PROBLEMAS RESUELTOS INGENIERIA ANTISISMICA ING. RONALD SANTANA

INGENIERIA ANTISISMICA

Contenido RIGIDEZ LATERAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES ................................................. 3 RIGIDEZ LATERAL DE ELEMENTOS VERTICALES .................................................. 3 RIGIDEZ LATERAL (KL) .................................................................................................. 3 CASO I: COLUMNA – MURO ...................................................................................... 4 “Base empotrada y libre en el otro extremo” ......................................................... 4 CASO II: COLUMNA “Base empotrada y articulada en el otro extremo” .......... 4 CASO III: COLUMNA “Empotramiento perfecto” ................................................... 5 CALCULO DE LA RIGIDEZ EQUIVALENTE ..................................................................... 5 1.

ELEMENTOS EN PARALELO ................................................................................. 5

2.

ELEMENTOS EN SERIE ........................................................................................... 6

SISTEMAS CON ELEMENTOS RÍGIDOS .......................................................................... 7 MÉTODOS DE ANÁLISIS ................................................................................................. 8 MÉTODO PISO POR PISO ........................................................................................... 8 MÉTODO DE ELEMENTOS INDEPENDIENTES O PISOS ACUMULADOS ......... 9 METODO DE LA COLUMNA ANCHA .............................................................................. 10 1ER TEOREMA DE ALBERTO CASTIGLIANO ............................................................ 10 a)

ANALISIS MATRICIAL ............................................................................................. 11

MÉTODO DE MUTO ................................................................................................................ 13 RIGIDEZ LATERAL ................................................................................................................ 13 2. CALCULO DE DESPLAZAMIENTO Y CORTANTES. COLUMNAS EN PARALELO ................... 16 4.- DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS ............................................................................... 19 MÉTODO DEL MUTO APLICADO A ESTRUCTURAS APORTICADAS .................. 21 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS APORTICADAS .................................................... 21 METODO DE WIBUR – BIGGS ......................................................................................... 33 PROBLEMAS ....................................................................................................................... 35 PROBLEMA N°1 .............................................................................................................. 35 PROBLEMA N°2 .............................................................................................................. 36 PROBLEMA Nº 03 ........................................................................................................... 41 PROBLEMA Nº5 .............................................................................................................. 46 PROBLEMA Nº6 .............................................................................................................. 47 CONCLUSIONES: ............................................................................................................... 51

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INTRODUCCION

La parte más importante de Ingeniería antisísmica es el cálculo de rigideces, ya que esto garantiza que el análisis sísmico de una edificación sea la correcta, sin esta se falla todo el cálculo no será la verdadera .Para esto en este capítulo se desarrolla el tema de Rigideces en sistemas a porticadas y sistemas de duales, también se determina la rigideces de muros en general ya sea de concreto armado o albañilería confinada.

Objetivos

  

Conocer los diferentes métodos de cálculos de rigideces Tener un conocimiento suficiente para su aplicación adecuada de los diferentes métodos Comparar Resultados de los diferentes ejercicios que se presentan

RIGIDEZ LATERAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES La rigidez en estructuras es la capacidad que presenta la estructura para soportar esfuerzo sin tener que adquirir grandes deformaciones o desplazamientos. RIGIDEZ LATERAL DE ELEMENTOS VERTICALES La rigidez es la relación existente entre el cociente entre la fuerza aplicada y el desplazamiento producido, de esto se deduce:

Rigidez

Deformaciones

RIGIDEZ LATERAL (KL) Es la fuerza cortante (V) en un elemento vertical, si el desplazamiento lateral efectivo (𝛿e) es igual a 1cm. 𝐾𝐿 =

Dónde:

𝑉 (𝑡𝑜𝑛/𝑐𝑚) δe

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KL: Rigidez Lateral V: Fuerza Cortante Δe: Desplazamiento lateral efectivo CASO I: COLUMNA – MURO “Base empotrada y libre en el otro extremo” KL = f (E, h, I, A)



PARA LA COLUMNA 𝛅

F

 PARA EL MURO

F

𝛅

𝛅

CASO II: COLUMNA “Base empotrada y articulada en el otro extremo” 𝛅

F

F M

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CASO III: COLUMNA “Empotramiento perfecto” 𝛅

F

F

M CALCULO DE LA RIGIDEZ EQUIVALENTE 1. ELEMENTOS EN PARALELO La rigidez lateral total del sistema se calcula para cada dirección principal del sismo.

Rigidez lateral de cada columna es igual a:

Condición suficiente:

Del gráfico:

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Por lo tanto:

2. ELEMENTOS EN SERIE

Rigidez lateral de cada columna es igual a:

Condición suficiente:

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Del gráfico:

Por lo tanto:

SISTEMAS CON ELEMENTOS RÍGIDOS

CONSIDERACIONES PRINCIPALES

Se aisla al muro (placa) para determinar su rigidez lateral de cada entrepiso Se asume distribución de carga lateral triangular inversa.

