PROBLEMAS RESUELTOS DE TRANSFORMADORES
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Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2010
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Problema 1. Un transformador monofásico de 100 Kva. 3000/220 v, 50 Hz, tiene 100 espiras en el devanado secundario. Supuesto que el transformador es ideal, calcular: a) Corrientes primaria y secundaria a plena carga? b) Flujo máximo c) Numero de espiras del arrollamiento primario? a) Los valores de la corriente primaria y secundaria a plena carga son: S = 100 Kva = 100000 va E1 = 3000 v E2 = 220 V I1 = Corriente del primario en amperios I2 = Corriente del secundario en amperios S = V1 * A1 A1 =
S 100000 va = = 33,33 Amp. V1 3000 v
S = V2 * A2 A2 =
S 100000 va = = 454,54 Amp. V2 220 v
Flujo máximo, como el transformador es ideal N2 = 100 espiras en el secundario F = 50 Hz E2 = 220 V E2 = 4,44 f * N2 *Ømax φ max =
E2 220 220 = = = 9,9 *10 - 3 Weber 4,44 * N 2 * f 4,44 *100 * 50 22200
Numero de espiras del arrollamiento primario? N2 = 100 espiras en el secundario E1 = 3000 v E2 = 220 V E1 N 1 = E2 N2 N1 3000 v = 220 v 100 esp 13,63 =
N1 100 esp
N1 = 13,63 * 100 = 1364 espiras Problema 2. Un transformador que trabaja a 50 Hz. Con una chapa magnética que tiene un espesor de 0,35 mm. y una inducción magnética de 1 Tesla (10000 Gauss). Se conecta a una red de 60 Hz. Cuales son las perdidas en el hierro a 50 Hz. Cuales son las perdidas en el hierro a 60 Hz.
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Pf = perdidas por corriente de Foucault en Watios/Kg. f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima en Gauss Δ = Espesor de la chapa en mm. Pf =
2,2 * f 2 * (β max )2 * Δ2 1011
Cuales son las perdidas en el hierro a 50 Hz. Pf =
2,2 * 50 2 * (10000)2 * 0,35 2 2,2 * 2500 *10 8 * 0,1225 watios = = 0,673 kg 1011 1011
Cuales son las perdidas en el hierro a 60 Hz. Pf =
2,2 * 60 2 * (10000)2 * 0,35 2 2,2 * 3600 *10 8 * 0,1225 watios = = 0,97 kg 1011 1011
Esto nos indica que si la frecuencia es mayor, mayores serán las perdidas por corriente de Foucault. Problema 3. Un transformador que trabaja a una frecuencia de 50 Hz. Con unas chapa magnética de una inducción de 1,2 Tesla (12000 Gauss), conectado a una red de 50 Hz. De frecuencia. El peso del núcleo del transformador es de 3 kg. ¿Cuáles serán las perdidas por histéresis del núcleo magnético?. Formula de Steinmetz Kh = Coeficiente de cada material = 0,002 F = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima en Tesla Ph = perdidas por histéresis en Watios/Kg. n = 1,6 si Βmax < 1 Tesla (10000 Gauss) n = 2 si Βmax > 1 Tesla (10000 Gauss) Ph = Kh * f * (βmax)n Ph = 0,002 * 50 * 1,22 Ph = 0,144 watios/kg 0,144 watios X
1 kg 3 kg
X = 3 * 0,144 watios X = 0,432 watios Problema 4. Un transformador conectado a una red de 50 Hz. De frecuencia con una chapa magnética de 0,9 Tesla (9000 Gauss) de inducción. El peso del núcleo del transformador es de 12 kg. El espesor de la chapa del núcleo es de 0,35 mm y el coeficiente de histéresis es de 0,002 Calcular la potencia perdida en el hierro? Se halla la potencia perdida por corrientes de Foucault Pf = perdidas por corriente de Foucault en Watios/Kg. F = frecuencia en Hz. = 50 Hz.
