Problemas resueltos MAS

Problemas 1. Un barco se balancea arriba y abajo y su desplazamiento vertical viene dado por t π la ecuación y = 1,2 cos +  . Determinar la amplitud, frecuencia angular, 2 6  constante de fase, frecuencia y periodo del movimiento. ¿Dónde se encuentra el barco en t=1s?. Determinar la velocidad y aceleración en cualquier tiempo t y calcular la posición, velocidad y aceleración inicial. Comparando con la ecuación [1.8] concluimos que A= 1,2 m

ω= 0,5 rad/s

δ= π/6 rad

La frecuencia y el periodo se deducen de las ecuaciones correspondientes ν= ω/2π= 0,0796 Hz

T= 1/ν= 12,6 s

Para t= 1 s la posición del barco viene dada por la ecuación y= 1,2cos(1/2+π/6)= 0,624 m La velocidad y la aceleración se obtiene derivando una y dos veces la posición respecto al tiempo v= -1,2sen(t/2+π/6)1/2= -0,6sen(t/2+π/6) a= -0,6cos(t/2+π/6)1/2= -0,3cos(t/2+π/6) Y para t= 0 y0= 1,04 m v0= -0,3 m/s a0= -0,26 m/s

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2. Un objeto oscila con frecuencia angular ω=8 rad/s. En t=0, el objeto se encuentra en x0=4 cm con una velocidad inicial v0 =-25 cm/s. Determinar la amplitud y la constante de fase para este movimiento y escribir x en función de t. La posición y la velocidad inicial están relacionadas con la amplitud y constante de fase por las ecuaciones x0= Acosδ

v0= -ωAsenδ

Dividiendo estas dos ecuaciones obtenemos v0/x0 = -ωtgδ y despejando la constante de fase δ= arctg0,78= 0,66 rad La amplitud viene dada por A= x0 /cosδ= 5,06 cm Y la ecuación del movimiento, conocida amplitud y constante de fase x= 5,06 cos(8t+0,66)

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3. Un objeto de 2 kg se sujeta a un muelle de constante de fuerza k=196 N/m. El objeto se mantiene a una distancia de 5 cm de la posición de equilibrio y se deja en libertad en t=0. Determinar la frecuencia, el periodo y la ecuación del movimiento de este MAS. ¿Cuál es la velocidad y aceleración máximas del objeto y en que momento se alcanzan? La frecuencia angular es igual a ω= (k/m)1/2= 9,9 rad/s La frecuencia y el periodo son iguales a ν= 1,58 Hz

T=0,633 s

La amplitud y la contante de fase A= 5 cm

δ= 0

La ecuación de movimiento x= 5cos(9,9t)

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4. Un objeto de 3 kg conectado a un muelle oscila con una amplitud de 4 cm y un periodo de 2 s. ¿Cuál es la energía total del objeto? ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto y en que posición se alcanza? ¿En que posición la velocidad es igual a al mitad de su valor máximo, y en cúal la energía potencial es igual a la cinética? Sabemos que la energía total de un MAS viene dada por la ecuación E=1/2kA2 La constante de fuerza se relaciona con el periodo y la masa según k=mω2=4π 2m/T2=29,6 N/m y la energía total es igual E=2,37x10-2 J La velocidad máxima se alcanza cuando toda la energía es cinética, en x=0, y vale vmax= (2E/m)0,5=0,126 m/s Para una velocidad v=0,5vmax y aplicando la conservación de la energía tenemos E=0,5kA2=0,5m(0,5vmaz)2+0,5kx12 Despejando la posición x1 en la que tenemos una velocidad mitad de la del máximo x1=3,46 cm En la posición x2 en la que la energía cinética es igual a la potencial se cumplen las ecuaciones 0,5mv22+0,5kx22=0,5kA2 0,5mv22=0,5kx22 Despejando de estas dos ecuaciones con dos incógnitas obtenemos x2=(A 2/2)0,5=2,83 cm v2=(kA2/2m)0,5

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5. Encontrar la ecuación resultante de la superposición de 2 MAS paralelos cuyas ecuaciones son x1=2cos(ωt+π/3) y x2=3cos(ωt+π/3). Representar los vectores rotantes y el movimiento resultante. 6. Encontrar la ecuación de la trayectoria del movimiento resultante de la combinación de 2 MAS perpendiculares cuyas ecuaciones son x=4senωt e y=3sen(ωt+α) cuando α=0, π/2 y π. Representar la trayectoria y dirección de movimiento para cada caso

