Problemas Resueltos de Métodos Numéricos
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Sandro Landeo Antezana - Métodos Numéricos Aplicados - Ingeniería Civil...
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_____________________________________________________________________
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA CIVIL – HUANCAVELICA LANDEO ANTEZANA, SANDRO
Huancavelica –Perú
______________________________________________________________________
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ PROLOGO El presente trabajo arduo, se basa en Problemas Resueltos de Métodos Numéricos recopilados de exámenes tomados en la “Universidad Nacional de Huancavelica”, Facultad de Ciencias de Ingeniería, Escuela Profesional de Ingeniería Civil Huancavelica. Esperemos que este trabajo sirva de guía y práctica en provecho de nuestra sociedad en sacarle adelante para los futuros estudiantes. Espero haya cumplido con mi deber de divulgar los conocimientos en alcance de todos.
______________________________________________________________________
AGRADECIMIENTO: Al Ing. Reyder Eusef Bendezú Boza,
por haber compartido sus grandes
conocimientos y logros durante mi formación profesional (2013 - II) y a los estudiantes de la Escuela Profesional de Ingeniería Civil – Huancavelica, por sus inquietudes, me hizo realizar el trabajo. ______________________________________________________________________
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MÉTODOS NUMÉRICOS
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INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________
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Dedicatoria A mi madre Teófila Antezana Vargas y a mis hermanos Elvis, Yuliño, Romaldiño y Yésmila por su apoyo incondicional y por confiar en mí. ________________________________________
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MÉTODOS NUMÉRICOS
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INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ INDICE Contenido Pág. Problema N° 01 ................................................................................................. 5 Problema N° 02 ................................................................................................. 7 Problema N° 03 ............................................................................................... 10 Problema N° 04 ............................................................................................... 15 Problema N° 05 ............................................................................................... 23 Problema N° 06 ............................................................................................... 27 Problema N° 07 ............................................................................................... 30 Problema N° 08 ............................................................................................... 34 Problema N° 09 ............................................................................................... 47 Problema N° 10 ............................................................................................... 49 Problema N° 11 ............................................................................................... 53
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MÉTODOS NUMÉRICOS
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INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ Problema N° 01
𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝐻𝑖𝑑𝑟𝑎𝑢𝑙𝑖𝑐𝑜 𝑅 =
𝑄∗𝑛 1
𝑆2
𝐴 ; 𝑄 = 𝑉∗𝐴; 𝑃
2
𝐴 3 =𝐴∗( ) → 𝑃
𝐾 (𝑐𝑡𝑒) = (
𝑄∗𝑛 1
𝑆2
𝑄=
𝑄∗𝑛 1
𝑆2 3
) →
2 1 1 ∗ 𝐴 ∗ 𝑅3 ∗ 𝑆 2 ; 𝑛
5
=
𝐴3 2
→
(
𝑄∗𝑛 1
𝑆2
𝑃3
𝑉=
3
) =
2 1 1 ∗ 𝑅3 ∗ 𝑆 2 𝑛
𝐴5 𝑃2
3
𝐴5 𝑄∗𝑛 − ( ) = 0 … … … . (1) 1 𝑃2 𝑆2
Area de la seccion del canal.
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MÉTODOS NUMÉRICOS
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SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ 1
1
𝐴 = 𝐵 ∗ 𝑦 + 2 ∗ 𝑍1 ∗ 𝑦 2 + 2 ∗ 𝑍2 ∗ 𝑦 2 Perimetro mojado 𝑃 = 𝐵 + 𝑦 ∗ √𝑍1 2 + 1 + 𝑦 ∗ √𝑍2 2 + 1 → 𝑃 = 𝐵 + 𝑦 ∗ (√𝑍1 2 + 1 + √𝑍2 2 + 1) 𝑃 = 𝐵 + 𝑦 ∗ 𝑎 → 𝑎 = √𝑍1 2 + 1 + √𝑍2 2 + 1 Reemplazando la ecuaione de Area y Perimetro en ecucion (1).
𝑓(𝑦) =
5 1 1 (𝐵 ∗ 𝑦 + 2 ∗ 𝑍1 ∗ 𝑦 2 + 2 ∗ 𝑍2 ∗ 𝑦 2 )
(𝐵 + 𝑦 ∗ 𝑎)2
−(
𝑄∗𝑛 1 𝑆2
3
) = 0 … … … . (2)
Formula generalizada de Newton Rhapson para el proceso iterativo, para determinar las raices de ecuaiones no lineales. 𝒚𝒊+𝟏 = 𝒚𝒊 −
𝒇(𝒚𝒊 ) 𝒇′ (𝒚𝒊 )
Para eloo se necesita la derivada de la Ecuacion (2). 𝑓´(𝑦) =
1 2
1 2
4
1 2
1 2
5
5∗(𝐵∗𝑦+ ∗𝑍1 ∗𝑦 2 + ∗𝑍2 ∗𝑦 2 ) (𝐵+𝑍1 ∗𝑦+𝑍2 ∗𝑦 )(𝐵 +𝑦∗𝑎)2 −2∗(𝐵∗𝑦+ ∗𝑍1 ∗𝑦 2 + ∗𝑍2 ∗𝑦 2 ) (𝐵 +𝑦∗𝑎)∗𝑎 (𝐵 +𝑦∗𝑎)4
Eligimos un valor incial 𝑌𝑖 = 4, se calcula la 𝐹(𝑦) 𝑦 𝐹´(𝑦) reemplazando el valor incial y obtiene 𝑌𝑖+1 , y sucesivamente. N°Iter. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
𝑌𝑖 4 3.425451 2.9295077 2.5094136 2.1716591 1.9365146 1.8241717 1.8016951 1.8009111 1.8009102 1.8009102
F(y) 16618.373 5674.8879 1921.7512 635.76453 196.67955 50.036942 7.2401799 0.2362061 0.0002765 3.802E-10 0.00E+00
F´(y) 28924.204 11442.614 4574.5731 1882.3275 836.42015 445.39467 322.12081 301.29882 300.59361 300.59279 300.59279
𝑌𝑖+1 3.425451 2.9295077 2.5094136 2.1716591 1.9365146 1.8241717 1.8016951 1.8009111 1.8009102 1.8009102 1.8009102
Error 0.5745490285 0.4959433123 0.4200941079 0.3377544731 0.2351444467 0.1123429288 0.0224765977 0.0007839596 9.19902E-07 1.26E-12 0.00E+00
Por lo tanto el tirante normal del canal sera 𝑦 = 1.8009102 [𝑚]
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MÉTODOS NUMÉRICOS
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SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________
T=4.3515929 [m]
Q=10m3/s
Y=1.8009102 [m]
Z1=1
Z2=0.75
B=1.2 [m]
Problema N° 02
Solución: x 1 2 4
F[ ] A 7 B
F[ , ]
F[ , , ]
D E
11
5
C
F
G
F[ , , , ]
2
Para el problema primero calcularemos las incógnitas 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 𝑦 𝐺 usando el algoritmo de diferencias divididas. 𝑓[ , ] = Es la Primera diferencia dividida. 𝑓[ , , ] = Es la Segunda diferencia dividida. 𝑓[ , , , ] = Es la tercera diferencia dividida.
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MÉTODOS NUMÉRICOS
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SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ -------------------------------- Primeras diferencias divididas -----------------------------𝑓[ 𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 ] = 𝑓[ 1, 2] = 𝑓´[ 2] = 16 → 𝐷 = 16 𝑓[ 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ] = 𝑓[ 2, 4] = 𝑬 =
𝐵−7
𝑓[ 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 ] = 𝑓[ 4, 5] = 𝑭 =
𝐶−𝐵
→ 2 ∗ 𝐸 = 𝐵 − 7 … … . (1)
4−2
→ 𝑓 = 𝐶 − 𝐵 … … . (2)
5−4
-------------------------------- Segundas diferencias divididas ----------------------------𝑓[ 𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ] = 𝑓[ 1, 2,4] = 11 =
𝐸−𝐷 4−1
𝑓[ 𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ] = 𝑓[ 2, 4,5] = 19 =
→ 33 = 𝐸 − 𝐷 … … … . . (3)
𝐹−𝐸 5−2
→ 57 = 𝐹 − 𝐸 … … . (4)
-------------------------------- Terceras diferencias divididas ----------------------------𝑓[ 𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 ] = 𝑓[ 1, 2,4,5] = 2 =
𝑔−11 5−4
→ 𝑔 = 19
Resolviendo las ecuaciones 1, 2 ,3 y 4. Valores de incógnitas A= -9 E= 49 B= 105 F= 106 C= 211 G= 19 D= 16
𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 x 1 2 4
F[ ] -9 7 105
F[ , ]
F[ , , ]
16 49
11
5
211
106
19
F[ , , , ]
2
Para el polinomio del tercer grado se determinara los coeficientes. 𝑷𝟑 (𝒙) = 𝒙𝒂𝒐 + 𝒂𝟏 ∗ 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐 ∗ 𝒙𝟐 + 𝒂𝟑 ∗ 𝒙𝟑 𝑷𝟑 (𝒙) = 𝑓[ 𝒙𝟎 ] + (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝑓[ 𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 ] + (𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟏 )𝑓[ 𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ] + (𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟐 )𝑓[ 𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 ] 𝒙𝟎 = 𝟏 ; 𝒙𝟏 = 𝟐 ; 𝒙𝟐 = 𝟒 UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
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SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ 𝑓[ 𝒙𝟎 ] = −𝟗 ; 𝑓[ 𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 ] = 𝟏𝟔 ; 𝑓[ 𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ] = 𝟏𝟏 ; 𝑓[ 𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 ] = 𝟐 Reemplazando. 𝑷𝟑 (𝒙) = −9 + (𝑥 − 1) ∗ 16 + (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) ∗ 11 + (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) ∗ 2 𝑷𝟑 (𝒙) = 𝒚 = 𝟐 ∗ 𝒙𝟑 − 𝟑 ∗ 𝒙𝟐 + 𝟏𝟏 ∗ 𝒙 − 𝟏𝟗 Es la función con la cual podemos tabular lo valores. Una vez tenido los valores de 𝒙𝒊 𝒚 𝒇(𝒙𝒊 ), podemos aplicar polinomios de mínimos cuadrados para obtener los coeficientes, para comprobar se hará para el problema.
𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝜷 = (𝑋 𝑇 ∗ 𝑋)−1 ∗ 𝑋 𝑇 ∗ 𝑌 -1 B=
1 1 1 1
1 2 4 8
1 1 1 1 4 5 16 25 * 1 1 64 125
1 2 4 5
1 1 1 4 8 1 16 64 * 1 25 125 1
1 1 1 -9 2 4 5 7 * 105 4 16 25 8 64 125 211
25.44444 -32.16667 11.22222 -1.16667 -32.1667 42.777778 -15.4167 1.638889 B= 11.22222 -15.41667 5.736111 -0.625 0.069444 -1.16667 1.6388889 -0.625
314 1480 6974 33142
Coeficientes del polinomio de 3°.
B=
-19.00 11.00 -3.00 2.00
𝒚 = 𝟐 ∗ 𝒙𝟑 − 𝟑 ∗ 𝒙𝟐 + 𝟏𝟏 ∗ 𝒙 − 𝟏𝟗 𝑹𝟐 = 𝟏
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
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INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________
Problema N° 03
---------------------------------- Solución --------------------------------Polinomios Por Mínimos cuadrados. n Σx^1 Σx^2 Σx^3 Σx^4
UNH
X^1
X^2
X^3
X^4
Σx^2 Σx^3 Σx^4 Σx^4
Σx^3 Σx^4 Σx^5 Σx^6
Σx^4 Σx^5 Σx^6 Σx^7
Σx^5 Σx^6 Σx^7 Σx^8
ao a1 a2 a3 a4
=
Σ*Y Σx^1*Y Σx^2*Y Σx^3*Y Σx^4*Y
MÉTODOS NUMÉRICOS
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SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ X^1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Σx^1=
X^2 0 0.0100 0.0400 0.0900 0.1600 0.2500 0.3600 0.4900 0.6400 0.8100 1.0000 Σx^2=
X^3 0 0.00100 0.00800 0.02700 0.06400 0.12500 0.21600 0.34300 0.51200 0.72900 1.00000 Σx^3=
X^5 0 0.00001 0.00032 0.00243 0.01024 0.03125 0.07776 0.16807 0.32768 0.59049 1 Σx^5=
X^6 0 0.000001 0.000064 0.000729 0.004096 0.015625 0.046656 0.117649 0.262144 0.531441 1 Σx^6=
X^7 0 0.0000001 0.0000128 0.0002187 0.0016384 0.0078125 0.0279936 0.0823543 0.2097152 0.4782969 1 Σx^7=
X^8 0 1E-08 2.56E-06 6.561E-05 0.0006554 0.0039063 0.0167962 0.057648 0.1677722 0.4304672 1 Σx^8=
5.500000 3.850000 3.025000 2.533300 2.208250
1.978405
1.808043
1.677313
Y 0.000 -0.167 -0.624 -1.300 -2.170 -3.160 -4.240 -5.380 -6.550 -7.740 -8.900 Σy= -40.231
X^4 0 0.00010 0.00160 0.00810 0.02560 0.06250 0.12960 0.24010 0.40960 0.65610 1.00000 Σx^4=
X^1*Y 0.0000 -0.0167 -0.1248 -0.3900 -0.8680 -1.5800 -2.5440 -3.7660 -5.2400 -6.9660 -8.9000 Σx^1*y= -30.3955
X^2*Y X^3*Y X^4*Y 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0017 -0.0002 0.0000 -0.0250 -0.0050 -0.0010 -0.1170 -0.0351 -0.0105 -0.3472 -0.1389 -0.0556 -0.7900 -0.3950 -0.1975 -1.5264 -0.9158 -0.5495 -2.6362 -1.8453 -1.2917 -4.1920 -3.3536 -2.6829 -6.2694 -5.6425 -5.0782 -8.9000 -8.9000 -8.9000 Σx^2*y= Σx^3*y= Σx^4*y= -24.80483 -21.23138 -18.76693
[𝑨] ∗ 𝑿 = [𝑩] [A]: matriz, [B]: vector 11 5.5 3.85 3.025 2.5333 5.5 3.85 3.025 2.5333 2.20825 3.85 3.025 2.5333 2.20825 1.978405 3.025 2.5333 2.20825 1.978405 1.8080425 2.5333 2.20825 1.978405 1.8080425 1.6773133
UNH
ao a1 a2 a3 a4
=
-40.2310 -30.3955 -24.8048 -21.2314 -18.7669
MÉTODOS NUMÉRICOS
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INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________
ao
a1 a2 a3 a4
=
11 5.5 3.85 3.025 2.5333
5.5 3.85 3.025 2.5333 2.20825
-40.2310 -30.3955 -24.8048 -21.2314 -18.7669 3.85 3.025 2.5333 3.025 2.5333 2.20825 2.5333 2.20825 1.978405 2.20825 1.978405 1.8080425 1.978405 1.8080425 1.6773133
𝑿 = [𝑨]−𝟏 ∗ [𝑩] ao a1 a2 a3 a4
=
0.9160839 -9.90676 32.342657 -40.79254 17.482517
-9.90676 217.28503 -909.3337 1306.6563 -607.0319
32.342657 -909.3337 4169.8232 -6313.131 3035.1593
-40.79254 1306.6563 -6313.131 9874.3849 -4856.255
17.482517 -607.0319 3035.1593 -4856.255 2428.1274
-40.2310 -30.3955 -24.8048 -21.2314 -18.7669
Los valores de los coeficientes ao a1 a2 a3 a4
=
0.0004895 -0.048901 -17.42838 11.004274 -2.43007
𝒚 = 𝒂𝒐 + 𝒂𝟏 ∗ 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐 ∗ 𝒙𝟐 + 𝒂𝟑 ∗ 𝒙𝟑 + 𝒂𝟒 ∗ 𝒙𝟒 𝒚 = 0.0004895 − 0.048901 ∗ 𝒙 − 17.42838 ∗ 𝒙𝟐 + 11.004274 ∗ 𝒙𝟑 − 2.43007 ∗ 𝒙𝟒 𝑹𝟐 = 𝟏
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
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INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________
Las ecuaciones por mínimos cuadrados y sus soluciones se muestran en notación matricial. 𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 (𝑋 𝑇 ∗ 𝑋)−1 ∗ 𝜷 = 𝑋 𝑇 ∗ 𝑌 [𝑋]: 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 [𝑌]: 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝜷 = (𝑋 𝑇 ∗ 𝑋)−1 ∗ 𝑋 𝑇 ∗ 𝑌
Ecuación de 4° grado.
