Problemas Resueltos Vibraciones en Ingenieria Mecanica - UPV

PROBLEMAS RESUELTOS DE VIBRACIONES EN INGENIERÍA MECÁNICA

Javier Carballeira Morado Feo. Javier Fuenmayor Fernández Ana Mª Pedrosa Sánchez Alejandro Roda Buch

Departamento de Ingeniería Mecánica y de Materiales Ref.: 2009.285

Edita:

EDITORIAL DE LA UPV Camino de Vera, s/n 46071 VALENCIA Tel. 96-387 70 12 Fax 96-387 79 12

Imprime: DIAZOTEC S.A.

Depósito Legal: V-673-2004

PRÓLOGO

Esta colección de problemas está dirigida a alumnos de ingeniería mecánica y pretende complementar los ejemplos y la teoría presentados en el aula. Se trata de problemas que han aparecido en exámenes de la asignatura de "Vibraciones Mecánicas" en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de la Universidad Politécnica de Valencia. La idea fundamental que ha llevado a los autores a preparar esta colección ha sido la de mostrar diferentes metodologías de las que disponen los alumnos para el planteamiento y la resolución de los problemas habituales en cursos de introducción a las vibraciones en ingeniería mecánica. El libro está dividido en dos bloques: problemas de un grado de libertad y problemas de varios grados de libertad. Dado que los problemas aquí presentados abarcan distintas problemáticas y requieren la aplicación de distintos conceptos relacionados entre sí, se ha preparado un breve índice temático para cada uno de los bloques. En ellos el lector puede encontrar una rápida referencia hacia aquellos problemas en los que se trabaja el tema sobre el que se pretenda incidir.

1· 1

1

ÍNDICE TEMÁTICO 1 G.D.L.

Acción gravitatoria

7,9,10,15,17,18

Fuerzas transmitidas 1,2,3,5,13,14,17 ........................................................................................................................................................................................................................................................... Función de Respuesta en Frecuencia 3,15 Funciones de excitación periódicas •

2,3,18

Funciones armónicas Series de Fourier

4

Notación compleja

1,5,12,15

Funciones de excitación no periódicas •

•

Función escalón

4,11,12

Función rampa

12,13,16

Función exponencial

11

Función cosenoidal

17

..........................................................................................................................................................................................................................................................

Integral de convolución o de Duhamel

16

Movimiento de la base

2,7,9,15,17

..........................................................................................................................................................................................................................................................

Planteamiento del problema •

porNewton

•

por Lagrange

•

por Trabajos Virtuales

1,2 3,5,6,7,8,9,10,15,18 9 3,5,8,9,15,18

Principio de los Trabajos Virtuales Respuesta del sistema •

transitoria

•

en régimen permanente

4,11,12,13,14,16 2,3,4,5,11,12,18

Sistemas •

no amortiguados

•

amortiguados

4,6,7,8,9,10 1,2,3,4,5, 7,8,11,12,13, 14,15, 16,17 ,18

¡¡

ÍNDICE TEMÁTICO N G.D.L.

8

Acción gravitatoria Amortiguamiento proporcional

2,3

Descomposición modal

1,2,3,5

Funciones de excitación periódicas

1,3,6,7,8

Funciones de excitación no periódicas

2,5,9

Funciones de Respuesta en Frecuencia

6,8

Movimiento de la base

3,8

Planteamiento del problema •

por Newton

•

por Lagrange

2,3 1,4,5,6,7,8,9

.......................................................................................................................................................................................................................................................... Principio de los Trabajos Virtuales

1,5,7,8,9

oooooooooooooooooo•• ooooooooouoo oo o•••••••• • oouoooooooo•••••••••••••••••••••••••oooooooo••••noo••••••••o••••••••••••ouo••••••••ooooooooou•ooooouo••O•Ooonoooou o o o oooooo••n• o ouoouuoonooo••••••• o oooooo•o••••••••••••••• •o ooooooo•••• oo ooooooo

Respuesta del sistema •

transitoria

•

en régimen permanente

2,4,5,9 1,3,6,7,8

Sistemas •

no amortiguados

•

amortiguados

1,4,5,6,7,9 2,3,8

1

¡¡¡

ÍNDICE Problemas de 1 g.d.I. Problema 1

3

Problema 2

7

Problema 3

11

Problema 4

17

Problema 5

25

Problema 6

31

Problema 7

35

Problema 8

39

Problema 9

43

Problema 10

49

Problema 11

55

Problema 12

59

Problema 13

65

Problema 14

71

Problema 15

77

Problema 16

83

Problema 17

89

Problema 18

93

Problemas de N g.d.I. Problema 1

99

Problema 2

105

Problema 3

109

Problema 4

113

Problema 5

117

Problema 6

123

Problema 7

131

Problema 8

137

Problema 9

143

iv

1. '

PROBLEMAS DE 1 G.D.L.

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

PROBLEMA 1

3

X

una máquina de masa total m está soportada por una suspensión de rigidez k y constante de amortiguamiento c. La máquina tiene un rotor desequilibrado, caracterizado por una masa me situada a una distancia e del eje de giro. Considerando únicamente el movimiento vertical, obtener en función de la velocidad de giro del rotor m: ,,

',

' u(t)

...,

m

ro~

' .....

k

Figura 1 a) Expresión de la amplitud y desfase de la respuesta en régimen permanente. b) Expresión de la fuerza transmitida a la base en régimen permanente.

