Problemas Selectos de Fisica Universitaria
April 21, 2017 | Author: Thomas Villarreal | Category: N/A
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Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco
EJERCICIOS RESUELTOS VECTORES Problema 2 Utilizaremos la letra normal para representar el
módulo del vector A A . Problema 1
Sean A y B los vectores mostrados en la fig. cuyos módulos son 10 y 15 unidades respectivamente .Calcular el módulo del vector resultante.
Sean A y B los vectores mostrados en la fig. cuyos módulos son 10 y 15 unidades respectivamente. Calcular el módulo del vector resultante
Solución Primero
hallaremos
el
ángulo
después
aplicaremos el teorema de los cósenos, para hallar
Solución
el módulo de R
Aplicando el teorema de los cósenos tenemos: 160 180
2
Antes de realizar operaciones hallemos el valor del ángulo 20 180
2
2
R
R
2
325 300 cos 160
R 325 282
102 152 2 10 15 cos 20 43
R 6.56 u
Los vectores que se muestran en la figura poseen módulos de la misma magnitud e iguales a m. Calcular el módulo del vector resultante de los cuatro vectores y el ángulo entre el vector
2
100 225 300 cos 160
2
Problema 3
A B 2 AB cos α
2
2
R
160
R 2 102 152 2 10 15 cos 160 R
20
R A B 2 AB cos
Podemos hallar el módulo del vector resultante R
2
R 24.6 u
resultante y el vector B .
1
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco
Solución
Notemos que los vectores A y B tienen sentido opuesto pero son del mismo modulo . Entonces tendríamos
90 3 90 2 60º 2 Problema 4
x es:
La resultante en eje
Los módulos de los
R x B x A x
vectores A y B que se muestran en la fig. Son 2 y 6 unidades respectivamente. ¿Cual deberá ser el módulo del
Pero los módulos son A m y B m Rx m m 0
Para C y
tercer vector C para que el módulo del vector
A
resultante de A , B y C sea 10 unidades?.
Solución La resultante en eje x es:
A 2 u
Rx C cos D cos
B 6 u
Pero los módulos son C m y D m
C ?
Rx m cos m cos 0
R 10 u
La resultante en eje y es: El vector resultante será:
R A C B
Ry Dsen Csen Pero el módulo es:
R
2
2
A C B
2
Pero los módulos son C m y D m 2
Ry m sen m sen
2
2
R A 2 AC C B
2
Ry 2m sen 2
2
2
R B A 2 AC C R
2
2
2
R x R
2
R 0 2m sen
y
2
2
R 2m sen
60 2 2 C C
2
4C C 2 - 60 0 C 10 C 6 0
El ángulo de la resultante con el vector B es:
C -10
C 6
Tomamos como nuestra respuesta solo C 6 por ser positivo y no así C -1 0 por no existir módulos negativos.
2
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco R
2
2
2
R xR y
Problema 5
R
2
2
20 10
2
R 22 m
Una persona se encuentra extraviada quien realizo el siguiente recorrido. Camino 90 m al Este, luego 70 m en dirección 40 º hacia el Oeste del norte , 60 º hacia el Sur del Oeste. A qué distancia del punto de partida se encuentra y en qué dirección.
Para la dirección tenemos tg
Ry Rx
10 20
arctg
26.5
Problema 6 Un barco navega 2km hacia el este, luego 4km al sudeste y finalmente otra distancia en dirección desconocida, al final se encuentra 7km al este del punto de partida. Hallar la magnitud y dirección del tercer recorrido del trayecto.
Solución
Solución
Para d1:
Para d2:
d1x d1
d 2 x 70sen40
Del gráfico:
d1y 0
d 2 y 70 cos 40
Para d3:
d1 x d 4
x 7 2 5 km
Aplicando el teorema de pitagoras tenemos:
d3x 50cos 60 d3 y 50sen60
La resultante en eje
x d 4 d1
x es:
Rx d1 70 sen 40 50 cos 60 La resultante en eje y es:
2
Rx 20 m
2
2
2
d 22
x d3 d 2 2
d3 x
Ry 70 cos 40 50 sen 60 R y 10 m
d 3 R 3 km
Para la resultante tenemos:
Para el ángulo
3
45
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco
cos 37
Problema 7
Ax
A x A cos 37
A
Hallar la resultante de los vectores sen 37
Ay
A y A sen 37
A
Para el vector
cos 37
Solución
sen 37
Bx
B By
B
B x B cos 37
B y B sen 37
B Rx A cos 37 - B cos 37 D
Rt R1 R2 R3 Rt 4 8 12 Rt 24 u
R x 8 16 13
Rx 5
Ry A sen 37 B sen 37 - C
Ry 6 12 6
Ry 12
Problema 8 2
2
2
R R xR y
R
25 144
Hallar la resultante de los vectores
R 169
Problema 9 Determinar la dirección del vector resultante del conjunto de vectores mostrados en la figura .