[Y]=
UNH
𝑦𝑖 0 -0.167 -0.624 -1.3 -2.17 -3.16 -4.24 -5.38 -6.55 -7.74 -8.9
Uni. 1 1 1 1 1 [X]= 1 1 1 1 1 1
𝑥𝑖 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
𝑥𝑖 2 0 0.01 0.04 0.09 0.16 0.25 0.36 0.49 0.64 0.81 1
𝑥𝑖 3 0 0.001 0.008 0.027 0.064 0.125 0.216 0.343 0.512 0.729 1
𝑥𝑖 4 0 0.0001 0.0016 0.0081 0.0256 0.0625 0.1296 0.2401 0.4096 0.6561 1
MÉTODOS NUMÉRICOS
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INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ -1 1
0
0
0
0
1
0.1
0.01
0.001 0.0001
1
0.2
0.04
0.008 0.0016
1
0.3
0.09
0.027 0.0081
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0.4
0.16
0.064 0.0256
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
0.5
0.25
0.125 0.0625
B= 0
0.01
0.04
0.09
0.16
0.25
0.36
0.49
0.64
0.81
1
1
0.6
0.36
0.216 0.1296
0
0.001
0.008
0.027
0.064
0.125
0.216
0.343
0.512
0.729
1 1
1
0.7
0.49
0.343 0.2401
1
0.8
0.64
0.512 0.4096
1
0.9
0.81
0.729 0.6561
1
1
1
0 0.0001 0.0016 0.0081 0.0256 0.0625 0.1296 0.2401 0.4096 0.6561
1
1
0 -0.167 -0.624 -1.3 1 x
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0
0.01
0.04
0.09
0.16
0.25
0.36
0.49
0.64
0.81
0
0.001
0.008
0.027
0.064
0.125
0.216
0.343
0.512
0.729
0
0.0001 0.0016 0.0081 0.0256 0.0625 0.1296 0.2401 0.4096 0.6561
1 1
-2.17
1 1
-4.24
1
-6.55
-3.16 -5.38 -7.74 -8.9
0.9160839 -9.90676 B= 32.342657 -40.79254 17.482517
-9.90676 217.28503 -909.3337 1306.6563 -607.0319
32.342657 -909.3337 4169.8232 -6313.131 3035.1593
-40.79254 1306.6563 -6313.131 9874.3849 -4856.255
17.482517 -40.231 -607.0319 -30.3955 3035.1593 -24.80483 -4856.255 -21.23138 2428.1274 -18.76693
Resolviendo se tiene los valores de los coeficientes. 0.0004895 -0.048901 B= -17.42838 11.004274 -2.43007
𝒚 = 𝒂𝒐 + 𝒂𝟏 ∗ 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐 ∗ 𝒙𝟐 + 𝒂𝟑 ∗ 𝒙𝟑 + 𝒂𝟒 ∗ 𝒙𝟒 𝒚 = 0.0004895 − 0.048901 ∗ 𝒙 − 17.42838 ∗ 𝒙𝟐 + 11.004274 ∗ 𝒙𝟑 − 2.43007 ∗ 𝒙𝟒 𝑹𝟐 = 𝟏
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
14
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ Problema N° 04
Solución: ------------------------------------------------Para polinomio 2°.------------------------------------------
En general las ecuaciones mínimos cuadrados y sus soluciones se presentan en notación matricial como.
𝜷 = (𝑋 𝑇 ∗ 𝑋)−1 ∗ 𝑋 𝑇 ∗ 𝑌 𝑋𝑖 𝑌𝑖
0 1 2 3 0.1 0.95 1 0.25
4 5 6 7 8 -0.65 -0.85 -0.18 0.75 1.1
9 10 0.5 -0.45
Datos en matriz [X] y Vector [Y]=. Uni. 1 1 1 1 [X]= 1 1 1 1 1 1 1
𝑦𝑖 0.1 0.95 1 0.25 -0.65 -0.85 -0.18 0.75 1.1 0.5 -0.45
[Y]=
𝑥𝑖 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
𝑥𝑖 2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Transpuesta de la matriz [X]. 𝑋 = 𝑇
UNH
1 0 0
1 1 1
1 2 4
1 3 9
1 1 1 1 1 1 1 4 5 6 7 8 9 10 16 25 36 49 64 81 100
MÉTODOS NUMÉRICOS
15
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________
1 0 0
B=
1 1 1
x
1 1 1 2 3 4 4 9 16
1 1 0 1 0 1
1 5 25
1 2 4
1 3 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 6 7 8 9 10 36 49 64 81 100
1 1 1 1 4 5 6 7 16 25 36 49
1 8 64
1 9 81
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 0.1
-1
0.95 1 0.25 -0.65 -0.85 -0.18 0.75 1.1 0.5 -0.45
1 10 100
0.5804196 -0.22028 0.0174825 2.52 B= -0.22028 0.125641 -0.011655 * 9.82 71.72 0.0174825 -0.011655 0.0011655
𝑩=
0.5533566 -0.157207 0.0131935
𝒚 = 𝒂𝒐 + 𝒂𝟏 ∗ 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐 ∗ 𝒙𝟐 𝒚 = 0.5533566 − 0.157207 ∗ 𝒙 + 0.0131935 ∗ 𝒙𝟐 𝑹𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟓𝟖
------------------------------------------------Para polinomio 3°.-----------------------------------------𝑋𝑖 𝑌𝑖
UNH
0 1 2 3 0.1 0.95 1 0.25
4 5 6 7 8 -0.65 -0.85 -0.18 0.75 1.1
9 10 0.5 -0.45
MÉTODOS NUMÉRICOS
16
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ N Σx^1 Σx^2 Σx^3
Σx^1 Σx^2 Σx^3 Σx^4
X^1 X^2 0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49 8 64 9 81 10 100 Σx^1= Σx^2= 55 385 Y 0.100 0.950 1.000 0.250 -0.650 -0.850 -0.180 0.750 1.100 0.500 -0.450 Σy= 2.520
Σx^2 Σx^3 Σx^4 Σx^5
Σx^3 Σx^4 Σx^5 Σx^6
X^3 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 Σx^3= 3025 X^1*Y 0.0000 0.9500 2.0000 0.7500 -2.6000 -4.2500 -1.0800 5.2500 8.8000 4.5000 -4.5000 Σx^1*y= 9.820
ao a1 a2 a3
=
X^4 0 1 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561 10000 Σx^4= 25333 X^2*Y 0.0000 0.9500 4.0000 2.2500 -10.4000 -21.2500 -6.4800 36.7500 70.4000 40.5000 -45.0000 Σx^2*y= 71.720
Σy Σx^1*Y Σx^2*Y Σx^3*Y
X^5 0 1 32 243 1024 3125 7776 16807 32768 59049 100000 Σx^5= 220825
X^6 0 1 64 729 4096 15625 46656 117649 262144 531441 1000000 Σx^6= 1978405
X^3*Y 0.0000 0.9500 8.0000 6.7500 -41.6000 -106.2500 -38.8800 257.2500 563.2000 364.5000 -450.0000 Σx^3*y= 563.920
[𝑨] ∗ 𝑿 = [𝑩] [A]: matriz, [B]: vector 11 55 385 3025
55 385 3025 385 3025 25333 220825 3025 25333 25333 220825 1978405
ao a1 a2 a3
=
2.5200 9.8200 71.7200 563.9200
𝑿 = [𝑨]−𝟏 ∗ [𝑩]
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
17
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ ao 0.79020979 a1 -0.553613054 = 0.104895105 a2 a3 -0.005827506 Coeficientes del polinomio.
-0.553613054 0.655270655 -0.150543901 0.009259259 ao a1 a2 a3
=
0.104895105 -0.150543901 0.037587413 -0.002428127
-0.005828 0.0092593 -0.002428 0.0001619
2.5200 9.8200 71.7200 563.9200
0.791678322 -0.535874126 0.112494172 -0.006620047
𝒚 = 𝒂𝒐 + 𝒂𝟏 ∗ 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐 ∗ 𝒙𝟐 + 𝒂𝟑 ∗ 𝒙𝟑 𝒚 = 0.791678322 − 0.535874126 ∗ 𝒙 + 0.112494172 ∗ 𝒙𝟐 − 0.006620047 ∗ 𝒙𝟑 𝑹𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟐𝟐
--------------------------------------------Para polinomio 4°---------------------------------------------𝑋𝑖 𝑌𝑖
0 1 2 3 0.1 0.95 1 0.25
4 5 6 7 8 -0.65 -0.85 -0.18 0.75 1.1
9 10 0.5 -0.45
Polinomio de mínimos cuadrados.
N Σx^1 Σx^2 Σx^3 Σx^4
X^1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
UNH
Σx^1 Σx^2 Σx^3 Σx^4 Σx^4
Σx^2 Σx^3 Σx^4 Σx^5 Σx^6
X^2 X^3 X^4 0 0 0 1.0 1.0 1.0 4.0 8.0 16.0 9.0 27.0 81.0 16.0 64.0 256.0 25.0 125.0 625.0 36.0 216.0 1296.0 49.0 343.0 2401.0 64.0 512.0 4096.0 81.0 729.0 6561.0 100.0 1000.00 10000.0
Σx^3 Σx^4 Σx^5 Σx^6 Σx^7
Σx^4 Σx^5 Σx^6 Σx^7 Σx^8
X^5 0 1.0 32.0 243.0 1024.0 3125.0 7776.0 16807.0 32768.0 59049.0 100000.0
ao a1 a2 a3 a4
=
X^6 0 1.00 64.00 729.00 4096.00 15625.00 46656.00 117649.00 262144.00 531441.00 1000000.0
ΣY Σx^1*Y Σx^2*Y Σx^3*Y Σx^4*Y
X^7 0 1 128 2187 16384 78125 279936 823543 2097152 4782969 10000000
X^8 0 1 256 6561 65536 390625 1679616 5764801 16777216 43046721 100000000
MÉTODOS NUMÉRICOS
18
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ Σx^1= Σx^2= Σx^3= Σx^4= Σx^5= Σx^6= Σx^7= Σx^8= 55.00 385.00 3025.00 25333.00 220825.00 1978405.00 18080425.00 167731333.