4

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

Apartado a): Aunque el giro del rotor tenga velocidad angular constante, su centro de masas sufre la aceleración centrípeta debido al movimiento de rotación. Esta aceleración hará que aparezca una fuerza centrífuga. Esta fuerza tiene la dirección radial, sentido hacia el exterior de la trayectoria y módulo igual a la masa por la aceleración. Desde el punto de vista del rotor, se trata de una fuerza constante en dirección y módulo, sin embargo, desde el punto de vista de la máquina es una fuerza constante en módulo pero variable en dirección, por lo que las proyecciones serán variables en el tiempo. En el caso de la proyección vertical, que es la que interviene en el problema planteado:

y

Figura 2: Proyección de la fuerza en ejes coordenados FY

=m.-e-m'-ser(~)= ~er(m-t)

(1)

u(t)

l

k-u

I¡

Figura 3: Diagrama de sólido libre

I· 1

De este modo, el problema consiste en obtener la respuesta para un sistema de 1 g.d.I. amortiguado sometido a una acción que varía armónicamente en el tiempo. La respuesta es de la forma: m · ü +e· ú + k ·u =me ·e· ro 2 · sen{ro · t) U(t) =U· S~©· t-=ar{(-m

~/~~)+~

f. ) ( Ftransm1t1rJJ \t = me

·e· ro

2)

e co

J Jr--e-+(e--ro-'!

~(- m. ro 2 + k )2 +(e · co)2

_¡

· seri.ro · t + cp

)

(6)

6

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

7

PROBLEMA 2 )< En la figura 1 se esquematiza un sistema de 1 g.d.I. excitado mediante un movimiento armónico z(t). calcular en régimen permanente: a) Amplitud y desfase del movimiento u(t) respecto a z(t). b) Fuerza transmitida a la bancada. c)

Fuerza aplicada en A.

.. u

m k

e

.. z(t)

k

A k

Figura 1

8

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

Apartado a):

Por tratarse de un sistema formado por una única masa, resulta sencillo aplicar el método de Newton para obtener la ecuación del movimiento del sistema: j,

u

m

k·u

Figura 2: Diagrama de sólido libre ~

IJ"=m·a

-k·u-c·ti-k-(u-z)=m·ü (1)

m·Ü+C·Ü+2·k·U= k·Z

Si el movimiento z(t) es armónico, tal y como se indica en el enunciado, la respuesta u(t) también lo será: ú(t)

=i

·(J)·

u.f!-o>t

ü( t) =

-(JJ

2

-

Ü· e;"'-t

(2)

Sustituyendo en la ecuación diferencial,se obtiene la relación entre la amplitud del movimiento u(t) y z(t) y el desfase: 2 ( -m·m

• 2 · k) ·U - ·e l·OJ·t +1·m·c+

¡ ~ J~

k-m :

arÍ u{t))- arctÍ

\_Zíl --

2

- l·f»

(2)

k·uP(t)=f

=>

f

uP(t)=-¡¡

La frecuencia natural del sistema será: ro = n

fk"" = Vm

61 BOOON I m = 27'794rad / s BOOkg

(3)

Por tanto, la respuesta tendrá la siguiente expresión: (4)

Para determinar A 1 y A 2 , se imponen las condiciones iniciales del sistema: (5)

Los valores de A1 y A 2 serán:

u(t = O)= A¡ · 1 + Ai . O+!.. k

=>

A¡ =

f

k

1500N 618000N /m

2•4272.10-3 (6)

Li(t) = -A1 ·ron· ser(ron · t)+ Ai ·Wn · cos{Wn · t)

Entonces, la respuesta temporal durante los primeros 0'01 s es:

u(t) =-2'4272 .10-3 . co~27'794· t)+ 2' 4272· 10-3

(m)

(7)

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

19

A partir de este instante, la fuerza deja de existir y por lo tanto se trata de un problema de vibraciones libres en el que se parte de las condiciones del sistema en el instante 0'01 s. Estas condiciones se pueden calcular a partir de la respuesta temporal (7): u'o = u(t =o •01) = -2 '4272 .10-3 ·cos(27' 794.

o· 01) + 2• 4272.10-3

= 9 '315

.1fr5 m (8)

u'o = ü(t =o '01)

= 2• 4272.10- 3

.

27' 794. ser(27' 794. t) = 18' 51.10- 3 m/ s

La respuesta temporal del sistema, a partir de este instante, tiene la forma de la solución homogénea de la ecuación (1). La única diferencia radica en el diferente origen de tiempos, es decir, la respuesta en vibraciones libres empieza en 0'01 s en vez de en O, de manera que la expresión es válida para t' = t - 0'01. Para calcular 81 y 82 se emplean los valores calculados en (8):

(9) u(t) = 9 '315 .10- 5 · cod,.27' 794 · t') + ... = 9'315 .10- 5

18' 51.10- 3 ser(27' 794 · t') = ... 27' 794

·cos(27' 794. (t-0'01))+ 0'666 .10- 3 · ser(27' 794 · (t-0 '01))

Finalmente, la respuesta temporal del sistema es: u(t)= -2'4272 .10-3 . cod,_27' 794 · t)+ 2• 4272.10-3

t < 0'01s

u(t)=9'315·10- 5 -cos(27'794-(t-0'01))+0'666·10-3 -ser(27'794 · (t-0'01))

t '?.0'01s

Apartado b): Para obtener la respuesta del sistema se puede utilizar la descomposición en serie de Fourier.

(lO)

20

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

1500

-

-

-

-

1000

500

0.05

0.1

0.15

Figura 2: Excitación periódica Para simplificar la descomposición en serie de Fourier de la fuerza, se utiliza un nuevo origen temporal: t* =t-0'005

(11)

'

-

o

-0.02

0.02

Figura 3: Nuevo origen temporal Se trata de un función par con periodo T

= 0'04 s.

La serie de Fourier será:

(12) p = 1,2 ... oo

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

bp =O

'rfp

(función par)

ªº =-T2

4 T/2 4 0'005 4 ff(t)·dt=- ft(t)·dt=- f1500·dt=-(1500·0'005)=750 -T 12 T o T o T

2 aP = T

-T/2

T/2

4 T /2 4 f f(t)· cos{c:oP · t)· dt = - Jf(t)· co~c:oP · t)· dt = T o T

T /2

4 . 1500 ,_ ( .,.J )) ... = - T - - · t'en\% . O 005 - se111,.c:op · O . C:Op 1

...

