Problemas Resueltos de Magnetismo

EJERCICIOS RESUELTOS DE MAGNETISMO

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

1. Considere el alambre ABCDA que muestra la figura, por el cual circula una corriente de I[A] en la dirección indicada suponga que BC Y DA son arcos de circunferencia .subtendido por el ángulo α[rad], tales que OA =OD =R [m] y OB =OC =2R [m]. calcule la inducción magnética B que produce en el centro o.  Para las secciones de alambre DC y AB se logra apreciar que no existe inducción magnética con respecto al centro o debido a que este se encuentra en la misma dirección del eje del alambre  Campo magnético para los arcos de circunferencia. µ˳𝐼

B=4𝜋 ∫

│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│

µ˳𝐼

B=4𝜋 [∫ µ˳𝐼

𝑟2 │𝑑𝑠1│ 𝑅2

−∫

𝛼

1

│𝑑𝑠2│ 4𝑅 2 1

] 𝛼

B=4𝜋 [𝑅2 ∫0 𝑅𝑑ө − 4𝑅2 ∫0 2𝑅𝑑ө] µ˳𝐼

1

1

B=4𝜋 [𝛼(𝑅 − 2𝑅) ] µ˳𝐼𝛼 1

1

B= 4𝜋 [𝑅 (1 − 2) ] µ˳𝐼𝛼

B= 8𝜋

2. Por un largo conductor, cuya sección tiene la forma de un semianillo delgado de radio R[m], circula una corriente de intensidad I [A] entrando a la hoja. Por otro un largo conductor rectilíneo, ubicado sobre su eje, circular otra corriente de la misma intensidad, pero en sentido opuesto (ver en la figura). Calcule la magnitud y dirección de la fuerza por unidad de longitud entre ellos.

Se logra observar que en cada punto del semicírculo existe un componente en x de la fuerza que tiene una contraparte que lo anula, por tanto si calculamos la componente en “y” obtendremos la fuerza total por unidad de longitud sabiendo que el conductor

2

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

semicircular es siempre paralelo a el central dL ll B LA fuerza de una infinitesimal línea sobre el conductor semicírculo de longitud L es: df =I.ℓ.B.ds 𝑑𝑓 ℓ

∫ 𝑓

=I.B.ds

𝑑𝑓

=∫ ℓ µ˳𝐼 2

µ˳𝐼 2 𝑑𝑠 2𝜋𝑅 𝜋𝑅

= ∫ 𝑑𝑠 ℓ 2𝜋𝑅 0

𝑓 µ˳𝐼 2 = ℓ 2

3. La curva cerrada simétrica que muestra la figura, se construye a partir de 2 circunferencia concéntricas de radios R[m] y 2R[m],por ella se hace circular una corriente estacionaria de intensidad I [A], en el sentido que se señala. Encuentre la magnitud y dirección de la inducción magnética que produce en el centro o. Para solucionar este ejercicio bastará con interpretar correctamente la gráfica facilitada. Gracias a la misma, observamos que solo debemos hallar la contribución de los arcos de circunferencia de las circunferencias concéntricas ya que los segmentos de recta que los unen no tienen contribución en el centro o. µ˳𝐼

│B│=4𝜋 ∫

│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│

│B│=

𝑟2

𝛼 2𝑅𝑑ө │B│=4𝜋 [4 ∫0 (2𝑅)2 µ˳𝐼

µ˳𝐼4 𝜋

𝜋 4

µ˳𝐼 𝛼

𝜋

𝜋 2

𝑅𝑑ө

+ 4 ∫𝛼 (𝑅)2 ]

│B│=4𝜋𝑅 [ 2 ∫0 𝑑ө + ∫ 𝑑ө]

µ˳𝐼 𝜋

𝛼

𝜋

𝜋𝑅 2

2

4

[ − ]como

µ˳𝐼𝜋 4

1

│B│= 𝜋𝑅 [8 − 8] 3µ˳𝐼

│B│= 8𝑅

│B│=𝜋𝑅 [ 2 + 2 − 𝛼]

