Problemas Resueltos Electrotecnia-Fouille

,

FOUILLE

A. FOUILLÉ Ingeniero por ellnstltut Electrotechnlque de Grenoble (francia). IJcenclado en Ciencias. Profesor de Electrotecnia de la Ecole Natlonale d 'Arts et Métiers de Angers (!'rancla)

PROBLEMAS RESUELTOS DE

ELECTROTECNIA VERSIÓN ESPA~OLA DE LA CUARTA EDICIÓN ORIGINAL

por

CARLOS FERRER KUTTER Ingeniero Industrial del grupo de Empresas. !'uerzas Eléctricas de Cataluña, S. A. Energia Eléctrica de Cataluña. S. A. y Compañia General de Electricidad, S. A.

TERCERA EDICIÓN

JOSÉ MONTESO EDITOR

BARCELONA

BUENOS AIRES

Vía Augusta, 251 y 253

ParanA, 19 6 7

480

Titulo de la edición original, PROBLEMES D' ELECTROTECHNIQUE AL' USAGE DES INGBNlBURS

Versión española autorizada por DUNOD, éditeur. Parlo

íNDICE DE MATERIAS Págs.

Caps.

PRÓLQGO DE LA EDICIÓN FRANCESA .

7

UNIDADES ELÉCTRICA¡i

9

y

MAGNÉTICAS .

1. ELECTROSTÁTICA

1. Campo eléctrico 2. Capacidad. Condensadores ~

©

JOSÉ MONTESÓ - B..rC'élona, J96 7 Depósito Legal. B.

n.

ELECTROCINÉTICA (Leyes de Faraday, Joule, Ohm y Kirchhoff) .

1. Corriente eléctrica. Ley de Faraday . 2. Ley de Joule. Resistencia. Resistividad 3. Leyes de Ohm y de Kirchhoff

22009- 1 96 7

45

'*9 55'

IV. EFECTOS MAGNÉTICOS DE LAS CORRIENTES ELÉCTRICAS

95 95 100 103

V. ACCIÓN DE UN CAMPO MAGNÉTICO SOBRE\ UNA CORRIENTE ELÉCTRICA.

121

VI. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. AUTOINDUCCIÓN. INDUCCIÓN MUTUA.

133

1. 2. 3. 4.

EGS . ROSARIO, 2 . BARCELONA

45

83

1. Ausencia de toda substancia magnética .

~

13

24

III. MAGNETISMO .

2. Propiedades de las substancias magnéticas 3. Teoría del circuito magnético .

Impreso Y editado en España

13

Inducción electromagnética Autoinducción Inducción mutua. Carga y descarga de un condensador

VII. PILAS

y

ACUMULADORES

133 139 143 147 161

1. Pilas eléctricas .

161

2. Acumuladores eléctricos .

164

6

ÍNDICE DE MATERIAS

( 'III'H.

V 111.

1X. X. X 1.

CORRIENTES ALTERNAS SINUSOIDALES CORRIENTES

POLIFÁSICAS

.

INDUCTANCIAS. TRANSFORMADORES ESTÁTICOS. MÁQUINAS

XII. MÁQUINAS XIII.. DÍNAMOS

SINCRÓNICAS ASINCRONAS DE

CORRIENTE

CONTINUA

XIV. MOTORES DE CORRIENTE CONTINUA. CONMUTATRICES . VÁL. IÓNICAS XV. TRANSPORTE y DISTRIBUCIÓN DE LA ENERGÍA ELÉCTRICA SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS .

175

205 237 269 305 333 359 397 419

PRÓLOGO DE LA EDICIÓN FRANCESA Ha tenido M. A. Fouillé, profesor de la École des Arts et Métiers, de Angers, la feliz idea de reunir ' en este volumen una gran' variedad de problemas de Electrotecnia que, juntamente con el repaso de leyes fundamentales, numerosas fórmulas y tablas, constituye una valiosísima colección. Por cierto que existen ya libros análogos, adaptados al nivel de ingenieros o estudiantes de ingeniería, que responden a las exigencias de dichos sectores. Pero M. Fouillé quiso llegar más lejos y complacer también a infinidad de técnicos quienes, no demasiado espedalizados en Electrotecnia,deben, sin embargo, afrontar problemas relativos a la producción y principalmente a la utilización de la energía eléctrica; en una palabra, facilitarles el poder resolver problemas habituales de instalaciones o aplicaciones eléctricas, sin necesidad de requerir la ayuda de un especialista en la materia. Actualmente, las Écoles d'Arts et Métiers (Escuelas Profesionales), forman técnicos provistos ante todo de sólidos conocimientos en mecánica industrial, en tecnología mecánica, y reputados también con justicia por. su habilidad manual y gráfica. Por ello el autor ha tenido en cuenta, en la elección ae los problemas, las características básicas de la formación de dichos técnicos, preocupándose ante todo por las aplicaciones prácticas de las fórmulas que constituyen las bases rle la Electrotecnia. Me ha honrado M. Fouillé con su confianza al consultarme en numerosos capítulos de la obra. Creo que tomó esa actitud porque C01'/,oce mis convicciones con respecto al criterio que debe prevalecer en la formación de técnicos no especializados. Pues bien, debo testimoniar que mi impresión de esta obra es excelente. Soy de los que creen que siempre los ejemplos de aplicación deben estar ligados a las exposiciones teóricas, por más áridas que éstas sean, y considero absurda la mentalidad de algunos autores que creen rebajarse al dar ejemPlo de aplicaciones prácticas en apoyo de teorías que exponen con un despliegue de' fórmulas, a veces exagerado.

8

PRÓLOGO DE LA EDICIÓN FRANCESA

A mi entender, es cien veces más valioso un compendio de problemas bien escogidos, sin ninguna teoría, que un libro con un fárrago de disquisiciones teóricas sin indicar una sola aplicación. Considero también un deber aplaudir al autor por haberse sometido a la disciplina de los símbolos y notaciones propugnados por la Comisión Electrotécnica Internacional (C.E.!.), en momentos en que tantos autores rehusan aceptar regla alguna; seguramente no advierten tales autores hasta qué punto invalidan los esfuerzos realizados durante veinticinco años por dicho organismo internacional, esfuerzos tendentes a facilitar la comprensión de los textos por parte de tantos estudiosos de la Electrotecnia, al evitar superposiciones de símbolos y notaciones. Lo primordial en un sistema de símbolos es, no que sea el más perfecto, sino que todo el mundo lo utilice. En una ocasión ya hablé ae ello al hacer referencia al Congreso de 1881, en cuya oportunidad se edificó nuestro sistema de unidades prácticas a partir del sistema C.C .S . electronwgnético. Posiblemente, si se hubiese basado todo el sistema práctico sobre las acciones electrodinámicas de Ampere, habría sido más conveniente. Sin embargo, esto es secundario. Lo primordial es que todo el mundo ha seguido el sistema que se propuso. Y no es difícil imaginar lo que se ha ahorrado en tiempo y esfuerzos, en dificultades de interpretación y de estudio, durante estos tres cuartos de siglo, al haberse abandonado los numerosos sistemas de unidades que existían antes de dicho Congreso. P. BOUCHEROT Ex Presidente de la Sociedad Francesa de Electrotécnicos

UNIDADES ELÉCTRICAS Y MAGNÉTICAS Los sistemas de unidades eléctricas y magnéticas actualmente en vigor son: el sistema E.S.C.G.S., el sistema E.M.C.G.S. y el sistema práctico corriente, siendo utilizado este. último todavía en electrotecnia incluso con carácter oficial. Sin embargo, para la definición legal del ampere, ha sido dado un paso hacia el sistema M.K.S.A. GIORGI (no racionalizado). Como la adopción oficial de este último sistema es probable (1), utilizaremos en esta obra Jos sistemas E.S.C.G.S., E.M.C.G.S. y GIORGI (no racionalizado). Hacemos observar que las unidades eléctricas (volt, ampere, farad, coulomb), la unidad de trabajo (joule) y de potencia (watt) son las mismas en el SISTEMA GIORGI Y en el ' hoy en uso. A continuación se dan: a) La tabla de los símbolos de las principales magnitudes eléctricas y magnéticas. Designación de la magnitud

Tensión, diferencia de potencial; Fuerza electromotriz Campo eléctrico Cantidad de electricidad Densidad de volu'men de carga Flujo de inducción eléctrica. Inducción eléctrica (desplazamiento) Capacidad Constante dieléctrica Corriente. Densidad de corriente. Resistencia _ Reactancia Impedancia .