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7. Una masa de 3 kg estira un muelle 16 cm al ser colgada verticalmente. Calcular la frecuencia de oscilación La cantidad que el muelle se alarga viene dada por la ecuación y0= mg/k con lo que la constante de fuerza es igual a k=mg/y0=184 N/m Por otro lado, la frecuencia de oscilación del muelle es igual a ν= (2π)-1(k/m)0,5= 1,25 Hz

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8. Un objeto de masa 2 kg está sujeto sobre un muelle vertical que está anclado en el suelo. La longitud del muelle sin deformar es de 8 cm y la posición de equilibrio del objeto sobre el muelle está a 5 cm desde el nivel del suelo. Cuando el objeto está en su posición de equilibrio, se le da un impulso hacia abajo con un martillo, de tal manera que la velocidad inicial es de 0,3 m/s.¿A qué máxima altura, respecto al nivel del suelo, se elevará el objeto?¿Cuánto tiempo tardará el objeto en alcanzar la máxima altura por primera vez? ¿Volverá el muelle a estar sin compresión? ¿Qué velocidad inicial mínima debe darse al objeto para que el muelle no tenga compresión en un instante dado? Para calcular la máxima altura ( = 5cm + A) a partir de la velocidad, se requiere conocer w , que se puede calcular a partir del k del muelle y la masa. En el equilibrio muelle-masa: kx0= mg . Por otro lado, x0 = 8 - 5 = 3cms (lo que baja el muelle con la masa) þ k = mg/x 0 = 2 x 9,8 / 0,03 = 653,3 N/m þ w= ( k/m)1/2 = ( g/x 0)1/2 =18,07 rad/s. Como el movimiento empieza desde la posición de equilibrio, lo más lógico es describirlo con la función seno y fase inicial = 0 (y tomando dirección de x positiva hacia abajo). Posición de equilibrio: x = 0 ; x = Asen wt. v = dx/dt = wA.cos wt. La altura máxima corresponderá a x = -A. Referido al nivel del suelo, será 5 + A. Hay que hallar A. En x = 0 y t = 0, v tendrá el valor máximo, que es el que nos dan en el enunciado: v max = wA = 0,3 m/s y A = 0,3 / 18,07 = 1,66 cm . El objeto se eleva a 6,66 cm por encima del suelo. La máxima altura corresponde a x = -A = -1,66 cm. 1,66. sen (wt) = -1,66 þ sen (18,07t) = -1 þ (18,07t) = 3p/2 þ t = 0,26 s. c) No, ya que A=

1 b ydx b − a ∫a

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19. Demostrar que el cociente entre la anchura ∆ω a la mitad del máximo de la potencia media entregada en la resonancia, para una resonancia aguda, y la frecuencia ω0 del mismo es igual al valor inverso del factor Q La potencia media entregada viene dada por la ecuación

F0 2 γω 2

〈 P〉 = 〈 Fv〉 =

m (ω − ω ) + 4γ 2ω 2

[

2 0

2 2

]

En la frecuencia de resonancia tenemos el máximo de potencia media entregada

F0 2γω 2

〈 P(ω 0 )〉 =

m 2 2 2 (ω 0 − ω ) + 4γ 2ω 2

[

]

=

F02 4γm

Para que la potencia media cedida sea la mitad de este valor, la frecuencia de la fuerza aplicada debe cumplir que (asumiendo que tenemos una resonancia aguda y que w está cercana a ω0)

[(ω

2 0

]

− ω 2 ) 2 + 4γ 2 ω 2 = 8γ 2ω 02

Usando la identidad (x2 -y2)=(x+y)(x-y) y asumiendo de nuevo que tenemos una resonancia aguda y que ω está muy cercana a ω0 (ω+ω0≈2ω0) ω − ω 0 = ±γ = ±

ω0 2Q

Con lo que las dos frecuencias en torno a la frecuencia de resonancia para las cuales la potencia media entregada por la fuerza aplicada es la mitad del máximo son ω1 = ω 0 +

ω0 2Q

ω 2 = ω0 −

ω0 2Q

y la anchura de la resonancia ∆ω = ω1 − ω 2 =

ω0 Q

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