Y 0.100 0.950 1.000 0.250 -0.650 -0.850 -0.180 0.750 1.100 0.500 -0.450 Σy= 2.52
X^1*Y 0.0000 0.9500 2.0000 0.7500 -2.6000 -4.2500 -1.0800 5.2500 8.8000 4.5000 -4.5000 Σx^1*y= 9.82
X^2*Y 0.0000 0.9500 4.0000 2.2500 -10.4000 -21.2500 -6.4800 36.7500 70.4000 40.5000 -45.0000 Σx^2*y= 71.72
X^3*Y X^4*Y 0.0000 0.0000 0.9500 0.9500 8.0000 16.0000 6.7500 20.2500 -41.6000 -166.4000 -106.2500 -531.2500 -38.8800 -233.2800 257.2500 1800.7500 563.2000 4505.6000 364.5000 3280.5000 -450.0000 -4500.0000 Σx^3*y= Σx^4*y= 563.92 4193.12
[𝑨] ∗ 𝑿 = [𝑩] [A]: matriz, [B]: vector
11 55 385 3025 25333 55 385 3025 25333 220825 385 3025 25333 220825 1978405 3025 25333 220825 1978405 18080425 25333 220825 1978405 18080425 167731333
[𝑿] =
a1 a2 a3 a4
UNH
=
11 55 385 3025 25333
55 385 3025 25333 220825
ao a1 a2 a3 a4
=
2.5200 9.8200 71.7200 563.9200 4193.1200
[𝑩] [𝑨]
2.5200 9.8200 71.7200 563.9200 4193.1200 385 3025 25333 3025 25333 220825 25333 220825 1978405 220825 1978405 18080425 1978405 18080425 167731333
MÉTODOS NUMÉRICOS
19
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________
𝑿 = [𝑨]−𝟏 ∗ [𝑩] ao a1 a2 a3 a4
=
0.9160839 -0.990676 0.3234266 -0.040793 0.0017483
-0.990676 2.1728503 -0.909334 0.1306656 -0.00607
0.32342657 -0.9093337 0.41698232 -0.0631313 0.00303516
-0.04079254 0.130665631 -0.06313131 0.009874385 -0.00048563
0.001748252 2.5200 -0.006070319 9.8200 0.003035159 71.7200 -0.000485625 563.9200 2.42813E-05 4193.1200
Coeficientes del polinomio.
ao a1 a2 a3 a4
=
0.1031469 1.8548601 -1.082873 0.1846387 -0.009563
𝒚 = 𝒂𝒐 + 𝒂𝟏 ∗ 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐 ∗ 𝒙𝟐 + 𝒂𝟑 ∗ 𝒙𝟑 + 𝒂𝟒 ∗ 𝒙𝟒 𝒚 = 0.1031469 + 1.8548601 ∗ 𝒙 − 1.082873 ∗ 𝒙𝟐 + 0.1846387 ∗ 𝒙𝟑 − 0.009563 ∗ 𝒙𝟒 𝑹𝟐 = 𝟎. 𝟖𝟖𝟔𝟖
Solución por notación matricial. 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝜷 = (𝑋 𝑇 ∗ 𝑋)−1 ∗ 𝑋 𝑇 ∗ 𝑌
𝑦𝑖 0.1 0.95 1 0.25 -0.65 [Y]= -0.85 -0.18 0.75 1.1 0.5 -0.45
UNH
Uni. 1 1 1 1 1 [X]= 1 1 1 1 1 1
𝑥𝑖 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
𝑥𝑖 2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
𝑥𝑖 3 𝑥𝑖 4 0 0 1 1 8 16 27 81 64 256 125 625 216 1296 343 2401 512 4096 729 6561 1000 10000
MÉTODOS NUMÉRICOS
20
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ -1
B=
1.00E+00
0.00E+00
0.00E+00
0.00E+00
0.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
2.00E+00
4.00E+00
8.00E+00
1.60E+01
1.00E+00
3.00E+00
9.00E+00
2.70E+01
8.10E+01
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
4.00E+00
1.60E+01
6.40E+01
2.56E+02
0.00E+00
1.00E+00
2.00E+00
3.00E+00
4.00E+00
5.00E+00
6.00E+00
7.00E+00
8.00E+00
9.00E+00
1.00E+01
1.00E+00
5.00E+00
2.50E+01
1.25E+02
6.25E+02
0.00E+00
1.00E+00
4.00E+00
9.00E+00
1.60E+01
2.50E+01
3.60E+01
4.90E+01
6.40E+01
8.10E+01
1.00E+02
1.00E+00
6.00E+00
3.60E+01
2.16E+02
1.30E+03
0.00E+00
1.00E+00
8.00E+00
2.70E+01
6.40E+01
1.25E+02
2.16E+02
3.43E+02
5.12E+02
7.29E+02
1.00E+03
1.00E+00
7.00E+00
4.90E+01
3.43E+02
2.40E+03
0.00E+00
1.00E+00
1.60E+01
8.10E+01
2.56E+02
6.25E+02
1.30E+03
2.40E+03
4.10E+03
6.56E+03
1.00E+04
1.00E+00
8.00E+00
6.40E+01
5.12E+02
4.10E+03
1.00E+00
9.00E+00
8.10E+01
7.29E+02
6.56E+03
1.00E+00
1.00E+01
1.00E+02
1.00E+03
1.00E+04
0.1 0.95 1 0.25
X
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
-0.65
0.00E+00
1.00E+00
2.00E+00
3.00E+00
4.00E+00
5.00E+00
6.00E+00
7.00E+00
8.00E+00
9.00E+00
1.00E+01
-0.85
0.00E+00
1.00E+00
4.00E+00
9.00E+00
1.60E+01
2.50E+01
3.60E+01
4.90E+01
6.40E+01
8.10E+01
1.00E+02
-0.18
0.00E+00
1.00E+00
8.00E+00
2.70E+01
6.40E+01
1.25E+02
2.16E+02
3.43E+02
5.12E+02
7.29E+02
1.00E+03
0.75
0.00E+00
1.00E+00
1.60E+01
8.10E+01
2.56E+02
6.25E+02
1.30E+03
2.40E+03
4.10E+03
6.56E+03
1.00E+04
1.1 0.5 -0.45
B=
0.9160839 -0.990676 0.3234266 -0.040793 0.0017483
-0.990676 2.1728503 -0.909334 0.1306656 -0.00607
0.3234266 -0.909334 0.4169823 -0.063131 0.0030352
-0.040793 0.1306656 -0.063131 0.0098744 -0.000486
0.0017483 -0.00607 0.0030352 -0.000486 2.428E-05
2.52 9.82 71.72 563.92 4193.12
Coeficientes del polinomio de 4°. 0.1031469 1.8548601 B= -1.0828730 0.1846387 -0.0095629
𝒚 = 𝒂𝒐 + 𝒂𝟏 ∗ 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐 ∗ 𝒙𝟐 + 𝒂𝟑 ∗ 𝒙𝟑 + 𝒂𝟒 ∗ 𝒙𝟒 𝒚 = 0.1031469 + 1.8548601 ∗ 𝒙 − 1.082873 ∗ 𝒙𝟐 + 0.1846387 ∗ 𝒙𝟑 − 0.009563 ∗ 𝒙𝟒 𝑹𝟐 = 𝟎. 𝟖𝟖𝟔𝟖
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
21
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ ------------------------------------------Para 𝒚 = 𝑩 + 𝑨 ∗ 𝒔𝒊𝒏(𝒙)---------------------------------------
𝑌 = 𝐴 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑋) + 𝐵 Linializando 𝑌 = 𝐴 + 𝐵 ∗ 𝑋´; 𝑋´ = sin(𝑥) 𝑎1 =
𝑛 ∑ 𝑋´ ∗ 𝑌 − (∑ 𝑋´)(∑ 𝑌) 𝑛 ∑ 𝑋´2 − (∑ 𝑋 ´)2 ̅ 𝑎𝑜 = 𝑌̅ − 𝑎1 ∗ 𝑋´
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
0.1
0.95
1
0.25
-0.65
-0.85
-0.18
0.75
1.1
0.5
-0.45
X´=sin(Xi)
0
0.8415
∑Y^2=
0.01
0.9025
∑X´^2=
0
∑X´*∑Y=
0
(∑X´)^2=
1.9915
∑X´*Y=
0
(∑Y)^2=
6.3504
∑(X´)= ∑(Y)= (∑X´)^2= ∑X´*Y= (X´) ̅=
0.9093 0.1411
-0.7568
-0.9589
-0.2794
0.6570 0.9894 0.4121
-0.5440
0.0625
0.4225
0.7225
0.0324
0.5625
0.2025
0.7081
0.8268 0.0199
0.5728
0.9195
0.0781
0.4316 0.9788 0.1698
0.2960
0.7994
0.9093 0.0353
0.4919
0.8151
0.0503
0.4927 1.0883 0.2061
0.2448
0.7994
0.9093 0.0353
0.4919
0.8151
0.0503
0.4927 1.0883 0.2061
0.2448
1
1.4111884 2.52 1.9914526 5.1331797 0.1282899
∑X´^2= ∑X´*∑Y= n= Y̅ =
5.0014306 7.2438835 11 0.2290909
ao= a1=
0.9282745 0.1100027
1.21
0.25
∑Y^2= 5.3774 (∑Y)^2= 6.3504
𝑌 = 0.928274536 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑋) + 0.110002706 Índice de correlación. 𝑅=
𝑛 ∑ 𝑋´ ∗ 𝑌 − (∑ 𝑋´)(∑ 𝑌) √((𝑛 ∑ 𝑋´2 − (∑ 𝑋 ´)2 ) ∗ (𝑛 ∑ 𝑌 2 − (∑ 𝑌)2 ))
RPTA:
𝑹𝟐 =
0.9302352
Por lo tanto la función que ajusta a los datos es la ecuación # 4. 𝑹𝟐 =
UNH
0.9302352 ≅ 𝟏
MÉTODOS NUMÉRICOS
22
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ Problema N° 05
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
23
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ -------------------------------------------- Solución ----------------------------------------------
En el siguiente gráfico se muestra, los nudos, barras o elementos con sus respectivos cargas en los nudos, coordenadas de inicio y final de cada elemento y los grados de libertad en cada nudo de 1,2,…,12, los cuales nos permitiran la facilidad para determinar la matriz estatica de la armadura. 2.00
1.00 P(KN) (1,4) 6 P(KN)
:# Elementos :# Nudos (x,y) :Coordenadas P: :Fuerzas
1
P(KN) (3,4)
5
8
6
3
g
b
b
Ángulos respectivos g=atan(2/0.5) g=75.9638° 2 a=90°-75.9638° a=14.0362°
10 2P(KN)
4.00
9
4
Psen(a)=0.9701 P Pcos(a)=0.2425 P 2Psen(a)=0.4851 P 2Pcos(a)=1.9403 P
4 2
30°
g
(3.5;2)
3
P(KN)
a
7
1 R1*sen(30)
0.5
a
7
2
4
(0.5,2)
8 P(KN)
9
5
2P(KN)
1.00
3
2
12
51
(0,0)
R1*cos(30)
6
11
R2
(4,0)
R3
BARRAS Ni Nf COORDENADAS REACCIONES X Y NUDOS 1 5 3 X Y 5 0.500 0.86603 2 5 4 1 1 4 6 0.000 1 3 6 3 2 3 4 6 1 0 4 6 4 3 0.5 2 5 3 1 4 3.5 2 6 3 2 5 0 0 7 4 1 6 4 0 8 1 2 9 4 2
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
24
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ ELEM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
COORDENADAS Xi Yi Xf Yf 0 0 0.5 2 0 0 3.5 2 4 0 0.5 2 4 0 3.5 2 0.5 2 1 4 0.5 2 3 4 3.5 2 1 4 1 4 3 4 3.5 2 3 4
LONG. 2 2.061553 2.061553 3.201562 3.201562 2.061553 2.061553 4.031129 4.031129
COS(x) SEN(x) 1.000 0.000 0.243 0.970 -0.243 0.970 -0.781 0.625 0.781 0.625 0.243 0.970 -0.243 0.970 -0.868 0.496 0.868 0.496
La matriz estáticas [B], se desarrolla con los cosenos directores de cada elemento, según los grados de libertad en cada nudo, la matriz se presenta a continuación. GDL\F
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
R1
1
-0.24254
-0.86824
0
0
0
0
0
0
0
0.50000
0
0
2
-0.97014
-0.49614
0
0
0
0
0
0
0
0.86603
0
0
3
0.24254
0
-0.86824
0
-0.24254
-0.78087
0
0
0
0
0
0
4
0.97014
0
0.49614
0
-0.97014
-0.62470
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0.24254
0
-0.78087
-1
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0.97014
0
0.62470
0
0
0
0
0
7
0 0
0
0
0
0
0.78087
0
1
-0.24254
0
0
0
0
0
0
0
0.62470
0
0
0.97014
0
0
0
9
0
0.86824
0
-0.24254
0
0
0.78087
0
0.24254
0
0
0
10
0
0.49614
0
0.97014
0
0
-0.62470
0
-0.97014
0
0
0
11
0
0
0.86824
0.24254
0
0
0
0
0
0
0
1
12
0
0
-0.49614
-0.97014
0
0
0
0
0
0
1
0
[B]=
8
R2 R3
[𝑷] + [𝑩] ∗ [𝑭] = 𝟎
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
R1
R2 R3
0.0000 P
-0.24254
-0.86824
0
0
0
0
0
0
0
0.50000
0
0
F1
0.0000 P
-0.97014 0.24254
-0.49614
0
0
0
0
0
0
0
0.86603
0
0
F2
0
-0.86824
0
-0.24254
-0.78087
0
0
0
0
0
0
F3
-242.5349 P
0.97014
0
0.49614
0
-0.97014
-0.62470
0
0
0
0
0
0
F4
485.0713 P
0
0
0
0
0.24254
0
-0.78087
-1
0
0
0
0
F5
-621.2674 P
0
0
0
0
0.97014
0
0.62470
0
0
0
0
0
F6
0
0
0
0
0
0.78087
0
1
-0.24254
0
0
0
F7
970.1427 P
-485.0713 P
+
-621.2674 P
0
0
0
0
0
0.62470
0
0.97014
0
0
0
F8
-970.1427 P
0
0.86824
0
-0.24254
0
0
0.78087
0
0.24254
0
0
0
F9
0
0.49614
0
0.97014
0
0
-0.62470
0
-0.97014
0
0
0
R1
0.0000 P
0
0
0.86824
0.24254
0
0
0
0
0
0
0
1
R2
0.0000 P
0
0
-0.49614
-0.97014
0
0
0
0
0
0
1
0
R3
-242.5349 P
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
25
= 0
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ [𝑭] = −
[𝑷] [𝑩]
0.000 P 0.000 P 1.940 P -0.485 P 0.970 P -1.243 P -0.970 P -1.243 P -1.940 P -0.485 P 0.000 P
[F]=
0.000 P -0.24254
-0.86824
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.50000
0.00000
0.00000
-0.97014
-0.49614
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.86603
0.00000
0.00000
0.24254
0.00000
-0.86824
0.00000
-0.24254
-0.78087
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.97014
0.00000
0.49614
0.00000
-0.97014
-0.62470
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.24254
0.00000
-0.78087
-1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.97014
0.00000
0.62470
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.78087
0.00000
1.00000
-0.24254
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.62470
0.00000
0.00000
0.97014
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.86824
0.00000
-0.24254
0.00000
0.00000
0.78087
0.00000
0.24254
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.49614
0.00000
0.97014
0.00000
0.00000
-0.62470
0.00000
-0.97014
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.86824
0.24254
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
-0.49614
-0.97014
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1.00000
0.00000
[𝑭] = −[𝑩]−𝟏 ∗ [𝑷]
[F]=
0.6872
-0.3967
0.4029
0.7051
0.8058
0.6044
0.8058
0.2015
0.4029
0.1007
0.0000
0.0000
0.000 P
-1.3437
0.7758
0.2199
0.3849
0.4399
0.3299
0.4399
0.1100
0.2199
0.0550
0.0000
0.0000
0.000 P
-1.3437
0.7758
-0.7879
0.6368
-0.2320
0.4979
-0.2320
-0.0580
-0.7879
-0.1970
0.0000
0.0000
1.940 P
0.6872
-0.3967
-0.1125
-0.1968
-0.9121
0.0031
-0.9121
0.8027
-0.1125
1.0027
0.0000
0.0000
-0.485 P 0.970 P
-1.3744
0.7935
0.2249
0.3937
0.4499
1.3682
0.4499
0.1125
-0.8058
-0.2015
0.0000
0.0000
2.1344
-1.2323
-0.3493
-0.6114
0.3685
-0.7908
0.3685
0. 0921
1.2514
0.3129
0.0000
0.0000
-1.243 P
2.1344 -2.0000
-1.2323
-0.3493
-0.6114
-0.6987
-0.5240
-0.6987
-0.1747
1.2514
0.3129
0.0000
0.0000
-0.970 P
1.1547
0.3274
0.5729
-0.3453
0.7410
0.6547
0.1637
-1.1726
-0.2932
0.0000
0.0000
-1.243 P
-1.3744
0.7935
0.2249
0.3937
-0.2373
0.5092
-0.2373
0.9715
-0.8058
-0.2015
0.0000
0.0000
-1.940 P
0.0000
1.1547
0.5774
1.0104
1.1547
0.8660
1.1547
0.2887
0.5774
0.1443
0.0000
0.0000
-0.485 P
0.0000
0.0000
-0.5000
0.1250
-1.0000
0.2500
-1.0000
0.7500
-0.5000
0.8750
0.0000
1.0000
0.000 P
1.0000
-0.5774
0.7113
-0.5052
0.4226
-0.4330
0.4226
-0.1443
0.7113
-0.0722
1.0000
0.0000
0.000 P
Fuerzas en los elementos horizontales, verticales y trasversales. F1= 1.3921 P F2= 0.7599 P F3= 0.7599 P F4= 1.3921 P F5= -0.0670 P F6= 2.0930 P
UNH
[KN] Tracción [KN] Tracción [KN] Tracción [KN] Tracción [KN] Compresión [KN] Tracción
F7= F8= F9= R1= R2= R3=
2.0930 P -0.6805 P -0.0670 P 1.9949 P 1.7276 P -0.9974 P
[KN] [KN] [KN] [KN] [KN] [KN]
Tracción Compresión Compresión Tracción Tracción Compresión
MÉTODOS NUMÉRICOS
26
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ Problema N° 06 Por el método matricial, la solución de sistema de ecuaciones lineales, resolver la siguiente estructura y calcular las fuerzas en cada elemento y las reacciones. a) Calcular en función de la carga P. b) Para una carga P=150 ton Para el análisis se usara la siguiente ecuación.