Símbolo

U

E

€ Q p IV

D

e

€

1 Il

R X

Designación de la magnitud

Símbolo

Resistividad . Inductancia propia. Inductancia mutua. Coeficiente de dispersión. Fuerza magnetomotriz Campo magnético. Flujo de inducción magnético. Inducción magnética. -'-Intensidad de imantaci6n. Momento magnético. . Permeabilidad magnética. Susceptibilidad . Reluctancia . Permeancia . Número de polos

p L

M el

1 H ~

B 1

m p. X

R P

2p

Z

(1) La adopción del SISTEMA GIORGI sería deseable por las razones que se exponen en la tabla de la página siguiente, columna de ventajas . .' Nota. de! Tr.ad"ctor. -

El sistema absoluto práctico GIORGI fué propuesto por el Profesor

GlOv~J?-nl GlOrgt e!i 1,901 y adop~ado para su utilización universal por el voto unánime de la Comlsló~ Electrotecmca InternaclOnal (C.E.I.) el año 1935, siendo confirmado en el año 1938

(Sc.hwenmgen), La Haya, con la denominación SISTEMA GIORGI. En este sistema, las unidades estan basadas en el metro, kg-masa y segundo, y son unidades prácticas de electricidad actualmente en uso. Para -:1 fiujo magnétic? se adoptó el weber como unidad práctica equivalente al voJt·segundo por esplr.a; para la umdad de frecuencia el hertz, equivalente al período por segundo y para la umdad de conductancia el sieme"s, equivalente al ohm-l.

Unidades eléctricas y magnéticas

Los principales sistemas de unidades eléctricas y magnéticas vienen dados por la tabla siguiente: Sistema

Unidades fundamentales

Caracteristlcas esenciales

Ventajas

Inconvenientes

E. S. C. G. S.

Centimetro. Gramo. Segundo. EO = 1 (constante dieléctrica del vacío .)

Campo eléctrico e inducción eléctrica en el vacío expresados por el mismo número.

Simplifica las fórmulas de la electrostática.

Las unidades no son a escala de las magnitudes corrientemente medidas (electrocinética y electromagnetismo).

E. M. C. G. S.

Centímetro. Gramo. Segundo. p.o = 1 (permeabilidad magnética del vacío .)

Campo magnético e inducción magnética en el vacío exp resados por el mismo número .

Simplifica las fórmulas del electromagnetismo.

Los mismos inconvenientes que el precedente.

Práctico corriente.

Adaptado y relacionado con el precedente por 1 Q (Ohm) = 109 E. M. C. G. S. 1J = 107 ergo

Unidades a escala de magnitudes . corrientemente fáciles de medir.

Sistema incoherente (las fórmulas electromagnéticas contienen coeficientes de potencias del orden de 10. Unidades de longitud demasiado grande (109 cm) y de masa demasiado pequeña (10--" g).

1 A (Ampere) = =

1

10 E . M.

.

C. G. S.

Metro. Kilogramo-masa. Segundo . Ampere.

Permeabilidad magnética del vaclo !J.o = 10- 7 H y B (en el aire) no expresadas por el mismo número.

Como el precedente; además sistema coherente y las fórmulas electromagnéticas no contienen coeficientes con potencias del orden de 10.

Ningún inconveniente con relación al sistema práctico corriente.

M. K. S. A. Metro. (Giorgi racionalizado.) Kilogramo-masa. Segundo. Ampere.

Permeabilidad magnétic,a del vacío p.o=41t·1O- 7 H y B (en el aire) no expresadas por el mismo número.

Como el precedente; además simplificación de las fórmulas más corrientes; s II utilización se extiende por el extraniero.

Unidades magnéticas no afectadas por potencias de 10 a las unidades magnéticas de los sistemas E. M. C. G. S. y el práctico.

M. K. S. A. (Giorgi.)

b) Tabla comparativa entre las principales unidades Giorgi y las unidades correspondientes de los sistemas E.S.c.G.S. y E.M .C.G.S. MAGNITUD

S1>IBOLO

NOMBRE DE LA UNIDAD E. S. C. G. S.

Longitud L Centfmetro Masa m,M Gramo Fuerza F Dina Trabajo y energía W Erg Potencia activa" P Erg-segundo Potencia reactiva . Q Potencia aparente. S Presión. . . . P Baria Par e Dina-centímetro Cantidad de electricidad Q Franklin Corriente 1 Sin nombre d. d. p. o f. e. m. E,U, V Capacidad . . e Centimetro Resistencia eléctrica . R Sin nombre Conductancia . G Sin nombre Campo magnético . H Sin nombre Inducción magnética. B Sin nombre Flujo de inducción -¡i-< ción la diferencia de potencial 11 U Fig . 15 entre las armaduras. La relación !.tI 11 U será la capacidad pedida por unidad de longitud. El punto M está a la distancia r (Fig. 15) del primer conductor y a la distancia D-r del segundo. Designando por El, E 2 los campos creados en M por los dos conductores, el campo resultante será: 3

34

Cap. 1

PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA E

=

E1

+ E!

2!,-

=

-

l'

+

2!,-D

(Ver Probo 5),

-1'

D-r

l'

De donde la carga en función del campo será: E

!'-=

.

.

2(~+_1_) r

D-r

Expresemos la diferencia de potencial U entre los hilos en función del campo E; teniendo éste la dirección del segmento de recta ,. su valor en el punto M será: E

=- ~ dr

(u

de donde:

=

potencial en el punto M)

D-a U

=

du

a

Edr

a

y la capacidad por unidad de longitud tiene por expresión: e-~-

- U- 2(~

1

E

+

1

-D-~-r) DJ-a

2

Ed1'

DJ-dr +2 JD-~ D

l'

a

-1"

a

a

El denominador puede escribirse: V-a

V-a

2 [log 1'1- 2 [log (D -1')] = 2 [log (D -a)-loga-log (D-D+a)+log (D-a)], a

e' = 1:. = U

e1

=

4 log - a-

"

D-a

=

2 mm;

e2

=

3 mm;

e3

= 5 mm

y

1.0 Expresar la capacidad de este condensador en microfarad. 2.° Calcular la diferencia de potencial en volt a que está sometida la segunda placa, sabiendo que la tensión aplicada entre armaduras es . de 16.900 V.

De donde: 1 ;e=-----

Fig.16

16. (Resuelto.) Expresión de una capacidad para la conservación del flujo de inducción. Un condensador plano está formado ptJr dos armaduras metálicas planas y rígidas, dispuestas uwyo 1I paralelamente y separadas entre olí una distancia de Fig. 17 10 mm. Cada armadura consiste en un disco de poco espesor cuyo diámetro es de 40 cm, y el dieléctrico de este condensador está constituído por tres Planchas aislantes de espesores regulares designados por 1, 2y 3 (Fig. 17). Las resistividades de los materiales de estas planchas son extremadamente elevadas. Siendo los espesores y constantes dieléctricas los siguientes:

a

2 [2 log (D - a) - 2 log al

1:. = 2 e. U

"2

o sea: D-a

2

y por consiguiente doble de la capacidad entre dos conductores.