21

)

0'005

f 1500 · cos(c:oP. t)· dt = ... o

(13)

_4_·l_s_o_o_. serÍ P. _2_.n_. 0 , oos) =

T·P · 2·n T

"\

T

...

=~·serÍp.!:...) P·n "\ 4

La expresión de la fuerza en series de Fourier es:

1..

n) n)

750 (2.1500 f(t • )=--+ ---·Se{ p·2 p=1 p · 11: 4 00

_¡ ·CO~C:O

p

·t ·))

750 L (2 · 1500 .J f(t)=-+ -.--se{ P·- ·CO::>\% · (t-0 , 005 2 p=1 p 11: 4

))J =f

0

00

+ LfP(t) P=1

2000

1000

500

o

-so f(t) f(t) mediante serie de Fourier con 10 términos f(t) mediante serie de Fourier con 50 términos

Figura 4: Representación en series de Fourier

(14)

22

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

En la figura anterior se puede comprobar que para representar con una cierta fidelidad una función discontínua son necesarios muchos términos de la serie de Fourier. La respuesta en régimen permanente se puede obtener a partir de la Función de Respuesta en Frecuencia y la expresión en series de Fourier de la fuerza, aplicando el Principio de Superposición:

H(w) = !i: f

1

(15)

k-m-oi

(16)

A continuación se representa la respuesta para 1, 2 y 5 términos de la serie: 0.00065

0.0006

0.00055

-+----~1-------t-----+----~1--------4

o

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

1 término de la serie 2 términos de la serie 5 términos de la serie

Figura 5: Respuesta en régimen permanente Como puede observarse, la respuesta es función básicamente de los dos primeros términos de la serie. Esto se debe a la relación entre las frecuencias de excitación (rop) y la frecuencia natural del sistema ron, ya que las primeras son mucho mayores que la última. De ahí que si se representa gráficamente la contribución de cada frecuencia armónica (mp), claramente se ve que son los primeros términos los que tienen una mayor presencia en la respuesta:

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

o

15

10

20

25

23

30

Figura 6: Primeros armónicos (hasta p=S) de la respuesta frente ar donde r = m,/mn

Apartado e): En el caso de que el sistema fuese amortiguado, la solución en reg1men permanente se obtendría de forma análoga, teniendo en cuenta que la Función de Respuesta en Frecuencia es ahora diferente:

, H:. JJ+i 2., ·(:.J

H(m)=!i:

75

u(t)= 2

1/k

º+f,(í

·k

P=1

l/k

(17)

]· 2 · 1500 .seÍp.!:..)·cO~IDp·(t-0'005)-aP)] l

~(1 - r; f + v.2. ( . rp y

P · ir

.

4

(18) ap =arctg

Gráficamente,

(

2 · ( · rp J 1Z

24

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

o

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Amortiguado • • No amortiguado Figura 7: Respuesta amortiguada frente a no amortiguada

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

25

PROBLEMA 5 x La figura 1 muestra un motor eléctrico con una transmisión por correa, con una rigidez por ramal kc. El motor está montado sobre una barra uniforme (masa m y momento de inercia respecto al cdg I) articulada en un punto fijo o. El resorte de rigidez k permite imponer una determinada tensión en la correa y el amortiguador e se utiliza para reducir el nivel de vibraciones. suponer que el rotor del motor está desquilibrado (masa del rotor mr y excentricidad e) y que gira a 1500 rpm. Considerando la hipótesis de pequeños desplazamientos: a) Obtener la ecuación diferencial de movimiento del sistema utilizando como g.d.I. el giro 8 de la barra (no considerar el giro del rotor como g.d.I.). b) Obtener la amplitud permanente. c)

de

movimiento

del

sistema

en

régimen

Calcular la fuerza vertical transmitida a través de la articulación O.

a b g -.A -

f

e

G

e

0

A

e

m I k

kc Figura 1

Datos geométricos: a= 1'2 m ; b = 1'0 m ; f = 0'1 m ; g = 0'5 m; d = 0'1 m Rigideces/Amortiguamientos: k = 7·10 5 N/m; kc = 5·104 N/m; e= 104 N/(m/s) Datos inerciales: mm = 200 kg ; Im =4 kg·m 2

m =60 kg ; I = 7'2 kg·m Excentricidad, e= 0'1 mm

2

;

mr =SO kg ;

26

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

Apartado a): El primer paso consiste en obtener las relaciones cinemáticas entre las distintas coordenadas y velocidades de cdg y puntos de unión con elementos elásticos y amortiguadores y la coordenada generalizada asociada al g.d.I. fJ y su velocidad. Para ello, se parte de una configuración arbitraria determinada por un giro fJy se tiene en cuenta la hipótesis de pequeños desplazamientos.

e

A

G

Figura 2: Configuración arbitraria Relaciones cinemáticas:

x

{r:}

=

-1

{-!..coso} seno

(1)

(2,

· ~ {~ª}={ (b·senO-f·cosO)·B·} ~ {xª}={-b·cosO-f·seno} Ya -b ·seno +f ·coso Ys (-b. coso -f · seno).o

{-g ·COSO} {Xc} Ye = -g·seno xº} = {-b. coso - f ·seno -d / 2} {Yo -b ·seno+ f ·Coso

Vs =Jb2+f2 .(j

(3 (4.

