Problemas Resueltos de Regresion y Correlacion Lineal
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REGRESION Y CORRELACION LINEAL 1. Cinco niños de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan, respectivamente, 14, 20, 32, 42 y 44 kilos. a) Hallar Hallar la ecaci!n ecaci!n de la recta recta de re"res re"resi!n i!n de la edad so#re el peso. #) $C%l $C%l ser&a el peso peso apro'im apro'imado ado de n niño de seis seis años( 'i
yi
'i yi
'i2
yi2
2
14
4
1*+
28
3
20
*
400
+0
5
32
25
1 024
1+0
7
42
4*
1 7+4
2*4
8
44
+4
1 *3+
352
2 5
15 2
15 1
5 320
8*4
2. n centro comercial sa#e en -nci!n de la distancia, en kil!metros, kil!metros, a la e se sit/e de n n/cleo de po#laci!n, acden los clientes, en cientos, e "ran en la ta#la de clientes )
8
7
+
4
2
1
6istancia )
15
1*
25
23
34
40
a ) C a lc lc la la r e l c oe oe c ie ie n te te d e correlación lineal .
#) i el centro centro comercial comercial se sit/a sit/a a 2 km, $c%ntos $c%ntos clientes pede esperar( c) i desea reci#ir reci#ir a 500 500 clientes, clientes, $a 9 distancia distancia del del n/cleo de po#laci!n de#e sitarse( 'i
yi
'i yi
'i2
yi2
8
15
12 0
+4
225
7
1*
13 3
4*
3+1
+
25
15 0
3+
+25
4
23
*2
1+
52*
2
34
+8
4
1 15+
1
40
40
1
1 +00
2 8
15 +
+0 3
17 0
4 4*+
Correlación negativa muy fuerte .
. :as notas de cinco almnos en ;atem%ticas y 4 y > ' @ 1 eleccionar raAonadamente esta recta. Como el coe$ciente "e correlación lineal e! negativo , la %en"iente de la recta tam#i9n ser% negativa, por tanto descartamos la 2B y 4B.
> 1,
y ´
'i
yi
'i2
yi2
'i yi
18+
85
34 5*+
7 225
15 810
18*
85
35 721
7 225
1+ 0+5
1*0
8+
3+ 100
7 3*+
1+ 340
1*2
*0
3+ 8+4
8 100
17 280
1*3
87
37 24*
7 5+*
1+ 7*1
1*3
*1
37 24*
8 281
175+3
1*8
*3
3* 204
8 +4*
18 414
201
10 3
40 401
10 +0*
20 703
203
10
41 20*
10
20 300
> 2.
0 205
10 1
1 *50
*2 1
000 42 025
10 201
20 705
380 +18
85 255
17* *71
82
300
+ 724
*0 000
24 +00
85
340
7 225
115 +00
28 *00
7*
315
+ 241
** 225
24 885
84
330
7 05+
108 *00
27 720
80
310
+ 400
*+ 100
24 800
+2
240
3 844
57 +00
14 880
*3+
3 +32
73 7+0
1 10* 254
285 *08
Correlaci!n positiva my -erte. '. G partir de l os si"ientes datos re-erentes a oras tra#a=adas en n taller '), y a nidades prodcidas y), determinar la recta "e regre!ión de so#re , el coe$ciente "e correlación lineal e interpretalo. Horas )
80
7*
83
84
78
+0
82
85
7*
84
80
+2
Frodcci!n ) 300 302 315 330 300 250 300 340 315 330 310 240
'i
yi
'i yi
'i2
yi2
80
300
+ 400
*0 000
24 000
7*
302
+ 241
*1 204
23 858
83
315
+ 88*
** 225
2+ 145
84
330
7 05+
108 *00
27 720
78
300
+ 084
*0 000
23 400
+0
250
3 +00
+2 500
15 000
Correlación %o!itiva muy fuerte (. e a solicitado a n "rpo de 50 individos in-ormaci!n so#re el n/mero de oras e dedican diariamente a dormir y ver la televisi!n. :a clasi caci!n de las respestas a permitido ela#orar la siente ta#la de oras dormidas )
+
7
de oras de televisi!n )
4
3
recencias a#soltas - i)
3
1+
8
*
10
3
2
1
20
10
1
e pide a ) C al c la r el coe$ciente "e correlación . #) 6eterminar la ecaci!n de la recta "e regre!ión de so#re . c) i na persona derme oco oras y media, $c%nto ca#e esperar e vea la televisi!n( 'i
yi
- i
'i - i
'i2 - i
yi - i
yi2 - i
'i yi - i
+
4
3
18
108
12
48
72
7
3
1+
112
784
48
144
33+
8
3
20
1+0
1280
+0
180
480
*
2
10
*0
810
20
40
180
10
1
1
10
100
1
1
10
50
3*0
3082
14 1
413
1078
& ' / )) )& & / / &* ) )* )( )( ), )+ , ( &*,
X promedio
Es na correlación negativa y fuerte.