D-a

J- = f

35

ELECTROSTÁTICA

2.° La tierra constituye una superficie equipotencial de potencial nulo. Lo mismo ocurriría si un conductor cuya traza es A 2 (Fig. 16) estuviera colocado paralelamente a Al y simétricamente con relació, al plano horizontal de tierra y tuviese la carga - fl por unidad de longitud. Por razón de simetría, la diferencia de potencial entre Al y tierra sería U /2 (U = diferencia de potencial entre Al y A 2 ). La' capacidad kilométrica entre el hilo Al y tierra es pues:

2p. (~+ _1_).

E=

Cap. 1

(e en E.S.C.G.S. por centímetro de longitud)

4log - a

osea: 1

C!'-F/cm = . 9 X 1()5

1

y

D-a 4x 2,310g--

1 1 efLF/km = - . - - -- 9 D-a 9,21og - a

a

de donde, siendo a despreciable respecto D: efLF/km

=

1.0 Las resistencias dieléctricas de las tres placas están en serie y se suman:

0,0242 D 2 log -;

(s

=

superficie de las armaduras; en el sistema E.S.C.G.S., tenemos PA

siendo: d2 4

s = 11: -

= -11:4

X 402

= 40011:.

=

1)

Cap. 1

1'1l0BLEMAS DE ELECTROTECNIA T(,II~lr(,lI1os

:

R ._~ _,!_ (0,2 4007t

5

+ ~~ + ~~) 4

_ 1_ x ~~ .

=

3

4007t

60

l)c donde la capacidad: 1 e= -= 47tR

o sea en microfarad:

e=

9 355 x 105

=

1 47t 169 4007t X

=

355 cm,

sir-

I3,94

X

10-6 fLF

I

(o 3,94 pF).

2.0 El flujo de inducción 1jJ entre las armaduras viene dado por U -47tS -

Hs

It.

= -47ts- = -47t

siendo

de donde: 1=

8:0 =

Cap. III

1 = longitud. 1 = intensidad de imantación. s = sección. a = densidad magnética en cada polo.

Cap. III

El par de retorno el debido a las fuerzas magnéticas en el caso de oscilaciones pequeñas (sen a se confunde con a) será:

e1

= mita.

(a. = elongación angular de la barra).

Así pues el par de retorno por radián será valor del período de oscilación de la barra:

m=

636,9 C. O. s.

K

Ya que el flujo total cIl emitido por un polo pasa por el entrehierro a través de una sección s igual a la superficie propia del polo. d) El trabajo desarrollado se expresa por la fórmula: A

=

m X Ji U.

siendo !:lU la diferencia de potencial magnético entre las posiciones inicial y final de la masa magnética m. Así tenemos:

3. Una barra de acero imantada de forma paralelepipédica, cuyas dimensiones son 1 cm X 1 cm X 40 cm, está suspendida por su centro de gravedad por. medio de un hilo sin par de torsión. Haciéndola oscilar en París en un plano horizontal y siendo el período de oscilación de 26,12 segundos, calcular.1. 0 El momento magnético del imán. 2. 0 Su intensidad media de imantación. 3.0 El valor común m de las masas magnéticas que posee, siendo la distancia entre los polos igual a los ~ de la longitud de la barra. 4.° El flujo total emitido por un polo del imán. 5. 0 La energía potencial de la barra cuando ésta se dispone perpendicularmente a la componente horizontal del campo terrestre, siendo la densidad del acero 7,8 y la componente horizontal del campo terrestre en París igual a 0,2 oersted.

1.0 Las fuerzas que actúan sobre cada una de las masas magnéticas del imán son constantes en magnitud y dirección, así pues la barra separada de su posición de equilibrio (NS magnético) oscilará. El período de las pequeñas oscilaciones pendulares es: T = 27t VMomento de inercia respecto al eje os~ilatorio o de giro. Par de retorno por radián

=

MH (para a

= 1) Y el

momento magnético de la barra. momento de inercia respecto al eje de giro.

El momento de inercia respecto al eje de giro viene dado por la fórmula: K = ~ (a 2 12

con m = 40

7,8 g

X

= lado de la sección cuadrada. b = longitud de la barra. m = masa de la barra. a

+ b2 )

tendremos para K el valor:

A = 50 x 3.200 = 160.088 ergo

Magnitudes características de un imán

89

MAGNETISMO

K

=

40

~ 7,8

(1

+ 40 2 ) =

41.626 C. G. S.

El momento de las fuerzas que actúan es MIt o sea M X 0,2. Así tenemos: 26 12 - 2 7t , -

Vm

41.626 . x 0,2

De donde:

m=

41.626 X 47t 2 26,122 x 0,2

=

12.880 dinas·om lIor oersted.

2.° La intensidad media de imantación será: 1=

m = v

12.000 =300 C. G. S. 40

3.° Masa magnética de cada polo: m

= -m = 1

12.000

~ x 40

360 C. O. S.

6

4.° El flujo total: ~

=

47tm

= 47t

X 360

= 4.521

maxwell.

5.° La energía potencial es el trabajo efectuado por las fuerzas magnéticas cuando la barra dirigida siguiendo la componente horizontal del campo terrestre viene a situarse perpendicularmente a éste.

90

Cap. III

PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA

~n una rotación comprendida entre el ángulo a y a debIdo a las fuerzas magnéticas efectúa un trabajo: dA

·· r::~:~~·.-_-~_·:j:~.·~~~~~-.-_-~:.1 /': ./

·15 Fig.2

= e drx =

+ da, el par C

MN sen rx drx (fig. 2).

De donde :

A

= JfuNsen rx drx =

MN.

o A = 12.000 x 0,2 = 2.400 ergo

PROBLEMAS A RESOLVER REFERENTES AL CAPÍTULO

III

4. Dos masas magnéticas N arte, ambas iguales a m, están separa- . das entre sí 2d. Calcular: 1.0 La intensidad de campo en un punto cualquiera M del plano P perpendicular en el punto medio del segmento de recta que une las dos masas (designando por x la distancia del punto M a dicho segmento) " 2.0 El potencial magnético en el punto M.

APlicación numérica: 2d = 0,50 m; x ·= O,312 m;

m

= 100;

5. Dos inwnes S y M están dispuestos como se representa en la figura 3, esto es, en los vértices opuestos de un rectángulo ABCD de lados a y b, siendo sus ejes paralelos a los lados AB y CD. La componente del campo terrestre en el pla- S no ABCD es paralela a AD y BC y ~""""-"'a-"--"""'----lB vale ft. ¡ t¡ Una pequeña aguja imantada, de moH I lb mento magnético igual a M, de m omento ¡ ! de inercia K y que puede oscilar en el ¡ ¡ plano ABCD, está situada en B y se orien- oL. ..-.-.----.-----..------.-....~ ta siguiendo BC Se supone que a y b son M muy grandes comparados con las dimenFig. 3 siones de los dos imanes. Sabiendo que el imán M está constituído por dos masas magnéticas m a una distancia d entre ellas, se desea saber: 1.0 El momento magnético del imán S ; 2.0 Suponiendo colocada la aguja en D. ¿Cuál es la posición de equilibrio y cuál es el valor del período de sus pequeñas oscilaciones! Aplicación numérica: H = 0,2 oersted ; a = 1 m; b = 2 m ; m = = 5 X 104 E. M. C. G. S .; d = 4 cm. M omento magnético de la aguja: 100 C. G. S. M omento de inercia de la aguja: 4,47 C. G. S.

¡

Cap. III

91

MAGNETISMO

6. Dos imanes largos y delgados OA y OB, están colocados en ángulo recto y unidos de manera que formen un solo cuerpo rígido. Los polos Norte están situados en los extremos A y B, los dos polos Sur en O . Los mOmentos magnéticos son M y M' y las longitudes a y b. El conjunto de los dos imanes es móvil en todos los sentidos en un plano horizontal, por ejemplo, flotando sobre un líquido . Se desea: 1.0 Determinar su posición de equilibrio cuando está sometido a la sola acción de un campo '»'fagnético uniforme horizontal de intensidad It; Fig.4 2. 0 Encontrar el par que se ejerce sobre este conjunto, cuando se hace girar el mismo un ángulo ~ alrededor de un eje vertical, y a partir de su posición de equilibrio. Aplicación numérica: , M = 18.000 C. G. S. M' N

= =

9.000 C. G. S. 50 oersted . .

~ =~ 6

OBSERVACIÓN. Se puede llegar muy rápidamente al resultado aplicando la regla (ver Formulario) relativa a los sistemas de imanes.