Solución Descomponiendo tenemos:
Solución
Para el vector A
Rx Ax Bx Cx Ry Ay By Cy - Dy
4
R 13
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco Si el módulo de la suma de dos vectores de igual módulo, es el triple del módulo de su diferencia. S A B S 3D D A - B
Ax Ax Acos16 A Ay sen16 Ay Asen16 A
cos16
De dos vectores de igual módulo A B Bx cos45 Bx B cos45 B By sen45= By Bsen45 B Cx Cx Csen53 C Cy cos53= Cy C cos 53 C sen53
Reemplazando datos tenemos: Aplicando el teorema de los cósenos tenemos:
Rx 25 cos 16 10 2 cos 45 10 sen 53 Rx 6.02 Ry 25 sen16 10 2 sen 45 10 cos 53- 3 Ry 7 .89
S
2
A B 2 AB cos α
S
2
A A 2 AA cos α
2
2
2
2
2
2
2
S 2 A 2 A cos α 2
Podemos hallar la resultante
S 2A
2
1 cos α S A 2 1 cos α 1
Aplicando el teorema de los cósenos tenemos: Note que el teorema de los cósenos tiene signo negativo por ser ángulo suplementario
180 2
2
2
D A B 2 A B cos
Ry Ry tg arctg 53º Rx Rx R
R2x R2y R
D
2
D
2
2
36 62
A
2
2A
D 2A
B 2
2
2
2 AB cos
2A
2
cos
1 cos
R 1 0 u D A 2 1 cos
Problema 10
2
Pero aplicando cósenos a 180 tenemos:
Si el módulo de la suma de dos vectores de igual módulo, es el triple del módulo de su diferencia. ¿Hallar el ángulo comprendido entre dichos vectores?.
cos cos 180
Solución Pero cos 180 1
y sen 180 0
Condiciones del problema: cos 1 cos 0 sen
en 2 tenemos:
5
cos 1cos
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
D A 2 1 cos
2
=A 2 1 cos
Por la condición dada:
S 3D
Autor: Alfredo Cora Paco 108
B
B 27 u
4
de 1 y 2
Del triángulo BOC
A 21 cosα 3A 21 cos , elevando al
Aplicando el teorema de los cósenos
cuadrado tenemos:
2 A 2 2
2 1 cos 1 cos 9 1 cos A2 2 1 cos α 9 A
2
S
D
2
(*)
2 SD cos
Del gráfico tenemos que: 2 360 2 60
2 2 360 120
1 cos 9 9cos cos 9 cos 8 10 cos 8 arccos
Sustituyendo en (*)
8
37º 10
2 A
2
2
2
12 6 2 12 6 cos120
2
Problema 11
4 A 252 A 63 u
La suma y la diferencia de dos vectores hacen un ángulo de 60º con módulos 12 y 6 [u] respectivamente. ¿Cuál será el módulo de estos vectores? ¿Cuál es el ángulo entre ellos?.
Para el ángulo entre los vectores A y B tenemos:
Solución Aplicando el teorema de los cósenos tenemos: Método 1 S 2
2
A
2
B
2
2
2 AB cos
2
S A B 2 ABcos 2
2
S A B
cos
2
2 AB
S 2 A2 B 2 2 AB
arccos
Del triángulo AOB: Sustituyendo datos tenemos Aplicando el teorema de los cósenos
2 B 4B
2
2
S
S
2
2
D
D
2
2
2
2 SD cos α
2 SD cos α
Método 2
4 B 2 12 2 6 2 2 12 6 cos 60 2
2
B
49 .1
Sustituyendo datos tenemos
4 B 108
2
63 27 2 63 27
12 2
arccos
De los datos sabemos que:
108
S 12
4
6
;
D 6
;
60 º
;
120º
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco
Para hallar “A”
AC AF R1 AE AB R2 AD R3
R R1 R 2 R 3
R 4 4 4 12 2
2 D 2 2S 2 D 2 cos120 12 2 6 2 2 12 2 6 2 cos 120 º 2
A S
1 2
Problema 13
2
2
A
R
2
En el gráfico hallar el x de a y b
vector
A 7 .9 u
en función
Para hallar “B” B
2
2 D 2 2 S 2 D 2 cos α 12 2 6 2 2 12 2 6 2 cos 60 º 2
S
2
B
Donde AOB es un cuarto de circunferencia Donde BOD es un cuarto de circunferencia Donde ABCD es un cuadrado .
2
2
B 5 .2 u
Para hallar el ángulo entre dichos vectores D
2
A
2
B
cos
2
Solución
2 AB cos
A
2
B
2
D
2
2 AB
7 . 9 2
cos
49 . 1 º
5 . 2
2
6
2
2 7 . 9 5 . 2
Problema 12
En el hexágono regular de 2 m de
Para hallar el vector x lo primero que haremos será trabajar con sus módulos y tratarlo como un problema geométrico donde la incógnita es “x”
lado se tienen los 5 vectores mostrados. Calcular la resultante.
Solución Trasladando AF a CD y AB a DE
Donde
7
m y h
h m y
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
m
2
y
m 2
2
2
3
y
y
2
Entonces
m
m
2
m 2
3
m h
2
x m
"y" en
2 h m
Autor: Alfredo Cora Paco
α
x 2 - 3 b cos 15 a sen15
2 3 m
2
2
Para hallar el valor de " "
m 2 3 2 tg m 2
h tg m 2
m 2 3 2 arctg m 2
θ 15 º
Para " x" 2
2
2
2
m
m 2
x h
x
2
4
2 3
x m
2 -
2
m 2
2
3
Ahora descomponiendo el vector x tenemos: x x cos 15 i xsen 15 j
Pero b b mi i m a mj
j
b a 2 - 3 cos 15 sen 15 m m
a m
8
x
2 - 3 a sen15 b cos15
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco a las 9 hrs y 15 minutos otro móvil parte de un punto B que esta 5 km delatante de A con el mismo destino, a una velocidad de 100 km/h. ¿A qué hora y a qué distancia de A se produce el encuentro? .
