PROBLEMAS RESUELTOS

RESISTENCIA DE MATERIALES DEFLEXION DE VIGAS DEFLEXION DE VIGAS - FUNCIONES DE DISCONTINUIDAD El proceso de obtención de la ecuación de la elástica de una viga, cuando esta presenta muchas discontinuidades (figura n° 1) debido a cambios de carga, deriva en la formulación y resolución de muchas ecuaciones, que a la vez incrementan la probabilidad de cometer errores en los cálculos. El matemático alemán A. Clebsch planteó la resolución de las ecuaciones de la elástica utilizando las funciones de discontinuidad, así la base lógica de estas funciones permite analizar la respuesta transitoria de un circuito, que en este caso se convierte en la respuesta transitoria (en el tramo) de la ecuación de deflexión de una viga. Una particularidad de estas funciones es que nos permite establecer una sola función de deflexión para toda la viga, con lo que se anula la necesidad de establecer condiciones de coincidencia (condiciones de frontera) para cada ecuación en cada tramo. Figura n° 1

Momento Carga

Función de carga

Cortante .

.









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RESISTENCIA DE MATERIALES DEFLEXION DE VIGAS Para el análisis de deflexión en vigas se usan dos operadores matemáticos:  Funciones de Macaulay  Funciones de singularidad FUNCIONES DE MACAULAY Describen las cargas distribuidas. Se escriben en la siguiente forma general: 〈

〉

{

(

)

Las integraciones de las funciones de Macaulay tienen las mismas reglas que para las funciones ordinarias. 〈

〉

∫〈

〉

Observe también en la tabla anterior, que la carga uniforme la carga triangular ( ).

(

) así también

FUNCIONES DE SINGULARIDAD Describen el lugar del punto de aplicación de las fuerzas concentradas o momentos par que actúan sobre una viga o eje. 〈

〉

{

Observe que aquí , para que las unidades de W sean fuerza entre longitud, tal como deben. En forma parecida: 〈

〉

{

La integración de las dos funciones anteriores de singularidad es de la forma siguiente: ∫〈

〉

〈

〉

NOTA: Las fuerzas concentradas y las cargas distribuidas son positivas hacia abajo, y los momentos de par son positivos en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Esto hace que coincida con lo hecho en el método de la doble integración. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

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RESISTENCIA DE MATERIALES DEFLEXION DE VIGAS PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA 1: Determine la ecuación de la curva elástica. EI es una constante.

SOLUCION:

RA

RB Hallamos las reacciones mediante la sumatoria de momentos respecto al punto A, y la sumatoria de momentos en el eje Y (vertical): ∑ (

(

)

∑

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) (

(

)

)

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RESISTENCIA DE MATERIALES DEFLEXION DE VIGAS

Luego usando las funciones de singularidad, hallamos la distribución de carga sobre la viga: 〈 〈

〉 〉

〈 〈

〉 〉

〈 〈

〉 〉

〈

〉

〈

〉

〈

〉

Y la fuerza córtante será: ∫ 〈

〉

Por lo tanto, el momento flector nos resulta: ∫ 〈

〉

〈

〉

A continuación calculamos la ecuación de la curva elástica mediante la definición:

〈

〉

〈

∫(

〉

〈

〈

( )

〉

〈

∫(

〈

〉 〉

[

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〈

〉

〈

〉

〈 〈

〈

〉

〉

〉 )

〈

〉

〈

〉

〈 〈

〉

〈

〉 〉

〈

)

〉 〉

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RESISTENCIA DE MATERIALES DEFLEXION DE VIGAS

Hallamos las constantes por medio de las condiciones de frontera: ( 〈

[

( )

( )

[

( )

)

〉

〈

( )

〉

( )

( )

(

(

)

〈

[

( )

[

(

)

]

)

〉

(

]

〈

)

〉

(

] (

)

)

]

Por lo tanto, reemplazando los valores de las constantes en la ecuación de la curva elástica, se obtiene: ( )

[

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〈

〉

〈

〉

]

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RESISTENCIA DE MATERIALES DEFLEXION DE VIGAS

PROBLEMA 2: La viga está sujeta a la carga distribuida como se muestra la figura. Deduzca la ecuación de la curva elástica. EI es constante.