3

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

4. El conductor de la figura, formado por 2 partes rectilíneas paralelas semi- infinitas y una semicircular de radio R[m], transporta una corriente de intensidad I [A] en la dirección indicada encuentre la magnitud y dirección del campo magnético que produce en el centro o. µ˳𝐼

│B│=4 ∏ ∫ µ˳𝐼

│B│=4𝜋 [∫

│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│ 𝑟2

│𝑑𝑠3 𝑥µ𝑟│

│𝑑𝑠2 𝑥µ𝑟│

r12

r22

]-∫

│𝑑𝑠3 │

−∫

r32

Ahora como: 𝑅

r22 = 𝑥 2 + 𝑅 2

SI ө = arctan (𝑥 )

X=R cot ө

cuando x → 𝟎ө =

dx=−𝑅

𝜋 2 1

𝐶𝑆𝐶 2 ө𝑑ө cuando x → 𝟐𝑹ө = arctan (2)

Entonces r22 = 𝑅 2 (𝑐𝑜𝑡 2 ө + 1) = 𝑅 2 𝑐𝑠𝑐 2 ө𝑑ө Luego: µ˳𝐼

3𝜋

│B│=4𝜋 [∫02 µ˳𝐼

𝑑ө 𝑅

1

𝑎𝑟𝑐𝑡( ) 𝑅𝑠𝑒𝑛ө𝑐𝑠𝑐 2 ө𝑑ө 2

− 4 ∫𝜋

𝑅 2 𝑐𝑠𝑐 2 ө

2 1 2

𝑎𝑟𝑐𝑡( )

3𝜋

│B│=4𝜋𝑅 [ 2 + 𝐶𝑂𝑆ө│𝜋

]

]

2

µ˳𝐼

3𝜋

│B│=4𝜋𝑅 [ 2 +

2√5 5

]

5. Una corriente de intensidad I [A] circula por el conductor de la figura, formado por una parte rectilínea de longitud 2 R[m], ¾ de la circunferencia de R[m] y por otra parte

4

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

rectilínea semi infinita. Calcule la magnitud y dirección de la inducción magnética que produce en el centro O. Inicialmente descartamos la inducción de campo magnetico para la sección semi infinita por encontrarse en la misma dirección del eje de referencia, asi como la componente y del campo para la recta de longitud 2R µ˳𝐼

│B│=4𝜋 ∫

│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│ 𝑟2

La inducción magnética del segmento semi esférico es opuesto a ds│µ𝑟│ µ˳𝐼

│B│=4𝜋 [∫

│𝑑𝑠1 𝑥µ𝑟1│ 𝑅2

𝑐𝑜𝑚𝑜 |µ𝑟1│ = 𝑑𝑠 3𝜋

µ˳𝐼4

│B│=4𝜋𝑅 [∫04 µ˳𝐼

𝑅𝑑ө 𝑅2

+∫

^

│𝑑𝑠2 𝑥µ𝑟2│ 𝑟22

│𝑑𝑠│ = 𝑅𝑑ө

2𝑅 𝑠𝑒𝑛ө𝑑𝑥

+ ∫0

𝑟22

]

15𝜋+4√5

│B│=4𝜋𝑅 [

10

]

µ˳𝐼

│B│=40𝜋𝑅 [15𝜋 + 4√5] 6. El alambre que muestra la figura, por el cual circula una corriente de intensidad I [A], está formada por un segmento rectilíneo de longitud R[m], dos de longitud 2R[m] y dos cuartos de circunferencias de radio R[m] y 2R[m]. calcule la inducción magnética B que produce en el centro O. El campo magnético total esta dado por la sumatoria de cada una de las contribuciones de los alambres en el centro o. µ˳𝐼

│B│=4𝜋 ∫ µ˳𝐼

│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│

│B│=4𝜋 [∫

𝑟2 │𝑑𝑠1 𝑥µ𝑟1│ 𝑟12

−∫

│𝑑𝑠2 𝑥µ𝑟2│ 𝑟22

+∫

│𝑑𝑠3 𝑥µ𝑟3│ 𝑟32

+∫

│𝑑𝑠4 𝑥µ𝑟4│ 𝑟42

]