[𝐏] + [𝐁] ∗ [𝐅] = 𝟎 P(KN)
P(KN)
4
2
P(KN)
6
7 5 4m
10
9
1
1
3
4
8
3
2
13
5
6
2P(KN)
4m
8 7
11
4m
12
30°
2P(KN)
4m
4m
Para la solución de la armadura estructural, escogemos los grados de libertad, las coordenadas y el sentido de inicio y final de cada elemento. P(KN)
P(KN)
4
4
(4,4)
2
3
5
1
(0,0)
2 1
R1x
4 4m
R1y
UNH
(4,0)
3
6 5
13
6
:# Nudos
13
:# Elementos :Inicio y final de los elementos
13
8
3
2
:Grados de Libertad
15
(12,4)
10
9
1
4m
14
6
7
7
16
P(KN)
8 (8,4)
(8,0) 6
2P(KN) 4m
10
59
(12,0) 11 4m
7
12 11
16 12
2P(KN) 4m
(16,0)
8
1530° R *sen(30) R3 3
R3*cos(30)
MÉTODOS NUMÉRICOS
27
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ Para formar la matriz estática se hace el siguiente procedimiento. 1. Coordenadas para cada elemento. 2. Los cosenos directores unitarias con una fuerza unitaria para cada elemento. 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑐𝑜𝑠(𝛽) =
𝑦𝑓 − 𝑦𝑖
; 𝑠𝑒𝑛(𝛽) =
2
√(𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 ) + (𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 )
2
2
√(𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 ) + (𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 )
2
3. Inicio y final de cada elemento para el proceso anterior, solución las coordenadas. 4. Los cosenos directores, ubicamos en cada grado de libertad. COORDENADAS Iniciales Finales ELEM. 𝑋𝑖 𝑌𝑖 𝑋𝑓 𝑌𝑓 1 0 0 4 4 2 0 0 8 4 3 0 0 12 4 4 0 0 4 0 5 4 0 4 4 6 4 0 8 0 7 16 0 4 4 8 8 0 8 4 9 16 0 8 4 10 12 0 12 4 11 8 0 12 0 12 12 0 16 0 13 16 0 12 4
LONG. COS(x) 5.6568542 0.7071068 8.9442719 0.8944272 12.649111 0.9486833 4 1 4 0 4 1 12.649111 -0.9486833 4 0 8.9442719 -0.8944272 4 0 4 1 4 1 5.6568542 -0.7071068
SEN(x) 0.7071068 0.4472136 0.3162278 0 1 0 0.3162278 1 0.4472136 1 0 0 0.7071068
[𝐁]: Matriz estática
[B]=
GDL\F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
UNH
F1 -0.7071 -0.7071 0.7071 0.7071 0 0 0
F2 -0.8944 -0.4472 0 0 0 0 0.8944
F3 -0.9487 -0.3162 0 0 0 0 0
F4 -1.0 0.0 0 0 1.0 0.0 0
F5 0 0 0.0 1.0 0.0 -1.0 0
F6 0 0 0 0 -1.0 0.0 0
F7 0 0 -0.9487 0.3162 0 0 0
F8 0 0 0 0 0 0 0.000
F9 0 0 0 0 0 0 -0.8944
F10 0 0 0 0 0 0 0
F11 0 0 0 0 0 0 0
F12 0 0 0 0 0 0 0
F13 0 0 0 0 0 0 0
R1x 1 0 0 0 0 0 0
R1y 0 1 0 0 0 0 0
R3 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.4472 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0.9487 0.3162 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1.0 0.0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0.9487 -0.3162
1.000 0.000 -1.000 0 0 0 0 0 0
0.4472 0 0 0 0 0 0 0.8944 -0.4472
0 0 0 0.0 -1.0 0 1.0 0 0
0 -1.000 0.000 1.000 0.000 0 0 0 0
0 0 0 -1.0 0.0 0 0 1.0 0.0
0 0 0 0 0 -0.7071 0.7071 0.7071 -0.7071
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 -0.5000 0.8660
MÉTODOS NUMÉRICOS
28
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ [𝐅] = −
[𝐏] [𝐁] 0.0 P 0.0 P 0.0 P -1.0 P 0.0P -2.0 P 0.0 P -1.0 P 0.0 P 0.0 P 0.0P -2.0P 0.0 P
[F]= -
-1.0 P 0.0P 0.0P -0.7071 -0.7071 0.7071 0.7071 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-0.8944 -0.4472 0 0 0 0 0.8944 0.4472 0 0 0 0 0 0 0 0
-0.9487 -0.3162 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9487 0.3162 0 0
-1.0 0.0 0 0 1.0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0.0 1.0 0.0 -1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 -1.0 0.0 0 0 1.0 0.0 0 0 0 0 0 0
0 0 -0.9487 0.3162 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9487 -0.3162
0 0 0 0 0 0 0.000 1.000 0.000 -1.000 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 -0.8944 0.4472 0 0 0 0 0 0 0.8944 -0.4472
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 -1.0 0 1.0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 -1.000 0.000 1.000 0.000 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.0 0.0 0 0 1.0 0.0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.7071 0.7071 0.7071 -0.7071
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.5000 0.8660
[𝑭] = −[𝑩]−𝟏 ∗ [𝑷] 0
[F]=
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.00 P
0.0
0.0
1.24E-16
-3.10E-17
0.00
-3.10E-17
5.59E-01
1.12E+00
0.00
1.12E+00
0.00
0.000
0.000
0.0000
0.00
0.00
0.0 0.0
0.0
-1.17E-16
8.78E-17
0.00
8.78E-17
1.17E-16
-5.85E-17
0.00
-5.85E-17
0.00
0.791
0.791
0.7906
0.00
0.00
0.00 P 0.00 P
0.0
6.06E-01
-6.06E-01
1.00
-6.06E-01
3.56E-01
-0.7113
1.00
-7.11E-01
1.00
-0.317
0.106
-0.3170
1.00
0.58
0.0
0.0
0.00E+00
0.00E+00
0.00
-1.00E+00
0.00E+00
0.0000
0.00
0.00E+00
0.00
0.000
0.000
0.0000
0.00
0.00
0.00 P
0.0
0.0
6.06E-01
-6.06E-01
0.00
-6.06E-01
3.56E-01
-0.7113
1. 00
-7.11E-01
1.00
-0.317
0.106
-0.3170
1.00
0.58
-2.00 P
0.0
0.0
-7.91E-01
7.91E-01
0.00
7.91E-01
0.00E+00
0.0000
0.00
0.00E+00
0.00
0.000
0.000
0.0000
0.00
0.00
0.00 P
0.0
0.0
0.00E+00
0.00E+00
0.00
0.00E+00
0.00E+00
0.0000
0.00
-1.00E+00
0.00
0.000
0.000
0.0000
0.00
0.00
-1.00 P
0.0
0.0
0.00E+00
0.00E+00
0.00
0.00E+00
-5.59E-01
1.1180
0.00
1.12E+00
0.00
0.000
0.000
0.0000
0.00
0.00
0.00 P
0.0
0.0
0.00E+00
0.00E+00
0.00
0.00E+00
0.00E+00
0.0000
0.00
0.00E+00
0.00
-1.000
0.000
0.0000
0.00
0.00
0.00 P
0.0
0.0
6.06E-01
-6.06E-01
0.00
-6.06E-01
3.56E-01
-0.7113
0.00
-7.11E-01
1.00
-0.317
0.106
-0.3170
1.00
0.58
0.00 P
0.0
0.0
6.06E-01
-6.06E-01
0.00
-6.06E-01
3.56E-01
-0.7113
0.00
-7.11E-01
0.00
-0.317
0.106
-0.3170
1.00
0.58
-2.00 P
0.0
0.0
2.94E-17
0.00E+00
0.00
0.00E+00
0.00E+00
0.0000
0.00
0.00E+00
0.00
1.061
-0.354
1.0607
0.00
0.00
0.00 P
1.0
0.0
8.56E-01
1.44E-01
1.00
1.44E-01
8.56E-01
0.2887
1.00
2.89E-01
1.00
0.433
0.856
0.4330
1.00
0.58
-1.00 P
0.0
1.0
2.50E-01
7.50E-01
0.00
7.50E-01
2.50E-01
0.5000
0.00
5.00E-01
0.00
0.250
0.250
0.2500
0.00
0.00
0.00 P
0.0
0.0
-2.89E-01
2.89E-01
0.00
2.89E-01
-2.89E-01
0.5774
0.00
5.77E-01
0.00
0.866
-0.289
0.8660
0.00
1.15
0.00 P
-1.00 P
Finalmente las fuerzas en cada elemento se muestran en la siguiente tabla [KN]. F1= -3.18198 P Compresión F2= -1.11803 P Compresión F3= -2.37171 P Compresión
UNH
F9= F10= F11=
-1.11803 P 2.00000 P 3.47927 P
Compresión Tracción Tracción
MÉTODOS NUMÉRICOS
29
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ F4= F5= F6= F7= F8=
3.47927 P Tracción 2.00000 P Tracción 3.47927 P Tracción -2.37171 P Compresión 0.00000 P Tracción
F12= F13= R1x= R1y= R3=
3.47927 P -3.18198 P -2.02073 P -3.50000 P -4.04145 P
Tracción Compresión Compresión Compresión Compresión
F9= F10= F11= F12= F13= R1x= R1y= R3=
-167.705 [ton] 300.000 [ton] 521.891 [ton] 521.891 [ton] -477.297 [ton] -303.109 [ton] -525.000 [ton] -606.218 [ton]
Para una P=150 ton F1= F2= F3= F4= F5= F6= F7= F8=
-477.297 -167.705 -355.756 521.891 300.000 521.891 -355.756 0.000
Compresión Compresión Compresión Tracción Tracción Tracción Compresión Tracción
Compresión Tracción Tracción Tracción Compresión Compresión Compresión Compresión
Problema N° 07 Por el método matricial, la solución de sistema de ecuaciones lineales, resolver la siguiente estructura y calcular las fuerzas en cada elemento y las reacciones. a) Calcular en función de la carga P. Para el análisis se usara la siguiente ecuación.
