Problemas Resueltos

ESTATICA

Problema 6.11. Armadura Howe: Determine la fuerza en cada uno de los miembros de la armadura Howe para techo mostrada en la figura. 6KN D

6m 6KN

6KN

B

F

6m 3KN

3KN C

A

8m

G

E

8m

Diagrama de cuerpo libre:

8m

H

8m

6KN D

6m 6KN

6KN

B

F

6m 3KN

3KN C

A

G

E

H

FA

FHX

FHY 8m

8m

8m

8m

Aplicando momento en H: ΣMH=0 -FA x 32m + 3KN x 32m+6KN x (24m+16m+8m) = 0 -FA X 32m + 96 KN + 6 KN x 48m = 0 384KN FA x 32m = 96 KN + 288 KN ⇒ FA = 32m

FA = 12 KN

ΣFY=0 - 3KN + 12KN – 6KN x 3 – 3 KN + F H = 0

FH = 12 KN Pagina 1 de 26

ESTATICA

Análisis Nodo A: 3KN FAB

ΣFY=0

6 8

A

6

12KN – 3KN – FAB x

FAC

FAB x

12KN

6 10

10

=0

= 9 KN ⇒ FAB =

10 x9 6

FAB = 15 KN C . ΣFX=0 8 8 15KNx8 FAC - FAB 10 = 0 ⇒ FAC = FAB 10 = 10

FAC = 12 KN T Análisis Nodo C: FCB

FCE

FAC C

Por Teoría se puede decir que este nodo esta bajo condiciones especiales de carga, este conecta tres elementos, dos de los cuales se encuentran en la misma línea y no están sujetos a cargas externas, por tanto F CB=0 y FAC = FCE FAC = FCE = 12 KN T FCB= 0 KN .

Análisis Nodo G: FGF

FGH

FEG G

El análisis de este nodo es idéntico al del nodo C, F GF = 0 y FGH = FEG, entonces podemos decir que por simetría, FAC = FCE = FGH = FEG = 12 KN T = FGF 0 KN .

Análisis Nodo B: FBE

FBD 6

6 8 B

8

ΣFY=0 15KN x

6 8

FBE x

FAB 6KN

6 10

6 10

+ FBE x

+ FBD x

6 10

6 10

- 6 KN + FBD x

6 10

=0

= -3 KN . . . (E1)

ΣFX=0 15KN x

8

- FBE x

8

+ FBD x

8

=0

10 10 10 8 8 - FBE x + FBD x = - 12 KN . . . (E2) 10 10 Pagina 2 de 26

ESTATICA

 8  y sumamos a E2 para obtener el FBE  6

Multiplicamos E1 por  −

 8  + E2:  6

E1 x  −

-F

BE

x

- FBE x

8

- FBD x

10 8

10 8 - FBE x + 5

+ FBD x

8

= 4 KN

10 8 10

0

= - 12KN

=-8

5 FBE = 8 x 8

FBE = 5 KN C Sustituimos el valor de FBE en E1 para así obtener el valor de FBD. 5KN x

6 10

+ FBD x

6 10

= - 3 KN ⇒ FBD x

6 10

= -3 KN – 3KN ⇒ FBD = - 6 KN x

10 6

FBD = 10 KN C Análisis Nodo F: Para el análisis de este nodo se puede decir que por simetría,

FBE = FEF = 5KN C . FBD = FDF = 10KN C Análisis Nodo E: ΣFY=0

FED FBE 6

6 FCE

8

8

FEF FEG

6 6 6 - 5KN x 10 + FDE x 10 - 5 x 10 = 0 6 FDE = 10KN x 10

FDE = 6 KN T

Pagina 3 de 26

ESTATICA

Problema 6.6: Determine la fuerza en cada uno de los miembros de la armadura mostrada en la figura. 9Kips B 6ft C

A

6ft

D 3Kips 8ft

17,5ft

Diagrama de cuerpo libre: 9.9 Kips B 6ft C

A RAX

6ft

D

RAY

3Kips 8ft

RC

17,5ft

Aplicando momento en A: ΣMA=0 RC x 25,5ft + 3Kips x 6ft -9,9Kips x 8ft = 0 RC x 25,5ft = 79,2 Kips – 18 Kips 61,2 Kips RC x 25,5ft = 61,2 Kips ⇒ RC = 25,5 ft

RC = 2,4 Kips ΣFY=0 RAY + RC – 9,9 Kips = 0 RAY = 9,9 Kips – 2,4 Kips

RAY = 7,5 Kips ΣFX=0 RAX + 3 Kips = 0

RAX= 3 Kips

.