CINEMÁTICA Movimiento Rectilíneo Uniforme Problema 1
Solución
Un móvil se desplaza con una velocidad de 30 m/s se encuentra detrás de un móvil B a una distancia 50 m si la velocidad del móvil B es 20 m/s después de que tiempo el móvil A estará a 80 m delante de B.
Solución
Datos v A 75
km h ; v B
km h
100
Del gráfico
t 1 .2 5 h
x A x1 xB x3
Incógnitas
1
x A 130 xB
Para
vA
xA ?
Para el móvil A
Para x B vB
tA ?
Como no existe aceleración el móv. es rectilíneo y uniforme
xB
t
2
xB vBt
xA
vA
xA
1
xA vA t A
tA
Para el móvil B
xA
t
3
x A v At
vB
2 , 3 en 1
xB
xB vB t A 1.25
tB
Del gráfico v At 130 v B t
t
t vA vB 130
130
vA vB
t
130
30 20
x A 5 xB
1 y 2 en
13 s
vA t A 5 vB t A 1.25
Problema 2
Un móvil parte de un punto A hacia un punto C a las 8 de la mañana con una velocidad de 75 km/h,
9
t A 4.8 h
2
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria Entonces
Autor: Alfredo Cora Paco
x A 5 355
x A 360 km
Problema 3 Un móvil con una velocidad de 120 km/h parte de un punto A en dirección a otro que dista 600 km ,al mismo tiempo de un punto B en dirección al primero parte un móvil con una velocidad de 150 km por hora. ¿Cuál es la distancia entre los dos móviles al cabo de 11/2 horas?.
Solución
Solución Datos v
A
120
t 1
1 2
k m
;
h
v
150 km h
B
Datos
h 1.5h
Incógnitas y ?
Incógnitas
v1
5 m s
v2
5 m s
x CD ?
h 10 m
t 8s
Del gráfico
En el primer triangulo ABC
d x A y xB
x AC 2 x AB 2 x BC 2
Dónde: y d x A x B Pero
x A v At
Calculando la distancia
; xB vBt
y 600 120 150 1 .5
y 195km
xBC v2t
Problema 4
Entonces x
Dos carreteras se cruzan bajo un ángulo de 90º por medio de puente ambas carreteras están situadas en planos horizontales la altura del puente es de 10 m por la carretera superior un coche se desplaza con una velocidad v 5 m s por la , carretera inferior otro coche a la misma velocidad se desplaza en sentido cruzado .Cuando el primero se encuentra en el centro del puente el segundo se halla debajo de ,el. ¿Determinar la distancia que los separa al cabo de 8 s de haberse cruzado ? (ver figura) .
x AC
x BC
xBC 5 8 17.88 m AC
1 0
2
1 7 .8 8
2
x A C 2 0 . 4 8 m
En el segundo triangulo ACD
x CD 2 x AC 2 x AD 2
Calculando la distancia x
10
AD
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco '
2 0 .4 8
xC D
2
1 7 .8 8
'
Resolviendo las ecuaciones y
x AD v1t x AD 5 8 17.88 m
Tenemos que: t 2 . 4 h
2
Método 2
x C D 2 7 . 2 m
Haciendo otro gráfico solo cambia
Problema 5 Se tiene dos velas 1 y 2 de tamaños iguales, los cuales tienen una duración de t1=4 hrs y t2=3 hrs emitiendo energía luminosa. Si las velas empiezan a emitir luz al mismo tiempo. ¿Después de cuánto tiempo el tamaño de una de ellas es el doble que de la otra?.
De la fig. (1) L x1 2 y
Solución
L v1t 2 y
De la fig. (2)
Método 1
L x2 y
L v2t y
La resolución del sistema de ecuaciones se la dejo al lector Problema 6 t1 4 h
t 2 3h
x1 v1t
x2 v2t
v1
L
L
v2
t1
Dos vehículos parten del punto P con velocidades constantes de 15 y 20 pies/s respectivamente, simultáneamente del punto Q parte un tercer vehículo con una velocidad constante de 30 pies/s hacia el punto P si la distancia entre P y Q es de 1800 pies. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el tercer vehículo se encuentre en medio de los otros dos? .
t2
De la fig. (1) L x1 y
L v1 t y
L v2t
y
Solución
De la fig. (2) L x2
y 2
Reemplazando en
2
y
v1 y v2
tenemos:
Graficando el problema tenemos:
L v1 t y
L
L
t y
'
v1 15 pies / s
t1
L v2t
y 2
L
L t2
t
y
v 2 20 pies / s
'
2
11
x1 v1t
x2 v2t
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria v 3 30 pies / s
Autor: Alfredo Cora Paco Movimiento Rectilíneo Variado
x3 v3t
Problema 1
Del gráfico
Un móvil parte del reposo en el instante t=0 s, con aceleración constante de 8 m/s2
1 2
x 3 y 2 1800 x 2 x 3 y 2 1800 x1 y
¿Qué distancia recorre el móvil entre los instantes t1=3 s, t2=5 s?.
De 2 despejaremos “y/2” x 1800 x y y 2 3
1
x3 1800 x1 y 2
Solución
Reemplazando en (1)
Datos
Incógnitas
vo 0 m s
x3 x3 1800 x1 1800 x2
x1 ?