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

27

xE} = {-b ·coso -f. seno +d / 2} {YE -b· seno +f ·cose

(6)

(Se supone que los puntos D y E son tangentes en dirección vertical a la polea, y por lo tanto su coordenada y es igual a la del punto B. Sería también admisible considerar su rotación con respecto al punto B del ángulo 8) Las energías cinética y potencial pueden expresarse como:

(7)

(8)

Aplicando Lagrange se obtiene: meq ·O+keq ·O

=Os

donde

meq = 234'8kg-m 2

;

keq =8·10 5 N-m/rad

( 9)

El término de la parte de derecha de la ecuación, Q¡, debe de tener en cuenta la fuerza exterior aplicada y la correspondiente al amortiguador c. La fuerza debida al desequilibrio tiene un módulo constante mr·e·al y gira a la velocidad angular del rotor m. Esta fuerza puede descomponerse en los ejes vertical y horizontal, actuando en el punto B:

f: = mr · e · co

2

fl = mr ·e· co2

·

co~co · t)

·

ser(co · t)

(10)

La fuerza que ejerce el amortiguador es: fe = -e . ye =

e. g . coso . e := e. g . iJ

(11)

Para obtener la fuerza generalizada Q 9 se puede emplear el Principio de los Trabajos Virtuales:

f: ·8 X

8

+ f %· 8 Y8 + fe · 8Y e = Qe · {;()

8x8 =(b-senO-f-cosO)·@==-f·@ = (- b. coso -f. seno)·@ == -b · {;() { 8 Y e = -g ·coso· 88 = -g · {;()

donde 8 y 8 ~

Q9 = -f ·

(12)

t; -b · f% - g ·fe = ...

... =-f·mr ·e·co 2 -cos(co-t)-b·mr -e-co 2 -ser(ro-t)-c-g 2

·O

De modo que la ecuación diferencial de movimiento resulta:

'

28

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

meo ·O+c.. ·B+k.. ·O=f0 -cos(m · t)+f1 · ser(m -t), d

d on e

m=1500rpm=157'08rad/s Ceq=c-g 2 =2500N · m · s f 0 =-m,·e ·f·m2 =-12'34N-m f 1 =-m,·e·b·m 2 =-123'37N·m

(13)

Apartado b): Como

f 0 . cos(w . t)+ f,. ser/...m. t)= ReKf0

-

i . Fi)· ei"''],

considerando

notación

exponencial compleja, se puede escribir: (14)

La respuesta será de la forma: (15)

La amplitud de respuesta será: 0=

f = A - Bi=4.38 ·10- 6 - 2.4310- 5 ·i k •• - m •• ·w 2 +l · m·Ceq

(16)

La parte real de (15) será la respuesta temporal y su módulo la amplitud del movimiento en régimen permanente:

e(t)= Re~· e'mt ] = A· cos(w · t)+ B · ser(w · t)= ... ... = 4'38·10- 6 -cos(w· t)+2•43.10-5 -serl_m -t)

Módulo -t

je,I = 2.47 -1"O, la posición de la barra 2 está definida por el ángulo -{80 +AB}. El desarrollo en serie de Taylor de cos(8) y sen(B) a partir de Ja posición 80 es: f(x + Lllt

es: (m)

(9)

En la figura se muestra la comparación entre la respuesta exacta para a= 3, 10 y 20, y la respuesta límite. Como puede observarse, la respuesta exacta se acerca a la respuesta límite a medida que a aumenta.

'I

58

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica 0.6

.. ···

u(t,3)

.... -··. ·-··

u(t, 10) u(t,20)0.2

o

2

Figura 2: Comparación entre la respuesta límite y las respuestas exactas para diferentes valores de a

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

59

PROBLEMA 12 '>< En la Figura 1 se muestra un sistema de 1 g.d.I. utilizado como captador de presión. La medida de la presión realizada es proporcional al desplazamiento de la masa m, es decir Pm(t) = {3·u(t).

m =0'25 kg

P1 =50 kPa

p(t)

c=5 N·s/m

k

ti= 0'2 5

e

m p(t) d Figura 1

k

= 2500

N/m

d=0'05 m

t¡

Figura 2

Considerando que la presión varía armónicamente, calcular para régimen permanente: a) Valor de la constante f3 y rango de frecuencias [O, Wmax] en el que puede ser utilizado el captador, de forma que el error en la amplitud de presión medida sea de ± 5%. Calcular también el desfase máximo que se produce en este rango entre la presión real y la medida. Suponiendo que la variación de la presión es la mostrada en la Figura 2, y que las condiciones iniciales son nulas: b) Calcular la evolución temporal de la presión medida por el captador.

• 1

60

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

Apartado a)

La ecuación correspondiente a un sistema de 1 g.d.I., considerando que está 2

sometido a una excitación armónica de amplitud

ir · :

75 y frecuencia de

excitación m, es: mi.J··

2

tr·d - /·ro·t + C·U· + k ·U = f( t ) = -4-·p·e

(1)

u-e

1 La respuesta será de la forma u(t) = ·ro·t, siendo ü la amplitud de la respuesta. Sustituyendo esta expresión en la ecuación (1), se obtiene para régimen permanente:

tr·d

ü

2

-

-4-·p

(2)

k- mol+ i·C"(J)

1- r 2 + i·2y;·r

donde la frecuencia natural, ro,,, el amortiguamiento relativo, (, la frecuencia amortiguada, aJcJ, y la relación de frecuencias, r, vienen dadas por: ron

=

g.

= 100 rad / s

(7)

(º'95)

2

=>

4 2 rmax +(4~ 2 -2)·rmax

+1- 1'05

=O

=>

rmax =

0'312

Por lo tanto, la máxima frecuencia que podrá medir el captador de presión sin superar un error del± 5% será: Wmax

= r max"CO = 31'20 rad / S

(8)

El valor del desfase máximo también se obtiene para la máxima frecuencia y se calcula como:

62

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

argpm)r

=-arcta

r. =max

2·~·r. ) = -3'95So {--T 1rmax

(9)

Que equivale a un retraso de 0'694 ms a la frecuencia máxima.

Apartado b) Considerando la presión aplicada sobre el sistema, la ecuación diferencial resultante en este caso será:

(10)

Solución de la ecuación diferencial para el intervalo de tiempo (a): La solución de la ecuación diferencial se compone de la solución homogénea más la particular:

(11)

upa ( t) = a + bt

Sustituyendo la solución particular en la ecuación diferencial (10) se obtienen los valores a y b: '

a = - e·~

k .