Análisis Nodo A: ΣFY=0

RAY

RAY – TAD x A RAX TAB

8

6 6

8

TAD

6 10

– TAB x

6 10

=0

6 6 - TAD x 10 - TAB x 10 = - 7,5 Kips . . . (E1)

Pagina 4 de 26

ESTATICA

ΣFX=0 - RAX + TAD x TAD x

8 10

8 10

- TAB x

- TAB x

8 10

8 10

= 0

= 3 Kips . . . (E2)

8 Multiplicamos E1 por   y sumamos a E2 para obtener el TAD 6 8 E1 x  + E2: 6

-T

AD

x

8 10

- TAB x

8 10

= - 10 Kips

TAD x 8 - TAB x 8 = 3 Kips 10 10 8 0 - TAB x = - 7 Kips 5 5 TAB = 7 Kips x 8

TAB = 4,375 Kips C Sustituimos el valor de TAB en E1 para así obtener el valor de TAD. 6 6 6 - TAD x - 4,375 Kips x = - 7,5 Kips ⇒ - TAD x = -7,5 Kips + 2,625 Kips 10 10 10 10 TAD = 4,875 Kips x 6 TAD = 8,125 Kips T Análisis Nodo B: ΣFX=0

9,9Kips TAB 6 B

4,375Kips x

8 6 17,5 T BC TBD

- TBC x

17,5 18,5

8 10

– TBC x

17,5 18,5

=0

= 3,5 Kips

- TBC = 3,5 Kips x

18,5 17,5

TBC = 3,7 Kips C ΣFY=0 6 6 + 3,7 Kips x - TBD= 0 10 18,5 TBD = - 9,9 Kips + 2,625 Kips + 1,2 Kips - 9,9 Kips + 4,375 Kips x

TBD = 6,075 Kips C

Pagina 5 de 26

ESTATICA

Análisis Nodo C: ΣFX=0 17,5 - TCD x =0 18,5 18,5 17,5 TCD x = 3,5 Kips 18,5 18,5 TCD = 3,5 Kips x 17,5 3,7 Kips x C

TCD

6 6 17,5 17,5 TBC RC

17,5

TCD = 3,7 Kips T

Pagina 6 de 26

ESTATICA

Problema 6.7: Determine la fuerza en cada uno de los miembros de la armadura mostrada en la figura. 2,5m B A 3m

C

3m

D

E

480 N

Diagrama de cuerpo libre: FAY 2,5m B

FAX A 3m

C

3m

FDX

D E 480 N

Aplicando momento en A: ΣMA=0 FDX x 6m = 0

FDX = 0 N ΣFY=0 - FAY – 480 N = 0

FAY = 480 N . ΣFX=0 FDX + FAX = 0 FAX = - FDX

FAX = 0 N

Pagina 7 de 26

ESTATICA

Análisis Nodo A: Hacemos un triangulo de fuerzas:

FAY

FAB A

FAC

FAB 3 1,25

1,25 480 N

=

3,25

3

FAC

Decimos que: 480

=

3 FAB

=

1,25

FAB

=

FAC

1,25

3,25

FAC

= 160

3,25

FAB= 160 x 1,25

=0

;