2
a 8 m s
2 v 3 t v 2 t v 1 t 1800 1800
to 0 s, t1 3 s , t2 5 s
t 2 v 3 v 2 v1 3 6 0 0
t t
3600 2 v 3 v 2 v1 3600
25
t
t 144
x2 ?
3600 2 30 20 15
s
Entre A y B 1 2 x1 v0t1 at 1 2
x1 03
1 2
832 36 m
Ya que el movimiento es con aceleración constante tenemos entre A y C 1 2 x1 x 2 v0 t 2 at 2 2 x 2 05
1 2
8 5 2 x1
x 10036 64m 2
Problema 2 Dos móviles A y B separados 10 m parten simultáneamente del reposo con movimiento rectilíneo uniformemente variado en la misma dirección y sentido. Si la aceleración del móvil que esta adelante es 3 m/s2 y la del otro 7 m/s2
12
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco
¿Después de que tiempo la distancia entre ambos será de 3m? .
Solución
Del gráfico :
Datos
Incógnitas
v0 A v0 B v0 0
t A tB t ?
aA 3 m s
2
2 13 a B t
1er caso: cuando A todavía está delante de B
a At
2 13 a B a A t
2
at
2
Reemplazando en tenemos: 2
t
2
26
t
aB a A
aBt
2
v0 t
t 2.55 s
Dos móviles A y B están viajando en sentidos opuestos en una carretera rectilínea. El primero A con una velocidad constante de 20 m/s, y el segundo B, para el tiempo t0=0, posee una velocidad de 10 m/s y una aceleración de 2 m/s2 . Si en t0=0 la distancia entre ellos es de 400 m, calcúlese el tiempo de encuentro.
2
1
2 13
aB a A
Problema 3
Pero sabemos que para el M.R.U.V
7 v0t
7m xB xA
x v0 t
Reemplazando valores y calculando tenemos:
Del gráfico : x A x x B d
1
2
2
2
aB 7 m s
x A x d xB
1 2
a At
2
Solución 7
1 2
2
a Bt
1
a At
2
2
7 2 aB a A t
a B a A 4
t
v A 20 m s
t A tB t ?
aB 2 m s
72
14
Incógnitas
v 0 B 10 m s
Reemplazando datos tenemos
Datos
2
2
t
2
14
7 3 t
t
2
2
14
t 1 .8 7 s
4
2do caso: cuando B rebasa a A y se pone adelante
Del gráfico:
13
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
xA xB d
1 2
aBt
2
v At v0 B t
1 2
Autor: Alfredo Cora Paco Tenemos que:
2
aBt d 2 Para el gato: x g v o t 1 at pero como el 2
v A v 0 B t d 0
2 gato parte del reposo x g 1 at 2
Reemplazando datos tenemos: 1
2 t
2
2
Para el ratón: como se mueve a velocidad constante x r vt
20 10 t 400 0
Ahora como x x r tenemos: g
2
t 30t 400 0 2
t
t
30 30 4 1 400
1 at 2 vt 2
2 1 30 50
t
2v
t2s
a
lo encuentra cuando pasa 2[s]
2 1
Para hallar x reemplazamos datos
t 10 s
t ´ 40 s
x 1
No tiene sentido hablar de tiempos negativos
2
2 2 2
x4 m
De la ec. (1) despejamos d y reemplazamos datos tenemos:
t 10 s
d x1 x
Problema 4
d 5 4 d 1 m
El gato alcanza al ratón a 1 m de su agujero
Un ratón se dirige a su hueco en línea recta con velocidad de 2 m/s, cuando le faltan 5m para llegar, pasa por lado de un gato que se encuentra en reposo .Si el gato acelera a razón de 2 m/s2 en dirección del ratón. ¿El gato logra alcanzar al ratón? si lo alcanza ¿A qué distancia de su agujero? (ver figura).
Problema 5 Un perro corre detrás de un auto móvil con una rapidez de 6m/s, cuando se encuentra a 64 m de, el sale un auto del reposo con una aceleración constante de 0.5 m/s2 .Determinar después de que tiempo a partir de ese instante el perro alcanza al auto móvil. Si no alcanza determinar la distancia mínima que el perro se acercó al auto móvil.
Solución Para que el gato alcance al ratón el gato deberá recorrer la misma distancia que el ratón y existirá un tiempo de encuentro
Solución Graficando el suceso, si lo alcanza existirá un tiempo real de encontró
Del gráfico
x d x1
1
Notemos que x g xr x
14
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco 2
2 Para el móvil: x M v o t 1 at pero como 2
parte del reposo
xM 1
2
at
t 6 28 2
d min
2
Derivando tenemos
Para el perro: como se mueve a velocidad constante
x p vt
Del gráfico:
xM d x p
t 2
Un perro se encuentra echado sobre el piso, a 32 m de él ciclista arranca y sale del reposo (vo=0) con una aceleración constante a=1 m/s2 determinar la mínima velocidad constante del perro tal que pueda alcanzar al ciclista.
Reemplazando datos tenemos: 1 2
0.5 t 2 64 6 t
2
0.25t 6t 64 0
d min 28 m
Problema 6
1 at 2 d vt 2
t 12 s
6 0
Resolviendo tenemos
Solución t
6
t
2
6 4 0 .25 64 20.25
6
36 64
t
6
0 .5
Método 1 28 i
0.5
El tiempo hallado es imaginario, por lo tanto concluimos que el perro no alcanza al móvil, por no existir tiempos imaginarios. Para hallar la distancia mínima ya que no lo alcanza.