1. Una barra imantada tiene la f01·ma de un cilindro de sección circular de 10 cm de longitud y de 3 cm de diámetro; la densidad del acero de que está formado es 7,8. Se le hace oscilar en un punto de la tierra en el que la. componente horizontal del campo magnético terrestr¿ tiene por valor' 0,2 y se observa que la oscilación simple es de 6 segundos de duración. Calcular: 1.0 El momento magnético del imán y su intensidad de imantación; 2.0 La masa magnética de sus polos; 3.° El potencial magnético debido a este imán en un punto situado sobre la prolongación de su eje magnético y a una distancia del centro de la barra igual al triple de su longitud. Se tomará como fórmula del momento de inercia de la barra: K

= ~ [~ +

R2]

P = masa de la barra en gramos.

Se supondrá que los polos geométricos se encuentran sobre las superficies de los extremos.

8. Se consideran dos barras de acero idénticas, A y A', que han sido imantadas diferentemente. Haciéndolas oscilar en el campo terrestre alrededor de ejes verticales (permaneciendo las barras en un plano horizontal), se observa que la barra A efectúa tres oscilaciones completas en 10 segundos, mientras que A' sólo realiza dos. Se desea saber:

92

PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA

Cap. III

1.0 La relación de las intensidades de los momentos magnéticos M

y M' de las dos barras; 2.° La posición de equilibrio con relación al meridiano magnético del conjunto obtenido fijando en cruz las dos barras, suponiéndolo móvil alrededor del eje vertical al mismo, y por consiguiente perpendicular a las barras; 3.° La duración de la oscilación de este conjunto. 4.° La duración de la oscilación del conjunto obtenido fijando las dos barras una contra la otra, encarando una vez los polos del mismo nombre, y otra vez los polos de nombre contrario.

9. Un potente imán, permanente, A, equivalente al conjunto de dos polos magnéticos distantes entre sí 8 cm, está fijado sobre una regla graduada; la dirección de esta regla y la de la línea de los polos son horizontales y coinciden con el Plano del meridiano magnético. 1.0 Una pequeña brújula B cuya aguja está horizontal puede ser desplazada a lo largo de la regla graduada y se comprueba que su aguja invierte su posición cuando pasa a 60 cm del centro del imán A. Se desea saber cuál es el momento magnético de este imán, sabiendo que la componente horizontal del campo magnético terrestre, medido con una aproximación de un 1 por 100, vale 0,2 C. G. S. ¿Es correcto hacer el cálculo asimilando el imán A a un imán infinitamente corto? 2.° Se hace girar la regla graduada un ángulo pequeño alrededor de la vertical que pasa por el centro de la brújula B de manera que el desplazamiento del centro del imán, que medido vale aproximadamente 1 mm, sea de 5 cm. ¿Cuál será en este momento la dirección de la aguja de la brújula B? Si se hace girar esta aguja alrededor de su posición de equilibrio, ¿cuál será el período de oscilación, sabiendo que en ausencia del imán A, dicho período es de 1 seg en el campo terrestre? 3.° Se colocan a continuación la regla graduada y el imán A en su posición primitiva, se retira la brújula B y se la sustituye por un Péndulo constituído por un imán C idéntico al A, pero cuya línea de polos es vertical en la posición de equilibrio. Se hace oscilar este péndulo alrededor de un eje perpendicular al meridiano magnético y el período de oscilación es de 12 s, período que se convierte en 10 s cuando se desimanta C. La inclinación del campo terrestre es de 60°. Deducir cuál sería el período de oscilación si se imantase de nuevo de la misma manera pero en sentido contrario y cuál sería el momento de inercia respecto a su eje de suspensión. Determinar finalmente cuál sería con esta nueva imantación, la posición de equilibrio de e si se suprimiese A.

e

=

10. Un imán de momento magnético M 4.000 C. G. S. está suspendido de un hilo de torsión constante C = 10 C. G. S. En la posi-

Cap. III

MAGNETISMO

93

ción inicial el hilo está sin torsión y el imán horizontal se m.antiene en equilibrio en el meridiano magnético; la componente honzontal del campo terrestre es de 0,2 oersted y el momento de inercia del sistema es de 200 C. G. S. 1.0 Desviando el imán un ángulo muy pequeño de su posición de equilibrio ¿cuáles la diferencia relativa del período de .oscilación comparado con el perío.do de oscilación de. un hilo ~in torSlón:, , 2.° Haciendo gtrar la parte supenor del htlo de torsto.n un angulo a. (a partir de a. - 0), el imán gira un ángulo ~ a parttr de su t osición de equilibrio; hal~ar la re~ación . entre a. y ~ . D~w:?strar qu~ ~t ~ es superior a MH, el ststema ttene stempre una postcton de equtltbrfO y única, y que es estable (para ~ < J t ) . . . Demostrar que si C es inferior a MH, extsten para ctertos valores de a., dos posiciones de equilibrio de las cuales sólo una es estable. Aplicación al caso anterior: calcular los valores de ~ cuando la torsión del hilo sea de una vuelta, dos vueltas, ·tres vueltas. 11. Una aguja imantada, móvil alrededor de un eje vertical, está situada en un punto O en el que la componente horizon~al d~l. campo 0,2 oersted. Un punto Cesta defintdo por magnético terrestre es H sus coordenadas polares D, {t con relación al punto O y al eje H. Una esfera de permeabilidad infinita y de rad~o R, tiene su ce~tro en C; en el campo terrestre H, esta esfera se tmanta y se conmerte en un bipolo magnético de momento M H R3 orientado en la ~irección y sentido del campo terrestre, encontrándose el centro del btpo'lo en C. 1.0 ¿Cuál eS,entonces el ángulo ~ que forma la aguja imantada: O con el campo terrestre H? Trazar la curva de ~ en functón. de {t, SIendo R = 1 m, D = 3 m, variando {t de O a Jt y permanectendo constante D; 2.° Demostrar que se puede anular () colocando en un punto C' (D', {t') el centro de una segunda esfera de hierro de las mismas propiedades que C (M' = H R'3); 3.° Determinar las relaciones entre D, R, {t, D', R', {t' para que se anule (l. Demostrar que existen dos soluciones tales que {t y {}' están relacionadas entre sí de una manera simple y que una de ellas corresponde al caso en que {t' está ligada rígidamente a {t.

=

=

12. Expresar el valor del campo magnético creado en el centro O de un casquete esférico de radio R, cubierto por una capa magnét~ca de densidad constante. Se designará por a. el semiángulo en el vérttce del cono cuyo vértice está situado en O teniendo por directriz el contorno del casquete.

CAP1TULO IV

EFECTOS MAGNÉTICOS DE LAS CORRIENTES ELÉCTRICAS l. AUSENCIA DE TODA SUBSTANCIA MAGNÉTICA Fórmula de Laplace df

mi dI sen a = K ---:::-,.2

df i

= fuerza ejercida sobre la masa

=

magnética m.

corriente en el elemento dI.

dl~

.

r~) Fig . l OBSERVACIÓN. - Si i viene expresado en unidades E. M. C. G. S., el coeficiente K es igual a 1.

Ley de Ampere: Semejanza entre una hoja y un circuito eléctrieo

LeJ •• A.p.re. - En todo punto del espacio el campo magnético debido a una corriente es idéntico a la inducción creada por una hoja magnética del mismo contorno si la potencia de la hoja es igual a la intensidad de la corriente (expresada en unidades E. M. C. G. S.): E.M.