F

AC

= 160 x 3,25

FAB = 200 N C FAC = 520 N T Ahora por simetría decimos que,

FAC = FCD = FBC = FCE = 200 N C FAB = FDE = 520 N T Análisis Nodo B: FBE

ΣFY=0 FBE – TBC x

FAB

B 3

FBC 1,25

3 3,25

TBE = 520 N x

= 0 3

3,25

TBE = 480 N C

Pagina 8 de 26

ESTATICA

Problema 6.11. Armadura Howe: Determine la fuerza en cada miembro de la armadura Fink para techo mostrada en la figura. 12Kips 4,5ft

4,5ft

D

12Kips

12Kips

2ft

F

B

6Kips

6Kips

2ft

E

C A

G

6ft 6ft

6ft

Diagrama de cuerpo libre: 12Kips 4,5ft

4,5ft

D

12Kips

12Kips

2ft

F

B

6Kips

6Kips

2ft

E

C

FAX

G

A FAY

6ft

6ft

6ft

FG

Aplicando momento en A: ΣMA=0 -12Kips x (4,5ft + 9ft + 13,5ft) – 6Kips x 18ft + FG x 18ft = 0 FG x 18ft = 12 Kips x 27 ft + 108 Kips 432Kips ⇒ FG = FG x 18ft = 324 Kips + 108 Kips 18ft

FG = 24 Kips ΣFY = 0 - 6Kips – 12Kips x 3 – 6Kips + 24Kips + F AY = 0 FAY = 6 Kips + 36 Kips + 6 Kips – 24 Kips ΣFX = 0

FAY = 24 Kips

⇒ FAX = 0

FAX = 0 Kips Análisis Nodo A: 6Kips FAB

A

2 4,5

FR = 24Kips - 6Kips = 18 Kips Hacemos un triangulo de fuerzas: FAC

FAC FAB

4,5 FR

=

4,92

2

FAY = 24Kips

Pagina 9 de 26

ESTATICA

Decimos que: FAB

=

4,92 FAB

FAC

=

4,92

4,5

FAC 4,5

=

FR 2

=0

=9

FAB= 9 x 4,92

;

F

AC

= 9 x 4,5

FAB = 44,28 Kips C FAC = 40,50 Kips T Ahora, por simetría tenemos que,

FAC = FEG = 40,50 Kips T FAB = FGF = 44,28 Kips C Análisis Nodo B:

ΣFX=0 FAB

44,28Kips x

2 B

FBD

4,5

FBC x

22 4,5 1,5

FBC

1,5 2,5

4,5 4,9

+ FBC x

- FBD x

4,5 4,9

1,5 2,5

- FBD x

4,5 4,9

=0

= - 40,66 Kips . . . (E1)

ΣFY=0

12Kips

2 2 2 -12Kips + 44,28Kips x 4,9 - FBC x 2,5 - FBD x 4,9 = 0 2 2 - FBC x - FBD x = - 6,07 Kips . . . (E2) 2,5 4,9 Despejamos E1 y E2 para dejarla en función de F BC. FBC x

1,5 2,5

= - 40,66 Kips + F BD x

FBC = - 67,77 Kips + FBD x

- FBC x

2 2,5

= FBD x

FBC = - FBD x

5 9,8

2 4,9

11,25 7,35

4,5 4,9

⇒ FBC = - 40,66Kips x

2,5 1,5

+ FBD x

4,5 4,9

x

2,5 1,5

. . . (E1)

- 6,07 Kips ⇒ - FBC = FBD x

2 4,9

x

2,5 2

- 6,07 Kips x

2,5 2

+ 7,58 Kips . . . (E2)

Pagina 10 de 26

ESTATICA

Igualamos Ecuaciones y despejamos F BD, 11,25 5 - 67,77 Kips + FBD x = - FBD x + 7,58 Kips 7,35 9,8 FBD x

11,25 7,35

+ - FBD x

5 9,8

 11,25

= 75,35 Kips ⇒ FBD x 

+

 7,35

FBD x 2,04 = 75,35 Kips ⇒ FBD =

5 

 = 75,35 Kips

9,8 

75,35 Kips 2,04

FBD = 36,93 Kips C Sustituimos FBC en E1 para así obtener el valor de FBC, FBC x 1,5 - 36,93 Kips x 4,5 = - 40,66 Kips 2,5 4,9 1,5 2,5 FBC x = - 40,66 Kips + 33,94 Kips ⇒ FBD = - 6,72 Kips x 2,5 1,5