Del gráfico tenemos: x p x c 32
1
Para que el perro alcance al ciclista tendrá que existir un tiempo de encuentro t p tc t
Del nuevo gráfico
x p d min x M 64
2 Para el ciclista: x c v o t 1 at pero como el 2 2 ciclista parte del reposo x c 1 at 2
Reemplazando datos tenemos: 2 vt d min 1 at 64 2
d min 1
2
0 .5 t 2
Para el perro: como se mueve a velocidad constante xp v t
64 6 t
p
1 2 d min t 6 t 64 4
Reemplazando
en
2 v p t 1 at 32 2
(1)
tenemos:
Completando cuadrados Para el ciclista: v f c voc at Pero como parte
2
d min
t t 2 6 36 28 2 2
del reposo
15
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria vf
c
vf c
at t
Autor: Alfredo Cora Paco 120 km /h calcular ¿Cuánto ha tardado el policía en alcanzar al coche?.
a
Solución
Para que el perro alcance al ciclista ambos tendrán la misma rapidez vf
vp v
c
en 2
v v v 1 a 32 2 a a v2 a
1 v2 a 2 a2
Llevando todo a las mismas unidades
32
vM 100 km h 27.8 m s v p 120 km h 33.3 m s
v2 1 v 2 32 2a a v
;
t p 10 s
tE t ?
2
64 v
64 a
Tramo AB
a v 64 8 m s
v 8 m s
Para el patrullero cuando acelera durante 10 s
2 x p vop t p 1 at p Pero como parte del 2
Método 2
reposo De la ecuación tenemos: at
2
2 x p 1 at p 2
2 v p t 64 0
t
2v p
2v p
2
2 a
Para hallar la aceleración 4 a 64
v p v op a t p
2
t
2 v p 4 v p 256 2
Como parte del reposo
2
t v p v p 64 a
2
vp
2 3.33 m s
tp
Como “t” es un número real y positivo tenemos: v p 64 0
1
v p 64 8 m s
2 en 1
v p 8 m s
2
xp 1
2
3.33 10 2
x p 166 m
Problema 7 Tramo AC
Un policía de tráfico que ve a un automóvil aproximarse a una velocidad no permitida de 100 km/h. En el instante que pasa frente a la moto, la moto sale en su persecución, la moto después de acelerar durante 10 s alcanza su velocidad tope de
Para el móvil: xM vM t p
16
xM 27.810
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco
x M 278 m
Para la distancia “d“ xM x p d
d xM x p
d 278 166
d 1 1 2 m
Del gráfico x ` p d x `M
3
Tramo BD
4
x`p v pt Tramo CD
5
x `M v M t
(4), (5) en (3) v p t d v M t t
d v p vM
1 12
t
33.3 27 .8
s
t 20 s
tT t p t
t T 10 20
s
El tiempo que tarda en alcanzarlo es tT 30 s
CAIDA LIBRE Problema 1
17
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco
En el mismo instante que un cuerpo se deja caer desde una altura h=24 m otro cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad v0=12 m/s. Calcular el tiempo que demora en encontrase .
Solución
Condición de espacios y1 y2 Condición de tiempos t 1 t 0 t 2
t1 4 t 2
Pero sabemos Del gráfico: y y1 y2
y1 y2
2
y v o t 1 2 gt 2
Pero recordando que: y vo t 1 2 gt
t 2 t1 4
Tenemos 2
2
Cuando sube (-) Mov. Desacelerado
vo1t1 1 2 gt1 vo2t 2 1 2 gt2
Cuando baja (+) Mov. Acelerado
Como el cuerpo (2) parte del reposo
Como la esfera se deja caer y 1 1 2 gt
2
Como el segundo cuerpo se lanza con una velocidad de v0=12 m/s
y 2 v o t 1 2 gt
2 4 v0 t
t
Reemplazando
24 12
2
tenemos:
2
2
vo1t1 1 2 gt1 1 2 gt1 4
2
Tenemos 2 4 1 2 gt
2
vo1t1 1 2 gt1 1 2 gt2
2
vot 1 2 gt
v o1t1 1 2 gt 1 2 1 2 gt 1 2 4 gt 1 8 g
2
2 s
v o1t1 4 gt1 8 g
t1 1.13 s
Problema 3
t 2 s
Desde un puente de 15 m de altura sobre la superficie de un lago, se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 10 m/s. Al llegar a la superficie del lago la piedra se sumerge y desacelera a razón de 0.5 m/s2.Si el tiempo total empleado desde el momento del lanzamiento hasta que llega al fondo del lago es de 6 segundos. Calcular la profundidad del lago.
Problema 2 Desde la parte superior de un edificio se lanza verticalmente hacia arriba una partícula con una velocidad de 30 m/s, 4 s después se deja caer otra partícula desde un puente. Determine el tiempo trascurrido desde que se lanza la primera partícula hasta que se encuentran lado a lado.
Solución
Solución
18
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco Ahora podemos calcular “y” 2 y v o 2 t 2 1 at 2 2
s 2.96s 1 2 0.5m s
y 19.86 m
2
2
2.96s
y 56 . 59 m
Problema 4 De la terraza de un edificio ubicada a 60 m del suelo se lanza verticalmente hacia abajo un objeto con una velocidad de 5 m/s .En ese mismo instante de un piso más abajo (a 40 m del suelo) se suelta un segundo objeto. ¿Después de que tiempo los objetos estarán separados 10 m por primera vez?.