𝛿

5P

∆

4P

h5

𝛿 ∆

3P

h4

𝛿3 ∆

h3

2P

𝛿 ∆

h2

P

𝛿 =∆

h1 L

𝐾𝐿 = 𝑉 P: Fuerzas sísmicas 𝛿 : Desplazamiento absoluto ∆: Desplazamiento relativo entre piso

(𝑡𝑜𝑛) 𝛿 𝑒 (𝑐𝑚)

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MÉTODOS DE ANÁLISIS

A. Piso por piso B. Piso acumulado (Elementos independientes) C. Columna ancha (Castigliano y análisis matricial) D. Elementos finitos

MÉTODO PISO POR PISO Para determinar la rigidez lateral de los muros se consideran: empotrado en la base y libre en la parte superior del muro. se realiza para cada muro y para cada piso independientemente. se realiza el análisis en cada dirección independientemente. 1º piso 1.5P

𝛿

h1

L

2º piso K 𝐿1 =

𝑉1 𝛿1𝑒

=

15𝑃 1.4P

𝛿1

K 𝐿3 =

𝑉3 𝑃 𝑒 = 𝛿3 𝛿3

K 𝐿5 =

𝛿

h2

L

𝑉5 𝑃 = 𝛿5𝑒 𝛿5

3º ,4º Y 5º pisos 1.2P

9P

𝛿

h4

h3

𝛿

h5

L

L

K 𝐿4 =

5P

𝛿

𝑉2 𝑃 = 𝛿2𝑒 𝛿2

K 𝐿5 =

𝑉4 9𝑃 = 𝛿4𝑒 𝛿4

L

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Caso general: 𝐾𝐿 = (

ℎ3 ℎ + 𝑘. )−1 𝐸𝐼 𝐺𝐴

Caso particular: 𝐼=

𝑡𝑙3

𝐴 = 𝑡𝑙

𝐾= .

𝐺 = 0. 𝐸

ℎ3 ℎ 𝐾𝐿 = 𝐸𝑡( ( ) + . ( ) )−1 𝐿 𝐿

MÉTODO DE ELEMENTOS INDEPENDIENTES O PISOS ACUMULADOS Consideraciones: Método limitado solo hasta 5 o 6 niveles El muro desde la base debe considerarse empotrada hasta el último nivel del muro. Los desplazamientos en el extremo libre para la determinación de la rigidez lateral deben ser los efectivos. 𝛿

5P

𝛿4

9P

𝛿

12P

h5

h4

h3

L

L

L

𝛿

14P

𝛿

15P

h2

h1

L

L

𝛿=

𝑃ℎ3 𝑃ℎ +𝑘 𝐸𝐼 𝐺𝐴

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𝑉

K 𝐿1 = 𝛿1𝑒 = 1

K 𝐿2 = 𝑉

K 𝐿3 = 𝛿3𝑒 = 3

𝑉

K 𝐿4 = 𝛿4𝑒 = 4

K 𝐿5 =

𝑉5 𝛿5𝑒

=

12𝑃 𝛿3 9𝑃 𝛿4 5𝑃 𝛿5

→ 𝛿3 =

12𝑃ℎ33 3𝐸𝐼

→ 𝛿4 = → 𝛿1 =

𝑉2

=

𝛿2𝑒

+𝑘

9𝑃ℎ43 3𝐸𝐼 5𝑃ℎ53 3𝐸𝐼

15𝑃

→ 𝛿1 =

𝛿1 14𝑃

→ 𝛿2 =

𝛿2

15𝑃ℎ13 3𝐸𝐼 14𝑃ℎ23 3𝐸𝐼

+𝑘 +𝑘

15𝑃ℎ1 𝐺𝐴

14𝑃ℎ2 𝐺𝐴

12𝑃ℎ3 𝐺𝐴

+𝑘 +𝑘

9𝑃ℎ4 𝐺𝐴 5𝑃ℎ5 𝐺𝐴

Caso particular: Sección rectangular 𝛿=

𝐻 𝐸𝑡

ℎ3

ℎ

𝐿

𝐿

( ( ) + . ( ))

𝐾𝐿 =

𝑉 𝛿𝑒

; G=0.25E

METODO DE LA COLUMNA ANCHA 1ER TEOREMA DE ALBERTO CASTIGLIANO Este método se puede aplicar para cualquier número de piso de la estructura que se esté analizando en un sistema con elementos rígidos y los resultados obtenidos por este método expresan mejor el comportamiento de los muros.

La rigidez lateral será determinada por la siguiente fórmula: 𝐾𝐿 =

𝑉𝑖 𝛿𝑖𝑒

Los desplazamientos laterales para una estructura de dos pisos es el siguiente:

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El desplazamiento para el primer piso será el siguiente: 𝛿1 =

𝑃 3 𝑃ℎ1 (ℎ1 + ℎ2 ℎ12 ) + 𝑘 𝐸𝐼 𝐺𝐴

El desplazamiento para el segundo piso será el siguiente:

𝛿2 =

𝑃 3 8 𝑃 (ℎ1 + ℎ2 ℎ12 + ℎ1 ℎ22 + ℎ23 ) + 𝑘 ( ℎ1 + ℎ2 ) 𝐸𝐼 𝐺𝐴

a) ANALISIS MATRICIAL

Convención de signos:

FUERZAS

DESPLAZAMIENTOS

G.D.L: se pueden considerar como las incógnitas ya que están asociadas al desplazamiento y a las fuerzas internas de la estructura. Matriz de rigidez para cada elemento 𝑘 𝑒 :

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𝐸𝐼 6𝐸𝐼 𝐸𝐼 6𝐸𝐼 0 − 2 0 − 3 3 ℎ ℎ ℎ ℎ 𝐸𝐴 𝐸𝐴 0 0 0 − 0 ℎ ℎ 6𝐸𝐼 𝐸𝐼 6𝐸𝐼 𝐸𝐼 − 2 0 0 2 ℎ ℎ ℎ ℎ 𝐸𝐼 6𝐸𝐼 𝐸𝐼 6𝐸𝐼 − 3 0 0 ℎ ℎ2 ℎ3 ℎ2 𝐸𝐴 𝐸𝐴 0 − 0 0 − 0 ℎ ℎ 6𝐸𝐼 𝐸𝐼 6𝐸𝐼 𝐸𝐼 0 0 2 [ − ℎ2 ](6×6) ℎ ℎ ℎ

Matricialmente lo podemos expresar como la solución al problema: [𝐾]{𝑢} = {𝑓}

PROBLEMA N° 04: 𝑘𝑔

Para la estructura reticular de acero (todas las barras: 𝐸 = . × 06 𝑐𝑚2 ; 𝐴 = 0𝑐𝑚2), se pide determinar la rigidez lateral.