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βmaz = Inducción máxima en Gauss = 900 Gauss Δ = Espesor de la chapa en mm. = 0,35 mm Pf =
2,2 * f 2 * (β max )2 * Δ2 1011
Pf =
2,2 * 50 2 * (9000)2 * 0,35 2 2,2 * 2500 * 81000000 * 0,1225 54573750000 watios = = = 0,545 11 11 11 kg 10 10 10
Las perdidas totales por corrientes de Foucault son: 0,545 watios X
1 kg 12 kg
X = 12 * 0,545 watios X = 6,54 watios Se halla la potencia perdida por histéresis Formula de Steinmetz Kh = Coeficiente de cada material = 0,002 F = frecuencia en Hz. = 50 Hz βmax = Inducción máxima en Tesla = 0,9 Tesla Ph = perdidas por histéresis en Watios/Kg. n = 1,6 si Βmax < 1 Tesla (10000 Gauss) n = 2 si Βmax > 1 Tesla (10000 Gauss) Ph = Kh * f * (βmax)n Ph = 0,002 * 50 * (0,9)1,6 Ph = 0,002 * 50 * 0,84486 Ph = 0,0844 watios/kg Las perdidas totales por histéresis son: 0,0844 watios X
1 kg 12 kg
X = 12 * 0,0844 watios X = 1,01 watios Perdidas totales en el núcleo son: PFE = perdidas totales por corrientes de Foucault + perdidas totales por histéresis PFE = 6,54 watios + 1,01 watios PFE = 7,55 watios Nota: Las pérdidas en el hierro se halla midiendo la potencia consumida por el transformador en vacío. Problema 5 Un transformador de 60 hz. Tiene unas perdidas por histéresis de 200 watios y unas perdidas por corrientes parasitas de 100 watios para un valor máximo de la densidad de flujo de 200 weber/m2 cuando se aplica una tensión nominal de 120 voltios en bornes del primario, calcular
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a) Las pérdidas por histéresis y por corrientes parasitas cuando la tensión disminuye a 110 v para la misma frecuencia. Suponiendo que las perdidas por corrientes parasita son función de (fxBm)2 pero las perdidas por histéresis son función de f x (Bmax)1,75 b) Las pérdidas por histéresis y corrientes parasitas (Foucault) para una densidad de flujo máximo, si se aplica la tensión nominal a una frecuencia de 50 hz. c) La densidad de flujo máxima, las perdidas por histéresis y corrientes parasitas cuando se aplica 60 voltios a 30 hz. Datos f = 60 hz Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios. Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios weber B max 120 v = 200 metro 2 Vnominal = 120 voltios (primario) E = k f Bmax
E110 v k f 60 hz B max 110 v = E120 v k f 60 hz B max 120 v
E110 v B max 110 v = E120 v B max 120 v 110 v B max 110 v = weber 120 v 200 m2
0,9166 =
B max 110 v weber 200 m2
B max 110 v = 200
weber x 0,9166 metro 2
B max 110 v = 183,33
weber metro 2
Formula de Steinmetz Ph = pérdidas por histéresis Ph = Kh * f * (βmax)n Ph 120 v = pérdidas por histéresis = 200 watios. Kh = coeficiente de histeresis, depende del material f = frecuencia en Hz. n = 1,75 weber B max 120 v = 200 metro 2
B max 110 v = 183,33
weber metro 2