C.G.S. C.G.S. cm!

M =

i

S

(Analogía con el momento de una hoja M ~ P S).

M = momento magnético de un circuito. S = superficie de este circuito. i

= corriente que lo recorre.

96

PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA

Cap. IV

Caso particular: solenoide indefinido:

Teorema de Ampere

E.M. C.G. S.

erg

A

=

A=41tn , i

trabajo realizado por una masa magnética unidad enlazando, en una trayectoria cerrada, un circuito eléctrico (Fig. 2) de n espiras recorridas por una corriente i (*).

Trallectorl4 de léI H74Sa H74gnctice vniúet7

~

Métodos para el establecimiento de la expresión de un campo producido por una corriente

1.0 Aplicar la fórmula de Laplace, realizando la suma integral de los componentes, Fig.2 que tienen la misma dirección, de los campos elementales; 2.° O aplicar la ley de Ampare: Igualando los campos de una corriente y de una hoja con el mismo contorno que él; 3.° O aplicando el teorema de Ampere igualando el trabajo 43tni definido anteriormente a H dI (siendo ft = intensidad de campo), abarcando la integral toda la trayectoria. cerrada. i

97

EFECTOS MAGNÉTICOS

Cap. IV

H=

41tni 1

OBSERVACIONES. - En las fórmulas precedentes, todas las longitudes vienen expresadas en centímetros y todas las intensidades de las corrientes en unidades E. M. C. G. S. (10 veces más grande que el ampere). Así, pues, tenemos: .

,

, E. M. C. G. S" =

Jamp.

10

.

n espiréis

Por ejemplo la fórmula relativa al solenoide indefinido se convierte en esta otra: H

J

= ~ 10

nI = 1 25 nI 1 ' 1

(I en ampere).

PROBLEMAS RESUELTOS Campos generados por diversos circuitos de forma geométrica

Campos producidos por diferentes circuitos eléctricos

1.0 Corriente rectilínea indefinida (Fig. 3): oersted

H =~ a

··

n espIras Fig.3

¡:i~:,

Fig.4

I

r,

2.° Corriente circular en un punto de su eje (Fi~: , -1): H

=

2rri

R2 [R2 + x 2 ]f

= R2rri

x

R3 pa =

cam po maglll'li,'"

("11

,,1 re ntro

X

(R) 3

p .

3.° Solenoide en un punto de su eje (Fig. 5): H

=

2rrni

- ¡ - (cos

IX

l. Un rectángulo cuyos lados respectivos tienen por longitud 2a y 2b es recorrido por una corriente de intensidad i (E.M.C.G.S.). Se desea: 1.0 Expresar el valor de la intensidad de campo magnético en su centro; 2.° Averiguar, en igualdad de peso de cobre" la forma de espira más ventajosa cuando se desea crear un campo máximo en su centro (rectangular, cuadrada o circular). • A~------~~~~ Aplicación numérica: 2a = 8 cm; 2b = 12 cm; 1 = 8 ampere. I 2b: !J ~--~:'----I y' 1.° El método que aplicaremos aquí ¡ es el primero (fórmula de Laplace). o x' e Consideraremos una porción infinitamente pequeña de uno de los lados Fig.6 (2a por ejemplo) y se expresará en función del ángulo M O P el campo elemental d Hen el centro O, inte9< 1m c::

m .E'"

11

Substancia

ll1

208 12.700 Chapas dulces

Elu

'"·~El

~

o ,...¡

:>

8u

:>

~

c:: u

10

X

180

18

Aire 800 6.600 5.280 2xO,312 3.300 476 15.000 Acero fundido 33 2x15 990 Aire 12.000 2xO,03 720 476 15.000

350 10.200 Acero fundido

8

50

400

--

1. Se dispone de un circuito magnético cuya fo?,ma y di~ensiones vienen representados en la figura 13 y se desea sermrse del mzsmo para construir un electroimán capaz de elevar I un peso de 15 kg, con un entrehierro 1~--,.-:2:.j'~_ _ _ _..-_r de 1 mm, estando alimentadas las bobinas inductoras por una corriente cuya ten.2g. ..... .\.. ......~I? ............ 20 sión es de 12 volt. Datos: Culata y armadura móvil: hierro plano de 30 X 10 mm; Núcleos: hierro redondo de 20 mm diámetro.

1 IL--_________~

Entrehierro: 0,5 mm; Juntas: 0,05 mm

Fig. 13

5.590

En este problema el flujo útil es el flujo de líneas de fuerza cortadas por los conductores dispuestos sobre la periferia de la armadura del inducido; es, pues, el flujo que penetra en el inducido. En cuanto

Admitiendo un coeficiente de pérdidas igual a 1,15. y utilizando para los núcleos y armaduras la curva B (A-v/cm) relatwa a las char pas del acero dulce de la tabla I se desea:

1.0 Calcular las bobinas inductoras; 2.0 Determinar la distancia a que deberá colocarse la armadura para que la fuerza de atracción ejercida sobre la misma se reduzca a 0,5 kg. 1.0 a) Cálculo de la inducción. - La fórmula de la fuerza portante: 82 S

F = -81t

al flujo perdido, se propaga de una bobina inductora a la otra sin actuar sobre la armadura del inducido. Para producir un flujo útil de 5,28 X 106 maxwell se necesitan, pues, 5.590 ampere-vueltas, o sea 5.600 en números redondos equi'

valentes a - 2 - = 2.800 ampere-vueltas por polo. Pero como hay 1.090 espiras por polo, la corriente excitatriz necesaria será: 2.800 1.090

= 251 , .mpere.

8

=

V

-581tF (F en dinas).

o sea, aumentando en un tercio la fuerza (margen de seguridad):

Fig. 12

5.600

nos da

8

=

V

8 x 3,14 x 20 x 981.000 - 6 340 5 - - 2>

Sección S

46.000 46.000 40.000 40.000

3 6,28 3 6,28

Parte del circuito

Culata Núcleo Armadura Entrehierro .

Inducción

B=~

A-v/cm

Longitud cm

15.330 7.325 13.330 6.370

28 1,5 13 5.096

11 10 X 2 11 0,11

S

IXA-v/cm

308 30 143 560

Total.

Cap. IV

de corriente de 1,5 A/mm2 (*), la intensidad de la corriente tiene por valor : 1 = 0,283 X 1,5 = 0,42 ampel to. De donde se deduce el número de espiras de cada bobina: 520

042 = ,

1.041

c) Cálculo de la sección del hilo ..- Vamos a demostrar que la sección viene determinada cuando se conoce la longitud de la espira media: Tenemos en efecto: R[

=p L s

10-2 1

u=

o:

tensión de alimentación por bobina.

[ = corriente.

s= n= 1= 1m =

1= nlm

de donde: s=

~ 1m nI . 10-2

1.240.

No es preciso profundizar más en el cálculo; bastará determinar exactamente la longitud de la espira media, calcular la resistencia de las bobinas, las pérdidas por efecto Joule, comprobar y determinar el calentamiento del hilo (**), después de haberse asegurado completamente de la posibilidad de colocar y arrollar las espiras en el espacio dispuesto para el circuito magnético en el electroimán proyectado. El cálculo completo de un electroimán es bastante largo, pues es necesario tantear mucho antes de adoptar las dimensiones definitivas. Los constructores utilizan generalmente los datos de construcción de aparatos preexistentes. 2.° Si la armadura está muy separada, la reluctancia R del cir. , . se r ed uce a 1a de1 entreh'lerro -2e CUlto magnetlco

y por consiguiente se necesitan 520 ampere-vueltas por bobina.

u=

111

EFECTOS MAGNÉTICOS

sección del hilo en mm 2 • número de espiras. longitud del hilo en metros. longitud de la espira media.

s

F - 2TI 2 [2 _s_ dR _ 2TI 2 [2 .- 100 n R2 de - 100 n

expresión que da directamente la sección del hilo en función de los ampere-vueltas. . Aplicando la fórmula última a una bobina, suponiendo la resistivldad del cobre p 2 Y teniendo en cuenta el calentamiento que sufrirá este metal, tendremos:

0,5 X 981 X 1.000

=

TI 2TI 100 1.040 7

r

_1_ 2e s

X (

X

s2

De donde

= e

TI ( s 100 n I)2 ""i2

=

0,66 cm.

