, si consideramos que cada lado lo recorre en él mismo tiempo, el resultado será q cm/min. Si n + p + q = MA (a;b)x M H (a;b), calcule la suma de los valores de a+b, si son enteros positivos.

A) 24 D) 418

20

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B) 906

C )360 E) 936

/ A r it m é t ic a

Magnitudes Proporcionales 46.

Para pronunciar 36 palabras, en promedio, me faltaría 6 segundos, pero si pronuncio solamente 32 palabras sobraría 2 segundos. ¿Cuántas palabras en prom edio podría pronunciar en un tiempo que es un minuto más del que dispongo? A) 20 D) 66

47.

B) 12

B) 45

A) 0 D) 3

B) 1

C) 2 E) 4

51. Se ven d e una jo y a en determ inadas condiciones de proporcionalidad, de donde se tiene que: • Para un peso de 19 g su precio es de S/. 2 527 • Para un peso de 23 g su precio es de S/. 3 703 Calcule el precio para un peso de 30 g. A ) 4 703 D) 6 300

C ) 15 E) 20

B) 4 979

C ) 5 936 E) 6 703

52. A D . R B e l . P a C para valores de C menores o iguales a 6; A I.R B y D.R a C para valores de C mayores o iguales a 6. Halle el valor que adopta A cuando B ~ 4 y C = 9 ; si cuando C =2, B = 24, A =36, si además A = 6, B = 12, C = 6. A ) 12 D) 39

C ) 300 E) 210

Un comerciante al vender hurta en el peso, empleando una balanza de brazos desiguales que miden 22 cm y 20 cm. Una mujer compra 4,4 kg de arroz y el comerciante pone las pesas sobre el platillo correspondiente al brazo menor de la balanza. La mujer compra otros 6,0 kg del mismo tipo de arroz y obliga al comerciante a poner las pesas en el otro platillo. En 10,4 kg ¿cuánto dio de más o menos el comerciante? A) 200 g menos C ) 100 g menos D) 300 g menos

50.

C ) 30 E) 60

La figura muestra los engranajes A, B, C, ..., Z de 8, 12, 16,...64 dientes respectivamente. A da 72 vueltas por minuto. Calcule cuántas revoluciones dará Z en media hora.

A) 9 D) 270 49.

B) 63

Una familia de 6 miembros tiene víveres para 24 días; pero como recibieron la visita de un tío y su esposa; los víveres se terminaron 5 días antes. Calcule cuántos días duró la visita de los esposos. A) 4 D) 18

48.

Si / es una función de proporcionalidad inversa entonces / (3 )-/ (7 )= 8 Si / es directa entonces /(10) +/(11) +/(12) +... +/(99)=9 810 Si / es inversa entonces /(5)=8,4

53

B) 18

C )2 7 E) 45

El gráfico adjunto muestra las relaciones de proporcionalidad de dos magnitudes A y B.

B) 200 g más E) 100 g más

Sea / una función de proporcionalidad tal que / (3 )+ /(7 ) = 20, indique cuántas son verdaderas. • Si / es una función de proporcionalidad directa entonces /(3) . /(7) —84

Si el área del triángulo rectángulo sombreado es 80 u2, calcule a + b + c + d + e . A ) 129 D) 134

B) 84

C )6 4 E) 80 21

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P ro blem as S e lec to s

54.

gastarían 3 276 soles más que si viajase 1 en un vehículo, 2 en un segundo vehículo, 3 en un tercer vehículo y así sucesivamente. ¿Cuánto pagarán otras 3 personas que se dirigen a un lugar cuya distancia es el doble de la anterior?

El alcance que tiene un proyectil al ser lanzado es D.R a la fuerza de lanzamiento, I.R a la resistencia del medio en eí cual fue lanzado y a su vez, I.R al tamaño del proyectil. Si dos cuerpos A y B se lanzan desde dos armas cuyas fuerzas de lanzamiento están en la relación de 5 a 3, siendo el tamaño del

A ) S/. 54 D) S¡. 72

segundo proyectil 2 veces más que el primero y el medio en el que fue lanzado el primer proyectil ofrece 3 veces más la resistencia del m edio del

segundo proyectil, calcule la

58.

relación de los alcances deambos proyectiles. A) 2/5

B) 3/4

C ) 4/3

D) 5/3 55.