FBC = 11,2 Kips C Por simetría decimos que,

FBD = FDF = 36,93 Kips C FBC = FEF = 11,2 Kips C Análisis Nodo C:

ΣFY=0 - 11,2 Kips x C

FCD x

FAC

FCE

4 5

2 2,5

- FCD x

4 5

=0

= - 8,96 Kips ⇒ FCD = - 8,96 Kips x

4 FCD = 11,2 Kips T

4 2 FCD

3

1,5 FBC

5

ΣFX=0 3 + 11,2 Kips =0 2,5 5 FCE = 40,50 Kips + 6,72 Kips – 6,72 Kips

- 40,50Kips + FCE - 11,2 Kips x

1,5

FCE = 40,50 Kips T Por simetría decimos que,

FCD = FDE = 11,2 Kips T

Pagina 11 de 26 2

ESTATICA

EJERCICIO 6.1 (PROPUESTO) Con el método de los nodos, determine la fuerza en cada elemento de la armadura mostrada en la figura. Para cada elemento establezca se este se encuentra en tensión o en compresión. 315 N A 3m

B

C 1.25 m

4m

Cuerpo Libre: 315 N A 3m Bx

B C By

+

4m

RC

1.25 m

∑ MB = 0

-315 N * 4 m + RC * 5.25 m = 0 Pagina 12 de 26

ESTATICA

RC = (315 N * 4 m) / 5.25 m

→

RC = 240 N

∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 By + RC – 315 N = 0

→

By = 315 N – RC

By = 315 N – 240 N

→

By = 75 N

Análisis del Nodo C FCA FCA RC

CA 3

C FCB 1.25 m

FCB

RC

Calculo de CA. CA2 = (3 m)2 + (1.25 m)2 →

CA = 3.25 m

Aplicando la Ley del Seno RC

FCA =

3m

FCB =

3.25 m

1.25 m

FCA = (RC * 3.25 m) / 3m

→

FCA = (240 N * 3.25 m) / 3 m

FCA = 260 N

Pagina 13 de 26

ESTATICA

→

FCB = (RC * 1.25 m) / 3 m

FCB = (240 N * 1.25 m) / 3 m

FCB = 100 N

Análisis del Nodo B.

FBA 5 B

FBx

3 4 FBC

RC

Calculo de Medida BA. 2

2

BA = (3 m) + (4 m)

2

→

BA = 5 m

+ ∑ Fx = 0 FBA * 3/5 m + FBy = 0 FBA = (- FBy * 5 m) / 3 m FBA = -125 N

→

FBA = (-75 N * 5 m) / 3 m

FBA = 125 N

Pagina 14 de 26

ESTATICA

Con el uso del método de los nodos, determine la fuerza en cada uno de los nodos de los elementos de la armadura mostrada . 2000 lb

1000 lb 12 ft

A

B

12 ft

C

8 ft D 6 ft

E 12 ft

6 ft

Solución: Cuerpo Libre: 2000 lb

1000 lb 12 ft

B

Cy 12 ft

Cx

A

C 8 ft D

E RE

6 ft

12 ft

6 ft

+ ΣMc = 0 2.000lb*24 ft + 1.000 lb*12 ft – RE*6 ft = 0 RE= (2.000 lb*24 ft + 1.000*12 ft) / 12 ft → RE = 10.000 lb

Pagina 15 de 26 Sección II-332

ESTATICA

+ ↑ ΣFy = 0 - 2.000 lb – 1.000 lb + 10.000 lb + Cy = 0 Cy = 2.000 lb + 1.000 lb – 10.000 lb