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Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios conectados a 120 voltios Ph = Kh * f * (βmax)n Ph (110 v ) k h f 60 hz (B max 110 v )1,75 = 1,75 Ph (120 v ) kh f 60 hz (B max 120 v ) Ph (110 v ) (B max 110 v )1,75 = 1,75 Ph (120 v ) (B max 120 v )
Ph (110 v ) 9133,95 = 200 watios 10636,59 Ph (110 v ) = 0,858 200 watios Ph 110 v = 200 watios. X 0,858 Ph 110 v = 171,74 watios. Pf = perdidas por corriente de Foucault Kf = coeficiente de foucault f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima Δ = Espesor de la chapa en mm. v = volumen del nucleo Pf = k f (B max )2 f 2 Δ2 v
Pf (110 v ) k f (f 60 )2 (B max 110 v )2 = 2 Pf (120 v ) k (f )2 (B f 60 max 120 v ) Pf (110 v ) (183,33)2 = 100 watios (200)2 Pf (110 v ) 33609,88 = 100 watios 40000 Pf (110 v ) = 0,84 100 watios
Δ2 v Δ2 v
Pf (110 v) = 100 watios x 0,84 Pf (110 v) = 84 watios Las pérdidas por histéresis y corrientes parasitas (Foucault) para una densidad de flujo máximo, si se aplica la tensión nominal a una frecuencia de 50 hz. Datos f = 50 hz Ph = pérdidas por histéresis. Pf = corrientes parasitas (Foucault)
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B max 120 v = 200
weber metro 2
Vnominal = 120 voltios (primario) E = k f Bmax
E120 v k f 50 hz B max 50 hz = E120 v k f 60 hz B max 60 hz E120 v 50 x B max 50 hz = 60 x 200 E120 v
120 v 50 x B max 50 hz = 120 v 12000 5 x B max 50 hz 1200 1200 = 5 x B max 50 hz 1200 = 5 x Bmax 50 hz 1=
Bmax 50 hz = 240 weber/m2 B
Ph = Kh * f * (βmax)n Ph (50 hz ) k h f 50 hz (B max 50 hz )1,75 = 1,75 Ph (60 hz ) kh f 60 hz (B max 60 hz ) Ph (50 hz ) 50 x (240 )1,75 = Ph (60 hz ) 60 x (200 )1,75 Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios.
Ph (50 hz ) 5 x 14634,22 73171.1 = = = 1,1465 Ph (60 hz ) 6 x 10636,59 63819,54
Ph (50 hz ) = 1,1465 200 watios
Ph 50 hz = 200 watios. X 1,1465 Ph 50 hz = 229,3 watios Pf = perdidas por corriente de Foucault Kf = coeficiente de foucault f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima Δ = Espesor de la chapa en mm. v = volumen del nucleo Bmax 50 hz = 240 weber/m2 B
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B max 60 hz = 200
weber metro 2
Pf = k f (B max )2 f 2 Δ2 v
Pf (60 hz ) k f (f 60 )2 (B max 60 hz )2 Δ2 v = 2 2 Pf (50 hz ) k (f )2 (B f 50 max 50 hz ) Δ v Pf (60 hz ) (f 60 )2 (B max 60 hz )2 = 2 Pf (50 hz ) (f )2 (B max 50 hz ) 50 Pf (60 hz ) (60)2 200 2 = Pf (50 hz ) (50 )2 (240 )2 Pf (60 hz ) (3600) x 40000 = 36 x 400 = 14400 = Pf (50 hz ) (2500 ) x 57600 25 x 576 14400 Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios
Pf (60 hz ) =1 Pf (50 hz ) Pf (60 hz) = 100 watios x 1 Pf (60 hz) = 100 watios La densidad de flujo máxima, las perdidas por histéresis y corrientes parasitas cuando se aplica 60 voltios a 30 hz. Datos f = 60 hz Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios. Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios weber B max 120 v = 200 metro 2 Vnominal = 120 voltios (primario) E = k f Bmax
