Problemas Resueltos Programacion Lineal

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR ALDEA UNIVERSITARIA SOCIALISTA CIUDAD ANGOSTURA MISION SUCRE ING. EN SISTEMAS

Prof.:

INTEGRANTE

Domingo Méndez

Fernando Flores C.I: 11.724.856

Ciudad Bolívar, OCTUBRE 2011

PROBLEMA # 01. Un fabricante tiene cuatro órdenes de producción: A, B, C y D. La tabla que se incluye indica el número de horas-hombre que se requieren para fabricar estas órdenes en cada uno de los tres talleres (X, Y, Z) de la industria.

Es posible dividir una orden entre varios talleres, por ejemplo, parte de la orden A puede ser procesada en X, parte en Y, y parte en Z. Así mismo, cualquier taller puede ejecutar fracciones de varias órdenes. Taller Horas-Hombre necesarias Costo por Horas-Hombre

Hora-Hombre Disponibles

A

B

C

D

X

71

298 133

144

89

320

Y

39

147

61

126

81

160

Z

46

155

57

121

84

160

Si el fabricante desea minimizar los costos de producción, establezca el planteamiento del problema (Función objetivo y restricciones). Defina las variables a emplear y explique su significado.

Asumimos: P.D= parámetro de decisión V.D= variable de decisión F.R = familia de restricciones F. O = familia de oportunidades

Como primero tenemos: V.D

P.D

X1: X

(89um)

X2: Y

(81um)

X3: Z

(84um)

Como segundo tenemos: F.O Min= 89X1 + 81X2 + 84X3

Como tercero tenemos: F.R 71X1 + 39X2 + 46X3 ≤ 320 298X1 + 147X2 + 155X3 ≤ 160 133X1 + 61X2 + 57X3 ≤ 160 144X1 + 126X2 + 121X3 ≤?

En la cuarta fila la suma de la variable X no tiene horas hombres disponibles por eso no podemos seguir resolviendo el problema.

PROBLEMA #02. Un taller mecánico tiene tres (3) máquinas disponibles A, B y C, para hacer unos productos de los tipos 1 y 2, y que se desea programar de la forma económicamente más favorable, en este caso, que la utilidad sea la máxima posible.

Para hacer este trabajo, se dispone de un número determinado de horas en cada máquina, que se señalan en la tabla siguiente: Máquina Tiempo

Disponible (en Horas)

A

72

B

162

C

100

Los tiempos que emplea cada lote de 100 unidades de cada producto de los tipos 1 y 2, en cada una de las máquinas se indican en el cuadro siguiente:

Máquina

A

B

C

Lotes Pieza 1

12

9

20

Lotes Pieza 2

12

36

10

Las ganancias o utilidades que proporcionan cada lote de 100 unidades del tipo 1 es de $10, y $7 los del tipo 2.

1) Hay que leer con mucho cuidado el enunciado de dicho problema para determinar cuál debe ser la X (incógnita).

2) Planteo del Problema: Tenemos que las Maquinas A, B y C en un tiempo determinado realizan 100u. de lotes de piezas, asumimos que X será el total de piezas que se realizan en un tiempo disponible (en horas), mientras (c) es igual al tiempo disponible (en horas), (b) son las unidades que se realizan en un tiempo determinado las cuales son 100u. y (a) es el tiempo que emplea cada máquina en hacer las 100 unidades de lotes de pieza 1 y lotes de pieza 2. Entonces podemos decir que su Función Objetivo es: a

b a. x = c. b

c

x = c. b/a

x

Lotes de pieza 1. En Maquina “A”

X = c. b/a

X = 72 hrs x 100u. = 600u. 12 hrs

La ganancia que proporciona los lotes de pieza 1. En la maquina “A” es: Asumimos que X es la ganancia que proporciona el lote de pieza 1. , (a) es el lote de 100u. , (b) son los 10$ de ganancia de lotes de pieza tipo 1. Y (c) es el total de piezas que se realizaran en un tiempo disponible (en horas).

X = c. b/a X = 600u. x 10$ = 60$ 100u.

Ganancia que proporciona Lote de pieza 1. En maquina “A”

Lote de pieza 2. En Maquina “A”

X = 72 hrs x 100u. = 600u. 12 hrs

La ganancia que proporciona los lotes de pieza 2. En la maquina “A” es: Asumimos que X es la ganancia que proporciona el lote de pieza 2. , (a) es el lote de 100u. , (b) son los 7$ de ganancia de lotes de pieza tipo 2. Y (c) es el total de piezas que se realizaran en un tiempo disponible (en horas). X = c. b/a X = 600u. x 7$ = 42$ 100u.

Ganancia que proporciona Lote de pieza 2. En maquina “A”

Nota: La mayor ganancia lo proporciona los lotes pieza 1. En la maquina “A”.

Lotes de pieza 1. En maquina “B”:

X = 162 hrs x 100u. = 1800u. 9 hrs

La ganancia que proporciona los lotes de pieza 1. En la maquina “B” es: Asumimos que X es la ganancia que proporciona el lote de pieza 1. , (a) es el lote de 100u. , (b) son los 10$ de ganancia de lotes de pieza tipo 1. Y (c) es el total de piezas que se realizaran en un tiempo disponible (en horas). X = c. b/a X = 1800u. x 10$ = 180$ 100u.

