Problemas Resueltos - Ecuaciones Diferenciales

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE BOLIVAR FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS Curso de Ecuaciones diferenciales y en diferencia 1. Supoga que el PNB (producto nacional bruto) de cierto país observa una tasa de crecimiento que es proporcional al PNB, esto es dP = kP . Si el PNB correspondt diente al 1 enero 2000 fue de 80000 millones (de dólares) y para el 1 enero del 2004 fue de 96000 millones, ¿Cuándo se espera que sea de 128000 millones? Solución Sea P (t) el producto nacional bruto (PNB), en un instante t, donde t se mide en años y P ; es proporcional al PNB, en millones de dólares: Dado que la tasa de crecimiento dP dt se tiene dP = kP: (1) dt Sujeta a las condiciones P (0) = 80000 P (4) = 96000:

(2) (3)

Para responder a la pregunta; ¿Cuando se espera que sea de 128000 millones?, se resuelve la ecuación. P (t) = 128000: (4) La solución de la ecuación diferencial (1) se obtiene separando variable e integrando Z Z dP = k dt P ln jP j = kt + c1 P = ekt+c1 = ekt ec1 P (t) = cekt donde c = ec1 : (5) Note que P (t) tiene las constantes c y k cuyo valor se calcula con las condiciones (2) y (3) respectivamente. Utilizando la condición (2) en (5) se recibe P (0) = 80000 = cek(0) = c; remplazando en (5) obtenemos P (t) = 80000ekt

(6).

Para calcular el valor de k utilizamos la condición (3) en (6) P (4) = 96000 = 80000e4k 96000 6 e4k = = 80000 5 6 4k = ln 5 ln 65 k = = 0:0456: 4 Luego sustituyendo en (6) P (t) = 80000e0:0456t : Finalmente, para responder a la pregunta (4), resolvemos P (t) = 128000 = 80000e0:0456t 128000 8 e0:0456t = = 80000 5 8 0:0456t = ln 5 ln 85 t = 0:0456 t = 10:307: Esto signi…ca que el PNB es de 128000 millones de dólares, en 10 años +3 meses + 18 días, es decir, aproximadamente el 18 de marzo del 2010. 1

2 El valor de reventa V de cierta maquinaria industrial decrece a un ritmo proporcional a la diferencia entre su valor actual V y su valor residual de $ 5000: La maquinaria se compró nueva por $ 40000 y valía $ 30000 después de 4 años. ¿Cuánto valdrá la maquinaria cuando tenga 8 años? SOLUCIÓN dV dt

: ritmo a la cual decrce

Como

dV dt

decrece a un ritmo proporcional a la diferencia V dV = k(V dt

5000)

5000, entonces la ecuación es

(1).

La ecuación (1) está sujeta a las condiciones

valor inicial

V (0)

=

40000

V (4)

=

30000 valor de la máquina 4 años después.

La ecuación (1) es una ecuación de variable separable, su solución se obtiene via integral

V

dV 5000

Z

dV V 5000

ln jV

=

kdt

=

Z

k

5000j =

V

5000

separando variable en (1) integrando

dt

kt + C1 ekt+C1

=

= Cekt + 5000

V

C = eC1

Con la condición V (0) = 40000 tenemos

= Ce0 + 5000 remplazando en V

40000 40000

5000 =

C

=

C 35000

Luego V (t) = 35000ekt + 5000

(2).

Hallamos el valor de k con la condición V (4) = 30000

30000 30000

=

5000 =

35000e4k + 5000 remplazando en (2) 35000e4k

25000

=

35000e4k

e4k

=

25000 35000

4k

=

k

=

ln

25 35

lnj 25 35 j 4

2

=

0:0841:

Replazando k en (2) V (t) = 35000e

0:0841:t

+ 5000:

En t = 8 años el valor de la máquina es V (8) = 35000e

0:0841(8)

+ 5000 = $22860:

2 Supongamos que un fabricante calcula que un nuevo operario producirá A objetos el primer día de trabajo y que cuando va adquiriendo experiencia, producirá los objetos más rápidamente hasta que produzca un máximo de M objetos por día. Sea Q (t) la cantidad de artículos producidos el día t > 1, y suponga que el ritmo de producción es proporcional a M Q a Obtenga una fórmula para Q (t) b Suponiendo que M = 30, y Q (1) = 5; Q (2) = 8; estime el número de objetos producidos en el vigésimo día SOLUCIÓN (a) Como el primer dia produce A objetos entonces Q (1) = A: Para t > 1 tenemos que Q (t) es la cantidad de artículos producidos el día t > 1: dQ dt

: ritmo de producción.