Como 𝑑𝑠1 ⊥ µ𝑟1 y│𝑑𝑠1│ = 2 𝑅𝑑ө 5

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

𝑑𝑠2 ⊥ µ𝑟2 y│𝑑𝑠2│ = 𝑅𝑑ө 𝑟32 = 𝑥 2 + 𝑅 2 Además dx=−𝑅𝑐𝑠𝑐 2 𝛼𝑑𝛼

X=R cot 𝛼 Luego:

𝑟32 =𝑅𝑐𝑜𝑡𝛼 2 + 𝑅 2 = 𝑅 2 (𝑐𝑜𝑡𝛼 2 + 1) 𝑟32 = 𝑅𝑐𝑠𝑐 2 𝛼 También 𝑅

Si 𝛼 = arctan (𝑥 ) Si x → 𝟎𝛼 = (𝜋/2) Si x → 𝟐𝑹𝛼 → arctan(1/2) 𝑟32 = 𝑥 2 + (2𝑅)2 Además: X=2R cot (𝜋 − ө) X=-2R cot (ө)𝑑𝑥 =2R𝑐𝑠𝑐 2 ө𝑑ө Luego: 𝑟42 =2𝑅 2 𝑐𝑜𝑡 2 ө + (2𝑅)2=(2𝑅)2 (cotө + 1) 𝑟42 =4𝑅 2 𝑐𝑠𝑐 2 ө Tambien si: 2𝑅

tan (𝜋 − ө) = 𝑥

𝜋 − ө = arctan(

2𝑅 ) 𝑥

ө = 𝜋 − arctan(

2𝑅 ) 𝑥 6

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

six → 𝟎ө = 𝜋 − 𝜋/2 ө = 𝜋/2 si x→ 𝟐𝑹 ө = 𝜋 − 𝜋/2ө = ( µ˳𝐼

𝜋 2𝑅𝑑ө 2 0 2𝑅 2

│B│=4𝜋 [∫

3𝜋 ) 4 𝜋 𝑅𝑑ө ∫0 𝑅2

−

𝜋 2

µ˳𝐼 1

1

𝑎𝑟𝑐𝑡( ) 𝑅𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑠𝑐 2 𝛼𝑑𝑥 2

+ ∫𝜋

𝜋 2

𝑅 2 𝑐𝑠𝑐 2 𝛼

2

𝑎𝑟𝑐𝑡

│B│=4𝜋 [2 ∫0 𝑑ө − ∫0 𝑑ө + 𝑐𝑜𝑠𝛼│𝜋 2

µ˳𝐼 𝜋

𝜋

│B│=4𝜋 [ 4 − 2 + µ˳𝐼 2√5

│B│=4𝜋 [

5

√2

2√5 5

1 2

3𝜋 2 4 𝑅𝑠𝑒𝑛ө𝑐𝑠𝑐 ө𝑑𝑥 𝜋 2 2 𝑅 𝑐𝑠𝑐 ө 2

+∫

]

3𝜋 4 𝜋 2

-cosө│ ]

√2

+2]

𝜋

+ 2 − 4]

µ˳𝐼

│B│=4𝜋 [8√5 + 5√2 − 5𝜋]

7. Considere el conductor ABDEFA que muestra la figura, donde DE=FA=L[m]. Son dos lados del cuadrado ADEF; AB y CD son partes de sus diagonales tales que AB=CD=AO/2; BC y EF son arcos de circunferencias con centro en O. por el circula una corriente de intensidad I [A] en la forma indicada. A) calcule la inducción magnética que produce en el centro O. B) encuentre la magnitud y dirección de la fuerza que ejerce sobre un electrón que pasa por O con rapidez vs [m/s] en dirección OE. Los segmentos AB y CD no contribuyen en el campo magnético total. Este último esta dado por la sumatoria de las contribuciones de los campos de los segmentos AF, DE y los arcos de circunferencia BC, FE