= -3'93·10-4

(12)

b

=!.!_ = G196 k

Las constantes A 1 y A2 se obtienen a partir de las condiciones iniciales nulas parat=Os: uª(t =O)= O => A1 =-a= 3'93·10-4

¿: A,

. (t = Ua

O)

=O

=> A2

= ~·ron(J)dg.-

b

-1'93·10-3

(13)

Por lo tanto, la solución para intervalo de tiempo Os t s t 1 es: uª(t)

= e- 10·t ·(3'93-10- 4 ·cos~9'5-t) -1'93·10-3 ·sen(99'5-t))-3'93·1Q-4 + 0'19&t

y la solución para t = t 1 :

(14)

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

63

(15)

Solución de la ecuación diferencia/ para el intervalo de tiempo (b): La solución global será de nuevo la suma de la solución homogénea y de la particular. Teniendo en cuenta la solución de la homogénea para este caso y considerando como origen de tiempo ti (o, lo que es lo mismo, definiendo la variable t' de forma que t =ti+ t') esta solución se puede expresar como:

(16)

upb (t' ) = cte = ; Las constantes 8i y 8 2 de la solución homogénea se obtienen imponiendo las condiciones iniciales para este segundo intervalo de tiempo (t 1 ~ t ), que coinciden con la solución en desplazamiento y velocidad del caso anterior para t = t 1 • De este modo:

(17) tiª(t =ti) +~·IDn·B1

3

1'75'10-

(J)d

Por lo tanto, la solución para el caso (b) será: ub(t) = 15'70&10-3 + .... ... +e-''Oln·Ct-o'

2

>.~ 5'93·10"- 4 ·cos~9'5·(t-0'2)) + 1'75·10-a·ser{99'5'(t-0'2)))

(18) (m)

En la figura siguiente se muestra la respuesta del sistema en desplazamiento y en velocidad en función del tiempo:

64

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

0.06

0.04

o.o

o

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Figura 4: Desplazamiento de la respuesta del sistema

o.

o.

o

0.1

0.5

-0.2

Figura 5: Velocidad de la respuesta del sistema

0.6

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

PROBLEMA 13

65

x

En la Figura 1 se representa un sistema de 1 g.d.I. conectado mediante el amortiguador viscoso c1 a un punto A cuyo movimiento es el definido por la Figura 2.

m = 1'0 kg

~~(t)

c = 2 N·s /m 1

c2 = 0'5 N·s/ m k = 25 N /m

Figura 1

y 1 =0'1

z(t) ~

z.

tl = 5 5

11

~

t

t.

Figura 2

Se pide obtener, considerando condiciones iniciales nulas para t =O: a) Respuesta del sistema a la función de desplazamiento. b) Desplazamientos máximo y mínimo de la masa m. c)

Fuerza aplicada en A.

m

66

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

Apartado a) La ecuación correspondiente a un sistema de 1 g.d.I., considerando que está sometido a la excitación aplicada, es: e

~

mü+(C1+C2).LJ+k·u=f(t)=C1·i(t)= 0 1 tl {

si

O~ t $

si t1

~

t 1 (a)

t

(1)

(b)

Solución de la ecuación diferencial para el intervalo de tiempo (a): La solución de la ecuación diferencial se compone de la solución homogénea más la particular:

(2)

Sustituyendo la solución particular en la ecuación diferencial (1) se obtiene el valor de P1: (3)

Las constantes A 1 y A2 se obtienen a partir de las condiciones iniciales nulas para t =Os: uª(t = O)= O ::) A1 = -P1 = -1'6·10-3

(4)

donde la frecuencia natural, ro,,, el amortiguamiento relativo, amortiguada, A 2 = Li(t =O)+ ~·con ·u(t =O)

(5)

14'4133-10-3

cod

Por lo tanto, el desplazamiento del instrumento y su representación gráfica son: u(t) = e-52' 542·t·(-10-4·cos(306'881t) + 14'413 .1Q-3 -sen(306'88H))

(m)

(6)

Desplazamiento

o.o o.o

0.04

0.05

0.06

-0.01

Figura 2: Desplazamiento del instrumento Esta respuesta también puede escribirse como (ver apartado b) Problema 13): (7)

donde el módulo A 3 y el desfase a de la respuesta son: A3

a

= ~Af +A~ = 14'4137·10-3

=

areta{-:,, )= -1'57773 rad =-90'397 51º

(8)

Apartado b)

La fuerza que actúa sobre el instrumento se puede escribir como: frr(t)

= -k·u(t) -

c.LJ(t)

(9)

donde e= 2·m'(l)n·~ = 2505'672 N·s / m

(10)

74

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

Sin embargo 1 como se trata de un problema de vibraciones libres, de la ecuación (1) se concluye que la expresión de la fuerza también puede representarse como: mü + c·Ü + k·u = O => fr,(t) = mü(t)

(11)

Por lo tanto, derivando la ecuación (3) dos veces respecto del tiempo y agrupando los términos, se obtiene:

(12)

La expresión de la fuerza aplicada al instrumento es: fr,(t)

=e-62' 64H

·(-10902'5cos(306'88H) + 260936·ser(306'881·t))

(N)

(13)

En ocasiones es más sencillo operar a partir de la ecuación (7) considerando que: (14)

Derivando esta expresión dos veces respecto del tiempo se obtiene:

e= ~ 2 ·co; +m: = 98100(rad / s)2 (15)

La expresión resultante es idéntica a la (13) y la representación gráfica de la misma puede verse en la siguiente figura: frr(t)

=28279' 7-e-620642·t·cos(306'881t-1'578+2 · 1'7722)

(N)

(16)

I

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

2·10

Fuerza transmitida

4

o

0.01

o.