SOLUCION: Hallamos las reacciones en los apoyos y distribuimos convenientemente para aplicar el metodo de funciones singulares.

〈

〉

〈

〉

〈

〉

〈

〉

〈

〉

〈

〉

〈

〉

〈

〉

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〉

cargas

〉

〈

〈

las

〈

〉

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RESISTENCIA DE MATERIALES DEFLEXION DE VIGAS RESOLVIENDO LA ECUACION: 〈 〈 〈

〉

〉

〈

〉

〈 〈

〉 〉

〉

( )

CONDICIONES EN LA FRONTERA:  En (1): ( )  En (1): ( ) RESOLVIENDO (2) Y (3):

(

〈

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〉

〈

〉

)

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RESISTENCIA DE MATERIALES DEFLEXION DE VIGAS Ejemplos de Transmisión de Potencia Molino Casero

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RESISTENCIA DE MATERIALES DEFLEXION DE VIGAS

Máquina de Rotomoldeo

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RESISTENCIA DE MATERIALES DEFLEXION DE VIGAS Modelos más Sencillos

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RESISTENCIA DE MATERIALES DEFLEXION DE VIGAS TRANSMISION DE POTENCIA EN UN AUTOMOVIL El sistema de transmisión es el conjunto de elementos que tiene la misión de hacer llegar el giro del motor hasta las ruedas motrices.  Embrague  Caja de velocidades  Árbol de transmisión  Mecanismo par cónico diferencial  Juntas de transmisión  Semiarboles de transmisión

TIPOS DE TRRANSMISION: •

Motor delantero y tracción

•

Motor delantero y propulsión trasera

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RESISTENCIA DE MATERIALES DEFLEXION DE VIGAS •

Transmisión total

Los dos puentes o ejes motrices llevan un diferencial cada uno. Con esta transmisión pueden, a voluntad del conductor, enviar el movimiento a los dos puentes o solamente al trasero. Este sistema se monta frecuentemente en vehículos todo terreno y en camiones de grandes tonelajes sobre todo los que se dedican a la construcción y obras públicas.

MECANISMOS DE TRANSMISION DE POTENCIA  Embrague: El embrague es un sistema que permite transmitir una energía mecánica a su acción final gradualmente. Permite moderar los choques mecánicos evitando, por ejemplo, que el motor se detenga o que los componentes de los sistemas se rompan por la brusquedad que se produce entre la inercia de un componente que se encuentra en reposo y la potencia instantánea transmitida por el otro.

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RESISTENCIA DE MATERIALES DEFLEXION DE VIGAS  Caja de velocidades La caja de cambios es un elemento mecánico que transforma el par motor y las revoluciones desarrolladas por el motor para adaptar la fuerza a las condiciones de conducción sobre el terreno.

 Árbol de transmisión Encargados de transmitir potencia de la caja de velocidades al par cónico diferencial (no siempre es necesario). Están sometidos en su funcionamiento a esfuerzos constantes de torsión que son contrarrestados por la elasticidad del material. Por este motivo están diseñados para que aguanten el máximo de revoluciones sin deformarse.

 Par cónico diferencial Permite el movimiento independiente de las ruedas motrices. Cuando el vehículo da una curva, circula por desniveles o rueda con los neumáticos a diferentes presiones sus ruedas propulsoras puedan rotar a diferentes velocidades sin patinar sobre el suelo.

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RESISTENCIA DE MATERIALES DEFLEXION DE VIGAS CONCLUSIONES  Las funciones de discontinuidad, tanto las funciones de Macaulay como las de singularidad, nos permiten simplificar enormemente el cálculo de la ecuación de la curva elástica de una viga, especialmente cuando se tiene diversas cargas y/o momentos actuando en esta; debido a que, se tendría diferentes expresiones para el momento flector por tramos de la viga, y condiciones de frontera entre tramo y tramo.

 Es gracias a estas funciones, que podemos hallar el momento flector a lo largo de dicha viga con tan solo una expresión, facilitando así el cálculo de la ecuación de la elástica.

 La transmisión de potencia es muy común en cualquier tipo de máquina, es de gran importancia en el mundo industrial, motivo por el cual sea un amplio tema de estudio para los ingenieros que requieren de su campo.

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