El tiempo
t t1 t 2 1 Del gráfico 2 h v o t1 1 gt1 2
1
Solución Relación de tiempos que se debe hacer
2
gt v o t1 h 0 2 1
t t1 t2 Reemplazando datos 4 .9 t 2 1 0 t1 1 5 0 1
t 3.04 s 1
Reemplazando t1 en (1) tenemos:
t2 t t1
t2 6 3.04s
t2 2.96 s
Calculando la velocidad v f 1 vo 2
Del gráfico: y1 10 y2 20
v f 1 vo1 gt1
y1 y 2 10 2 2 vo1t 1 2 gt v o2 t 1 2 gt 10
v f 1 10 m 9.8 m 2 3 .04 s s s
v f 1 19.86m
De bajada
v o 1 t 10 t
s
v f 1 19.86 m
s Problema 5
19
10 5
2 s t 2s
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco Primera posibilidad
Un observador situado a 105 pies por encima del nivel del piso ve pasar un objeto hacia arriba, 4 s segundos después lo ve de regreso .Hallar la velocidad inicial del objeto.
Solución
Segunda posibilidad
Como el observador lo ve subir y luego lo ve bajar tenemos: v f v f gt
2v f
gt
v f 64
gt
vf
pies
2
Plantemos las condiciones de alturas y tiempos con respecto al nivel de referencia fijado:
s
h pelota 15 h plataforma
4
Para la velocidad inicial
vf
2
v
2 0
2 gh
Reemplazando datos
v 0 104
pies
v
v0
2 0
vf
6 4
2
2
h p 15 h pt 4
1
t p t pt
2
2 h pelota h p v op t p 1 gt p 2
3
2 gh
2 3 2 1 0 5
s
hplataforma hpt vpt t pt
4
Problema 6 Reemplazando (2), (3), (4) en (1) tenemos:
Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 15 m con una velocidad inicial de 20 m/s, en el mismo instante una plataforma elevadora que se encontraba inicialmente a 4m de altura sube con velocidad constante de 3 m/s. Determinar ¿Cuándo y dónde se encuentran o cruzan la pelota con la plataforma? .
v op t p 1
Dónde
2
:
gt
2
p
15 v pt t pt 4
t p t pt t
1 gt 2 v v t 11 0 pt op 2
Solución
20
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco
t 1 4 . 02 s ; t 2 0 . 55 s
Para la moneda de cobre 2 y B v o B t B 1 gt B 2
Luego tenemos
H h pt 4 v t pt 4 34.02 4 pt
H 16 . 06 m
2
De la figura
H 16 . 06 m
3
y y A h yB
Problema 7
Reemplazando 1 y 2 en 3
Un globo aerostático está descendiendo con una velocidad constante de 5 m/s, en el instante en que se encuentra a 500 m sobre el suelo, suelta una moneda de plata, transcurridos 2 s suelta una segunda moneda de cobre. Calcular la distancia que separa ambas monedas al cabo de 5 s de soltarse la primera moneda.
y vo At A 1 gt 2 A 10 vo Bt B 1 gt 2 B 2 2 Reemplazando tenemos: y 5 5 1 1 2
Solución
2
9.852 10 53
9.8 32
y 78 . 4 m
Problema 8
Datos:
Incógnitas:
v0 A v0 B v g 5 m s
y ?
Desde la orilla de un foso, de un grifo caen gotas de agua a razón de una gota por Segundo. Un montacargas que sube con velocidad constante de 10 m/s, es alcanzado por una gota cuando está a 100 m de profundidad ¿A qué profundidad, la siguiente gota montacargas? (ver fig.).
t A 5 s
Solución
t 2 s
Gota y el montacargas
t B 3 s H 500 m
Para “h”
h vg t
h 5 2
h 10 m
2 H v o t 1 gt 1 2 1
Para la moneda de plata 2 y A v o A t A 1 gt A 2
1
21
H 1 gt 2
2 1
t1
2H g
4.5 s
tocara
al
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco
Tiempo de encuentro entre: la segunda Gota y el montacargas
Pero t1 t 2 1 t 2 t1 1 t2 3.5 s
v2 vo gt 2
v2 9.8 3.5 Tiempo para cuando la esfera que parte de Q
v2 34.3 m
s
alcance la altura máxima Para el encuentro: v
2 2 h 1 gt 2 1 9.8 3.5 2 2
fQ
v oQ gt
Q
tQ
v 0Q g
3v
1
g
Para este tiempo existirá una distancia d donde:
h 61 m
t p tQ
Para h2 2 h2 v 2 t 1 gt 2
2 y p v o p t p 1 gt p 2
2
y Q H v o Q t Q 1 gt 2 Q 2
3
Para el montacargas yM vMt Del gráfico
Pero del dato vo p
H h h2 yM
Reemplazando 1 en 2
2
4.9t 44.3t 39 0 t 0 .79 s ; t 10 .08 s
3v 1 3v g g 2 g
2
2
y p 2v
Calculemos la profundidad a la que la segunda gota toca al montacargas Profundidad h h
2v y voQ 3v
yp
3v
2
4
2g
Profundidad 91.58 m
Reemplazando 1 en 3
Problema 9
3v 3v yQ H 3v 1 g 2 g g
Desde los puntos P y Q de la Fig., se lanzan simultáneamente con dirección vertical hacia arriba dos objetos con velocidades 2v y 3v respectivamente. El objeto que se lanzó de P sólo llega hasta Q ¿Cuál será la distancia que separa a los dos objetos, cuando el objeto se lanzó de Q comienza a descender? La altura entre P y Q es H.