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MÉTODO DE MUTO Está en los resultados de la deformación por flexión en las barras son más exactos, incluso pueden utilizarse para el diseño de estructuras de mediana altura, donde los efectos de la deformación El análisis sísmico aproximado de edificios trata sobre el estudio de métodos que permiten resolver en forma aproximada a los pórticos de edificios sujetos a carga lateral (sismo o viento). Entre este método encontramos el método de muto que se utiliza principalmente para resolver pórticos compuestos por vigas y por columnas ortogonales. Es uno de los métodos que se usa para resolver en forma aproximada a los pórticos de edificios compuestos por vigas y columnas ortogonales sujetos a carga lateral producida producida por el viento o los sismos. La diferencia que contempla a este método de otros (método del portal o del voladizo) axial son despreciables. RIGIDEZ LATERAL Supongamos la siguiente columna empotrada, sujeta a un desplazamiento lateral

Se define a la rigidez lateral absoluta (K0 Da) como aquella fuerza cortante V capaz de originar un desplazamiento lateral unitario, relativo entre los extremos de la columna, bajo esta definición se obtiene:

Donde D0 es la denominada rigidez lateral estándar (en unidades de fuerza entre longitud, usualmente ton/cm) calculada como:

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La rigidez lateral estándar depende de la altura de cada columna, pero como usualmente las columnas que conforman un entrepiso tienen la misma altura, entonces esas columnas tendrán el mismo valor D0

El coeficiente a contempla el grado de empotramiento que tiene la columna en sus extremos, para el caso que la columna este biempotrada (vigas muy rígidas) el valor de a es 1. En cambio si la columna esta biarticulada a es cero (no tiene rigidez lateral, o no opone resistencia al desplazamiento lateral), por otro lado, si la columna está articulada en su base y empotrada en su extremo superior (vigas rígidas), se demostrara que a es un 1/4

Base, el método de muto, siempre trabaja como un coeficiente de rigidez a la flexión

El valor a esta comprendido entre 0 y 1, y la máxima rigidez lateral (K) se obtienen cuando la columna esta biempotrada, si esta columna se articulase en su base K se reduce en 75 % y si luego se articulase en su extremo superior, k se degrada en 100% convirtiéndose en un mecanismo inestable.

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Tal como se ha definido la rigidez lateral, se tendría que ella resulta dependiente del sistema de carga lateral actuante, sin embargo, muto concluye que en los pórticos compuestos por vigas y columnas, la distribución y magnitud de las cargas laterales no afecta el valor de K. CALCULO DEL COEFICIENTE “a” (MUTO RECOMIENDA) 1.-COLUMNAS QUE PERTENECEN A ENTREPISOS SUPERIORES AL PRIMERO a.- si b.-el método es válido solo cuando K ≥ 0.2, de lo contrario, la fórmula es imprecisa. El valor K es menor que 0.2 cuando las vigas son muy flexibles en relación con la columna (vigas chatas), o cuando la columna trata de transformarse en una placa.

2.- SUB CASOS PARA LAS COLUMNAS DEL PRIMER PISO a.- base semi-empotrada: aparte de existir vigas de cimentación (vc), la rigidez aportada por

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Cuando la base de la columna esta semi empotrada, el valor que se obtenga de a deberá ser inferior al caso en que la base este empotrada (sub-caso b) b.- base empotrada

c.- base articulada:

2. CALCULO DE DESPLAZAMIENTO Y CORTANTES. COLUMNAS EN PARALELO

La condición para que un conjunto de columnas estas dispuestos en paralelos es que su desplazamiento relativo (∆) sea único. Esto ocurre en los edificios compuestos por losas de piso axialmente rígidos (aligeradas losas macizas) denominados “diafragmas rígidos” donde al existir monolitismo entre las vigas y la losa, las vigas, también serán rígidas axialmente. Estudiando un entrepiso cualquiera del pórtico mostrado y llamando Q al cortante de entrepiso (valor conocido por equilibrio de fuerzas laterales), se tratara de reducir el conjunto de columnas a un solo eje vertical, cuya rigidez de entrepiso sea la suma de las rigideces laterales de las columnas que conforman ese entrepiso.

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Nota: cada columna absorbe fuerza cortante en proporción a su rigidez lateral. Por otro, lado se observa que el desplazamiento del entrepiso (A) puede obtenerse si se modela al pórtico como un solo eje vertical, cuya rigidez de entrepiso sea ΣKi.

3.- PÓRTICOS CON MEZZANINE Y VIGAS DE ENTREPISO: columnas en serie La condición para que dos o más columnas (ubicadas una sobre otra), estén dispuestas en serie es que la fuerza cortante en ellas sea única, lo que implica que la fuerza actuante a la altura del nivel que separa a las columnas es nulo. Este sistema puede reducirse a una sola columna equivalente de doble altura de la siguiente manera.

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Este caso de columnas en serie puede presentarse en pórticos con mezzanine, donde la altura del mezzanine la masa es pequeña, así como la aceleración sísmica con lo cual, la fuerza de inercia en ese nivel es despreciable con relación a los que existen en los niveles superiores. También puede presentarse en pórticos con viga intermedia en el entrepiso, que sirve como apoyo del descanso de alguna escalera, al ser su masa pequeña, la fuerza de inercia será nula en ese nivel.