=

s

=

PROBLEMAS A RESOLVER REFERENTES AL CAPÍTULO

2 6 1m X 520 X 10-2

l. 1.0 Establecer la expresión general del campo en el centro de un polígono regular de n lados inscrito en un círculo de radio R y recorrido por una corriente de intensidad i (E.M.C.C.S.) " 2.° Aplicar la expresión obtenida a los casos particulares del triángulo equilátero, del cuadrado y del círculo; 3.° Determinar la intensidad del campo creado por un cuadrado de 8 cm de lado recorrido por una corriente de 12 A en un punto situado sobre el eje perpendicular al plano del cuadrado en su centro ya 5 cm de este plano.

I?el croquis del circuito magnético, supuesto lleno de espiras, la longitud de la espira media será: 1m

= TID m =

TI .

2,4

+8

2

=

16,3B

O

sea 0,1633 m.

y la sección del hilo será, pues: s

=

2 60,1633

X

520 x 10-2

=

IV

0,2827 mm2.

d) Cálculo de las bobinas inductoras. - La sección del hilo corresponde exactamente a 0,6 mm de diámetro. Si admitimos una densidad

(*) (**)

\I

Las densidades de corriente admitidas varían de 1,5 a 6 ampére/mm". Se admite una pérdida de calor equivalente a 6-10 watt por dm".

112

PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA

Cap. IV

9. Supuesta constante la densidad de corriente en toda la sección de un conductor cilíndrico de radio R, establecer la expresión de la intensidad del campo magnético en un punto situado: 1.0 Exteriormente al cilindro y a la distancia r de su eje; 2.° En el interior del cilindro y a la distancia r de su eje. Trazar la curva del campo en función de la distancia del punto al eje del cilindro. 10. Un solenoide de 1 m de longitud y 8 mm2 de sección está formado por una sola capa de hilo constituída por 200 espiras. La; ca... rrient~ del solenoide pasa después por una bobina circular B plana, que twne 20 cm de diámetro, lleva cuatro vueltas de hilo y cuyo cen• tro se encuentra en el piu;'o de una de las ca2:0 ras terminales del solenoide (Fig. 14). .v En este mismo plano y a 10 cm de esta cara, se coloca la aguja de un magnetómetro (aparato constituído por un imán muy pequeño suspendido por un hilo sin torsión). Se desea saber a qué distancia de la cara terminal del solenoide debe colocarse el centro C de la bobina B para que el magnetómetro deje de ser influenciado por la corriente. 11. 1.0 Se forma un solenoide A arrollando regularmente un hilo de cobre aislado sobre ~n tubo de c~rtón. cuyo diámetro es de 2 cm y el espesor despreczable. La longztud del solenoide es 1 20 cm el número total de espiras N = 1.000 y el diámetro medio de las espiras 21 mm. Expresar el campo magnético H creado en el interior del solenoide y en su parte central por la corriente de intensidad i que circula por estas espiras. Calcular H numéricamente para i 1 ampere. Bastará para estos cálculos y siguientes una aproximación del 1 por 100. 2.° S e coloca en el interior del solenoide A un imán B de momento magnético 50 C.C.S. El eje de A y la línea de tos polos de B son horizontales y perpendiculares entre sí. Expresar el par al cual ~stá sometido el imán B y calcular numéricamente este par para J 1 m-npere. El imán B es móvil alrededor de un eje vertical. Se le mantiene en la posición perpendicular a A por la acción de un resorte en esK{} cuando se ha ejercido Üka piral que ejerce sobre él un par C' torsión correspondiente a un ángulo {}, siendo el valor del par igual a 348 C.C.s. cuando {} = 1 grado. Calcular en grados las torsiones {} que corresponden a i 1, 2, 3, 4, 5 ampere. 3.° Se retira el i'm án B y se coloca en el interior del solenoide de A Fig.14

=

=

m=

e

=

=

=

Cap. IV

EFECTOS MAGNÉTICOS

113

un segundo solenoide C constituído por N' = 127 espiras de diámetro d' 1 .cm, cuyo eje es horizontal y perpendicular al eje de A, y está recorndo por la misma corriente i = 1 ampere. Se utiliza él mismo resorte que para la pregunta 2 con objeto de mantener el solenoide C normalmente al A. Calcular las torsiones {} en grados y décimas de grado para i 1, 2, 3, 4, 5 ampere. 4.° Se cónsidera un punto M sobre el eje de A a una distancia r 2 m del centro del solenoide. Calcular el campo H creado en este punto por el solenoide cuando éste es recorrido por una corriente de intensidad i 5 ampere. 5.° El eje de A es perpendicular al plano del meridiano magnético; el imán B está suspendido en M por un hilo sin torsión. Sabiendo que la compor:ente horizontal del campo terrestre es de 0,2 oersted, calcular en mmutos el ángulo Z a que gira el imán B cuando se invierte el sentido de la corriente i . 6.° Se introduce en el tubo de cartón del solenoide A un núcleo de hie~ro dulc~, que lo l:ena exactamente. Para i 1 ampere la intensidad de zmantacton del nucleo es J = 1.500 C.C.s. Calcular los nuevos valores H' del campo en M y Za' del ángulo que gira el imán B.

=

=

=

=

=

. 12. Demostrar que el campo magnético creado por un tubo cilíndnco muy delgado y de longitud indefinida, recorrido longitudinalmente por una corr.i ente eléctrica uniformemente repartida sobre su periferia, es: l.0 Nulo en todo punto situado en el interior del tubo' 2.° Igual en todo punto exterior al campo que crearía ;n hilo tendid~ según el eje del cilindro . y recorrido por Ila misma corriente que aquel. 13. Un solenoide muy largo de 15 mm de diámetro y constituído por ~na sola capa ~e cierto número de espiras (10 por centímetro de lonflztud). es recorndo por una corriente de 5 ampere. Se desea saber la tntenszdad del campo en un punto P situado cerca del punto medio de su eje cuando se pone en corto circuito: . 1.0 La espira en cuyo plano se encuentra el punto p. 2.° 20 espiras situadas a una y otra parte de este piano; 3.° Todas las espiras situadas a un mismo lado de este plano. 14. Se desea crear un catrtPO máximo de 440 oersted arrollando hilo de cobre aislado (espesor del aislamiento 0,25 mm) sobre un cz!mdro ~e ~ cm de diámetro y 25 cm de longitud. Sabiendo que .la, bobzna sera. ahmentada con una corriente a 10 volt y que consumtra una potencIa de 88 watt, se desea saber: 1.0 El número de espiras necesarias; regularmen.t~

8

PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA

114

Cap. IV

2.0 La secnon Y la longitud del hilo de cobre (resistividad p

= 1,8 microhm-cmJl por cm) que debe arrollarse. Esta segunda pregunta sólo puede resolverse por tanteo. 15. Una aguja imantada, móvil alr~dedor de un efe vertical. 0, está colocada en el centro de un solenotde de gran 'longttud que ttene sólo tres espiras por centímetro y que es asimismo móvil alrededor de un eje vertical. Se hace pasar una corriente a través de. le:, bobina y.s.e hace girar ésta alrededor del eje hasta qu.e, en postc~on de equthbrio, la aguja imantada sea paralela a las esptra.s. DeduCtr:' 1.0 La intensidad de la corriente en la bobtna, supomendo que el ángulo de giro de la aguja imantada s~a a 3~0. . 2.0 ¿ Cuántas posiciones de la bobtna perrmten realtzar esta experiencia? 3.0 ¿Existe una corriente límite, la cual no ~ebe ser sobrepasada, para que la medida sea posible ? Componente honzontal del campo terrestre: 0,2 oersted.