0.04

4

-2 ·10

-4.104

Figura 3: Fuerza transmitida

0.05

0.06

75

76

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

77

PROBLEMA 15 Considerar el sistema mostrado en la Figura 1. Los componentes 3 y 4 son idénticos y se mueven solidarios con el engranaje 2, que gira con respecto al punto A. La excitación es debida a la fuerza f(t) aplicada en el punto e y al movimiento conocido zA(t) del punto A. Se pide obtener: a) Ecuación diferencial de movimiento del sistema. b) La frecuencia natural, mn, el amortiguamiento relativo del sistema, '' y la frecuencia amortiguada, T. En este caso la integral de convolución se divide en los dos intervalos de tiempo que definen la expresión de la f(t). La integral resultante queda: (11)

donde el resultado de la segunda integral es nulo. En la resolución de la expresión anterior se procede de forma similar al primer apartado, empleando el mismo cambio de variable. La integral resultante es:

fº-sen(©n9)d6--F /T Jº6ser/...ron9)d6

F /T ub(t) =--(T-t) m·(J)n

m"(J)n

1

1

(12)

Haciendo uso de la solución dada por el enunciado, las integrales anteriores definidas entre 1 y O tienen la siguiente expresión: (13)

Si se simplifica la expresión anterior y se reordenan los términos, se obtiene la solución para un tiempo t>'t:

(14) Puede comprobarse que los valores de las respuestas uª(t) y ub(t) para el instante de tiempo t;:: l·s son iguales: uª(1s) Üa(1s)

= 0,016 m = -0,146 m / s

ub(1s) = 0,016 m ub(1s) = -0,146

m/s

(15)

La respuesta total u(t) del sistema corresponde a cada una de las respuestas individuales de los intervalos de tiempo (a) y (b). u(t) = {uª(t) si O~ t ub(t) si T ~ t

~ T (a) (b)

(16)

La representación gráfica de la fuerza aplicada en N y de la respuesta total en mm se muestra en la siguiente figura:

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

... .

..:

.'

:

f(t) 3

.. . .·..·:

•

u(t)· 10

-20

:

.

·~

\

~

1.5

Figura 3

.. ... ".... .. ..

\·.... /

. .. . ... ..-

87

88

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

PROBLEMA 17

89

x

En la figura se muestra un modelo simplificado para el análisis del movimiento vertical, u(t), de un vehículo cuando pasa por una irregularidad de la carretera.

11©

V

• k

-----+

o

( 1.

•

z ---+

b

Figura 1 Se supone que el vehículo circula a velocidad constante, V, y que al alcanzar el obstáculo las condiciones iniciales del movimiento vertical son nulas. La irregularidad puede ajustarse a la función: z(x)

~~1-co{ 2~·x )) O~ x,;; b

Se pide calcular: a) La respuesta del sistema en cuanto al desplazamiento vertical b) La fuerza de contacto con la carretera. Datos:

m =500kg 5

k =2'1-10 N

'=

0'4

a =0'05 m b = 0'5

m

/m

90

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

Apartado a)

La excitación está expresada en función de la distancia recorrida por el vehículo. Como la velocidad se supone constante, x = V con lo que se obtiene:

e

a ( 1-co{2"1t'·Vt z(t)='2 - b - )~~

(1)

Denominando:

-

a

Z=-

(2)

2

la ecuación (1) queda: z(t) =

z·(l - cos(m-t)) o ~ t::; ti

(3)

Aislando la masa m y considerando el equilibrio de fuerzas verticales, se obtiene la ecuación diferencial del movimiento: ..

.

k

mtJ + C·U + ·U =

{c·i + k·z O

si O ::; t ::; ti si ti ::; t

(a) (b)

donde la frecuencia natural, mn, el coeficiente de amortiguamiento, frecuencia amortiguada, } 1·11.10-5 1 •44.10- 5 . e

Considerando la parte real de la respuesta: 61P(t) = 1•11.10-6 +6' 37 -10-6 · cos(co· t + 2 '14)

(rad}

= 1' 11·10-6 + 1' 43 · 10-6 · cos(co · t + 2 '72)

(rad}

(24) 62 p(t)

Apartado e): Los valores máximo y mínimo de la respuesta en régimen permanente serán: min(01P)

= 1'11·10-6 -6'37·10-6 = -5'26· 10-6 rad

max(11 P)

=1' 11·10-6 + 6' 37 .10-6

= 7'48·10- 6 rad (25)

min(Bzp) = 1'11 ·10-6 -1'44·10- 6 =-0'33·10- 6 rad max(12 P) = 1'11·10-6 +1'44·10- 6 =2'55·10- 6 rad

104

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

105

PROBLEMA 2 :,X La figura 1 muestra una máquina de compactación que se modela mediante un sistema de 2 g.d.I.. La presión que actúa sobre el pistón se aproxima mediante una función escalón de valor p0 • Se pide calcular: a) Frecuencias naturales y modos de vibración del sistema amortiguado. b) Desplazamientos de la masa condiciones iniciales nulas.

compactada

y

la

bancada

p(t)

Cilindro

É Masa compactada

Pistón

m1 kl

U1(t) c1

Bancada ~(t)

Figura 1 Datos inerciales:

m 1 = 300 kg; m 2 = 2000 kg

Propiedades de rigidez: k 1

= 3·10 5 N/m ; k 2 = 1'2·106 N/m

Propiedades de amortiguamiento: c1 = 2250 N·s/m; c2 = 9000 N·s/m Pistón: Po= 5·10 5 Pa; Área pistón A= 0'024 m 2

para

106

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

Apartado a):

Planteando las ecuaciones de Newton para cada masa se puede llegar a las ecuaciones diferenciales del movimiento. Estas ecuaciones en forma matricial son:

(1) La matriz de amortiguamiento es proporcional a la de rigidez [C]=f3[K] ({3=0.0075), de forma que se tiene amortiguamiento proporcional y los modos de vibración del sistema amortiguado son los mismos que los del sistema no amortiguado. Las frecuencias naturales del sistema no amortiguado se pueden determinar resolviendo su ecuación característica:

det([K ]- m2 · (M]) =O (2)

a>.i_

=21'63rad/s

;

roi =35'80rad/s

(3)