→

Cy = - 7.000 lb

↓

Cy = 7.000 lb

Análisis nodo A 2.000 lb

A 4

FAD

2.000 lb

FAB 5

5

4

FAB

3

3 FAD

Aplicando La Ley del Seno: 2.000 lb _ 4

FAB =

FAD =

3

5

FAB = ( 2.000 lb * 3 ft) / 4 ft

→

FAB = 1.500 LB

FAD = ( 2.000 lb * 5 ft) / 4 ft

→

FAD = 2.500 LB

Análisis nodo D

2.500 lb

FDB

A

FDE

FDE

2.500 lb

3 FDB

5

5 Pagina 16 de 26

ESTATICA

Aplicando La Ley del Seno: 2.500 lb _ 5

FBD

FDE

=

= 5

3

FBD = (2.500 lb * 5 ft) / 5 ft

→

FBD = 2.500 lb

FDE = [(2.500 lb * 3 ft) / 5 ft] * 2

→

FDE = 3.000 lb

Análisis nodo B 1.000 lb

B 4

3

3

FBD = 2.500 lb

FBC 4 FBE

+ ↑ ΣFy = 0 -1.000 lb - (4/5) * 2.500 lb – (4/5) FBE = 0 FBE = 5 [ -1.000 L - (4/5) * 2.500 lb] / 4 FBE = 3.750 lb

→

FBE = - 3.750 lb

↑

+ → ΣFX = 0 FBC – 1.500 lb – 2.500 Lb * 3/5 – 3.750 * 3/5 = 0 FBC = 1.500 lb + 2.500 Lb * 3/5 + 3.750 * 3/5

→

FBC = 5250 lb

Pagina 17 de 26

ESTATICA

Análisis nodo E FBE = 3.750 lb

FEC 5

4

5

3

FED = 3.000 lb

4 3

E

RE = 10.000 lb + → ΣFx = 0 3.000 lb + 3.750 lb * 3/5 + FEC * 3/5 = 0 (-3.000 lb - 3.750 lb * 3/5) 5 FEC =

→

FEC = -8.750 lb

←

FEC = 8.750 lb

3

Análisis nodo C Cy = 7.000 lb

FCE = 8.750 lb

C 4

3

Cx = 0

FCE = 8.750 lb ΣFx = - 5.250 lb + 8.750 lb * 3/5 = - 5.250 lb + 5.250 lb = 0 ΣFy = - 7.000 lb + 8.750 lb * 3/5 = - 7.000 lb + 7.000 lb = 0

Con los valores de FCE y FCB se pueden determinar las reacciones Cx y Cy considerando el equilibrio de este nodo.

Pagina 18 de 26

ESTATICA

Aplicando La Ley del Seno: 2.500 lb _ 5

FBD

FDE

=

= 5

3

FBD = (2.500 lb * 5 ft) / 5 ft

→

FBD = 2.500 lb

FDE = [(2.500 lb * 3 ft) / 5 ft] * 2

→

FDE = 3.000 lb

Análisis nodo B 1.000 lb

B 4

3

3

FBD = 2.500 lb

FBC 4 FBE

+ ↑ ΣFy = 0 -1.000 lb - (4/5) * 2.500 lb – (4/5) FBE = 0 FBE = 5 [ -1.000 L - (4/5) * 2.500 lb] / 4 FBE = 3.750 lb

→

FBE = - 3.750 lb

↑

+ → ΣFX = 0 FBC – 1.500 lb – 2.500 Lb * 3/5 – 3.750 * 3/5 = 0 FBC = 1.500 lb + 2.500 Lb * 3/5 + 3.750 * 3/5

→

FBC = 5250 lb

Pagina 17 de 26

ESTATICA

+↑ ∑ Fy = 0 Fby + RC - 2,4 k N = 0

→

Fby = - 3.36 kN + 2.4 kN → Fby = 0.96 kN

Fby = - RC + 2,4 k N Fby = - 0.96 kN

↓

+ → ∑ Fx = 0 Fbx - 1,8 k N = 0 →

Fbx = 1,8 k N

Análisis del Nodo D. 2.4 kN FDA FDA

2.4 kN

DA 2m

D FDC

.2.1 m

FDC

Calculo de CA. DA2 = (2 m)2 + (2.1 m)2 →

DA = 2.9 m

Aplicando la Ley del Seno 2.4 kN

FDA =

2m

FDC =

2.9 m

2.1 m

FDA = 2.4 kN * 2.9 m / 2 m

→

FDA = 3.48 kN

FDC = 2.4 kN * 2.1 m / 2 m

→

FDC = 2.52 kN

Pagina 20 de 26

ESTATICA

Análisis del Nodo B.