[𝐏] + [𝐁] ∗ [𝐅] = 𝟎 P(KN)
2P (KN)
4
30°
53°
2 7 5
6
9 13
1
4m
2
1 4
2P(KN)
3
3
8 4m
5
10
3P(KN) 4m
6
11
3P(KN)
7
8 12
2P(KN)
4m
Para la solución de la armadura estructural, escogemos los grados de libertad, las coordenadas y el sentido de inicio y final de cada elemento. UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
30
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ 2P*sin(30°)
16
2P (KN) 2P*cos(30°)
P*sin(30°)
4
(0,4)
30°
2
15
16
P(KN)
14
15
53°
13 P*cos(30°) (12,4)
:Grados de Libertad
6
:# Nudos :# Elementos
13
:Inicio y final de los elementos
7 5
9
6
4m
13 1 2
1 (-4,0)
2
(0,0)
1
2P(KN)
4
3
3
4 3
4m
(4,0)
5
8
8
6 5
3P(KN)
4m
R1x =1
6
10
7
11
3P(KN)
4m
12
10
(8,0)
7
8
(12,0)
9
12
4m
(16,0)
11
2P(KN)
4m
R3=1
R1y =1
Para formar la matriz estática se hace el siguiente procedimiento. 5. Coordenadas para cada elemento. 6. Los cosenos directores unitarias con una fuerza unitaria para cada elemento. 𝑐𝑜𝑠(𝛽) =
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 2
𝑦𝑓 − 𝑦𝑖
; 𝑠𝑒𝑛(𝛽) =
√(𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 ) + (𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 )
2
2
√(𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 ) + (𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 )
2
7. Inicio y final de cada elemento para el proceso anterior, solución las coordenadas. 8. Los cosenos directores, ubicamos en cada grado de libertad. COORDENADAS Iniciales Finales ELEM. 𝑋𝑖 𝑌𝑖 𝑋𝑓 𝑌𝑓 1 -4 0 0 4 2 -4 0 12 4 3 0 0 12 4 4 0 0 -4 0 5 8 0 0 4 6 12 0 0 4 7 16 0 0 4 8 0 0 4 0 9 4 0 12 4 10 4 0 8 0 11 8 0 12 0
UNH
LONG. 5.6569 16.492 12.649 4 8.9443 12.649 16.492 4 8.9443 4 4
COS(x) 0.707107 0.970143 0.948683 -1 -0.894427 -0.948683 -0.970143 1 0.894427 1 1
SEN(x) 0.7071068 0.2425356 0.3162278 0 0.4472136 0.3162278 0.2425356 0 0.4472136 0 0
MÉTODOS NUMÉRICOS
31
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ 12 13
12 16
0 0
16 12
0 4
4 1 5.6569 -0.707107
0 0.7071068
[𝐁]: Matriz estática GDL\F
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10
F11
F12
F13
R1x
R1y
R3
1
-0.7071
-0.9701
0
-1.00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
-0.7071
-0.2425
0
0.00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0 0
0
-0.9487
1.00
0
0
0
-1.00
0
0
0
0
0
1
0
0
0
-0.3162
0.00
0
0
0
0.00
0
0
0
0
0
0
1
0
5
0
0
0
0
0
0
0
1.00
-0.8944
-1.00
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0.00
-0.4472
0.00
0
0
0
0
0
7
0
0
0
0
0.8944
0
0
0
0
1.00
0 1.00
0
0
0
0
0
8
0
0
0
0
-0.4472
0
0
0
0
0.00
0.00
0
0
0
0
0
9
0
0
0
0
0
0.9487
0
0
0
0
1.00
-1.00
0
0
0
0
10
0
0
0
0
0
-0.3162
0
0
0
0
0.00
0.00
0
0
0
1
11
0
0
0
0
0
0
0.9701
0
0
0
0
1.00
0
0
0
12
0
0
0
0
0
0
-0.2425
0
0
0
0
0.00
0
0
0
13
0
0.9701
0.9487
0
0
0
0
0
0.8944
0
0
0
0.7071 0.7071 0.7071
0
0
0
14
0
0.2425
0.3162
0
0
0
0
0
0.4472
0
0
0
0.7071
0
0
0
15
0.7071
0
0
0
-0.8944
-0.9487
-0.9701
0
0
0
0
0
0
0
0
0
16
0.7071
0
0
0
0.4472
0.3162
0.2425
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
[𝐁] =
[𝐅] = −
[𝐏] [𝐁]
[F]= -0.7071 -0.7071 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.7071 0.7071
UNH
-0.9701 -0.2425 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9701 0.2425 0 0
0 0 -0.9487 -0.3162 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9487 0.3162 0 0
-1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0.8944 -0.4472 0 0 0 0 0 0 -0.89443 0.44721
0 0 0 0 0 0 0 0 0.9487 -0.3162 0 0 0 0 -0.9487 0.3162
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9701 -0.2425 0 0 -0.9701 0.2425
0P -2.0P 0P 0P 0P -3.0P 0P -3.0 P 0P 0P 0P -2.00 P -0.602 P -0.799 P 1.732 P -1.000 P 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 -0.8944 -0.4472 0 0 0 0 0 0 0.8944 0.4472 0 0
0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.7071 -0.7071 -0.7071 0.7071 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
MÉTODOS NUMÉRICOS
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
32
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ [𝑭] = −[𝑩]−𝟏 ∗ [𝑷] 0 0 0 -1 0 0 0 [F]= 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 -4.40 4.22 4.20 0.00 -1.05 1.10 0.20 0.00 0.20 0.20 -0.80 -0.38 0.00 1.33 -0.33
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 2.75E-01 -2.44E-16 0 2.11E+00 2.34E-16 0 -2.00E-01 2.22E-16 0 3.10E-17 -1.40E-16 0 1.05E+00 6.92E-17 0 -1.10E+00 7.63E-17 1 -2.20E+00 1.00E+00 0 -2.24E+00 0.00E+00 0 -2.00E-01 1.00E+00 0 -2.00E-01 -1.25E-16 0 8.00E-01 -5.92E-17 0 3.77E-01 -2.09E-17 1 0.00E+00 1.00E+00 0 6.67E-01 7.40E-17 0 3.33E-01 -1.85E-17
0 -1.099 1.054 0.800 -2.236 2.108 0.275 -0.200 0.000 -0.200 -2.200 -0.200 -0.094 0.000 0.333 0.667
0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0
0 1.099 -1.054 -0.800 0.000 4.216 -4.398 0.200 0.000 0.200 0.200 4.200 0.094 0.000 -0.333 1.333
0 -0.275 1.054 0.200 0.000 -1.054 1.099 0.200 0.000 0.200 0.200 -0.800 -0.377 1.000 0.333 -0.333
0 0.825 0.000 -0.600 0.000 3.162 -3.298 -0.600 0.000 -0.600 -0.600 2.400 1.131 0.000 0.000 1.000
0 -1.099 1.054 0.800 0.000 -1.054 0.275 0.800 0.000 0.800 0.800 -0.200 -0.094 1.000 0.333 -0.333
1 -3.298 3.162 2.400 0.000 0.000 0.825 -0.600 0.000 -0.600 -0.600 -0.600 -0.283 0.000 1.000 0.000
0.00 P -2.00 P 0.00 P 0.00 P 0.00 P -3.00 P 0.00 P -3.00 P 0.00 P 0.00 P 0.00 P -2.00 P -0.60 P -0.80 P 1.73 P -1.00 P
Finalmente las fuerzas en cada elemento se muestran en la siguiente tabla [KN]. F1= F2= F3= F4= F5= F6= F7= F8=
UNH
-0.59187 P 9.97179 P -17.78229 P -9.25554 P 6.70820 P -19.52827 P 10.69490 P 8.74446 P
Compresión Tracción Compresión Compresión Tracción Compresión Tracción Tracción
F9= F10= F11= F12= F13= R1x= R1y= R3=
6.70820 P 2.74446 P 8.74446 P -9.78168 P -0.83989 P 1.13024 P -5.62325 P -6.17538 P
Tracción Tracción Tracción Compresión Compresión Tracción Compresión Compresión
MÉTODOS NUMÉRICOS
33
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ Problema N° 08
Para el problema se verá tres maneras de solucionar el problema, el primero directo mientras en los dos otros métodos se calcular la fricción, que es lo mismo pero más trabajoso, básicamente se utiliza los métodos iterativos para solucionar las ecuaciones. Uso de la ecuación científica de Colebrook – White. 1
𝑘 2.51 = −2 ∗ 𝑙𝑜𝑔 ( + ); 3.71𝐷 𝑅𝑒√𝑓 √𝑓
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
34
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ La ecuación se resuelve siempre en cuando tengamos valores de D (diámetro de la tubería), Re (Numero de Reynolds), k (Rugosidad de la tubería) con estos datos bastara los cálculos necesarios.
Método de Punto fijo o sustituciones sucesivas. Recordando. 𝐹(𝑥) = 0 A la ecuación precedente se le adiciona una “x” en ambos miembros y se tiene la siguiente ecuación. 𝐹(𝑥) + 𝑥 = 𝑥 Es decir 𝑔(𝑥) = 𝑥 Cuando Hipotéticamente se legue a ala solución, se cumple cuando en forma precisa, se cumple la ecuación anterior; sin embargo, no es posible encontrar dicha solución exacta; en realidad, se encuentra una solución aproximada es decir se asume un valor inicial 𝑥0 que permite calcular un 𝑥1 mediante la ecuación 𝐺(𝑥) = 𝑥
𝑥1 = 𝑔𝑥0 La ecuación se puede generalizar como. 𝑥𝑘+1 = 𝑔𝑥𝑘
→ 𝑘 = 0,1,2,3 … . , 𝑛
Para ambos casos tenemos que ver las siguientes condiciones evaluadas con el valor inicial asumido en la derivada de la función. |𝑔´(𝑥) | < 1 Converge |𝑔´(𝑥) | > 1 Diverge
--------------------------Primer tipo de Solución ------------------------Ecuaciones para determinar el Diámetro para el caudal de 8.5 lt/seg. La aplicación es más directo, para determinar el diámetro óptimo.
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
35
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________
Linea Estática
Reservorio
Linea de Gradiente Hidráulica
Hf
D=??? Presión (m H2O )
Ecuación científica de Colebrook – White. 1 √𝑓
= −2 ∗ 𝑙𝑜𝑔 (
𝑘 2.51 8 ∗ 𝐿 ∗ 𝑓 ∗ 𝑄2 + ) ; 𝐻𝑓 = 3.71𝐷 𝑅𝑒√𝑓 𝑔 ∗ 𝜋 2 ∗ 𝐷5 −2
1
𝑓=
2
→ 𝑓 = (−2 ∗ 𝑙𝑜𝑔 (
𝑘 2.51 (−2 ∗ 𝑙𝑜𝑔 (3.71 ∗ 𝐷 + )) 𝑅𝑒√𝑓
𝑘 2.51 + )) 3.71 ∗ 𝐷 𝑅𝑒√𝑓
Ks:=Rugosidad Absoluta Ks/D:= Rugosidad relativa Re:= Numero de Reynolds 𝑅𝑒 =
4∗𝑄 𝑉𝑖𝑠 ∗ 𝜋 ∗ 𝐷
Haciendo un cambio de variable. 𝑔 ∗ 𝜋2 𝐾= 8 ∗ 𝐿 ∗ 𝑄2 𝐻𝑓 =
𝑓 𝐾 ∗ 𝐷5
𝑓 = 𝐻𝑓 ∗ 𝐾 ∗ 𝐷5 VISCOSIDAD:(EN FUNCIÓN DE TEMPERATURA) 𝑉 𝑖𝑠 = (1.14 − 0.031 ∗ (𝑇𝑒𝑚𝑝 − 15) + 0.00068 ∗ (𝑇𝑒𝑚𝑝 − 15)2 ) ∗ (10−6 ) Ecuación para el proceso iterativo directo aplicando el método del punto fijo.
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
36
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ −
𝐷=(
𝑘 2.51 −2 ∗ 𝑙𝑜𝑔 3.71 ∗ 𝐷 + 𝑅𝑒√𝐻𝑓 ∗ 𝐾 ∗ 𝐷5 ( )
2 5
)
1/5
(𝐻𝑓 ∗ 𝐾)
−
𝐷𝑖+1 = (
𝑘 2.51 −2 ∗ 𝑙𝑜𝑔 3.71 ∗ 𝐷 + 𝑖 𝑅𝑒√𝐻𝑓 ∗ 𝐾 ∗ 𝐷𝑖 5 ( ) 1/5
)
2 5
; 𝑖 = 0,1,2,3 … , 𝑛
(𝐻𝑓 ∗ 𝐾)
DATOS GENERALES Q= 0.0085 [m3/seg] Dinicial = 0.1 [m] Hf = 5 [m] Temp = 20 T°C Log = 20 [m] Ks = 0.000001524 Vs = 0.00000114 K= 8372.09 Con valores calculados se realiza la iteración para determinar el diámetro.
N° 1 2 3 4 5 6 7 8
UNH
Di= 0.1 0.05011 0.05229 0.05215 0.05215 0.05215 0.05215 0.05215
Re= 94934.53 189441.42 181556.10 182058.14 182025.60 182027.71 182027.57 182027.58 D(final)= D(final)=
D(i+1)= 0.0501129 0.0522894 0.0521452 0.0521545 0.0521539 0.0521539 0.0521539 0.0521539 0.0521539 5.215
Error= 4.99E-02 2.18E-03 1.44E-04 9.32E-06 6.03E-07 3.91E-08 2.53E-09 1.64E-10 [m] [cm]
MÉTODOS NUMÉRICOS
37
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ TUBERIAS PVC RIGIDO PARA FLUIDOS A PRESION Referencia:(Normas técnicas peruanas ITENTIC No. 399- 002) TUBO *5 mts
PRESION NOMINAL Kg/cm2 (lbs/plg2)
DIAMETRO
DIAMETRO
NOMINAL
EXTERIOR
C-5 DIAMETRO
C-7.5
ESPESOR
INTERIOR
(plg)
(mm)
1/2 3/4 1 1 1/4 1 1/2 2 2 1/2 3 4 6 8 10 12
21 26.5 33 42 48 60 73 88.5 114 168 219 273 323
DIAMETRO
C-10
ESPESOR
INTERIOR
(mm)
(mm)
56.4 69.4 84.1 108.4 159.8 208.4 259.6 307.2
1.8 1.8 2.2 2.8 4.1 5.3 6.7 7.9
(mm)
38.4 44.4 55.6 67.8 82.1 105.8 155.8 203.2 253.2 299.6
DIAMETRO
C-15
ESPESOR
INTERIOR
DIAMETRO
C-15 ROSCA
ESPESOR
INTERIOR
DIAMETRO
ESPESOR
INTERIOR
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
1.8 1.8 2.2 2.6 3.2 4.1 6.1 7.9 9.9 11.7
17.4 22.9 29.4 38 43.4 54.2 66 80.1 103.2 152 198.2 247 292.2
1.8 1.8 1.8 2 2.3 2.9 3.5 4.2 5.4 8 10.4 13 15.4
17.4 22.9 28.4 36.2 41.4 51.6 62.8 76.1 98 144.6 188.4 235 278
1.8 1.8 2.3 2.9 3.3 4.2 5.1 6.2 8 11.7 15.3 19 22.5
15.8 20.1 25.8 34 39.4 48.6
2.6 3.2 3.6 4 4.3 5.7
La tubería 2” será de tipo C-10 para la línea de aducción.