7

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

𝑅=

√2 √2 𝑙 = 𝑟= 𝑙 2 4

|𝐵| =

𝑀𝑜 𝐼 | 𝑑𝑠 𝑥 𝑢𝑟| ∫ 4𝜋 𝑟2 |𝐵| =

| 𝑑𝑠 𝑥 𝑢𝑟2 | | 𝑑𝑠 𝑥 𝑢2 | | 𝑑𝑠 𝑥 𝑢𝑟3 | | 𝑑𝑠 𝑥 𝑢𝑟4 | 𝑀𝑜 𝐼 [∫ + ∫ + ∫ + ∫ ] 2 2 2 4𝜋 𝑟2 𝑟2 𝑟3 𝑟4 2

𝑙

𝜋

√2𝑙

𝑙

2√2

𝜋/2 𝑙𝑑𝜃 4 2 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑑𝑥 𝑀𝑜 𝐼 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑑 4 2 |𝐵| = [∫ + ∫ + ∫ + ∫ 𝑙2 𝑙 √2𝑙 2 √2 4𝜋 − 𝑙 − 𝑙 𝑥 2 + 𝑙2 0 ( − 𝑥2 + 0 ) ( 2 𝑙)2 2 2 2 4 4 4

En la primera integral 𝑙

𝑙

X = 2 cot 𝜃 = 𝜃 = arctan(2𝑥) ; si x= 𝑙/2 => 𝜃 𝜋/4 y si x = -l/2 𝐿

dx = − 2 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 En la tercera integral 𝑥=

𝑙 cot 𝛼 2

si x= 𝑙/2 => 𝜃 𝜋/4 y si x = -l/2

8

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

𝑙 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑠𝑐 2 𝛼 𝑑𝛼 2 𝑙

2

𝜋/4 𝑐𝑠𝑐 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑀𝑜 𝐼 4 𝜋/2 2 |𝐵| = [− ∫ + ∫ 𝑑𝜃 4𝜋 𝑙22 2 √2𝑙 0 0 4

𝜋/4

− 2∫ 0

𝑙 2

𝑐𝑠𝑐 𝜃

𝑐𝑠𝑐 2 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑙22 4

𝜋/2

+ 2/√2𝑙 ∫

𝑐𝑠𝑐 2

𝑑𝜃

0

|𝐵| =

𝜋 𝑀𝑜 𝐼 𝜋 𝜋 4 [ 4 (−𝑐𝑜𝑠𝜃)]𝜋4 + 4√2 ( ) + 4[𝑐𝑜𝑠𝜃]| + 2√2 [ ]] 0 0 4𝜋𝐿 2 2

|𝐵| =

𝑀𝑜 𝐼 [2√2 𝜋 + √2 𝜋 + 4√2] 4𝜋𝐿

|𝐵| =

𝑀𝑜 𝐼 [3𝜋 + 4] 4𝜋𝐿

B) |F| = |q| |vxB| |F| = |q| |v| B => |F| =

√2𝑢0 |𝑞||𝑣|𝐼 4𝜋 𝐿

[3𝜋 + 2]

En dirección Fo por el signo negativo de la carga del electrón

8. A lo largo del circuito que muestra la figura circula una corriente de intensidad I [A] en el sentido indicado se sabe que AB=EA= 2L [m],BC=DE=2L [m],EA⊥ 𝐀𝐁,DE ⊥ 𝐀𝐄,BC⊥ 𝐀𝐁,OC⊥ 𝐎𝐃. calcule la induccion magnética que produce en el centro o del arco de circunferencia de radio L [m]. El campo magnetico total esta dado por la sumatoria de los segmentos de recta DE,EA,AB,BC, y por el arco de µ˳𝐼