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4.- DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS

Conocido el cortante que absorbe una columna (V), MUTO proporciona unas tablas que permiten ubicar la posición del punto de reflexión (Di). Luego, siguiendo un proceso similar al explicado se determinan los esfuerzos.

a.- Graficar el DMF en las columnas. b.- calcular los momentos en las vigas, Repartiendo el momento desequilibrado en los nudos en proporción a las rigideces de las vigas (Kr); y gráfica su DMF. C.- determinar la fuerza cortante en las vigas. D.- Evaluar la fuerza axial en las columnas.

UBICACIÓN DEL PUNTO DE INFLEXIÓN (PI) EN LAS COLUMNAS Este punto se localiza a una altura medida a partir de la base de la columna igual a “Yh”, el valor “y” el valor Y se determina como Y = Y0 + Y1 + Y2 + Y3; Donde”y0”, es la altura estándar del PI, “Y1 “es una corrección por variación de rigidez de las vigas, mientras que “Y2 “e “Y3 “ Corresponden a conexiones por diferencias de altura entre los pisos consecutivos. Como usualmente los pisos son típicos, solo se calcula “Y0 ”.

a.- altura estándar del PI (Y0h) Suponiendo que las alturas de los entrepisos eran iguales, así como que las rigideces de las vigas no variaban y que la distribución de las fuerzas laterales era triangular. El cálculo de” Y0 “se efectúa en cada eje vertical de las columnas. Es necesario saber cuántos niveles tiene el eje de la columna en análisis, en que entrepiso está ubicada y el valor de K.

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b.- corrección “y1” Esta corrección se realiza solo cuando las vigas que llegan al extremo superior (A) de la columna tienen distinta rigidez a flexión que las inferiores (B). Para calcular” Y1 “es necesario determinar el parámetro de “α1 “y k.

- Para el 10 piso “Y1 = 0”, salvo que la base este semiempotrada - Si α 1 >1, se ingresa a la tabla con la inversa de α1 y se cambia de signo al valor “Y1”, es decir, el PI se corre hacia abajo.

c.- Correcciones “Y2”,” Y3” Estas correcciones se efectúan cuando la columna superior o inferior a la que está en estudio, tienen distintas alturas, para esto, es necesario calcular los parámetros α2 , α3, K. Observaciones: - Si α 2=1 →Y2 =0 - Si α 3=1 →Y3 = 0

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- Para columnas del 10 piso→ Y3 = 0 - Para columnas del 20 piso →Y2 = 0

MÉTODO DEL MUTO APLICADO A ESTRUCTURAS APORTICADAS El método asigna a cada columna un valor característico “D” que viene a ser la relación entre el corte que toma la columna y la deformación que la produce. Este valor depende a su vez de otros llamados k que es la relación entre las sumas de las rigideces de las vigas que llegan a los extremos de la columna y la rigidez de la columna. El corte que forma cada columna “j” del entrepiso, está dado por:

ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS APORTICADAS Los pasos a seguir son: 1) Calculo de los valores de D 2) distribución de la cortante de entrepiso Q entre las columnas proporcionalmente a sus valores D.

Dj: constante relativa de la columna j Σ Dj: suma de las constantes Dj del entrepiso considerado 3) determinación de los puntos de inflexión de las columnas y cálculo de los momentos flectores. 4) Calculo de las solicitaciones en vigas y fuerzas axiales en columnas. 5) Corrección de torsión.

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VALORES D EN LAS COLUMNAS a) Para columnas de altura uniforme

A : constante que depende de K Kc : rigidez de la columna considerada

Si KV3+KV4 es mucho mayor que KV1+ KV2 , o a la inversa ; el valor de A no debe ser mayor que el que resultaría de aplicar la formula correspondiente al caso siguiente: CASO Nº 02: extremo empotrado (primer piso)

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CASO Nº 03: extremo articulado

b) caso en que las columnas son de altura no uniforme. CASO Nº 04: Una columna de altura “h” que difiere de la altura estándar “h”:

CASO Nº 05: Una columna compuesta de dos tramos cortos de altura h1 y h2 las cuales sumadas dan la altura estándar h

CALCULO DE RIGIDECES LATERALES USANDO EL MÉTODO DE MUTO

Para el cálculo de las rigideces laterales hacemos uso de las formulas del doctor Muto para calcular las rigideces DX DY. Se debe cumplir que K sea mayor a 0.20. ya que las limitaciones del método están dadas por el valor de K En cuento K se haga más pequeño el error se incrementara, debido a que una hipótesis base es que las vigas son suficientemente rígidas; un pequeño valor de K indicara que esta condición no se cumple satisfactoriamente. Posteriormente hallamos las rigideces para vigas y columnas tanto en la dirección X como Y. Una vez hallada las rigideces DX y DY procederemos a calcular el centro de rigideces.

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CALCULO DE LAS RIGIDECES LATERALES

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Rigidez lateral absoluta:

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Para h=200 cm; D0=63 ton/cm Para h=300 cm; D0=28 ton/cm

Para h = 600 cm; D0 = 7 ton/ cm

CALCULO DE ∆: TRABAJANDO CON LOS CONCEPTOS DE COLUMNAS EN PARALELO Y EN SERIE

Cada columna absorbe la fuerza horizontal proporcional a su rigidez

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Calculo del coeficiente a

IV. columnas que pertenecen a entrepisos superiores al primero

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V. base empotrada

VI. base articulada

PARA EL EJEMPLO

Rigidez lateral absoluta:

Para h=200 cm; D0=47.88 ton/cm Para h=300 cm; D0=21.28 ton/cm Para h = 600 cm; D0 = 5.32 ton/ cm Luego de realizar los cálculos para cada elemento (viga, columna); la figura queda.