Para obtener los modos de vibración se deben resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, teniendo en cuenta una condición adicional, ya que se trata de sistemas indeterminados. En este caso, se impone que la primera componente del autovector sea igual a 1:

([K]-ro; · [M]) .{d= {o} ;

vr{ = 1

r = 1,2

(4)

(5)

De manera que la matriz de modos de vibración es:

(6)

Apartado b):

Para obtener los desplazamientos de la masa compactada y de la bancada, es decir, para obtener la respuesta del sistema se realizará su descomposición modal:

[vrf[M][vr].{éi}+ [vrf[c][lJl].{c;}+[1J1TlK][vr].{q}= [lJ!r ·{F}

(7)

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

[m] = (v,f[M](v, ]= [865'98

O

o

[k]=(v,Y(K](v,]=[4'053

459'01

]

O ]·lOs 5'884

o

[c]=[v,f[c][v,]=[303 9•79 o J 4413'32 0

{Q} =

wr {F}= {~ :~} .10

107

(8)

4

Una vez aplicada la transformación modal al sistema se obtienen dos sistemas de 1 g.d.I. desacoplados de la siguiente forma: mr,r. q, +cr,r ·ifr +kr,r. q, = Q,(t)

r = 1,2

(9)

El amortiguamiento relativo de cada modo y las frecuencias naturales del sistema amortiguado se pueden calcular como: ~

2·mr,r ·(J)r

~

{1 =

o·oa1

= 0·134

(10)

1~=21'56rad/s ~ = 35'48rad /s

(11)

{

1

2

La respuesta en coordenadas modales será la respuesta de los 2 sistemas amortiguados de 1 g.d.1., cuya expresión está compuesta por una componente homogénea y una componente particular. La primera se refiere a la respuesta en vibraciones libres, mientras que la segunda aparece debido a la excitación exterior. En este caso, las fuerzas aplicadas en coordenadas modales, Qn son constantes (funciones escalón): qr(t) = qhr(t) + qpr(t) = e-Cr·~ -t(Ar · cos{~; · t)+ Br · ser(ro; · t)) +-9!:_ kr,r

Ar-

Las constantes resultando: A __ !k_ r - k r,r

y Br, se obtienen considerando condiciones iniciales nulas,

· B =~A

'

r

(12)

ro;

r

(13)

De esta forma, la respuesta en coordenadas modales es:

(14)

y la respuesta en coordenadas físicas:

108

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

ui{t)= O'0296 . (1-e- 1 ' 75s.t. (co~21' 56. t) +O'OB1·ser(21'56. t))) ... +O' 0204. (1-e- 4 'B07 ·t . (cos(35'48 -t)+ O' 135 · sen(35'48 u 2 (t) =O' 532 ·(o '0296. -O' 282.

·t)))

(m)

(15)

{.t- e-1' 75s-t · {cos{21' 56. t)+ O' 081·sen(21'56. t)))) ...

(o• 0204· (1- e- 4 ·sou . (cod,35'48. t)+ 0' 135. serf..35' 48· t))))

(m)

Gráficamente, 0.08 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - .

0.06

~l 0.04

. .... ., : . .: ·... . . .: ·.._..···....-···-···--···---···-----····. . '• o

u(t) 2 - • 0.02

1.

•

•

•

•

•

1

-0.02...__ _ _ _ _ ____.._ _ _ _ _ _ _........._ _ _ _ _ _ _ ___,

o

0.5

1.5

Figura 2: Respuesta temporal

2

2.5

3

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

109

PROBLEMA 3 Y. La figura 1 muestra un sistema de 2 g.d.I.. Se pide calcular: a) Frecuencias naturales amortiguado. Normalizar componente unitaria.

y los

modos de vibración del modos de vibración a

sistema primera

b) Respuesta del sistema en régimen permanente a una excitación definida por z(t) = zsen(mt) . Obtener tanto la respuesta en coordenadas modales como en coordenadas físicas.

--

i

u,

m,

i

z(t)

e:\

k: k~

l u, m. .

k,_

C:;

Figura 1 Datos inerciales: m1

= 300 kg;

= 500 kg = 3·10 5 N/m;

m2

Propiedades de los resortes: k 1 N/m

k2

= 1'2·106 N/m;

k3

= 1'5·106

Propiedades de los amortiguadores: c2 = 5000 N·s/m ; c3 = 3000 N·s/m Movimiento z(t):

z

= 10- 3 m; m = 30 rad/s

110

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

Apartado a): Planteando las ecuaciones de Newton para cada masa se puede llegar de manera sencilla a las ecuaciones diferenciales del movimiento. Estas ecuaciones en forma matricial son:

{l)

i u, ln¡

k_,-(z-u2)

kou,

f m~.

¡

Figura 2: Diagramas de sólido libre La matriz de amortiguamiento es proporcional a la de masa, [C] = a ·[M] (a= 10), de forma que tenemos amortiguamiento proporcional y los modos de vibración del sistema amortiguado son los mismos que los del sistema no amortiguado. Las frecuencias naturales del sistema no amortiguado se pueden determinar resolviendo su ecuación característica:

det{fK]-ol · [M] =O k1-t ={ 1;5'876~90-i .}·e'

(JJpo/ea2

= 02 = !:l..ropoleal = 39 '27 rad /

r2

(11) 5

Para t = O s, estas velocidades son válidas y por lo tanto son condiciones iniciales de vibración. Considerando además que tomamos origen de ángulos para t =Os, es decir, 81 (0)=82 (0)=0, las condiciones iniciales de vibración son: 010 =0 20 =0

;

910 =78'54rad/s

;

020 =39'27rad/s

(12)

Entonces, las constantes resultan:

{e(t

=o)}={º}= {1/11,1·(Ar ·1 +B1 ·o) +1/f1,2·(Ai·1 +B2 ·o)}=> A= Ai =0 o 1/12,1·(A·1 + Bi ·o) +1/f2,2·(Ai·1+ Bi. ·O)

(13)

116

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

(14)

81=0'37163 82=-8 31.10- 4 1

Finalmente, sustituyendo en (10), la respuesta queda:

(15)

Gráficamente, 0.5 , . . . - - - - . . . - - - - - - - -........- - - - - . - - - - - - - - -

~t)

o ~z(t)

-0.5.___ _ _...__ _ __.__ _ __.__ _ _ _ _ _ _ _ ___.._ _ ___,

o

0.05

0.1

0.15

Figura 2: Respuesta temporal

0.2

0.25

0.3

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

117

PROBLEMA S X En la figura 1 se muestra un sistema formado por dos discos soportados por un eje. Calcular: a) Frecuencias naturales y modos de vibración del sistema. b) Respuesta del sistema a la aplicación de un par torsor en el instante

t=D.