-------------------------Segundo tipo de Solución -----------------------El método del punto fijo se aplicara para determinar el coeficiente de fricción (𝑓) de Darcy, dando la siguiente forma a la ecuación científica de Colebrook – White.
1
𝑘 2.51 = −2 ∗ 𝑙𝑜𝑔 ( + ); 3.71𝐷 𝑅𝑒√𝑓 √𝑓 Despejando 𝑘
𝑓 = [−2 ∗ 𝑙𝑜𝑔 (3.71𝐷 +
2.51 𝑅𝑒√𝑓
−2
)] −2
𝐹(𝑓)
𝑘 2.51 = [−2 ∗ 𝑙𝑜𝑔 ( + )] 3.71𝐷 𝑅𝑒√𝑓
−𝑓 =0
−2
𝑘 2.51 𝐹(𝑓) + 𝑓 = [−2 ∗ 𝑙𝑜𝑔 ( + )] 3.71𝐷 𝑅𝑒√𝑓
−𝑓+𝑓 =0 −2
𝑔(𝑓)
𝑘 2.51 = [−2 ∗ 𝑙𝑜𝑔 ( + )] 3.71𝐷 𝑅𝑒√𝑓
Haciendo un cambio de variable.
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
38
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ 𝑔(𝑓) = [−2 ∗ 𝑙𝑜𝑔 (𝑎 +
2.51 𝑅𝑒√𝑓
−2
)]
; 𝑎=
−2
𝑏
𝑔(𝑓) = [−2 ∗ 𝑙𝑜𝑔 (𝑎 +
𝑘 2.51 ;𝑏= 3.71𝐷 𝑅𝑒
√𝑓
)]
(𝑓 ∗ 𝑏)
𝑔´(𝑓) =
3
√𝑓 ∗ 𝑏 + 𝑎 ∗ 𝑓 4 ∗ 𝑓 2 ∗ 𝑙𝑛 [ ] ∗ (𝑏 + √𝑓 ∗ 𝑎) 𝑓 𝑎=
𝑘 2.51 = 0.000004108; 𝑏 = = 0.0000026439 3.71𝐷 𝑅𝑒
Evaluamos en 𝑔´(𝑓) para los valores asumiendo el Diámetro Inicial 𝐷 = 0.1𝑚 y para 𝑓 = 0.001 el valor de fricción inicial tomamos para calcular la fricción aproximada por lo tanto se asume. 𝑔´(𝑓) =
(0.001 ∗ 2.64 ∗ 10−6 ) 3
√0.001 ∗ 2.64 ∗ 10−6 + 4.11 ∗ 10−6 ∗ 0.001 4 ∗ 0.0012 ∗ 𝑙𝑛 ( ) ∗ (2.64 ∗ 10−6 + √0.001 ∗ 4.11 ∗ 10−6 ) 0.001
𝑔´(𝑓) = −0.292328565936 → |𝑔´(𝑓) | = 0.292328565936 < 1 ∴ 𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
------------------------------------------------Primera iteración. ----------------------------------Iteramos para valor inicial de 𝑓0 = 0.001 y 𝐷0 = 0.1 𝑚 Caudal (m3/seg)= 0.0085 Rug. (Ks)= 0.000001524 Vis. Cinemática= 0.00000114
Velocidad = Re = Diámetro = a= b=
𝑓𝑘+1 = [−2 ∗ 𝑙𝑜𝑔 (𝑎 +
UNH
𝑏 √𝑓𝑘
1.082253613 94934.52746 0.1 0.000004108 0.000026439
[m/seg] [m]
−2
)]
N° Iter. 1 2 3 4 5 6 7
fk 0.001 0.0264286 0.01751566 0.01835441 0.01825584 0.01826714 0.01826584
fk+1 0.02642860 0.01751566 0.01835441 0.01825584 0.01826714 0.01826584 0.01826599
Error 0.0254286 0.0089129 0.0008387 9.857E-05 1.13E-05 1.3E-06 1.495E-07
8
0.01826599
0.01826598
1.719E-08
MÉTODOS NUMÉRICOS
39
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ Para calcular el diámetro usamos la ecuacion de Darcy y reemplazando los valores de 𝑓 = 0.01826598 ; 𝐻𝑓 = 5 [𝑚𝐻20] , 𝑔 = 9.81 [𝑚2 /𝑠𝑒𝑔] 5 8 ∗ 𝑓 ∗ 𝐿 ∗ 𝑄2 𝐷1 = √( 2 ) 𝜋 ∗ 𝑔 ∗ 𝐻𝑓
5 8 ∗ 0.01207461 ∗ 20 ∗ 0.0852 𝐷1 = √( ) 𝜋 2 ∗ 9.81 ∗ 5
𝐷1 = 0.053448115 ≅ 0.0534 [𝑚] ------------------------------------------------Segunda iteración. ----------------------------------Caudal (m3/seg) = 0.0085 Rug. (Ks) = 0.000001524 Vis. Cinemática = 0.00000114
Velocidad = Re = Diámetro = a= b=
𝑓𝑘+1 = [−2 ∗ 𝑙𝑜𝑔 (𝑎 +
𝑏 √𝑓𝑘
3.788473558 177619.9736 0.053448115 0.000007686 0.000014131
[m/seg] [m]
−2
)]
N° Iter. 1 2 3 4 5 6 7
fk 0.001 0.02237793 0.01569745 0.0162767 0.01621572 0.01622202 0.01622137
fk+1 0.02237793 0.01569745 0.01627670 0.01621572 0.01622202 0.01622137 0.01622143
Error 0.0213779 0.0066805 0.0005792 6.098E-05 6.298E-06 6.517E-07 6.742E-08
8
0.01622143
0.01622143
6.976E-09
𝐷2 = 0.052194126 ≅ 0.0522 [𝑚] ------------------------------------------------Tercera iteración. ----------------------------------Caudal (m3/seg) = 0.0085 Rug. (Ks) = 0.000001524 Vis. Cinemática = 0.00000114
N° Iter. 1 2 3 4
UNH
fk 0.001 0.02224524 0.01563835 0.0162088
Velocidad= Re= Diámetro = a= b= fk+1 0.02224524 0.01563835 0.01620880 0.01614905
3.972700133 [m/seg] 181887.3784 0.052194126 [m] 0.000007870 0.000013800
Error 0.0212452 0.0066069 0.0005705 5.974E-05
MÉTODOS NUMÉRICOS
40
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ 5 6 7
0.01614905 0.01615519 0.01615456
0.01615519 0.01615456 0.01615463
6.139E-06 6.32E-07 6.506E-08
8
0.01615463
0.01615462
6.697E-09
𝐷3 = 0.052151063 ≅ 0.0522 [𝑚] ------------------------------------------------Cuarta iteración. ----------------------------------Caudal (m3/seg)= 0.0085 Rug. (Ks)= 0.000001524 Vis. Cinemática= 0.00000114
Velocidad= Re= Diámetro= a= b=
3.979263713 [m/seg] 182037.5709 0.052151063 [m] 0.000007877 0.000013788
N° Iter.
fk
fk+1
Error
1 2 3 4 5 6 7 8
0.001 0.02224065 0.01563631 0.01620645 0.01614675 0.01615288 0.01615225 0.01615232
0.02224065 0.01563631 0.01620645 0.01614675 0.01615288 0.01615225 0.01615232 0.01615231
0.0212407 0.0066043 0.0005701 5.97E-05 6.133E-06 6.313E-07 6.497E-08 6.687E-09
𝐷4 = 0.052149572 ≅ 0.0521 [𝑚] ------------------------------------------------Cuarta iteración. ----------------------------------Qaudal (m3/seg)= 0.0085 Rug (Ks)= 0.000001524 Vis. Cinematica= 0.00000114
Velocidad= Re= Diametro = a= b=
3.979491144 [m/seg] 182042.7729 0.052149572 [m] 0.000007877 0.000013788
N° Iter.
fk
fk+1
Error
1 2 3 4 5 6 7 8
0.001 0.02224049 0.01563623 0.01620637 0.01614667 0.0161528 0.01615217 0.01615224
0.02224049 0.01563623 0.01620637 0.01614667 0.01615280 0.01615217 0.01615224 0.01615223
0.0212405 0.0066043 0.0005701 5.97E-05 6.133E-06 6.313E-07 6.497E-08 6.687E-09
𝐷5 = 0.052149521 ≅ 0.0521 [𝑚] UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
41
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ Error ABS (𝐷5 − 𝐷4 ) = 5.15854𝐸 − 08 Por lo tanto el diámetro óptimo será D = 0.0521 m = 5.21 [cm] TUBERIAS PVC RIGIDO PARA FLUIDOS A PRESION Referencia:(Normas técnicas peruanas ITENTIC No. 399- 002) TUBO *5 mts DIAMETRO
DIAMETRO
NOMINAL
EXTERIOR
PRESION NOMINAL Kg/cm2 (lbs/plg2) C-5 DIAMETRO
C-7.5
ESPESOR
INTERIOR
(plg)
(mm)
1/2 3/4 1 1 1/4 1 1/2 2 2 1/2 3 4 6 8 10 12
21 26.5 33 42 48 60 73 88.5 114 168 219 273 323
DIAMETRO
C-10
ESPESOR
INTERIOR
(mm)
(mm)
56.4 69.4 84.1 108.4 159.8 208.4 259.6 307.2
1.8 1.8 2.2 2.8 4.1 5.3 6.7 7.9
(mm)
38.4 44.4 55.6 67.8 82.1 105.8 155.8 203.2 253.2 299.6
DIAMETRO
C-15
ESPESOR
DIAMETRO
INTERIOR
C-15 ROSCA
ESPESOR
INTERIOR
DIAMETRO
ESPESOR
INTERIOR
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
1.8 1.8 2.2 2.6 3.2 4.1 6.1 7.9 9.9 11.7
17.4 22.9 29.4 38 43.4 54.2 66 80.1 103.2 152 198.2 247 292.2
1.8 1.8 1.8 2 2.3 2.9 3.5 4.2 5.4 8 10.4 13 15.4
17.4 22.9 28.4 36.2 41.4 51.6 62.8 76.1 98 144.6 188.4 235 278
1.8 1.8 2.3 2.9 3.3 4.2 5.1 6.2 8 11.7 15.3 19 22.5
15.8 20.1 25.8 34 39.4 48.6
2.6 3.2 3.6 4 4.3 5.7
La tubería 2” será de tipo C-10 para la línea de aducción.
-------------------------Tercer tipo de Solución -----------------------𝑭(𝒇) =
𝟏
𝒌 𝟐. 𝟓𝟏 + 𝟐𝒍𝒐𝒈 ( + )=𝟎 𝟑. 𝟕𝟏𝑫 𝑹𝒆√𝒇 √𝒇
Haciendo un cambio de variable. 𝒙=
𝟏 √𝒇
; 𝒂=
𝒌 𝟐. 𝟓𝟏 𝑽∗𝑫 ; 𝒃= ; 𝑹𝒆 = 𝟑. 𝟕𝟏 ∗ 𝑫 𝑹𝒆 𝝂
𝑭(𝒙) = −𝒙 − 𝟐 ∗ 𝒍𝒐𝒈(𝒂 + 𝒃𝒙) = 𝟎 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒍𝒊𝒂𝒛𝒂𝒅𝒂 Derivada de la función.
𝑭(𝒙) + 𝒙 = −𝒙 + 𝒙 − 𝟐 ∗ 𝒍𝒐𝒈(𝒂 + 𝒃𝒙) 𝒈(𝒙) = −𝟐 ∗ 𝒍𝒐𝒈(𝒂 + 𝒃𝒙) 𝒈´(𝒙) = −
UNH
𝟐∗𝒃 𝒍𝒏𝟏𝟎∗ (𝒂 + 𝒃 ∗ 𝒙)
MÉTODOS NUMÉRICOS
42
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ Reemplazando los valores asumidos de D=0.1 [m] y xo=3 comprobamos si es convergente o divergente. −(𝑥 ∗ 𝑏) 𝑙𝑛(10) ∗ (𝑏 ∗ 𝑥 + 𝑎)
𝑔´(𝑓) =
𝑔´(𝑓) = −0.364821064 → |𝑔´(𝑓) | = 0.364821064 < 1 ∴ 𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
Si la ecuación linealizada converge entonces se hará el siguiente procedimiento iterativo.
𝒙𝟏 = −𝟐 ∗ 𝒍𝒐𝒈(𝒂 + 𝒃𝒙𝒐 ) 𝒙𝟐 = −𝟐 ∗ 𝒍𝒐𝒈(𝒂 + 𝒃𝒙𝟏 ) 𝒙𝟑 = −𝟐 ∗ 𝒍𝒐𝒈(𝒂 + 𝒃𝒙𝟐 ) ; 𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 ⋮ ⋮ ⋮ [𝒙𝒌+𝟏 = −𝟐 ∗ 𝒍𝒐𝒈(𝒂 + 𝒃𝒙𝒌 )] El proceso de la g(x), será ahora determinar el coeficiente de fricción y reemplazar en la ecuación de Darcy Hf.