E120 v k f 60 hz B max 120 v = k f 30 hz B max 30 v E 60 v E120 v f 60 hz B max 120 v = f 30 hz B max 30 v E 60 v 60 x 200 120 = 60 30 x B max 30 v 12000 2= 30 x B max 30 v
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12000 12000 = 2x30 60 weber B max 30 v = 200 metro 2 B max 30 v =
Formula de Steinmetz Ph = pérdidas por histéresis Ph = Kh * f * (βmax)n Kh = coeficiente de histeresis, depende del material f = frecuencia en Hz. n = 1,75 weber B max 120 v = 200 metro 2
B max 30 v = 200
weber metro 2
Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios conectados a 120 voltios Ph = Kh * f * (βmax)n Ph (30 v ) (B )1,75 k f = h 30 hz max 30 v 1,75 Ph (120 v ) kh f 60 hz (B max 120 v ) Ph (30 v ) (B )1,75 f = 30 hz max 30 v 1,75 Ph (120 v ) f 60 hz (B max 120 v ) Ph (30 v ) f 30 hz (200 )1,75 = 1,75 Ph (120 v ) f 60 hz (200 ) Ph (30 v ) f 30 hz = Ph (120 v ) f 60 hz
Ph (30 v ) 30 = = 0,5 Ph (120 v ) 60
Ph 120 v = pérdidas por histéresis = 200 watios. Ph 30 v = 200 watios. X 0,5 Ph 30 v = 100 watios. Pf = perdidas por corriente de Foucault Kf = coeficiente de foucault f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima Δ = Espesor de la chapa en mm. v = volumen del nucleo Pf = k f (B max )2 f 2 Δ2 v
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Pf (30 v ) k f (f 30 )2 (B max 30 v )2 Δ2 v = 2 2 Pf (120 v ) k (f )2 (B f 60 max 120 v ) Δ v Pf (30 v ) (f )2 (B max 30 v )2 = 30 2 Pf (120 v ) (f )2 (B max 120 v ) 60
Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios conectados a 120 voltios weber B max 120 v = 200 metro 2
B max 30 v = 200
weber metro 2
Pf (30 v ) 30 2 (200 )2 = 100 (60 )2 (200 )2 Pf (30 v ) 30 2 = 100 (60)2 Pf (30 v ) 900 = 100 3600 Pf (30 v ) = 0,25 100
Pf (30 v) = 100 watios x 0,25 Pf (30 v) = 25 watios Problema 6. Un transformador de 50 kva, 600 /240 v, 25 hz tiene unas perdidas en el hierro de 200 w (de los cuales el 30 % son perdidas por corrientes parasitas) y unas perdidas en el cobre a plena carga de 650 watios. Si el transformador se hace funcionar a 600 v, 60 hz. Cual seria la nueva potencia nominal del transformador si las perdidas totales tuvieran que ser las mismas Datos S = 50 Kva = 50000 va. 600 v /240 v, 25 hz perdidas en el hierro de 200 w = Pf + Ph Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 200 watios x 0,3 = 60 watios Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios x 0,7 = 140 watios PCU a plena carga = 650 watios Perdidas totales = perdidas en el hierro + perdidas en el cobre Perdidas totales = 200 + 650 Perdidas totales = 850 watios E = k f Bmax
E 600 v k f 25 hz B max 25 hz = E 600 v k f 60 hz B max 60 hz
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f B 1 = 25 hz max 25 hz f 60 hz B max 60 hz 25 x B max 25 hz 60 x B max 60 hz 60 B max 25 hz = Ecuación 1 25 B max 60 hz