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CALCULO DE ∆: TRABAJANDO CON LOS CONCEPTOS DE COLUMNAS EN PARALELO Y EN SERIE

Cada columna absorbe la fuerza horizontal proporcional a su rigidez

EJEMPLO Nº2: Aplicando el método de muto, analizar el pórtico ASUMIR: Vigas: 0.3x 0.5 m2 Columna: 0.3 x 0.4 m2 K0=0.0004 m3 E=2000000 Ton/m2

Solución Coeficiente de rigidez a flexión Vigas: Para h= 5m, Kv=1.56 Para h= 6m, KV=1.30 COLUMNAS: Para h = 3m, KC=1.33 Para h = 4m, KC=1 RIGIDEZ LATERAL ABSOLUTA

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Para h=3m, D0=1067 ton/m Para h=4m, D0=600 ton/m Luego de hallar los valores de α ,D ,K de cada columna se tiene:

Calculo de δ:

APLICACIÓN POR EL MÉTODO DE MUTO Aplicamos el método a nuestro edificio para el eje principal 1-1 (igual que eje 2-2) Analizamos el primer nivel Hallamos la rigidez para las vigas y columnas

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VIGA: 0.25x0.50 m Columna: 0.25x0.50 m Kv=I/hK0 Consideramos como rigidez estándar de la estructura K0=0.001 m3 Coef. De rigidez a flexión:

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PÓRTICO X1: PARA LAS RIGIDECES LATERALES 3º PISO: 2900.8290 ton/m 2º PISO: 2900.8290 ton/m 1º PISO: 3116.5695 ton/m

BIBLIOGRAFÍA: Perú.

Contreras; EDICIVIL; 2003

METODO DE WIBUR – BIGGS Para el método de la rigidez lateral de las estructuras a porticadas Wilburg y Biggs presentaron los siguientes sistemas de ecuaciones, las cuales se emplearon debiendo tener en cuenta el nivel de entrepiso del cual se calculara dicha rigidez , asi como también el tipo de apoyo que idealizaremos para la estructura dentro del proceso de análisis y que se mantendrá durante la vida útil de esta , dichas ecuaciones se presentan:

A) ULTIMO NIVEL −1

𝐾𝐿 =

8𝐸 ℎ𝑛 ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛 ℎ𝑛 [ ] + + 𝐼 𝐼 ℎ𝑛 ∑ (𝐼𝑐 ) ∑ ( 𝑉) ∑ ( 𝑉) ℎ 𝑛 ℎ 𝑛−1 ℎ 𝑛

B) NIVEL TIPICO

−1

𝐾𝐿 =

8𝐸 ℎ𝑖 ℎ𝑖−1 + ℎ𝑖 ℎ𝑖+1 + ℎ𝑖 [ ] + + 𝐼 𝐼 𝐼 ℎ𝑖 ∑ (𝐼𝑐 ) ∑ ( 𝑉) + ∑ ( 𝐶) ∑( 𝑣 )𝑖 ℎ 𝑖 ℎ 𝑖−1 ℎ 𝑖 𝐿

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C)

SEGUNDO NIVEL

C.1) BASE EMPOTRADA −1

𝐶𝐾𝐿2 =

8𝐸 ℎ2 ℎ1 + ℎ2 ℎ2 [ ] + + 𝐼 𝐼 𝐼 ℎ2 ∑ (𝐼𝑐 ) ∑ ( 𝑉) + ∑ ( 𝐶) ∑ ( 𝑉) ℎ 2 ℎ 1 ℎ 1 ℎ 2

C.1) BASE ARTICULADA

−1

𝐶𝐾𝐿2 =

8𝐸 ℎ2 ℎ1 + ℎ2 ℎ2 [ ] + + 𝐼 𝐼 ℎ2 ∑ (𝐼𝑐 ) ∑ ( 𝑉) ∑ ( 𝑉) ℎ 2 𝐿 1 ℎ 2

D) PRIMER NIVEL C.1) BASE EMPOTRADA

−1

𝐾𝐿 =

8𝐸 ℎ1 ℎ1 + ℎ2 [ ] + 𝐼 𝐼 ℎ1 ∑ (𝐼𝑐 ) ∑ ( 𝑉) + ∑ ( 𝐶) ℎ 1 ℎ 1 ℎ 1

C.1) BASE ARTICULADA

−1

𝐾𝐿 =

𝐸

8ℎ1 ℎ1 + ℎ2 [ ] + 𝐼 𝐼 ℎ1 ∑ ( 𝑐 ) ∑ ( 𝑉) ℎ 1 𝐿 1

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PROBLEMAS

PROBLEMA N°1 Para el sistema compuesto por una viga (E = 2x10^5 kg/cm2) y una varilla de acero (E = 2.1x10^8 kg/cm2) de 2 cm2 de área colocado en uno de sus extremos tal como se muestra en la figura. ¿Cuál debe de ser el momento e inercia I de la viga para que el desplazamiento en el extremo libre debido a una carga de 30 toneladas hacia abajo, sea de 1 cm?