°

=

15. Un circuito comprende un conductor vertical .AB filiforme que se supone de gran longitud. A la distancia r d~ este. htlo se d 1spo?",euna brújula cuya aguja imantada, ~e. pequeñas .~tm~nswn~s, es. honzon~~l. Esta aguja, separada de su postcwn de equthbno, oscüa baJO la accwn conjugada de la componente horizontal Ha del campo terrestre y del campo H creado por el paso de la corriente en el hilo AB. Se desea saber: 1.0 La relación literal que da el período de las pequeñas oscilaciones de la aguja en función de la distancia r, del ángulo 1} formado por r

Ha

con la dirección del momento magnético M, del momento de inercia I de la aguja ir:wntada y de la corriente i que atraviesa el hilo AB. Hallar los valores de 1} para los cuales el período T de oscilación es mínimo y máximo. T mdximo 2. o Para , r = rase encuentra que la relación T m!mmo ,. es igual a 2 y se constata que la aguja retorna a su posición cuando se la traslada de una a otra de las dos posiciones de equilibrio alrededor de las cuales osci:la con estos períodos. Se desea saber el valor de la corriente en ampere. ro = 5 centímetros. fio = 0,2 oersted;

11. Un circuito magnético de sección constante está formado por un arrollamiento de N espiras alimentadas por una corriente de potencial constante. S e practica en el plano de la sección recta del m etal y perpendicularmente a las líneas. de fuerza, un corte de caras. paralel~s y espesor e 1/ 100 de la longttud de la línea d ~ fuerza lnedw del or-

=

Cap. IV

115

EFECTOS MAGNÉTICOS

cuito primitivo. Se observa que para volver el flujo magnético a su valor inicial, sin cambiar el valor de N, es necesario disminuir la resistencia del arrollamiento de 9/ 10 de su valor. Se desea saber la permeabilidad del metal. 18. Calcular el número' de espiras que se han de arrollar sobre cada uno de los polos de una máquina hexapolar sabiendo que el flujo útil por polo debe ser de 10 6 maX"Well, el coeficiente de H opkinson previsto igual a 1,1 y que se deduce del croquis del circuito magnético los datos siguientes: Parte del circuito

Culata del inductor Junta. Núcleo polar Expansión polar Entrehierro . Armadura del inducido

Naturaleza

Sección cm'

Longitud de la línea de fuerza media (cm)

Acero Aire Acero Chapas Aire Chapas

105 (sencilla) 173 173 232 246 110 (sencilla)

26 0,0075 7,25 (sencilla) 1 (sencilla) 0,175 (sencilla) 6,5

Corriente indurtora prevista: 0,5 ampere. Se utilizarán las curvas de la tabla 1.

NOTA. -

19. Los dientes (de chapa de hierro dulce) de la armadura del inducido de una dínamo tienen la forma de un trapecio cuya altura es de 5 cm, y las bases 3 y 2 cm. La inducción máxima en la base de los dientes, o sea en la parte más estrecha, no debe exceder los 18.000 gauss. S e desea saber el número de ampere-vueltas necesarios para estos dientes. (Utilizar la tabla l.) MÉTODO. - Descomponer el diente en trapecios de igual altura.

20. 1.0 Calcular un electroimán de dos núcleos destinados a funcionar a 220 volt y corriente continua, teniendo una fuerza portante de 500 kg. Datos: El circuito magnético está constituído por hierro forjado para el que son necesarios 65,3 ampere-vueltas/ cm, cuando la inducción es de 16.000 gauss.

Fig.15

116

PROBLEMAS DN ELECTROTECNIA

Cap. IV

Hay que prever un 30 por 100 de aumento en los amp ere-:JUeltas teniendo en cuenta las pérdidas. El aumento del diámetro del htlo, de~ bid o al aislante, es de 0,03 mm. Sobre cada superficie portante hay que admitir un entre hierro de 1 mm. . Por comparación con un aparato ya existente se prevén para el nrcuita magnético, las dimensiones dadas por la figura 15. 2.° ¿ Qué valor tendrá la fuerza atractiva cuando la armadura esté a 1 cm de los núcleos?

:4

21. Un imán permanente, cuyas dimensiones vienen indicadas en la figura 16, está provisto de dos bobinas con núcleos dispuestos bajo las piezas polares. . Todas las piezas indicadas son de sección cuadrada. Las bobinas constan cada una de 250 espiras. ¿ Entre qué límites deberá variar la corriente en las bobinas si

T

se quiere que la . fuerza de atracción del

,

;

· 2' o o

A

imán varíe en un 25 por 100 en más y en menos alrededor de los 8 kg r S e podrá admitir que entre los límites Fig.16 indicados, la permeabilidad de las diferentes porciones del circuito magnético no varía sensiblemente. NOTA. -Se utilizará la tabla J. Curva de acero fundido para el imán permanente, curva de chapas para los núcleos y armadura.

22. Calcular las pérdidas por histéresis en la armadura de un inducido constituído por chapas superiores, cuyo coeficiente de Steinmetz vale: r¡ = 0,00135. Datos: Número de polos: 36. - Velocidad de rotación: 167 revoluciones por minuto. Para el diente B = 19.800 gauss. Volumen 25 dm 3 . Para. el núcleo B = 12.500 gauss. Volumen 52, 5 dm 3 . Coeficiente de au'mento: 1,4.

23. Se propone crear en la parte 3 del circuito (*) representado en la figura 17, un flujo útil de 1,2 X 10 6 maxwell. Suponiendo el coeficiente de H opkinson igual a 1,2, se desea saber el número de amperevueltas necesarios: 1.0 Si el arrollamiento inductor se dispone alrededor de la porción 3; 2.° Si se dispone alrededor de la porción 1. (*) Las cotas de la figura 17 están dadas en milímetros.

Cap. IV

117

EFECTOS MAGNÉTICOS

Se adoptará en los entrehierros, el valor medio de las inducciones de las porciones de los circuitos entre los cuales están situados estos entrehierros. El espesor del cirettito es uniforme en toda su longitud, e igual a 10 centímetros. NOTA. Este problema tiene por objeto demostrar que es importante (economía de cobre) disponer los ampere-vueltas (arrollamiento o bobi.... _. - 540 .. 5!.:.('!. .~._... ... nas) alrededor de la parte del circuito : .--en que el flujo es útil. (Véase el pro--=~cero I'vl7dido blema 7 del Capítulo JI.) C/¡&fl"'S de 2 acero dvlce f-.4 A la inducción de 24.000 gauss, corresponden, en las chapas, un númel'O .. 120 .. " ,120 " de amper e-vueltas igual a 380 por cm.

I

,/

"

:1

ChajJilS de acero dvlce

24. S e quiere engendrar un campo .... _.........!: .... 400 .. · · ··· .. ···· ../ de 1.000 oersted en un tubo de 10 cm 60 de diámetro exterior de 50 cm de lonFig.17 gitud. Sabiendo que en el arrollamiento de cobre se admitirá una densidad de corriente de 2 A: mm2 , se desea saber: 1.0 El peso del hilo de cobre que se ha de emplear; 2.° La potencia necesaria.

25. El electroimán de un relé está constituído como se indica en la figura 18; la cabeza del núcleo es cónica con una abertura de 60° y el diámetro d en la base del cono es igual a 2 cm. Suponiendo despreciable la reluctancia del hierro comparada con la del entre hierro : 1.0 Establecer la relación entre la fuerza de atracción del núcleo, el diámetro d, ,el número de ampere vueltas de la bobina excitatriz y la distancia x de la cabeza del núcleo cónico a la cabeza de la armadura. Fig. 18 2.° Calcular el número de ampere-vueltas necesarios para obtener una fuerza de atracción de 50 N cuando la distancia x es igual a 5 centímetros. 3.° Obtenidos los ampere-vueltas necesarios, trazar la curva de la fuerza de atracción en función de la distancia x. NOTA. - Se supone que en el entrehierro, las líneas de inducción son rectas nonnales al hierro.