1=
Formula de Steinmetz Ph = pérdidas por histéresis Ph = Kh * f * (βmax)n Kh = coeficiente de histeresis, depende del material f = frecuencia en Hz. Ph = Kh * f * (βmax)n Ph (25 hz ) k h f 25 hz (B max 25 hz )2 = 2 Ph (60 hz ) kh f 60 hz (B max 60 hz ) Ph (25 hz ) f 25 hz (B max 25 hz )2 = 2 Ph (60 hz ) f 60 hz (B max 60 hz ) Ph (25 hz ) 25 x (B max 25 hz )2 = 2 Ph (60 hz ) 60 x (B max 60 hz )
Ph (25 hz ) 25 ⎛ B max 25 hz = x⎜ Ph (60 hz ) 60 ⎜⎝ B max 60 hz
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
Reemplazando la ecuación 1 Ph (25 hz ) 25 ⎛ 60 ⎞ 2 = x⎜ ⎟ Ph (60 hz ) 60 ⎝ 25 ⎠
Ph (25 hz ) 25 = x (2,4)2 Ph (60 hz ) 60 Ph (25 hz ) 25 = x 5,76 Ph (60 hz ) 60 Ph (25 hz ) = 2,4 Ph (60 hz )
Ph = pérdidas por histéresis a 25 hz = 200 watios x 0,7 = 140 watios 140 = 2,4 Ph (60 hz )
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Ph 60 hz = 58,33 watios. Pf = perdidas por corriente de Foucault Kf = coeficiente de foucault f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima Δ = Espesor de la chapa en mm. v = volumen del núcleo Pf = k f (B max )2 f 2 Δ2 v
Pf (25 hz ) k (f )2 (B max 25 hz )2 Δ2 v = f 25 2 2 Pf (60 hz ) k (f )2 (B f 60 max 60 hz v ) Δ v Pf (25 hz ) (f 25 )2 (B max 25 hz )2 = 2 Pf (60 hz ) (f )2 (B max 60 hz v ) 60 Pf (25 hz ) 25 2 x (B max 25 hz )2 = 2 Pf (60 hz ) 60 2 x (B max 60 hz v ) Pf (25 hz ) 625 ⎛ B max 25 hz ⎞ 2 ⎟ = x⎜ Pf (60 hz ) 3600 ⎜⎝ B max 60 hz ⎟⎠ 60 B max 25 hz = 25 B max 60 hz
Ecuación 1
Reemplazando la ecuación 1
2 Pf (25 hz ) ⎛ 60 ⎞ = 0,1736 x ⎜ ⎟ Pf (60 hz ) ⎝ 25 ⎠ Pf (25 hz ) = 0,1736 x (2,4)2 Pf (60 hz )
Pf (25 hz ) = 0,1736 x 5,76 Pf (60 hz ) Pf (25 hz ) =1 Pf (60 hz )
Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 200 watios x 0,3 = 60 watios Pf (60 hz) = Pf (25 hz) = 60 watios Perdidas en el hierro a 60 hz = Pf + Ph Perdidas en el hierro a 60 hz = 60 + 58,33 Perdidas en el hierro a 60 hz = 118,33 watios Las perdidas totales se mantienen constantes Perdidas totales = 850 watios
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Perdidas totales = perdidas en el hierro + perdidas en el cobre 850 watios = 118,33 watios + perdidas en el cobre perdidas en el cobre = 850 − 118,33 perdidas en el cobre a 60 hz = 731,67 watios perdidas en el cobre a 25 hz = 650 watios PCU (25 hz ) PCU (60 hz )
=
C (S 25 hz ) 2
C (S 60 hz ) 2 PCU a 25 hz = 650 watios S = 50 Kva (S )2 650 = 25 hz 2 731,67 (S 60 hz ) 2 (S60 hz )2 = (50) x 731,67 650
(S60 hz )2 = (2500) x 731,67 650
(S60 hz ) =
= 2814,11
2814,11
(S 60 hz ) = 53 kva Problema 7. Calcular la potencia aparente y el factor de potencia en vacío de un transformador partiendo de los siguientes datos: Tensión del primario U1n 380 V Intensidad del primario I10 0,081 A Tensión del secundario U2n 125 V Potencia medida con vatímetro P10 2,2 W Resistencia del cobre RCU 2,4 Ω