.

l 1

T

t

Figura 1 Datos: l..i 10 3 N·m

=3

kg·m

2

;

12

=1

kg·m

2

;

k 1 = 105 N·m/rad ; k2

= 10 5 N·m/rad

; T=

118

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

Apartado a):

Para resolver este apartado, se planteará la modelización mediante las ecuaciones de Lagrange. Se considerarán como coordenadas generalizadas 81 y 82 , asociadas a los grados de libertad del problema. Se calculan las energías cinética y potencial del sistema, dejando las expresiones en función de las coordenadas y velocidades generalizadas: (1)

Para calcular la energía potencial asociada a los elementos elásticos del sistema, se debe tener en cuenta que la presencia de k 1 no afecta a la dinámica de los discos, ya que el par torsor Tse aplicará directamente sobre el disco 1. La presencia de k 1 en el sistema sólo se consideraría para calcular el movimiento del rotor que generase el par torsor T. De este modo, la energía potencial será: (2)

A partir de las expresiones de la energía cinética y la energía potencial, se puede obtener el término de la izquierda en las igualdades de las ecuaciones de Lagrang~. Para 81:

(3)

(4)

(5)

(6)_

Las fuerzas generalizadas se calculan a partir de las acciones exteriores aplicadas o fuerzas no conservativas presentes en el sistema, aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales.

(7)

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

119

Por lo tanto, las ecuaciones del movimiento del sistema se escriben en forma matricial como:

(8)

Una vez se dispone del sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna el comportamiento de este sistema, se pueden determinar las frecuencias naturales resolviendo su ecuación característica:

Wf

=0

(9)

;

ro¡= Orad/s

(10)

Para obtener los modos de vibración se deben resolver los siguientes sistemas de ecuaciones suponiendo, por ejemplo, la primera componente unitaria:

{[K]-üf .(MJ).y}={O}

r=l,2

(11)

(12)

(13)

De manera que la matriz de modos de vibración escalada para que la primera componente de cada modo sea la unidad es:

wJ=[11 -1]3

(14)

120

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

El primer modo es un modo de cuerpo rígido ya que los dos discos se mueven solidariamente. En el segundo modo los discos se mueven en oposición, siendo la amplitud del giro del segundo disco 3 veces mayor que la del primero.

Apartado b ): Para obtener la respuesta se realizará la transformación modal del sistema:

wr. [MJ. [v,]. {e;}+ wr. [K1. [ty]. {q}

=

&Pr .{~} (15)

Una vez aplicada la transformación modal al sistema se obtienen dos sistemas de 1 g.d.I. desacoplados. Para estos sistemas la solución es sencilla. En el caso de la primera coordenada modal, q1 , la aceleración es constante, por lo que la solución se puede obtener por integración:

(16)

Para la segunda coordenada modal, q2 , la solución es la de un sistema de 1 g.d.I. no amortiguado excitado mediante una· función escalón: (11 +9·12 )·éi2 +16·k2

·Q 2

=T

q2 (t)= q2 h(t)+q 2 P(t) = A 1 • co~mi · t)+Az · ser(co2 ·t)+q2 p(t) (17)

Para determinar C1 y C2 y A 1 y A 2 se aplican las condiciones iniciales. Para ello se deben transformar las condiciones iniciales de coordenadas físicas a coordenadas modales. Se supone que las condiciones iniciales físicas son giros y velocidades angulares nulas:

fy,].{q}={e}

=>

{{~o}=wt>~oj={o} {qo}= WJ

·Po

={O}

(18)

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica

121

(19)

(20)

Numéricamente,

qi{t) = 125. t 2

(21)

La solución en coordenadas físicas se obtiene aplicando la transformación modal:

(22)

La respuesta será combinación lineal de los dos modos de vibración. El primero tiene como solución un función parabólica, mientras que el segundo tiene como solución una función armónica. Gráficamente:

0 .1

0.05

ol=::~~:C:.~~...L~~_J_~~---1~~~L-~~1-~__J

o

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Figura 3: 1 er modo de vibración (De cuerpo rígido, ro1

0.03

= O rad/s)

122

Problemas resueltos de vibraciones en ingeniería mecánica 0.002 .------,.....------.-----..----"T"- - - - r- ---r----...,

~t)

.·.

..

~ ~(t) -0.002

·.·.

.··- ...·.·

. : ....·

·._

..

.·......

.

~

.

.

.'

....

..·

·.

.....

i

....· .'

·... -··

-0.004,___ ___,.._______________.__ _ __,__ _ _.....__ _

o

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

~

0.03

Figura 4: 2° modo de vibración (} = {u,0 }= {vr }· Bi + ~ 2 } . Bi

--7

(8)

5

1

8 1 =l' O3 5 .10-82 = 7•443.10--7

Sustituyendo en (7):

yG(t) = 1 •035.10--5 · co~159'245· t)+ 7' 443· 10--7 · cos(307' 638· t)

(m)

e(t) = 0' 309· {1•035.10- 5 · cos(159 '245. t))- 4'309 . (7'443 .10-7 . cos(307' 638·t )) (rad)

(9)

0285P02