E)5/4

Las magnitudes A, B y C cumplen cierta relación de proporcionalidad, según eí siguiente cuadro de valores. A

2

4

12

6

15

m

P

B

3

3

1

1

2

n

n

C

4

8

8

4

m

40

42

Calcule m +n+p. A ) 60

B) 40

D) 44 56.

C ) 48 E) 58

En un proceso de producción se observa que la producción es directamente proporcional

B) 10

C ) 20 E) 15

Una cuadrilla de 12 obreros puede terminar un trabajo en 15 días, trabajando 10 h/d. Al cabo de 7 días de labor se enferman 5 de los obreros y 3 días más tarde se comunica al contratista para que entregue el trabajo en la fecha indicada ¿cuántos obreros adicionales de doble eficiencia se tendrá que aumentar para cumplir con tal exigencia? A) 4 D) 6

al número de máquinas e inversamente a la

C ) SI. 36 E) S/. 24

Un hombre, dos mujeres y dos niños pueden hacer un trabajo en 36 días. Si se hubiera empezado con 1 hombre más, 2 mujeres más y 2 niños más, ¿cuánto tiempo se habría ahorrado en terminar dicho trabajo, sabiendo que la eficiencia de una mujer y un hombre está en la relación de 7 a 10 y las eficiencias de una mujer y un niño como 5 es a 3? A) 18 D ) 12

59.

B) S/. 18

B) 8

C) 3 E) 5

raíz cuadrada de la antigüedad de ellas. Inicialmente había 15 máquinas con 9 años de uso, luego se consigue 8 máquinas más con 4 años de uso cada una. Determine la relación de la producción actual con la producción inicial. A) 12/n D) 21/13 57.

B) 13/4

C) 9/5 E) 17/9

En una ciudad, los vehículos de transporte (taxis, micros, colectivos, etc) cobran de forma D.R al cuadrado del número de personas que

60.

Para levantar un fuerte se necesita 30 soldados trabajando durante 6 días. Se levanta el fuerte de la siguiente manera: al cabo de 2 días de haber empezado desertan 4 soldados que son reem plazados por cierto número de prisioneros durante un cierto número de días. Se capturó a los desertores y estos trabajaron el último día. Halle la razón entre el número de días que trabajaron los prisioneros y el número de estos, si son diferentes entre sí y de la unidad (enteros) (El número de prisioneros es mínimo)

transportan y D.R a la distancia recorrida. Un grupo de 36 amigos quieren dirigirse al mismo sitio y notan que si viajan todos juntos

A) 5/4 D) 5/2

22

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B) 6/5

C) 4/3 E) 7/5

'' A r it m é t ic a

% I

61.

I

Un grupo de 36 hombres puede hacer un camino en 1 1/3 meses trabajando 8 horas por día. Luego de hacer 1/5 del camino se aumenta en 50% el número de hombres y trabajan todos a razón de 9 horas por día durante 8 días, al término de los cuales se incrementa en 20 el número de hombres, los cuales trabajando al mismo ritmo que los anteriores, terminaron el camino. ¿Cuál es el tiempo total que se empleó en hacer el camino?

años respectivamente. Si el mayor tuviera 9 años menos y el menor 5 años más y el reparto se hubiera hecho proporcionalmente a sus edades, entonces el mayor hubiera recibido el doble que el anterior reparto, es decir $ 4800. ¿Qué suma se reparten? A) $ 17 200 D) $ 18 700

B) $17 400

C ) $ 17 800 E) $ 19 000

66. Se reparte una cantidad directamente A ) 16 D) 35 62.

C) 8 E) 10

B) 8r

C ) lOr E) 20r

Edwin, Arturo y Zenón poseen S/.N para repartirse. Edwin comenta que si hubieran gastado S/.100 las partes serían proporcionales a 3, 4 y 5, a lo que Zenón le dice: si contáramos con SI. 190 más, las partes serían inversamente proporcionales a 2, 3 y 12. Si Arturo advierte que de la segunda manera recibiría SI. 160 más, calcule N. A) 1 620 D) 1900

65.