Ganancia que proporciona Lote de pieza 1. En maquina “B”

Lote de pieza 2. En maquina “B”:

X = 162 hrs x 100u. = 450u. 36 hrs La ganancia que proporciona los lotes de pieza 2. En la maquina “B” es: Asumimos que X es la ganancia que proporciona el lote de pieza 2. , (a) es el lote de 100u. , (b) son los 7$ de ganancia de lotes de pieza tipo 2. Y (c) es el total de piezas que se realizaran en un tiempo disponible (en horas). X = c. b/a X = 450u. x 7$ = 31.5$ 100u.

Ganancia que proporciona Lote de pieza 2. En maquina “B”

Nota: La mayor ganancia lo proporciona los lotes pieza 1. En la maquina “B”.

Lote de pieza 1. En maquina “C “: X = 100 hrs x 100u. = 500u. 20 hrs

La ganancia que proporciona los lotes de pieza 1. En la maquina “C” es: Asumimos que X es la ganancia que proporciona el lote de pieza 1. , (a) es el lote de 100u. , (b) son los 10$ de ganancia de lotes de pieza tipo 1. Y (c) es el total de piezas que se realizaran en un tiempo disponible (en horas). X = c. b/a X = 500u. x 10$ = 50$ 100u.

Ganancia que proporciona Lote de pieza 1. En maquina “C”

Lote de pieza 2. En maquina “C”:

X = 100 hrs. x 100u. = 1000u. 10 hrs.

La ganancia que proporciona los lotes de pieza 2. En la maquina “C” es: Asumimos que X es la ganancia que proporciona el lote de pieza 2. , (a) es el lote de 100u. , (b) son los 7$ de ganancia de lotes de pieza tipo 2. Y (c) es el total de piezas que se realizaran en un tiempo disponible (en horas).

X = c. b/a X = 1000u. x 7$ = 70$ 100u.

Ganancia que proporciona Lote de pieza 2. En maquina “C”

Nota: La mayor ganancia lo proporciona los lotes pieza 2. En la maquina “C”. Tenemos:  Que en 72 hrs. la maquina “A” ha producido una mayor ganancia de 60$ pieza 1.  En 162 hrs. La maquina “B” ha producido una mayor ganancia de 180$ pieza 1.  Y en 100 hrs. La maquina “C” ha producido una mayor ganancia de 70$ pieza 2.

PROBLEMA #03: Un barco tiene 3 bodegas: en la proa, en la popa y en el centro. La capacidad de cada bodega aparece en la siguiente tabla: BODEGA Proa Centro Popa

Capacidad en Peso 2000 Ton 3000 Ton 1500 Ton

Capacidad en Volumen 100000 m³ 135000 m³ 30000 m³

Se han ofrecido para transportar los siguientes cargamentos. Los diseños del barco permiten cargar el total o una porción cualquiera de cada artículo: Artículo

Cantidad (Ton)

A B C

6000 4000 2000

Volumen por Tonelada ($/Ton) 60 50 25

Ganancia por Tonelada 6 8 5

Para preservar el equilibrio del barco, el peso en cada bodega debe ser proporcional a la capacidad en toneladas. ¿Cómo debe ser distribuida la carga para obtener máximas ganancias?

1) Hay que leer con mucho cuidado el enunciado de dicho problema para determinar cuál debe ser la X (incógnita).

2) Planteo del Problema: Tenemos un barco con 3 bodegas proa, popa y centro a las cuales debemos tener en cuenta su capacidad en Volumen para poder cargar las toneladas de los artículos A, B y C. para hallar la capacidad en volumen por toneladas debemos multiplicar la cantidad

(ton) por volumen por tonelada ($/ton) y para saber las toneladas del articulo a cargar en el barco de acuerdo con la capacidad en volumen de cada bodega debo aplicar la siguiente Función Objetivo: a

b a. x = c. b

c

x = c. b/a

x

Articulo “B”:

100000m3 ≈ 2000T. Para cargarlo a la proa.

4000T. x 50m3/T = 200000m3 100000m3 ≈ 2000T. Para cargarlo al centro.

Del artículo B se obtiene una ganancia: 4000T. x 8$/T = 32000$ ganancia.

Articulo “C”: Si tengo que 1000T. = 25000m3

Del artículo C se obtiene una ganancia: 1000T. x 5$/T = 5000$ ganancia.

Cargo 1000T. Al centro y completo con la 2000T. Del articulo B 3000T.

Articulo “A”: 6000T. x 60m3/T = 360000m3 x = c. b/a X = 30000m3 x 6000T. = 500T. 360000m3 Aquí tengo que 30000m3 de capacidad de volumen me permite cargar una cantidad de peso de 500T. Del artículo A Para la popa. Del artículo A se obtiene una ganancia: 500T. x 6$/T. = 3000$ ganancia

Para un total de ganancia de: 32000$ + 5000$ + 3000$ = 40000$

Total de peso cargado para mantener el equilibrio del barco: 5500T.

Del artículo A se cargo 500T Del artículo B se cargo las 4000T. Del artículo C se cargo 1000T.