). Se sospecha que el tiempo requerido para hacer un mantenimiento
preventivo está relacionado con su nú mero. Calcular el coeficiente de correlación y graficar. Los datos de tiempo tomados para n = 25 servicios se muestran a continuación: X Servicios & )) )* / &
Y iempo '.'( &/./( -).+( -(.** &(.*& ),., )/.-
!Xi"X#$!Yi"Y# ))'.*+,,+& ).*''+& +./''/+& )*.(*&&+& *.',-*+& ().,)&,+& ')./--/+&
!Xi"X#%& -.'-+, *.*(+, +.,)+, -.*'+, *.*(+, )+.'++, -.'-+,
!Yi"Y#%& -,/.)(-&).**&) +.--& -(.,*+( ),.)*&, )/.)++) &)/.+*/(
'.,* &/.-( &+.(* )+.* -+.** /).'( )).,, &).,( )+.' ,'.** )*.-* -/.'/,.(' //. (/.)& (,.,&&.)&).)( +&(.&
)&).&,*,+& "-.(('& *.-,++& (*.,+'+& &).''/+& /.(,,+& )*./*,&+& -).-*-*+& /+.&/(/+& /+*.*)/&+& )-(.,&(/+& )*.-+'*+& )).,,,+& )*+.)&+*+& )'/.,+,,+& &/).+()/+& )(./,&&+& &(.(/*&+& &0*&+.+)-&
-.'-+, *.(++, *.*(+, )+.'++, +.,)+, )/.)-+, -.'-+, )+.'++, )+.'++, )-.&'+, (&./)+, -.*'+, /(.,'+, /(.,'+, ,*.&)+, +,.+-+, (.*)+, )*./'+, ,'.(,**
-++.,--+ &).'&, &.-/'( )/&.,'/ ,-./+,),,.(/) -*).)/& (/.(*(+ )&/.),&* )0('+.-++) -(*.')+ -/.+++* -*.&((&().)--+ ,&'.-,+, +,).,*(/ /+.,/, ,&.)-( ,0)*(.'//+
S1y
S11
Syy 2 SS
S1y
S11
Syy
Y 3romedio
Si todos los puntos estuvieran completamente so4re la recta la ecuación lineal ser5a y = a + bx. Como la correlación no siempre es perfecta0 se calculan a y 4 de tal forma que se minimice la distancia total entre puntos y la recta. Los cálculos tomando las sumas de cuadrados siguientes se muestran a continuación: S1y 2 &*&+.+) S11 2 ,'.(, Syy 2 ,)*(.'/ Las ecuaciones para el cálculo manual son las siguientes: ( Xi − X )(Yi − Y ) S XY ˆ1 = ∑ b1 = β = 2 S XX ∑ ( Xi − X ) 2 2.902704421
b0
ˆ0 = = β
∑ Y − β ˆ1 ∑ X i
i
n
2
r
ˆ X = Y − β
2 5.114515575 Las sumas de cuadrados son: 2 SST = ∑ (Y i − Y ) =
220.0926 SSR
=
SST
−
SSE
=
(0(.(&) 6l coeficiente de determinación r2 y el coeficiente de correlación r se calculan a continuación:
1
( SST
SSE −
SST
=
−
SSE )
SST
SSR =
SST
2 *.',-' 6l coeficiente de determinación indica el porcenta7e de la variación total que es e1plicada por la regresión. r
6,105.9447 2 2 ˆ SSE = ∑ (Y i − Y i ) =∑ (Y i − (bo + b1 * X i )) =
=
=
2
r
2 *.'), 6l coeficiente de correlación proporciona el nivel de a7uste que tienen los puntos a la l5nea recta indicando el nivel de influencia de una varia4le en la otra. 6l factor de correlación r es un número entre 8) !correlación negativa evidente# y 9) !correlación positiva evidente#0 y r 2 * indicar5a correlación nula. 6l coeficiente de correlación r 2 *.' por lo cual tenemos suficiente evidencia estad5stica para afirmar que el tiempo de atención esta relacionado con el número de servicios atendidos.
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