T

P = 30 ton

2m

SOLUCIÓN: TEOREMA DE CASTIGLIANO VIGA: M=

𝜕𝑀 = −𝑥 𝜕𝑃

Tx - Px

TIRANTE: 200

N=T 𝜕𝑁 𝜕𝑃

=0

𝑁𝜕𝑁 𝜕𝑃

=0

200

𝑑𝑥 ∫ (𝑃 − 𝑇)𝑥 2 +∫ 0= 𝐸𝐼 0

0

6

(𝑃 − 𝑇) ∗ 8 ∗ 0 = ∗ 𝐸𝑉 ∗ 𝐼𝑉

… . . (𝟏)

VIGA:

M=

Tx - Px

𝜕𝑀 =𝑥 𝜕𝑃

2m

𝑀𝜕𝑀 = (𝑇𝑥 − 𝑃𝑥)(𝑥) = (𝑇 − 𝑃 )𝑋 2 𝜕𝑇

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TIRANTE:

N=T 200 𝜕𝑁 𝜕𝑃

=1

𝑁𝜕𝑁 𝜕𝑃

200

𝑑𝑥 𝑑𝑥 ∫ (𝑇 − 𝑃 )𝑥 +∫ 𝑇 = 𝐸𝐼 𝐸𝐴 2

=T

0

(𝑇−𝑃)∗8∗106 3∗𝐸𝑉 ∗𝐼𝑉

0

+

200𝑇 𝐸𝐴

= 0 ….. (2)

DE (1) Y (2), se obtiene: T = 21 Ton Remplazando en la ecuación (1): I = 120000 cm4

Rpta.

PROBLEMA N°2 La estructura mostrada en la figura es de concreto armado (E=2.2*106 Kg/m2) y puede modelarse suponiendo un diafragma rígido y EI vigas =∞. Se pide determinar la rigidez lateral para la dirección de análisis x-x. Considere la sección de columnas:

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Solución: a) Calculamos la Inercia de las columnas. 

Columna 1:

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Seccion 1 2

Seccion 1 2

Seccion 1 2

Seccion 1 2 

B (cm)

D (cm) 30 30 TOTAL

X (cm) 90 30

I A (cm2) 1822500 2700 67500 900 TOTAL

B (cm)

D (cm) 30 30 TOTAL

d (cm) 7.5 22.5

X (cm) 90 30

I A (cm2) 1822500 2700 67500 900 TOTAL

Columna 2:

45 15

45 75

d (cm) 7.5 22.5

A (cm2) 2700 900 3600 X=

X*A 121500 13500 135000 37.5

d^2 I + A*d^2 56.25 1974375 506.25 523125 I= 2497500

A (cm2) 2700 900 3600 X=

X*A 121500 67500 189000 52.5

d^2 I + A*d^2 56.25 1974375 506.25 523125 I= 2497500

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B (cm)

D (cm) 60



30 I=

Columna 3:

D (cm) I=

I 135000 135000

I 60 636172.512 636172.512

b) Hallamos la rigidez de cada columna.



Para la columna 1: 𝐾 = 𝐾 =

𝐾 = 0.

∗ 0.

∗ 𝐸𝐼 ℎ3 ∗ 97 00 03

Ton /cm 

Para la columna 2: 𝐾 = 𝐾 =

𝐾 = 0.008 Ton /cm

∗ 0.

∗ 𝐸𝐼 ℎ3 ∗ 03

000

INGENIERIA ANTISISMICA

 Para la columna 3: 𝐾 = 𝐾 =

∗ 0.

∗ 𝐸𝐼 ℎ3

∗6 6 7 . 03

𝐾 = 0.0 9 Ton /cm c) Hallamos la rigidez de cada pórtico en dirección al eje “X” 

Pórtico 1:

𝑘𝑒 = ∗ 𝑘 + ∗ 𝑘 𝑘𝑒 = ∗ 0. + ∗ 0.0 9 𝑘𝑒 = 0. 86 Ton /cm 

Pórtico 2:

𝑘𝑒 = ∗ 𝑘 + ∗ 𝑘 𝑘𝑒 = ∗ 0.008 + ∗ 0.0 9 𝑘𝑒 = 0.09 Ton /cm 

Pórtico 3:

𝑘𝑒 = ∗ 𝑘 + ∗ 𝑘 𝑘𝑒 = ∗ 0. + ∗ 0.0 9 𝑘𝑒 = 0. 86 Ton /cm

INGENIERIA ANTISISMICA

d)

Hallamos la rigidez lateral total en dirección al eje “X”

𝑘𝑒 = 𝐾𝑒 + 𝐾𝑒 + 𝐾𝑒 𝑘𝑒 = 0. 86 + 0.09 + 0. 86

𝒌𝒆 = 𝟎. 𝟖𝟔𝟔 Ton /cm

PROBLEMA Nº 03

Para la estructura de concreto armado (f´c=280 kg/cm2) con Mezzanine mostrada en la figura se pide determinar las rigideces laterales según el modelo dinámico propuesto (𝐾𝐿1, 𝐾𝐿2, 𝐾𝐿3,) para la dirección de análisis X-X. Considere: VIGAS (0.3mx0.6m) COLUMNAS ∅ 0. 𝑚 W mezzanine =1.50 ton/𝑚2 W nivel superior =0.9ton/𝑚2

6m

6m

6m

6m

6m MODELO DINAMICO

6m

6m

PLANTA

6m

INGENIERIA ANTISISMICA

3m

4m

ELEVACION

SOLUCIÓN:

B

A

C

E

D

5

6m 4

6m 3

6m 2

6m 1

6m

6m

6m

6m

PLANTA

3

3m

2

4m

1

ELEVACION Calculando los momentos de inercia : 𝐼𝑐 =

𝜋 .𝑑 4 64

=

𝜋.404 64

=

66 .7 𝑐𝑚4

𝐼𝑣 =

30𝑥603 12

=

0000 𝑐𝑚4

INGENIERIA ANTISISMICA

Calculo de la rigidez relativa de las columnas: 𝐾𝑐1 =

𝐼𝑐 = 79. 700

0 𝑐𝑚3

𝐾𝑐2 =

𝐼𝑐 = 00

. 6 𝑐𝑚3

𝐾𝑐3 =

𝐼𝑐 = 00

8.88 𝑐𝑚3

Rigidez relativa de la viga: Kv =

Iv = 600

0000 = 900 cm3 600

Calculo de KI de la columna : Ec = KI1 = KI2 = KI3 =

. Ec. Ic = h3

∗

000√f´c =

0.998 ∗ 7003

∗

0.998 ∗ 003

66 .7

∗

0.998 ∗ 003

66 .7

66 .7

= .9 =

000 ∗ 80 =

= . 0 Ton/cm

Ton/cm

.0 Ton/cm

Calculo de rigidez lateral de las columnas: PARA LOS EJES 2,3 Y 4: EJE A=E ̅

̅ = 900 = .0 → 𝑎̅ = 0.5+𝑘 = 0.79 𝐾 ̅ 179.52 2+𝑘 𝐾𝐿 = 𝐾𝐼1 ∗ 0.79 = . 0 ∗ 0.79 𝑲𝑳 = 𝟎. 𝟖𝟕 𝑻𝒐𝒏/𝒄𝒎

0.998 𝑡𝑜𝑛/𝑐𝑚2

INGENIERIA ANTISISMICA

EJES B=D ̅

̅ = 900 = .86 → a̅ = 0.5+k = K ̅ 314.16 2+k 0.69 K L1 = KI2 ∗ 0.69 = .9

∗ 0.69

K L1 = .08 Ton/cm

̅ = 900∗3 = . K 2∗418.88

̅ k

→ a̅ = 2+k̅ = 0.6

K L2 = KI3 ∗ 0.6 =

.0 ∗ 0.6

K L2 = 8.69 Ton/cm ∴ 𝑲𝑳 =

𝟏 = 𝟐. 𝟕𝟖 𝑻𝒐𝒏/𝒄𝒎 𝟏 𝟏 + 𝑲𝑳𝟏 𝑲𝑳𝟐

EJE C ̅

̅ = 1800 = .7 → a̅ = 0.5+k = 0.8 K ̅ 314.16 2+k K L1 = KI2 ∗ 0.8 = .9

∗ 0.8

K L1 = .79 Ton/cm

̅

̅ = 3600 = . → a̅ = k = 0.68 K ̅ 2∗418.88 2+k K L2 = KI3 ∗ 0.6 = K L2 = 9.

.0 ∗ 0.68

Ton/cm

∴ 𝑲𝑳 =

𝟏 = 𝟑. 𝟏𝟗 𝑻𝒐𝒏/𝒄𝒎 𝟏 𝟏 + 𝑲𝑳𝟏 𝑲𝑳𝟐

INGENIERIA ANTISISMICA

PARA LOS EJES 1 Y 5:

EJE B=C=D ̅

̅ = 900∗2 = 0.0 → 𝑎̅ = 0.5+𝑘 = 0.88 𝐾 ̅ 179.52 2+𝑘 𝐾𝐿 = 𝐾𝐼1 ∗ 0.79 = . 0 ∗ 0.88

𝑲𝑳 = 𝟎. 𝟗𝟕 𝑻𝒐𝒏/𝒄𝒎

Calculo de rigidez de cada pórtico :

Para el pórtico 2, 3 y 4 𝐾𝐿

𝑝𝑜𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜

=

∗ 0.87 + ∗ .78 + . 9 = 0. 9 𝑇𝑜𝑛/𝑐𝑚

𝐾𝐿

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 2,3,4

=

𝐊𝐋

𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝟐,𝟑,𝟒

= 𝟑𝟏. 𝟒𝟕 𝐓𝐨𝐧/𝐜𝐦

∗ 0. 9 =

. 7 𝑇𝑜𝑛/𝑐𝑚

Para el pórtico 1 y 5 𝐾𝐿

𝑝𝑜𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜

=

∗ 0.87 + ∗ 0.97 = .6 𝑇𝑜𝑛/𝑐𝑚

𝐾𝐿

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 1,5

=

𝐊𝐋

𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝟏,𝟓

= 𝟗. 𝟑 𝐓𝐨𝐧/𝐜𝐦

∗ .6 = 9. 𝑇𝑜𝑛/𝑐𝑚

Calculo de rigidez lateral total del sistema:

𝑲𝑳 𝒔𝒊𝒕𝒆𝒎𝒂 = 𝑲𝑳

K L sitema . =

𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝟐,𝟑,𝟒

+ 𝑲𝑳

𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝟏,𝟓

. 7 + 9. = 0. ton/cm 𝐊 𝐋 𝐬𝐢𝐭𝐞𝐦𝐚 . = 𝟒𝟎. 𝟑 𝐭𝐨𝐧/𝐜𝐦

INGENIERIA ANTISISMICA

PROBLEMA Nº5

EJERCICIO 5

PARA PEQUEÑAS OSCILACIONES VERTICALESDE LA MASA DE LA ESTRUCTURA CON ELEMENTOS BIARTICULADOS SE PIDE DETERMINAR LA RIGIDEZ VERTICAL E=2.1 X 10ˆ 6 KG/CM2

3 ᵩ 1 3/8"

3m

W=3 TON

2 ᵩ 1 3/8"

4m SOLUCION POR EL PRIMER TEOREMA DE ALBERTO CASTIGLIANO

3 2

DETEMINAMOS EL DESPLAZAMIENTO VERTICAL DE LA ARMADURA ∑M 1=0 4P=3RX

RX=4P/3

∑ FY=0

RY=P

RX P

1 RX RY

CALCULO DE FUERZAS AXIALES EN CADA ELEMENTO NUDO 2

NUDO 1 N13 RX

RX RX= N23 N23=4P/3

BARRA 1.-3 2.-3

37°

N23

L(cm)

RY RX=N13COS 37° N13=5P/3

E=2.1 X 10ˆ 6 KG/CM2 E A N 500 2100000 19.1598 (-)5P/3 400 2100000 28.7398 4P/3

A 3 ᵩ 1 3/8" 2 ᵩ 1 3/8"

P= 3000 δn/δP N Nxδn/δPxL/EA 1.6666 4999.8 0.103548485 1.3333 3999.9 0.035345487 ∆V3 0.138893972 cm

DETERMINAMOS LA RIGIDEZ VERTICAL K = P/δ

K= k=

3 ton / 0.13889 cm 21.5998 ton/cm

ᵩ 1 3/8" AT 9.5799 cm2 28.7398 cm2 9.5799 cm3 19.1598 cm2

RESPUESTA

INGENIERIA ANTISISMICA

PROBLEMA Nº6 Para el pórtico de concreto armado de 2 niveles mostrado en la figura, determinar la rigidez lateral de columnas por los métodos de Muto y Wuilbur. (E=210ton /cm2).