----------------------------Primera Iteración -------------------------Qaudal (m3/seg)= 0.0085 Rug (Ks)= 0.000001524 Vis. Cinematica=
Velocidad= 1.082253613 [m/seg] # Re= 94934.52746
0.00000114
Diametro (m)= 0.1 a= 0.000004108 b= 0.000026439
𝒙𝒌+𝟏 = −𝟐 ∗ 𝒍𝒐𝒈(𝒂 + 𝒃𝒙𝒌 );
UNH
𝒇=
[m]
𝟏 (𝒙𝒌+𝟏 )𝟐
N° Iter.
xo
x1
Error
fricción
1
3
8.15740091
5.15740091
0.015027834
2
8.157400914
7.31600953
0.84139138
0.018683209
3
7.316009529
7.40869958
0.09269005
0.018218643
4
7.408699581
7.39799014
0.01070944
0.018271429
5
7.397990144
7.39922079
0.00123065
0.018265351
6
7.39922079
7.39907929
0.00014151
0.01826605
7
7.399079285
7.39909555
1.627E-05
0.018265969
8
7.399095555
7.39909368
1.8706E-06
0.018265979
MÉTODOS NUMÉRICOS
43
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ 𝟖 ∗ 𝒇 ∗ 𝑳 ∗ 𝑸𝟐 𝑫 = √( 𝟐 ) 𝝅 ∗ 𝒈 ∗ 𝑯𝒇 𝟓
𝑫𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟑𝟒𝟒𝟖𝟏𝟏𝟔𝟒 ≅ 𝟓. 𝟑𝟒 [𝒄𝒎]
----------------------------Segunda Iteración ------------------------Qaudal (m3/seg)=
0.0085
Velocidad= 3.788473332 [m/seg]
Rug (Ks)= 0.000001524 Vis. Cinematica= 0.00000114
# Re= 177619.9683 Diametro (m)= 0.053448116
D1 (m)= 0.0534481164
a= 0.000007686 b= 0.000014131
𝒙𝒌+𝟏 = −𝟐 ∗ 𝒍𝒐𝒈(𝒂 + 𝒃𝒙𝒌 );
𝒇=
[m]
𝟏 (𝒙𝒌+𝟏 )𝟐
N° Iter.
xo
x1
Error
fricción
1
3
8.60068007
5.60068007
0.013518684
2
8.600680073
7.77731126
0.82336882
0.016532595
3
7.777311256
7.85926596
0.0819547
0.016189597
4
7.859265958
7.85075314
0.00851281
0.016224725
5
7.850753144
7.85163352
0.00088037
0.016221087
6
7.851633515
7.85154243
9.1087E-05
0.016221464
7
7.851542428
7.85155185
9.4238E-06
0.016221425
8
7.851551852
7.85155088
9.7499E-07
0.016221429
𝑫𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟐𝟏𝟗𝟒𝟏𝟐𝟔𝟕 ≅ 𝟓. 𝟐𝟐 [𝒄𝒎]
----------------------------Tercera Iteración ------------------------Qaudal (m3/seg)= 0.0085 Rug (Ks)= 0.000001524
Velocidad= 3.972700023 [m/seg] # Re= 181887.3759
Vis. Cinematica= 0.00000114 Diametro (m)= 0.0521941267
Diametro (m)= 0.052194127 a= 0.000007870
[m]
b= 0.000013800
𝒙𝒌+𝟏 = −𝟐 ∗ 𝒍𝒐𝒈(𝒂 + 𝒃𝒙𝒌 );
UNH
𝒇=
𝟏 (𝒙𝒌+𝟏 )𝟐
N° Iter.
xo
x1
Error
fricción
1
3
8.61484350
5.6148435
0.013474269
2
8.614843496
7.79408393
0.82075956
0.016461517
MÉTODOS NUMÉRICOS
44
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ 3
7.794083932
7.87538772
0.08130379
0.016123381
4
7.875387724
7.86698562
0.0084021
0.016157839
5
7.866985622
7.86785016
0.00086453
0.016154289
6
7.867850157
7.86776116
8.8996E-05
0.016154654
7
7.867761161
7.86777032
9.1609E-06
0.016154617
8
7.867770322
7.86776938
9.4299E-07
0.01615462
𝑫𝟑 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟐𝟏𝟓𝟏𝟎𝟔𝟑𝟐 ≅ 𝟓. 𝟐𝟐 [𝒄𝒎]
----------------------------Cuarta Iteración ------------------------Qaudal (m3/seg)= 0.0085 Rug (Ks)= 0.000001524 Vis. Cinematica= 0.00000114 Diametro (m)= 0.0521510632
Velocidad= # Re= Diametro (m)= a= b=
3.979263613 [m/seg] 182037.5686 0.052151063 [m] 0.000007877 0.000013788
𝒙𝒌+𝟏 = −𝟐 ∗ 𝒍𝒐𝒈(𝒂 + 𝒃𝒙𝒌 );
𝒇=
𝟏 (𝒙𝒌+𝟏 )𝟐
N° Iter.
xo
x1
Error
fricción
1
3
8.61533123
5.61533123
0.013472744
2
8.615331229
7.79466565
0.82066558
0.01645906
3
7.794665653
7.87594642
0.08128077
0.016121093
4
7.875946419
7.86754821
0.00839821
0.016155529
5
7.867548209
7.86841219
0.00086398
0.016151981
6
7.868412189
7.86832327
8.8923E-05
0.016152346
7
7.868323266
7.86833242
9.1518E-06
0.016152309
8
7.868332418
7.86833148
9.4189E-07
0.016152312
𝑫𝟒 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟐𝟏𝟒𝟗𝟓𝟕𝟑𝟎 ≅ 𝟓. 𝟐𝟏 [𝒄𝒎]
----------------------------Quinta Iteración ------------------------Qaudal (m3/seg)=
0.0085
Velocidad= 3.979491043 [m/seg]
Rug (Ks)= 0.000001524 Vis. Cinematica= 0.00000114
# Re= 182042.7706 Diametro (m)= 0.052149573
Diametro (m)= 0.0521495730
a= 0.000007877 b= 0.000013788
𝒙𝒌+𝟏 = −𝟐 ∗ 𝒍𝒐𝒈(𝒂 + 𝒃𝒙𝒌 ); UNH
𝒇=
[m]
𝟏 (𝒙𝒌+𝟏 )𝟐
MÉTODOS NUMÉRICOS
45
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ N° Iter.
xo
x1
Error
fricción
1
3
8.61534811
5.61534811
0.013472691
2
8.615348109
7.79468579
0.82066232
0.016458975
3
7.794685791
7.87596576
0.08127997
0.016121014
4
7.87596576
7.86756768
0.00839808
0.016155449
5
7.867567684
7.86843165
0.00086396
0.016151901
6
7.868431645
7.86834272
8.8921E-05
0.016152266
7
7.868342724
7.86835188
9.1515E-06
0.016152229
8
7.868351876
7.86835093
9.4185E-07
0.016152232
𝑫𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟐𝟏𝟒𝟗𝟓𝟐𝟏𝟒 ≅ 𝟓. 𝟐𝟏 [𝒄𝒎] Error ABS (𝑫𝟓 − 𝑫𝟒 ) = 𝟓. 𝟏𝟓𝟖𝟓𝟔𝑬 − 𝟎𝟖 El error es mínimo 𝑫𝒐𝒑𝒕𝒊𝒎𝒐 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟐𝟏𝟒𝟗𝟓𝟐𝟏𝟒 ≅ 𝟓. 𝟐𝟏 [𝒄𝒎] TUBERIAS PVC RIGIDO PARA FLUIDOS A PRESION Referencia:(Normas técnicas peruanas ITENTIC No. 399- 002) TUBO *5 mts DIAMETRO
DIAMETRO
NOMINAL
EXTERIOR
PRESION NOMINAL Kg/cm2 (lbs/plg2) C-5 DIAMETRO
C-7.5
ESPESOR
INTERIOR
(plg)
(mm)
1/2 3/4 1 1 1/4 1 1/2 2 2 1/2 3 4 6 8 10 12
21 26.5 33 42 48 60 73 88.5 114 168 219 273 323
(mm)
56.4 69.4 84.1 108.4 159.8 208.4 259.6 307.2
DIAMETRO
C-10
ESPESOR
INTERIOR
(mm)
1.8 1.8 2.2 2.8 4.1 5.3 6.7 7.9
(mm)
38.4 44.4 55.6 67.8 82.1 105.8 155.8 203.2 253.2 299.6
DIAMETRO
C-15
ESPESOR
INTERIOR
DIAMETRO
C-15 ROSCA
ESPESOR
INTERIOR
DIAMETRO
ESPESOR
INTERIOR
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
1.8 1.8 2.2 2.6 3.2 4.1 6.1 7.9 9.9 11.7
17.4 22.9 29.4 38 43.4 54.2 66 80.1 103.2 152 198.2 247 292.2
1.8 1.8 1.8 2 2.3 2.9 3.5 4.2 5.4 8 10.4 13 15.4
17.4 22.9 28.4 36.2 41.4 51.6 62.8 76.1 98 144.6 188.4 235 278
1.8 1.8 2.3 2.9 3.3 4.2 5.1 6.2 8 11.7 15.3 19 22.5
15.8 20.1 25.8 34 39.4 48.6
2.6 3.2 3.6 4 4.3 5.7
La tubería 2” será de tipo C-10 para la línea de aducción.
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
46
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ Problema N° 09
Usando polinomio por mínimos cuadrados, determinaremos los coeficientes del polinomio. N Σx^1 Σx^2 Σx^3 Σx^4
Σx^1 Σx^2 Σx^3 Σx^4 Σx^4
Σx^2 Σx^3 Σx^4 Σx^5 Σx^6
Σx^3 Σx^4 Σx^5 Σx^6 Σx^7
Σx^4 Σx^5 Σx^6 Σx^7 Σx^8
ao a1 a2 a3 a4
=
ΣY Σx^1*Y Σx^2*Y Σx^3*Y Σx^4*Y
𝒚 = 𝒂𝒐 + 𝒂𝟏 ∗ 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐 ∗ 𝒙𝟐 + 𝒂𝟑 ∗ 𝒙𝟑 + 𝒂𝟒 ∗ 𝒙𝟒 Primero completamos los datos faltantes para cada estación pluviométricos E1. Primero anulamos el dato de 1977, y con los datos restantes ajustamos a un polinomio de 4° y es la mejor que ajusta para completar los datos faltantes. 𝑦 = 1.8150 ∗ 10−7 ∗ 𝑥 4 − 6.9374 ∗ 10−4 ∗ 𝑥 3 + 1.3645 ∗ 𝑥 2 − 2858.01461 ∗ 𝑥 + 2903958.39
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
47
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ 𝑹𝟐 = 𝟎. 𝟕𝟏𝟑𝟓 Segundo completamos los datos faltantes para cada estación pluviométricos E2. Primero anulamos el dato de 1981, y con los datos restantes ajustamos a un polinomio de 4° y es la mejor que ajusta para completar los datos faltantes. 𝑦 = 1.8150 ∗ 10−7 ∗ 19774 − 6.9374 ∗ 10−4 ∗ 19773 + 1.3645 ∗ 19772 − 2858.01461 ∗ 1977 + 2903958.39 𝐸11977 = 298.2555 (𝑚𝑚) 𝑦 = −1.53882942302ᴇ − 7 ∗ 𝑋 4 + 6.67721834039ᴇ − 4 ∗ 𝑋 3 − 0.982994283883 ∗ 𝑋 2 + 814.079194467 ∗ 𝑋 − 575985.297668 𝑹𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟖 𝑦 = 1.8150 ∗ 10−7 ∗ 19814 − 6.9374 ∗ 10−4 ∗ 19813 + 1.3645 ∗ 19812 − 2858.01461 ∗ 1981 + 2903958.39 𝐸11977 = 165.8895 (𝑚𝑚) Años 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985
E1 E2 145.3 138.3 394.1 226.8 312 98.7 262.2 113.3 201.1 193.6 281.8 132.1 246.5 202.4 298.2555 148.8 321.7 151.6 334.7 231.7 392.3 229.1 351.8 165.8895 406.8 125.5 481.2 114 469.1 162.2 516.8 140.5
Los datos de la estación E1 son los datos que mejor ajustan a la curva de 4°. 𝑦 = 1.8150 ∗ 10−7 ∗ 𝑥 4 − 6.9374 ∗ 10−4 ∗ 𝑥 3 + 1.3645 ∗ 𝑥 2 − 2858.01461 ∗ 𝑥 + 2903958.39 𝑹𝟐 = 𝟎. 𝟕𝟏𝟑𝟓
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
48
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ Problema N° 10
REGRESIÓN LINEAL
Ecuación Lineal n: cantidad de valores de “x” o “y” 𝑌 =𝐴+𝐵∗𝑋 𝑎1 =
𝑛 ∑ 𝑋 ∗ 𝑌 − (∑ 𝑋)(∑ 𝑌) 𝑛 ∑ 𝑋 2 − (∑ 𝑋)2 𝑎𝑜 = 𝑌̅ − 𝑎1 ∗ 𝑋̅
𝒀 = 𝟐𝟏. 𝟗𝟔𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟑 ∗ 𝑿 − 𝟒𝟑𝟔𝟓𝟏. 𝟒𝟔𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕 𝑹𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟕𝟏𝟓
AÑO 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
REGRESION LINEAL Población Población Población (Actual) AÑO (Futura) AÑO (Futura.) 552 2019 694.429 2026 848.179 561 2020 716.393 2027 870.143 580 2021 738.357 2028 892.107 596 2022 760.321 2029 914.071 624 2023 782.286 2030 936.036 650 2024 804.250 2031 958.000 683 2025 826.214 2032 979.964
AÑO 2033 2034 2035 2036 2037 2038
Población (Futura) 1001.929 1023.893 1045.857 1067.821 1089.786 1111.750
La población calcula en números enteros
AÑO 2012 2013 2014 2015 2016 2017
UNH
Población (Actual) 552 561 580 596 624 650
AÑO 2019 2020 2021 2022 2023 2024
REGRESION LINEAL Población Población (Futura) AÑO (Futura.) 694 2026 848 716 2027 870 738 2028 892 760 2029 914 782 2030 936 804 2031 958
AÑO 2033 2034 2035 2036 2037 2038
Población (Futura) 1002 1024 1046 1068 1090 1112
MÉTODOS NUMÉRICOS
49
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ 2018
683
2025
826
2032
980
REGRESIÓN LOGARÍTMICA 𝑌 = 𝐴 + 𝐵 ∗ 𝐿𝑁(𝑋) Linializando 𝑌 = 𝐴 + 𝐵 ∗ 𝑋´ 𝑎1 =
𝑛 ∑ 𝑋´ ∗ 𝑌 − (∑ 𝑋´)(∑ 𝑌) 𝑛 ∑ 𝑋´2 − (∑ 𝑋 ´)2 ̅ 𝑎𝑜 = 𝑌̅ − 𝑎1 ∗ 𝑋´
𝒀 = 𝟒𝟒𝟐𝟓𝟒. 𝟖𝟎𝟓𝟔𝟎𝟓𝟖 ∗ 𝑳𝑵(𝑿) − 𝟑𝟑𝟔𝟏𝟎𝟎. 𝟓𝟒𝟎𝟏𝟏𝟐 𝑹𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟕𝟏𝟒 CALCULO DE LA POBLACIÓN FUTURO
Población AÑO (Actual) 2012 552 2013 561 2014 580 2015 596 2016 624 2017 650 2018 683
REGRESION LOGAÍTMICA Población Población AÑO (Futura) AÑO (Futura.) 2019 694.357 2026 847.526 2020 716.271 2027 869.364 2021 738.174 2028 891.191 2022 760.066 2029 913.008 2023 781.947 2030 934.813 2024 803.817 2031 956.608 2025 825.677 2032 978.393
AÑO 2033 2034 2035 2036 2037 2038
Población (Futura) 1000.166 1021.929 1043.681 1065.423 1087.154 1108.874
La población calcula en números enteros
AÑO 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
Población (Actual) 552 561 580 596 624 650 683
REGRESION LOGAÍTMICA Población Población AÑO (Futura) AÑO (Futura.) 2019 694 2026 848 2020 716 2027 869 2021 738 2028 891 2022 760 2029 913 2023 782 2030 935 2024 804 2031 957 2025 826 2032 978
AÑO 2033 2034 2035 2036 2037 2038
Población (Futura) 1000 1022 1044 1065 1087 1109
REGRESIÓN POTENCIAL 𝑌 = 𝐴𝑥 𝐵 ;
𝐿𝑁(𝑌) = 𝐿𝑁(𝐴𝑥 𝐵 ) ; 𝐿𝑁(𝑌) = 𝐿𝑁(𝐴) + 𝐵 ∗ 𝐿𝑁(𝑋) 𝑌´ = 𝐿𝑁(𝑌); 𝑎𝑜 = 𝐿𝑁(𝐴); 𝑎1 = 𝐵; 𝑋´ = 𝐿𝑁(𝑋) 𝑌´ = 𝑎𝑜 + 𝑎1 ∗ 𝑋 Ecuación Linealizada
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
50
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ 𝑎1 =
𝑛 ∑ 𝑋´ ∗ 𝑌´ − (∑ 𝑋´)(∑ 𝑌´) ̅ − 𝑎1 ∗ 𝑋´ ̅ ; 𝑎𝑜 = 𝑌´ 𝑛 ∑ 𝑋´2 − (∑ 𝑋´)2 𝐴 = 𝑒 𝑎𝑜 , 𝐵 = 𝑎1 𝑌 = (𝑒 𝑎𝑜 )𝑋 (𝑎1)
𝒀 = 𝟐. 𝟗𝟒𝟑𝟗𝟖𝟗𝟔𝟏𝟎𝟏𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟑𝟕 ∗ 𝑿(𝟕𝟐.𝟒𝟐𝟓𝟐𝟎𝟕𝟕𝟔𝟖𝟔 ) 𝑹𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟕𝟗𝟕 Población futura para cada ano. REGRESION POTENCIAL Población Población AÑO (Actual) AÑO (Futura) AÑO
2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
552 561 580 596 624 650 683
2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025
698.427 723.929 750.349 777.720 806.074 835.448 865.876
Población (Futura.)