B) 6

Se reparte cierta cantidad D.R a m, n y p de modo que el primer índice de reparto excede al segundo en a y al tercer índice le falta b para llegar a ser igual al segundo. Halle la diferencia de la mayor y menor parte, si se sabe que 5 es el mayor promedio de m y p. Además la media geométrica de los índices de la mayor y menor parte es 3. (r: razón de proporcionalidad) A) 4r D) 12r

64.

C ) 24 E) 40

Dos cuadrillas de 34 obreros cada una hacen un tramo de carretera en partes iguales, luego de 72 días de comenzada la obra, se observa que mientras a los primeros les falta 3/5 de obra, los otros han hecho 4/5. Si se sabe que el plazo para cada tramo es de 140 días, ¿cuántos obreros como mínimo del segundo grupo deberán pasar hoy al primer grupo? A) 5 D) 9

63.

B) 20

B) 1 740

C ) 1 860 E) 1930

Cuatro hermanos se reparten una suma de dinero en forma I.R, a sus edades. Las edades de los 3 hermanos menores son 15, 12 y 10

proporcional a los términos de la sucesión 1/2; 3/4; 5/8; 7/16... y se obtiene que la parte proporcional a 5/8 es 80. ¿Cuál es la parte correspondiente a 7/16 y cuál fue la cantidad repartida, si es la mayor posible y todas las partes obtenidas son enteras? A) 56 ; 350 D) 35 ; 400 67.

B) 56 ; 367

C ) 56 ; 320 E) 42 ; 320

Para comprar toneladas de arroz se asociaron A, B y C aportando 2 800,3 000 y 3 200 soles respectivamente. Vendieron parte del arroz pero perdieron S/. 180, entonces B se retira del negocio. Después venden A y C el resto del arroz ganando SI. 342 ¿Cuál es la diferencia entre las ganancias netas de A y C?

A) 12,4

B) 13,8

D) 22,6

C) 14,8 E) 30,6

68. Un comerciante debe enviar urgentemente mercaderías a 3 distintos lugares, para lo cual contrató 3 camiones A, B y C, los que harán rutas cuyas dificultades están en relación de b a , a5 y aa respectivamente. Peso Distancia Tiempo N ° de Camión (km) (min) paradas (kg) A

bOOO

39

45

2

B

ab00

ba

93

4

C

baOO

ba

55

3

Calcule cuántas toneladas tuvo que enviar y cuánto pagó al primero, si a los dos últimos les pagó S/.225 y S/.216 respectivamente. A) 22,2 y S/.270 C ) 10,8 y S/.180 D) 10,8 y S/.540

B) 7,4y S/.180 E) 7,4y S/.540

23

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P roblem as S e le c to s

69.

En cierto negocio, el primer día se produce 8

72.

artículos; el segundo, 10 y el tercero, 6. La utilidad que se obtiene está en función del número de artículos producidos (a) y está dada por: F(a) =

100

a > 5 a a < 10

a +100 ; a > 10

Si el primer socio aportó los 15/31 del capital social y los otros dos aportaron el mismo capital, determine la utilidad del segundo de los 3 socios al final del tercer día. A) 85

B) 80

70.

C ) 75 E) 65

D) 70

A) 3 D) 54

B) 61

C) 13 E) 43

Dos personas A y B se asociaron para impulsar un negocio. El socio A aporta cierto

73.

capital y agrega una cantidad similar cada 6 meses. El socio B por su parte hace lo mismo pero cada 8 meses, observando que A agrega su última parte 2 meses antes que lo haga el socio B y 5 meses antes que liquiden la empresa y repartan las utilidades. Si el tiempo de duración del negocio es mínimo y la diferencia de los capitales de A y B es 2 500, calcule la suma de capitales iniciales, si el socio A obtiene S/.12 000 y el socio B Sí.1900 de ganancia. A) S/.600

B) S/.3 500

D) S/.3 000 71

Una obra puede y debe ser efectuada en 3 meses de la siguiente manera: 1 obrero, 2 días; 2 obreros, los siguientes 3 días; 3 obreros, los siguientes 4 días, y así sucesivamente trabajando 12 h/d. Sin embargo, inician 2 obreros y cada n días cada obrero que trabaja trae otro y todos laboran 4 h/d hasta completar los 9/13 de la obra. Luego de esto trabajan n h/d, pero diariamente son despedidos 12 obreros, hasta lo mínimo posible. Los que quedaron, luego incrementan su eficiencia en 75% y trabajan n h/d durante n días, terminando así la obra x días antes de lo planificado. Calcule n+x.