yQ H
Del gráfico
Solución 22
9v
2
2
2g
5
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria yQ y p d dH
9v
2
2g
3v
d yQ y p
2
d H
Autor: Alfredo Cora Paco
3v
t
2
2.74 0.7 s 5.61
g
2g
Otra manera es verlo desde el punto de vista de un Problema 10
observador exterior al ascensor. Suponiendo que
Un elevador sube con una aceleración vertical de 1.22 m/s. En el instante que su velocidad ascendente es de 2.44 m/s, un perno suelto cae del techo del elevador que está a 2.74 m sobre el piso. (Considerando g=10 m/s2)Calcular: a) El tiempo que tarda el perno en llegar desde el techo al piso. b) La distancia que ha caído con relación al cubo elevador.
en el momento en que se suelta el perno el suelo está a una altura 'h'. La ecuación del movimiento respecto del suelo es:
y s h v o y t 1 at 2 2 y s h 2 .4 4 t 1
1 .2 2 t 2 2
Para el perno:
y p h 2.74 2.44 t 1
Solución
10 t 2 2
Tocará el suelo cuando yp = ys
Como pide que calculemos respecto al cubo del ascensor, lo mejor es hacerlo desde ese sistema de referencia a pesar de no ser inercial. Para poder hacerlo vamos a suponer que el ascensor está en reposo y que los cuerpos aceleran en ese sistema 'g + a', siendo 'g' la gravedad real y 'a' la aceleración del ascensor. Es decir, el perno haría lo mismo en una situación parecida a la que plantea el problema o en una equivalente en la que el ascensor está parado en un sitio donde la gravedad sea la suma de g+a.
h 2 .4 4 t 1
2
1 .2 2 t 2
h 2 .7 4 2 .4 4 t 1
2
1 0 t 2
Simplificando: 1
2
1 .2 2 t 2
1 .2 2 t 2 1 1 .2 2 t
2
2 .7 4 1
2
1 0 t 2
5 .4 8 1 0 t 2 5 .4 8
t
5 .4 8 0 .7 s 1 1 .2 2
b) La distancia que ha caído con relación al cubo del elevador
Siendo así, el tiempo que tarda en llegar al suelo es:
y s y p voy 1 at 2 2 que
aplicado a nuestra situación es: ys 2.74 1 10 1.22 t 2 2 Tocará el suelo del ascensor cuando ys=0
Para calcular lo que ha caído, utilizamos la
2.74 1
Respecto al observador del interior de ascensor ha
ecuación
del
movimiento
y p h 2 .7 4 2 .4 4 t 1
10 1.22 t 2 0 2
del
perno:
10 t 2 2
caído 2.74 m ,pero respecto a un observador exterior en t=0 (cuando se suelta) la posición del
2.74 5.61 t2 0
23
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco Problema 1
Perno es y p h 2 .7 4 2 .4 4 0
1 2 1 0 0 2
Un cañón se coloca en la base de un cerro cuya pendiente hace un ángulo de 15º con la horizontal. Si el cañón forma un ángulo de 45º con respecto al cerro cuando dispara un proyectil con rapidez inicial de 70 m/s, hallar la distancia (x) a la que impactará el proyectil.
y p h 2 .7 4
0.7 s después es: y p h 2 .7 4 2 .4 4 t
1 1 0 t 2 2
y p h 2 .7 4 2 . 4 4 0 .7
1 2 1 0 0 . 7 2
yp h 2
Solución
Luego un observador exterior diría que ha caído
Asumiendo que: 15 º ; 45 º Planteando
h 2 .7 4 h 2
la ecuación de la trayectoria
h 2.74 h 2 0.74 m Es decir, mientras el suelo va al encuentro del perno, a éste le da tiempo a subir un poquito para luego
caer
(cuando
pierda
los
2.44
m/s
ascendente) 0.74 m desde donde se soltó.
gx
y tg x 2v
2 0
2
2
cos
1
Del gráfico se tiene tg
y
2
y x tg
x
2 en 1 gx
x tg tg x 2v
2 0
cos
2
2
Despejando x tenemos 2
x
2v0 cos
2
tg tg g
MOVIMIENTO PARABOLICO
x
24
2 70 m
s
2
cos
2
60 tg 60tg15
9.8 m
s
2
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco
x 366 m
Problema 2
c) Hallar la rapidez de la roca al llegar al suelo y la rapidez horizontal en ese momento
Una roca descansa sobre un barranco 600 metros por encima de una casa, tal como se muestra en la figura. En tal posición que si rodase, saldría disparada con una rapidez de 50 m/s. Existe un lago de 200 metros de diámetro. Con uno de sus bordes a 100 metros del borde del barranco. La casa está junto a la laguna en el otro borde. Considere la gravedad 10 m/s2
Para hallar la componente vertical v
2
Caerá la roca en la laguna?
v 120 .35 m s
v
vx
2
vy
2
constante en todo el recorrido del proyectil. Problema 3 Un cañón dispara un proyectil desde la cima de una colina de 225 m de altura, con una rapidez de 100 m/s, impactando en el punto A (ver dibujo), de coordenadas (x,0) después de 15s. Considere la gravedad g=10m/s2 Determine:
a) El ángulo de lanzamiento (θ). b) La distancia horizontal total recorrida por el proyectil (xA). c) Rapidez con la que impacta en A.