AÑO
2026 897.397 2033 2027 930.050 2034 2028 963.873 2035 2029 998.908 2036 2030 1035.199 2037 2031 1072.790 2038 2032 1111.726
Población (Futura)
1152.055 1193.826 1237.090 1281.900 1328.309 1376.374
La población calcula en números enteros REGRESION POTENCIAL Población AÑO (Actual)
AÑO
Población (Futura)
AÑO
Población (Futura.)
2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025
698 724 750 778 806 835 866
2026 2027 2028 2029 2030 2031 2032
897 930 964 999 1035 1073 1112
552 561 580 596 624 650 683
AÑO
Población (Futura)
2033 2034 2035 2036 2037 2038
1152 1194 1237 1282 1328 1376
REGRESIÓN EXPONENCIAL 𝑌 = 𝐴𝑒 𝐵∗𝑋 La ecuación se linealizará aplicando logaritmos. LN(Y) = LN(AeB∗X ) LN(Y) = LN(A) + B ∗ X ∗ LN(e) → LN(e) = 1 Y´ = LN(Y); ao = LN(A); a1 = B; X = X Y´ = ao + a1 ∗ X Ecuación linealizada a1 =
UNH
n ∑ X ∗ Y´ − (∑ X)(∑ Y´) n ∑ X 2 − (∑ X)2 MÉTODOS NUMÉRICOS
51
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ ̅ − a1 ∗ X ̅ ; A = eao , B = a1 a0 = Y´ 𝐘 = (𝐞𝐚𝐨 )𝐞(𝐚𝟏)∗𝐗 𝒀 = 𝟐. 𝟏𝟏𝟖𝟏𝟕𝟏𝟕𝟔𝟔𝟒𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟗 ∗ 𝒆𝟎.𝟎𝟑.𝟓𝟗𝟒𝟓𝟐𝟎𝟎𝟔𝟗𝟒𝟒∗𝑿 𝑹𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟕𝟗𝟗 REGRESION EXPONENCIAL AÑO
Población (Actual)
AÑO
Población (Futura)
AÑO
Población (Futura.)
2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
552 561 580 596 624 650 683
2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025
698.507 724.072 750.573 778.043 806.518 836.036 866.634
2026 2027 2028 2029 2030 2031 2032
898.352 931.231 965.313 1000.643 1037.265 1075.228 1114.581
AÑO
Población (Futura)
2033 2034 2035 2036 2037 2038
1155.373 1197.659 1241.492 1286.929 1334.030 1382.854
La población calcula en números enteros REGRESION EXPONENCIAL AÑO
Población (Actual)
AÑO
Población (Futura)
AÑO
Población (Futura.)
2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
552 561 580 596 624 650 683
2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025
699 724 751 778 807 836 867
2026 2027 2028 2029 2030 2031 2032
898 931 965 1001 1037 1075 1115
AÑO
Población (Futura)
2033 2034 2035 2036 2037 2038
1155 1198 1241 1287 1334 1383
Las regresiones que mejor ajustan a los datos
Regresión lineal 𝑌 = 21.9642857143 ∗ 𝑋 − 43651.4642857 𝑅 2 = 0.9715
Población Futura 𝑷𝒇(𝟐𝟎𝟑𝟖) = 𝟏𝟎𝟗𝟎 Regresión logarítmica 𝑌 = 44254.8056058 ∗ 𝐿𝑁(𝑋) − 336100.540112 𝑅 2 = 0.9714
Población Futura 𝑷𝒇(𝟐𝟎𝟑𝟖) = 𝟏𝟏𝟎𝟗 Regresión potencial 𝑌 = 2.94398961013 ∗ 10−237 ∗ 𝑋 (72.4252077686 )
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
52
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ 𝑅 2 = 0.9797
Población Futura 𝑷𝒇(𝟐𝟎𝟑𝟖) = 𝟏𝟑𝟕𝟔 Regresión exponencial 𝑌 = 2.11817176643 ∗ 10−29 ∗ 𝑒 0.03.59452006944∗𝑋 𝑅 2 = 0.9799
Población Futura 𝑷𝒇(𝟐𝟎𝟑𝟖) = 𝟏𝟑𝟖𝟑 La mejor que ajusta a los datos es la regresión exponencial y la regresión potencial.
Problema N° 11
Para la solución del problema ajustaremos a las regresiones de (Potencial, logarítmica, exponencial y exponente). REGRESIÓN LOGARÍTMICA Para los siguientes datos ajustaremos a la regresión logarítmica.
𝑌 = 𝐴 + 𝐵 ∗ 𝐿𝑁(𝑋) Linializando 𝑌 = 𝐴 + 𝐵 ∗ 𝑋´; 𝐿𝑁(𝑋) = 𝑋´ 𝑎1 =
𝑛 ∑ 𝑋´ ∗ 𝑌 − (∑ 𝑋´)(∑ 𝑌) 𝑛 ∑ 𝑋´2 − (∑ 𝑋 ´)2 ̅ 𝑎𝑜 = 𝑌̅ − 𝑎1 ∗ 𝑋´
Pr 2 5 10 25 50 100
UNH
Caudales(m3/seg) 222.37528 285.75955 336.07182 420.23558 469.68405 575.10295
MÉTODOS NUMÉRICOS
53
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ 𝑌 = 87.2640480817 ∗ 𝐿𝑁(𝑋) + 147.20442239 𝑅 2 = 0.9824
Para los periodos de retorno de 𝑃𝑟 = {150,200,250,500,750,100}, reemplazamos los valores en la ecuación logarítmica calculada. Pr. 2 5 10 25 50 100
Caudales(m3/seg) 222.37528 285.75955 336.07182 420.23558 469.68405 575.10295
Pr. 150 200 250 500 750 1000
Caudales(m3/seg) 584.45274 609.55704 629.02945 689.51628 724.89881 750.00311
REGRESIÓN EXPONENCIAL Para los siguientes datos ajustaremos a la regresión Exponencial.
𝑌 = 𝐴𝑒 𝐵∗𝑋 La ecuación se linealizará aplicando logaritmos. LN(Y) = LN(AeB∗X ) LN(Y) = LN(A) + B ∗ X ∗ LN(e) → LN(e) = 1 Y´ = LN(Y); ao = LN(A); a1 = B; X = X UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
54
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ Y´ = ao + a1 ∗ X Ecuación linealizada a1 =
n ∑ X ∗ Y´ − (∑ X)(∑ Y´) n ∑ X 2 − (∑ X)2
̅ − a1 ∗ ̅ a0 = Y´ X ; A = eao , B = a1 𝐘 = (𝐞𝐚𝐨 )𝐞(𝐚𝟏)∗𝐗 Pr 2 5 10 25 50 100
Caudales 222.37528 285.75955 336.07182 420.23558 469.68405 575.10295
𝑌 = 𝐴 ∗ 𝑒 𝐵∗𝑋 = 𝑌 = 282.615148408 ∗ 𝑒 0.00812369950665∗𝑋 𝑅 2 = 0.7790
Para los periodos de retorno de 𝑃𝑟 = {150,200,250,500,750,100}, reemplazamos los valores en la ecuación logarítmica calculada. Pr 2 5
UNH
Caudales(m3/seg) Pr. 222.375276 150 285.7595459 200
Caudales(m3/seg) 955.88824 1434.8649
MÉTODOS NUMÉRICOS
55
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________ 10 25 50 100
336.0718231 420.2355818 469.684045 575.102946
250 500 750 1000
2153.8473 16414.754 125099 953395.96
REGRESIÓN POTENCIAL Para los siguientes datos ajustaremos a la regresión Potencial.
𝑌 = 𝐴𝑥 𝐵 𝐿𝑁(𝑌) = 𝐿𝑁(𝐴𝑥 𝐵 ) ; 𝐿𝑁(𝑌) = 𝐿𝑁(𝐴) + 𝐵 ∗ 𝐿𝑁(𝑋) 𝑌´ = 𝐿𝑁(𝑌); 𝑎𝑜 = 𝐿𝑁(𝐴); 𝑎1 = 𝐵; 𝑋´ = 𝐿𝑁(𝑋) 𝑌´ = 𝑎𝑜 + 𝑎1 ∗ 𝑋 Ecuación Linealizada 𝑎1 =
𝑛 ∑ 𝑋´ ∗ 𝑌´ − (∑ 𝑋´)(∑ 𝑌´) ̅ − 𝑎1 ∗ 𝑋´ ̅ ; 𝑎𝑜 = 𝑌´ 𝑛 ∑ 𝑋´2 − (∑ 𝑋´)2 𝐴 = 𝑒 𝑎𝑜 , 𝐵 = 𝑎1 𝑌 = (𝑒 𝑎𝑜 )𝑋 (𝑎1) Pr 2 5 10 25 50 100
Caudales(m3/seg) 222.37528 285.75955 336.07182 420.23558 469.68405 575.10295
𝑌 = 𝐴 ∗ 𝑋 𝐵 = 𝑌 = 192.53150446 ∗ 𝑋 0.23637790827 𝑅 2 = 0.9962
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
56
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________
Para los periodos de retorno de 𝑃𝑟 = {150,200,250,500,750,100}, reemplazamos los valores en la ecuación logarítmica calculada. Pr 2 5 10 25 50 100
UNH
Caudales 222.37528 285.75955 336.07182 420.23558 469.68405 575.10295
Pr 150 200 250 500 750 1000
Caudales 629.33474 673.61921 710.10382 836.52455 920.66741 985.45212
MÉTODOS NUMÉRICOS
57
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________
REGRESIÓN EXPONENTE Para los siguientes datos ajustaremos a la regresión Exponente. Pr 2 5 10 25 50 100
Caudales 222.37528 285.75955 336.07182 420.23558 469.68405 575.10295
𝑌 = 𝐴 ∗ 𝐵 𝑋 = 𝑌 = 282.615148408 ∗ 1.00815678629 𝑋 𝑅 2 = 0.7790
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
58
INGENIERÍA CIVIL
SANDRO LANDEO A. __________________________________________________________________________
Para los periodos de retorno de 𝑃𝑟 = {150,200,250,500,750,100}, reemplazamos los valores en la ecuación logarítmica calculada. Pr 2 5 10 25 50 100
Caudales 222.37528 285.75955 336.07182 420.23558 469.68405 575.10295
Pr 150 200 250 500 750 1000
Caudales 955.88824 1434.8649 2153.8473 16414.754 125099 953395.96
Para el problema la regresión que mejor ajusta a los datos, para estimar los caudales máximos avenidas para la cuenca de rio Ichu para periodos de retorno según se presenta en el problema, es la regresión Potencial según el índice de correlación que se aproxima a 1.
UNH
MÉTODOS NUMÉRICOS
59
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