Un ganadero tiene 2 vacas y 2 bueyes en un pastizal que comen la misma cantidad de pasto en el mismo tiempo. La primera vaca está atada a un poste con una cuerda de 3 m de longitud, la segunda está atada a otro poste con una cuerda de 2\¡S m de longitud; asimismo, el primer buey está atado a otro poste con una cuerda de 4 m de longitud y el segundo buey está atado a otro poste con una cuerda de 5 m de longitud. Si la suma de tiempos que han empleado estos 4 animales, para comerse el pasto que está a su alcance es de 310 días, determine el tiempo que demora cada vaca en comerse la parte que le corresponde.

C ) S/.l 200 A ) 45 y 60 días C ) 48 y 56 días D ) 45 y 50 días

E) S/.2 000

Una obra puede ser hecha por 36 obreros en

B) 42 y 56 días E) 42 y 60 días

20 días de 8 h/d. Pero a los 8 días de iniciada la obra se les indicó que la obra sería 20% más, por lo que es necesario contratar n obreros adicionales para cumplir con el plazo fijado; sin embargo, luego de d días se observó que a partir de ese momento sólo 8 obreros mantienen su rendimiento y el resto disminuyó en 40%, por lo que la obra se terminó con 5 días de retraso. Calcule d.

A) 2 D) 5

B) 3

C) 4 E) 6

74

En cierto laboratorio se tiene ciertos microorganismos que se comen totalmente a los glóbulos rojos; se sabe que 60 de estos microorganismos se comerían todos los glóbulos rojos en 25 días y 40 de estos microorganismos en 45 días ¿cuántos microorganismos se comerían todos los glóbulos rojos en 75 días? N o ta . Los glóbulos rojos se incrementar} en cantidad constante diariamente.

A) 10 D) 30

24

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B) 20

C) 25 E) 35

/ A r itm é tic a

75.

Un terreno de 10 acres puede alimentar a 12

El padre de ellos, conocedor de la acción de

bueyes por 16 semanas o a 18 bueyes por 8

sus hijos, entrega una cantidad de dinero que

semanas. ¿Cuántos bueyes podría alimentarse

es el doble de lo que dieron a D, para que sea

en un campo de 40 acres durante 6 semanas,

repartido proporcionalm ente ante los

si ei pasto crece regularmente todo el tiempo?

desprendimientos generosos que hicieron. ¿Cuánto dinero les dio el padre, si la mayor

A) 77

B) 80

D) 96

C ) 85

cantidad obtenida en este último reparto es

E) 88

S/. 200 y lo que dio el padre es lo mayor posible?

76.

Un grupo de obreros planificó terminar una obra en 18 días. Sin em bargo inician

A) S/.480

trabajando sólo algunos de ellos, los primeros

D) S/.675

B) S/.720

C ) S/.594 E) S/.360

8 días 4 h/d y los 3 días siguientes 3 h/d, pero sólo por estos 3 días con el doble de eficiencia.

Un padre fallece cuando su esposa se

Luego de esto les faltaba hacer 4/5 más de lo

encontraba en cinta, dejando en herencia

que ya habían hecho, pero se retiran 13

5 200 soles que en su testamento lo reparte

obreros e inmediatamente se incorporan los

de la manera siguiente

que faltaban inícialmente, continúan pero

Si nace niño: 2/5 para la madre y 3/5 para el hijo.

todos con el triple de eficiencia y a razón de

Si nace niña: 4/7 para la madre y 3/7 para la

9 h/d, terminando así 3 días antes de lo

hija. La señora da a luz mellizos: un niño y

planificado. Calcule la cantidad total de

una niña. Sí se quiere respetar el testamento

obreros si es la menor posible.

del padre, ¿cuánto le toca a la madre?