Sabiendo que el ritmo de producción

dQ dt

es proporcional a M

Q; entonces la ecuación

deiferencial es

dQ = k (M Q) , (1) dt donde M el el número máximo de objetos que alcanza a producir por día. La ecuación (1) es de variable separable, su solución se presenta a continuación dQ (M Q)

Z

dQ (M Q)

ln jM :

ln jM

=

kdt

=

Z

Qj = Qj Q

=

M

Q

=

dt

kt + C1

=

M

Q

k

integrando

kt e

C1

1

kt C1

Ce

= M

multiplicando por

kt

Ce

C=e kt

C1

(2)

Para hallar la constante C; usamos la condición Q (1) = A; esto es t = 1; Q = A; en (2) A Ce

= M k

=

M

Ce A

se sigue que C=

M e

A k

3

(3).

k

Remplazando (3) en (2) Q(t)

=

Q(t)

=

M

Q(t)

= M

M A e k

e

kt

(M

A) e

kt

(M

A) e(

t+1)k

M

:ek

La fórmula para para Q (t) es Q(t) = M

A) e(

(M

t+1)k

(4).

SOLUCIÓN (b). Suponiendo que M = 30, y Q (1) = 5; Q (2) = 8; estimemos el número de objetos producidos en el vigésimo día. En la ecuación (4) al remplazar M = 30; tenemos

Q(t) = 30

A) e(

(30

t+1)k

(5)

Con la condición Q (1) = 5; esto es, t = 1; Q = 5 en (5) 5

= 30

5

=

(30 30

A) e(0)k

30 + A;

Se sigue que A = 5: Para calcular el valor de k utilizamos la condición Q (2) = 8 en (5) tenemos 8

= k

25e

25e(

30

=

22

k

=

22 25

k

=

e

k

ln

=

ln

22 25

2+1)k

despejando e(

2+1)k

=e

k

22 25

(6)

= 0:127

Remplazando (6) en 5 tenemos Q(t) = 30

25e

0:127( t+1)

El número de objetos producidos en el vigésimo día se obtiene cuando t = 20; por tanto Q(20)

= 30

Q(20)

=

25e0:127(

20+1)

w 28

27:7

objetos

4 Una persona tiene una fortuna invertida, que aumenta a una tasa proporcional al cuadrado de su capital actual. Si tenía $1 millón hace un año, y ahora tiene $ 2 millones ¿Cuánto tendrá dentro de seis meses?

4

SOLUCIÓN Sea P (t) el capital dP dt

: tasa a la cual aumenta el capital

Como

dP dt

aumenta a un ritmo proporcional al cuadrado de su capital actual P; la ecuación dP = kP 2 dt

(1).

La ecuación (1) está sujeta a las condiciones

P (0)

=

1 capital hace un año

P (1)

=

2

capital actual

La ecuación (1) es una ecuación de variable separable dP P2

Z

P P

2

separando variable en (1)

=

kdt

dP

=

Z

1

= kt + C1

P

k

integrando

dt

1 kt C1

=

Con la condición P (0) = 1 tenemos

1

=

C1

=

1 0 C1

remplazando en P

1

Luego 1 kt + 1 Hallamos el valor de k con la condición P (1) = 2 P (t) =

2

1 k+1

=

remplazando en (2)

1 2

k+1 = k

(2).

1 2

=

Replazando k en (2) 1 +1

P (t) = En seis meses se tiene que t = 1 +

1 2

P (t) =

=

1 t 2 3 2

años, por que en 21 a~ nos = 6 meses. Por tanto 1

1 2

(2).:

3 2

+1

= 4 millones

Bibliografía. Zill , Dennis. Ecuaciones diferenciales. 2008. Mcgraw- Hill interamericana. México. 5