METODO DE MUTO

𝐼𝑉 =

𝐼𝑉 =

𝐼𝐶 =

3

0𝑥

9 7. 𝑐𝑚 4

=

0𝑥803

0𝑥 03

80000𝑐𝑚 4

=

=

.

𝑐𝑚 4

Primer piso

𝐾𝐼 = 𝑘𝑣1 =

∗

𝐸𝑐 ∗ 𝐼𝑐 = ℎ3

∗

9 7. = 69 . 600

0∗

. 03

9

𝑘𝑣2 =

= .90𝑡𝑜𝑛/𝑐𝑚 80000 = 600

.

INGENIERIA ANTISISMICA

𝑘̅ =

𝑎=

𝐾𝑣1 + 𝐾𝑣2 69 . = 𝐾𝑐

9+ 7 .07

̅ 0. ∗ 𝐾 0. ∗ .96 = = 0. ̅ + ∗ .96 + 𝐾

𝐾𝐿 = 𝑎 ∗ 𝐾𝐼 = 0.

𝐾𝐿1 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =

.

= .96

06

06 ∗ .90 = . 6𝑡𝑜𝑛/𝑐𝑚

. 6𝑡𝑜𝑛 . 6𝑡𝑜𝑛 + = .7 𝑡𝑜𝑛/𝑐𝑚 𝑐𝑚 𝑐𝑚

Segundo piso

𝐾𝐼 =

∗

𝑘𝑣1 =

𝑘̅ =

𝑎=

𝐸𝑐 ∗ 𝐼𝑐 = ℎ3

∗

9 7. = 69 . 600

0∗

.

𝐾𝐿 = 𝑎 ∗ 𝐾𝐼 = 0.

.

9𝑡𝑜𝑛/𝑐𝑚

9

𝐾𝑣1 + 𝐾𝑣2 69 . 9 + 69 . = 𝐾𝑐 609.

̅ 𝐾 ̅= +𝐾

=

03

9

= . 7

. 7 = 0. + . 7

∗

.

𝐾𝐿2 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =

9 = 6.6 𝑡𝑜𝑛/𝑐𝑚

6.6 𝑡𝑜𝑛 6.6 𝑡𝑜𝑛 + = 𝑐𝑚 𝑐𝑚

. 𝑡𝑜𝑛/𝑐𝑚

INGENIERIA ANTISISMICA

METODO DE WUILBUR

𝐼𝑉 =

0𝑥

0𝑥 03

9 7. 𝑐𝑚 4

=

0𝑥803

𝐼𝑉 =

𝐼𝐶 =

3

=

=

80000𝑐𝑚 4

𝑐𝑚 4

.

−1

𝐾𝐿 =

𝐸 ℎ1

[

8ℎ1 ℎ1 + ℎ2 ] + 𝐼 𝐼 ∑ ( 𝑐) ∑ ( 𝑉) ℎ 1 𝐿 1

Primer piso

𝑘𝑣1 =

9 7. = 69 . 600

9

𝑘𝑣2 =

80000 = 600

.

𝑘𝑣2 =

. 0

= 7 .07

INGENIERIA ANTISISMICA

−1

𝐾𝐿 =

𝐸

[

ℎ1

8ℎ1 ℎ1 + ℎ2 + ] 𝐼𝑐 𝐼 ∑( ) ∑ ( 𝑉) ℎ 1 𝐿 1

=

∗

0 0

[

8∗ 0 ∗ 0+ + 7 .07 + 7 .07 69 . 9 +

0 .

−1

]

= .6 𝑇𝑜𝑛 /𝑐𝑚

Segundo piso

𝐼𝑉 =

𝐼𝐶 =

𝑘𝑣1 =

0𝑥

0𝑥 03

3

=

=

9 7. = 69 . 600

9 7. 𝑐𝑚 4

𝑐𝑚 4

.

𝑘𝑣2 =

9

. 0

= 609.

−1

8𝐸 ℎ𝑛 ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛 ℎ𝑛 𝐾𝐿 = [ + + ] 𝐼𝑉 𝐼 ℎ𝑛 ∑ (𝐼𝑐 ) ∑( ) ∑ ( 𝑉) ℎ 𝑛 ℎ 𝑛−1 ℎ 𝑛

=

8∗

0 0

[

∗ 609.

0 ∗ 0+ + ∗ 69 . 9 +

0 .

+

−1

0 69 .

9

]

=

.7

INGENIERIA ANTISISMICA

METODO DE MUTO

METODO DE WUILBUR

CONCLUSIONES:

   

Hay diferentes métodos para el cálculo de rigideces En el caso del método para sistemas flexibles de Muto y Wuilbur , los resultados son bastante semejantes Para el cálculo de rigideces de sistema de muros la aplicación de la fórmula es relativamente fácil Estudiar bien los temas de este capítulo ya que es muy importante para el análisis de edificaciones.

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