Solución
b)
2
v y 112 .3m s
Para la rapidez horizontal v0 x v x 43.3m s es
5 t 120 0
t 8 .73 s
2
2 y vo y t 1 gt 2
2
v vx v y
v 120 .35 m s
a) Si la roca se desprendiera del barranco cuanto tiempo permanecería en el aire antes de caer al suelo?
t
v oy gt
La velocidad con que llega al piso será
Solución
y
a) Si la roca se desprendiera del barranco cuanto tiempo permanecería en el aire antes de caer al suelo? b) Caerá la roca en la laguna c) Hallar la rapidez de la roca al llegar al suelo y la rapidez horizontal en ese momento.
Para el tiempo en el aire
x v x t 378 m Podemos decir que la roca no cae al lago
a) Puede calcularse a través de la función y (t), aplicada entre el punto de lanzamiento (y=225m) y el punto donde impacta al plano (yA=0m), pues se conoce el tiempo que demora (t=15s), la magnitud de la velocidad inicial (V0=100m/s) y la aceleración constante del Movimiento (g=10m/s2): 2 y v 0 sen t 1 gt 2
Como la roca se mueve a velocidad constante en el eje x tenemos: v 0 x v x 43 . 3 m s
25
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria 2 y 1 gt 2 sen v0 t
Autor: Alfredo Cora Paco
y 1 gt 2 2 arcsen v0t 225 1 9.8 15 2 2 arcsen 100 15
Eje x
x nd v 0 t
Eje y
y nh 1
2
1 gt
2
2
De ecuación (1)
arcsen 0.6
36.87 º nd t v0
b) Es muy simple y directo:
en (2)
nd tenemos: nh 1 g 2 v
o
2
x A v0 cos t 100 cos 36.87 15 1200 m
Ordenando, simplificando y despejando n:
c) Es necesario calcular la componente vertical de la velocidad en ese punto. La componente horizontal es igual que la inicial.
n
gd
v Ax v0 cos 36.87 100 0.8 80 m s
60 150 90 m
s
velocidad
vA
v Ax
2
v Ay
120 . 42 m s
2
80
2
90
2
2
2
v Ay v0 sen36.87 gt 100 0.6 10 15
Luego, como el módulo de la instantánea es la rapidez instantánea:
2hv0
1 pie pies 2 9 p lg 8 12 p lg s n 2 pies 1 pie 32 2 10 p lg 12 p lg s n 4 .32
2 Puesto que el número de escalón debe ser entero, la pelota llegará al quinto escalón, entonces
Problema 4
Una pelota de tenis sale rodando del descanso de una grada con velocidad horizontal de 8 pies/s. Si los peldaños son exactamente de 9 pulgadas de alto y 10 pulgadas de ancho. Calcule el número de escalón (contado desde arriba) al que llega la pelota por primera vez.
n 5
Problema 5 El Dassault Rafale es el avión más moderno de la Fuerza Aérea Francesa vuela horizontalmente a una velocidad v=2.125 km/h y con un techo de vuelo de h=18.000 m respecto del suelo. Si se dispara un proyectil desde un cañón en el instante en que el avión se encuentra verticalmente sobre el cañón: a) ¿Cuál debe ser el ángulo de elevación y cual la velocidad inicial mínima “vo” del proyectil,cuando alcance su altura maxima a fin de que el avión sea alcanzado por el proyectil?
Solución
26
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco
b) ¿A qué distancia “z” , detrás de la posición del cañón . Debe arrojarse una bomba, desde el avión, a fin de que estalle justo en el cañón?.
2 gh
2
tg
v
Solución
Nos pide hallar el ángulo de elevación para que el proyectil impacte al avión, como también la velocidad “vo” mínima; para que la velocidad “vo” sea mínima la “vf=0” como también h igual Hmax, lo primero que se hará será hallar el ángulo de elevación del proyectil y posteriormente la velocidad inicial mínima
2 gh
tg
2
v
2
2 gh arctg v
2 gh v
El ángulo de elevación es arctg
Cual la velocidad inicial mínima “vo” del proyectil Sumando 3 + 4 2
2
sen cos
v
2
vo
x vt
x v o cos t
1
y
v
vo
2
2 gh vo
2
2
b) ¿A qué distancia “z” , detrás de la posición del cañón . Debe arrojarse una bomba, desde el avión a fin de que estalle justo en el cañón?
2 vo v 2 gh vo 2.21 km/ h
2
2
2
vo
3
2
Para la bomba 2 h voy 1 gt 2
Pero cuando alcance la altura máxima
t
2h
5
g
2
2
v fy v oy 2 gh 0 vo sen 2 2gh 2
2 gh
vt vo cos t v vo cos // 2
2
1
Para el proyectil
cos
2
vo
Para el avión
Igualando
1
v
2
sen
2 gh vo
2
Para la bomba
6
z vt
4 5
En 6
Dividiendo 4 y 3
27
z v
2h g
z 0.128 km
Problemas Selectos de Fisica Univeristaria
Autor: Alfredo Cora Paco
Problema 6
Un proyectil se lanza con una elevación de 70º y una velocidad inicial de 25 m/s hacia una hilera de 30 paredes equidistantes como muestra la figura. La separación entre paredes es de 2m. ¿Entre que paredes cae dicho proyectil al suelo? .
t
2vo sen70 cos70
g
t 3 s
Reemplazando en (1)
x 25 cos 70 3
x 25.65 m
Donde
x n d Solución
n
25.65 12.825 2
El proyectil cae 12
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