A) 13

C) 28

A) S/.l 200

E) 38

D) S/.l 600

B) 18

D) 23 77.

79.

F^ra 60 gallinas se ha preparado raciones de

80.

B) S/.l 250

C ) S/.l 400 E) S/.l 800

Un capataz puede hacer en a días lo que b de

comida para cierto número de semanas, esto

sus obreros hacen en a + b días. ¿Cuántos

se hacía en el supuesto de que el número de

días tardará el capataz en hacer una obra

gallinas permaneciera invariable; pero debido

que puede ser hecha por a x b de sus obreros

a que cada semana moría una gallina, la

en a2~b2 días?

comida dura el triple del tiempo proyectado. cPara cuántas semanas fue preparada la

A) a2+ b2

comida?

D) a2(a~b)

A) 24 Dj 27

B) 25

C) 26

C ) b2(a -b ) E) b2+ab

Tanto por Ciento

E) 28 81.

78.

B} a2-ab

¿Qué tanto por ciento de un número, que

Tres hermanos A, B y C disponen de

tiene por 18% al 3 por 5 de 30 es el 50% de

cantidades de dinero proporcionales a

otro número, que tiene por 66, 6 % al 5 por 6

números enteros consecutivos, un cuarto

del 4 por 7 de 56?

hermano D había gastado su dinero. Acuerdan A, B y C reunir sus fondos y

A) 25%

repartir el total en partes iguales entre los 4.

D) 35%

B) 20%

C) 30% E) 40% 25

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Problemas Selectos

82.

\

En el último examen de admisión a la UNI, se

azúcar y los vende con una ganancia del b%

observó que de N postulantes, el 20% eran

del costo y nuevamente gasta todo el dinero

hombres y de éstos el 3 por 10 trabajan, pero

en frijoles que luego los vende perdiendo el

se observa que de éstos últimos al 2 por 5 les

50% del costo. Finalmente con el dinero que

gusta Aritmética. Calcule N, si se sabe que

le queda compra nuevamente arroz que lo

hay 36 hombres que trabajan pero no les

vende ganando el b% del costo. Calcule el

gusta Aritmética.

valor de b, sabiendo que la primera ganancia es igual a la última pérdida.

A ) 1600

B) 1500

D) 2 400

C ) 1000 E) 2 500

A) 40

B) 45

D) 80 83.

C ) 50 E) 100

El precio de costo de una programable es $ 150. ¿Qué precio se fijó para su venta al

87.

Un fabricante produce linternas, cuyo costo

público?, sabiendo que si al venderlo se hace

se distribuye de la siguiente manera: el 50%

2 descuentos sucesivos de 15% y 20% todavía

del 120% en materia prima, el 33,3% del

se estará ganando el 44% del 20% del precio

90% en mano de obra y el resto en gastos

de costo.

adicionales y los vende ganando el 20% del costo. Debido a una brusca variación de

A)S/. 270

B)S/. 260

D) S/. 250

C ) Sí. 240

precios, sus costos aumentan de la siguiente

E) SI. 200

manera: 50% en materia prima, mano de obra 40% y sus gastos adicionales en 20%.

84.

Dos artículos A y B que costaron igual se

Si ahora su ganancia será el 30% del costo,

vendieron con ganancias y pérdidas también

en qué tanto por ciento aumentará el precio

iguales.

de venta de la linterna.

La

ganancia

p rovien e

de

incrementarse un a% del b% al precio de costo y la pérdida se origina por 2 descuentos

A) 40%

sucesivos del a% y b% sobre el costo. Si los

D) 60%

B) 50%

C )5 6 % E) 72%

nuevos precios difieren en 400, halle (a+b) si el precio de costo es 8 000.

88. ¿Qué precio debe fijarse a un artículo que costó S/. 4 sabiendo que se va a hacer una

A) 10

B)12

D ) 16

C ) 14

rebaja del a% de dicho precio y aun así se

E) 18

gana el a% del precio costo, sabiendo además que el precio fijado es un número entero y

85.

Una persona compra 200 maletas y las vende

16