FBA 2.5 FBx

B

2

1.5 FBC

RC

+↑ ∑ Fy = 0 Fby - FAB * (2/2.5) m = 0

→

FAB = (0.96 kN * 2.5 m )/ 2 m

FAB = 1.2 kN

+ → ∑ Fx = 0

Fbx + FBC + FAB * (1.5/2.5) m = 0 FBC = - Fbx – FAB * (1.5/2.5) m FBC = - 1.8 kN – 1.2 kN * (1.5/2.5) m

→

FBC = - 2.52 kN

FBC = 2.52 kN ←

Pagina 21 de 26

ESTATICA

Análisis del Nodo C. FCA

FCB

B

FCD

RC

+↑ ∑ Fy = 0 RC + FAC = 0

→

FAC = - RC

→

FAC = - 3.36 kN

FAC = 3.36 kN ↓

Pagina 22 de 26

ESTATICA

EJERCICIO 6.5 (PROPUESTO) Con el método de los nodos, determine la fuerza en cada elemento de la armadura mostrada en la figura. Para cada elemento establezca se este se encuentra en tensión o en compresión. 6 KN

A 3 KN

3 KN 1,5 m

C

B

D E

1m

2m

2m

1m

Cuerpo Libre 6 kN

A 3 kN

3 kN 1.5 m C

B Fcx

1m

D Fcy 2m

RD 2m

E

1m

+ ∑ MC = 0 3 k N * 1 m – 6 kN * 2 m + RD * 4 m - 3 kN * 5 m = 0 RD = (6 k N * 2 m + 3 kN * 5 m - 3 kN * 1 m) / 4 m

→

RD = 6 k N Pagina 23 de 26

ESTATICA

+↑ ∑ Fy = 0 FCy + RD - 3 k N – 6 Kn – 3 kN = 0 →

→ FCy = 6 k N

FCy = 3 k N + 6 Kn + 3 kN - 6 k N

+ → ∑ Fx = 0

Calculo de medidas. AE2 = (1.5 m)2 + (3 m)2

→

AE = 3.35 m

→

AD = 2.5 m

AE = AB = 3.35 M AD2 = (1.5 m)2 + (2 m)2

AD = AC = 2.5 M

Análisis del Nodo E.

3 kN FEA FEA 3 kN

3.35 m 1.5 m

E FED FED

3m

Pagina 24 de 26

ESTATICA

Aplicando la Ley del Seno 3 kN

FEA

FED

=

=

1.5 m

3.35 m

3m

FEA = 3 kN * 3.35 m / 1.5 m

→

FEA = 6.7 kN

FED = 3 kN * 3 m / 1.5 m

→

FED = 6.0 kN

Análisis del Nodo D.

FDA 1.5 FDC

2.5 2 D

FDE

RD +↑ ∑ Fy = 0 RD + FDA * (1.5 / 2.5) m = 0

→

FDA = (- RD * 2.5 m) / 1.5 m

FDA = (- 6kN * 2.5 m) / 1.5 m

→

FDA = - 10 k N

→

FDC = - 2 kN

FDA = 10 k N ↓

+ → ∑ Fx = 0 - FDC + FDA * (2 / 2.5) m + FDE = 0 FDC = - 10 kN * (2 / 2.5) m + 6 kN FDC = 2 kN ← Pagina 25 de 26

ESTATICA

Nota: Como la estructura es simétrica entonces tenemos que: FEA =FBA=6.7 kN FDA = FCA = - 10 k N FEC = FCB = 6 kN

Pagina 26 de 26