1.0 Superficie de la cabeza cónica: 1 db ='2'lt 1 d Xd=21 1t2 d S'1 ='2'lt

(b = d)

118

PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA

Cap. IV

Superficie de la corona cónica (trazo reforzado) a la que convergen las líneas de inducción: S2

= 27t

X

radio medio X b

=

x~ ) ; = ~d

+

27td X ( ;

(d

+ xva)

Superficie media atravesada por el flujo de inducción: 5

1 = "2

(51

1 + 52) ="2

[7td 2 -2-

+ 27td

(

d

+ X ,/ rde torsión del hilo de que está suspendido el cua! dro 400 C.C.S. (n..pmOOo '" rOO;'n,,). Se du" e saber: L° El par que se ejerce sobre el cuadro cuando es recorrido por una corriente de 0,01 A; 2.° La relación entre la intensidad de la corriente (en unidades E.M.C.C.S.) y el ángulo de desviaFig. 2 ció n del cuadro; 3.° Las desviaciones angulares han sido observadas por el desplazamiento de un haz luminoso sobre una regla colocada a 1 m del espejo. ¿ Cuál es la constante práctica del galvanómetro (número de microampere por mm)? 4. 0 Se intercala este galvanómetro en un circuito constituído por una pila de fuerza electromotriz 1,5 volt y una resistencia de 100.000 Q. ¿Cuál es, sobre la regla, el desplazamiento del haz luminoso?

81

123

ACCIÓN DE UN CAMPO MAGNÉTICO

Cap.· V

1I1

32 400 i = -c=-~-=32 X 106

IX

O

sea:

= 400 IX

106 i

X

= Cr,

.!.. = IX

= 1,25 X 10-5 a

1,25

X

10-5 .

3.0 Como la escala graduada sobre la cual se desplaza el haz luminoso está situada en el plano del centro del espejo, la imag~n r~al dada por el espejo está también en este plano. Cuando el espejo gIra un ángulo a, el rayo reflejado gira un ángulo 2 a y. como el ~lano de la escala es sensiblemente perpendicular al haz lummoso reflejado, se puede escribir: tg

2IX

=

o sensiblemente para ángulos pequeños.

;

d

d

2IX=

R

R

= =

desplazamiento del haz luminoso en mm. radio de curvatura del espejo.

R=l m.

Cuando se tiene: d = 1 mm.

y

L° Dentro de los límites de las desviaciones extremas del galvanómetro las líneas de fuerza del campo son perpendiculares a los lados verticales del cuadro, gracias al cilindro de hierro dulce C. Cada uno de estos lados está sometido a la fuerza electromagnética: F

=

= 1.000 x

= 32 X

e = F x a = nHlai 1.000 x 8 x 4 X lo-a loa dtnas-cm.

o

=

1

iCE. M. C. G. S.) = 1,25

2.000

Y

X

10-5

IX

sea:

i = 1,25 X 10.-5 X

2.~00

= 0,625 X 10-8 E.M.C.G.S.

o sea 0,625 x. 10-7 A.

Así, pues, 1 mm de desplazamiento del haz corresponde a una corriente de: 0,0625 mlcrcampere.

4. 0 La intensidad de la corriente en el circuito es: I

=

1,5 = 1 497 100.000 + 2 0 0 '

X

10-5 A es decir, 14,97 microampere ,

El desplazamiento del haz luminoso será pues: 14,97 0,0625

= 239,5 mm.

nHli

y el par al cual está sometido el cuadro, será: Cm

IX

=

nHSi a = anchura del cuadro. S superficie del cuadro.

=

Un motor eléctrico: la rueda de Faraday 2. Disponiendo de un campo magnético (entre los polos de un elec.troimán) sensiblemente uniforme H = 10.000 oersted, se propone uh-

124

Cap. V

PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA

lizarlo en la construcción de un motor destinado a hacer girar un pequeño conmutador, motor que, a 3.000 revoluciones por minuto, absorbe una potencia de 100 watt. A este fin se emPlea un disco Plano circular de 20 cm de diámetro que se coloca perpendicularmente al campo y que se intercala, tal como se indica en la figura 3, en un circuito que dispone de una fuerza electromotriz E y una resisR tencia R. S e desea hallar: 1.0 La intensidad de la corriente que deberá pasar por el disco desde la periferia a su centro ,. Fig.3 2.° La diferencia de potencial entre los bornes del aparato motor sabiendo que la resistencia interior es de 0,3 ohm,· 3.° El valor de la fuerza electromotriz E si la resistencia R vale 5 ohm (resistencia interior del generador 0,2 O).

1.0 Si el radio OA del disco está sometido a la fuerza electromagnética F

=

1

(corriente perpendicular al campo) 1 = radio del disco.

10 ftlI

o sea: F

1 . = 10 x10.000 x 10 x I = 104 I dmas.

125

ACCIÓN DE UN CAMPO MAGNÉTICO

Cap. V

y como su resistencia res 0,3 O, su diferencia de potencial entre bornes será: U = 1,57

U= E' + rI x 63,7 = 20,68 voH.

+ 0,3

3.° La ley de Olun generalizada da inmediatamente: -

:l:E l: R

de donde 63.7 = 5

E-1,57

+ 0,2 + 0,3

E=312 volt.

Potencial y trabajo electromagnético 3. Un conductor circular de 30 cm de radió es recorrido por una corriente ae 20 ampere. S e desea hallar: 1.0 El potencial magnético creado por este conductor en un punto P situado a 30 cm del centro del círculo y sobre el eje perpendicular al plano del círculo en su centro; 2.0 El trabajo electromagnético efectuado por la unidad de masa magnética N arte al desplazar...... __ ...... se sobre el eje definido anteriormente, desde el punto P hasta otro P' situado a 20 cm del centra Fig.4 del círculo.

~: ~.

Esta fuerza aplicada al centro del radio, desarrolla un par electromagnético : C

=

Fx

R

1

R2

"""2 = 10 H"""2 I =

104 I x 5

=

50.000 I dinas-cm.

que a la velocidad de N vueltas por minuto engendrará una potencia electromagnética p

=

Cw

= 50.000 Ix ~~ = 50.000

x 1t x 3~·000 I

=5x

1.0 El potencial magnético creado en el punto P del campo por una corriente de intensidad i será: U in; siendo O el ángulo sólido bajo el cual, desde el punto P, se ve el circuito eléctrico cerrado. Tenemos, pues:

=

0= 21t (1 - cos ex)

1()6 r.I ergjseg.

o sea, P = 0.5 1tI watt.

U

Esta potencia debe ser igual a 100 watt, por 10 que podremos escribir: 100

=

0,5 1tI

de donde

200

1 = -;¡t

=

63,1

E'

=

(1 _ V30 30+ 30

2

2

2 x 1.852

w=U'-U U' = iO'

W

tr~ca

E' I = 100 watt. 100 x 1t = 1, 57 volt. I = 100 200

21t

)

=

1,852

= 3,1 rRbert.

2.° Según la definición propia del potencial, tendremos:

811' .....

2.0 La potencia electromagnética es la que pasa de la forma eléca la mecánica. Por definición propia de fuerza contraelectromotnz, el aparato motor tendrá una fuerza contraelectromotriz E' tal que:

=

=

=

=

U' = potencial en P'.

=

21ti (1 - cos ex') 21ti [(1 - eos ex') - (1 - cos ex)] = 21ti (eos ex - cos ex')

con: cos ex' =

W

20

V 202 +302

= 21t X 2 (0,707 -

= 0,555,

0,555)

=

1,91 ergo

126

PROBLEMAS DE ELECTROTECNIA

Cap. V

OBSERVACIÓN. Se hubiera podido obtener también este resultado aplicando la fórmula general del trabajo electromagnético: '

A = iA