La relación de transformación En el ensayo en vacío, al estar abierto el devanado secundario, no circula ninguna corriente, esto permite que las tensiones primaria y secundarias sean iguales m=
U1n 380 V = = 3,04 U 2n 125 V
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La potencia medida con el vatímetro en el devanado primario (P10 = 2,2 W) corresponde a las perdidas en el hierro y en el cobre, pero las perdidas en el cobre en un transformador en vacío son despreciables, por lo tanto la potencia medida con un vatímetro en vacío se consideran las perdidas en el hierro. La potencia perdida en el cobre se puede hallar PCU = (I10)2 * RCU PCU = (0,081)2 * 2,4 PCU = 0,006561 * 2,4 PCU = 0,015 Watios Esto indica que la potencia que se pierde por el cobre del bobinado es despreciable en un ensayo de vacío frente a las perdidas en el núcleo (corrientes de Foucault + perdidas por histéresis) La impedancia es: Z=
U1n 380 V = = 4691,35 Ω I10 0,081 A
La potencia aparente es: S = U1n * I10 = 380 V * 0,081 A S = 30,78 VA El ángulo de desfase φ entre la tensión y la intensidad de corriente P 2,2 cos ϕ = 10 = = 0,07147 S 30,78
S = 30,78 VA
φ P10 = 2,2 w
Problema 8. Un transformador de 50 kva 4600 v /220 v, 50 hz. Ensayo en vacío 223 v, 287 watios. Ensayo en corto 156 v, 620 watios, 11,87 A. Hallar η Rendimiento a 60 kva, cos Φ = 0,86 Kva ? ηmax, Sη max ηmax para cos λ = 0,8 IN1 = Corriente del primario 50000 I N1 = = 10,87 A 4600 IN2 = Corriente del secundario 50000 I N2 = = 227,27 A 220 2 2 ⎛ VN1 ⎞ ⎛ 220 ⎞ ⎜ ⎟ = Pfe = Wvacio x ⎜ 287 x = 287 x (0,986 )2 ⎜ ⎟ ⎟ V 223 ⎝ ⎠ vacio ⎝ ⎠ Pfe = 287 x (0,9732 )
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Pfe (50 kva) = 279,32 watios 2 2 ⎛ I ⎞ ⎛ 10,87 ⎞ Pcu = Wcorto x ⎜⎜ N1 ⎟⎟ = 620 x ⎜⎜ ⎟⎟ = 620 x (0,9157 )2 ⎝ 11,87 ⎠ ⎝ I corto ⎠ Pcu = 620 x (0,8386 ) Pcu (50 kva) = 519,93 watios PCU (50 kva ) C (S50 kva )2 = 2 PCU (60 kva ) C (S 60 kva ) (50)2 519,93 = Pcu (60 kva ) (60 )2 (2500 ) 519,93 = Pcu (60 kva ) (3600 )
Pcu (60 kva ) =
(519,93) x 3600
2500 Pcu (60 kva ) = 748,69 watios Hallar η (Rendimiento a 60 kva), cos Φ = 0,86 η 60 kva =
S cos φ S cos φ + Pfe(50 hz ) + Pcu (60 hz )
50000 * 0,86 50000 * 0,86 + 279 + 748,69 43000 43000 η 60 kva = = 43000 + 279 + 748,69 44027.69 η 60 kva = 0,97 η 60 kva = 97 % η 60 kva =
2 P fe(50 hz ) ⎛ Sη max ⎞ ⎜ ⎟ = Pcu (50 hz ) ⎝ S ⎠ ⎛ Sη max ⎞ ⎜ ⎟= S ⎠ ⎝ Sη max =
Pfe(50 hz ) Pcu (50 hz )
Pfe(50 hz ) *S Pcu (50 hz )
279 * 50 kva 519 Sη max = 0,537 * 50 kva Sη max = 0,732 * 50 kva Sη max = 36,64 kva Sη max =
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ηmax para cos λ = 0,8 η max =
Sη max * cos λ Sη max * cos λ + 2 Pfe(50 hz )
36640 * 0,8 36640 * 0,8 + 2 * 279,32 29312 29312 η max = = 29312 + 558,64 29870,64 η max = 0,98 η max = 98 %
η max =
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