circunferencia CD, la magnitud de estos se halla por la formula │B│=4𝜋 ∫

│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│ 𝑟2

Hallando distancias

9

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

µ˳𝐼

│B│=4𝜋 ∫ │ ∫ ∫

𝑟22

+∫

𝑟2

µ˳𝐼

B

│𝑑𝑠2 𝑥µ𝑟2│

│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│

│ 4∏ ∫ │𝑑𝑠3 𝑥µ𝑟3│ 𝑟32

+∫

│𝑑𝑠1 𝑥µ𝑟1│ 𝑟12 │𝑑𝑠4 𝑥µ𝑟4│ 𝑟42

− +

│𝑑𝑠5 𝑥µ𝑟2│ 𝑟52 µ˳𝐼

𝑙 𝑠𝑒𝑛ө𝑑𝑥

│B│=4𝜋 [∫0

𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥

+ 2 ∫0

𝑥 2 +𝑙2

𝑥 2 +𝑙2

𝑙 𝑠𝑒𝑛ß𝑑𝑥

+ 2 ∫0

𝑥 2 +𝑙2

𝑙 𝑠𝑒𝑛ø𝑑𝑥

+ ∫0

𝑥 2 +𝑙2

𝜋

+ ∫02

2𝑑ө 𝑙2

]

Debido a que ө, ß, 𝛼 𝑦 ø 𝑠𝑜𝑛 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑑𝑎𝑠, 𝑑𝑖𝑐ℎ𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟 µ˳𝐼4

𝑙 𝑠𝑒𝑛ө𝑑𝑥

1

𝜋

𝑥 2 +𝑙 2

Si x= l cotө

dx=-1csc2өdө → ө =arctan (𝑥)

𝑙2

] 𝑙

Si x→ 𝟎 → ө = Si x→ 𝟏 → ө = µ˳𝐼

+ 𝑙 ∫02

2𝑑ө

│B│= 4𝜋 [6 ∫0

𝜋

│B│=4𝜋 [−6 ∫𝜋4

𝜋 2 𝜋 4

𝑠𝑒𝑛ө𝑙cs𝑐 2 өdө 𝑙 2 cs𝑐 2 ө

2

1 𝜋

+ 𝑙 ( 2 )]

𝜋

µ˳𝐼 𝜋

│B│=4𝜋𝑙 [ 2 + 6(𝑐𝑜𝑠ө)│𝜋2 ] 2

µ˳𝐼 𝜋

│B│=4𝜋𝑙 [ 2 +

6√2 2

]

µ˳𝐼

│B│=8𝜋𝑙 [𝜋+6√2] 9. A lo largo del circuito ABCDEA que muestra la figura circula una corriente de intensidad I [A] en sentido, indicado. Se sabe que AB=EA= 2L [m],BC= DE=L [m], EA 10

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

⊥ 𝐀𝐁, DE ⊥ 𝐀𝐄, BC⊥ 𝐀𝐁 Y OC⊥ 𝐎𝐃. Calcule la inducción magnética que produce en el centro O delarco de circunferencia de radio L [m]. La sumatoria de las contribuciones de los segmentos de recta EA,AB, y el arco DC conforman el campo magnético total. ED y CB no son tenidos en cuenta por razones anteriormente expuestas.

µ˳𝐼

│B│=4𝜋 ∫ │B│

µ˳𝐼 4∏ µ˳𝐼

│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│ 𝑟2

[∫

│𝑑𝑠3 𝑥µ𝑟3│ 𝑟32

2𝑙 𝑠𝑒𝑛ө𝑑𝑥

│B│=4𝜋 [∫0

−∫ 𝜋

│𝑑𝑠1 𝑥µ𝑟1│ 𝑟12

𝑠𝑒𝑛ø𝑑𝑥

𝜋

−∫

│𝑑𝑠2 𝑥µ𝑟2│

]

𝑟22

𝑑ө

− ∫02 𝑥 2 +2𝑙2 + ∫02 𝑙2 ] 𝑥 2 +4𝑙2

Para la primera integral Si x=2l cotө

2𝑙

dx=-2l csc2өdө → ө =arctan ( 𝑥 )

Si x→ 𝟎 → ө =

𝜋 2

Si x→ 𝟐𝒍 → ө =

𝜋 4

11

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

Para la segunda integral. Si x=2l cot(𝜋 − ө) 2𝑙

Si x=-2l cotө)

dx=-2l csc2өdө → ө =π-arctan ( 𝑥 )

Si x→ 𝟎 → ө =

𝜋 2

Si x→ 𝟐𝒍 → ө = │B│=

µ˳𝐼 1

3𝜋 4 𝜋 2 4 𝑠𝑒𝑛ө2𝑙cs𝑐 өdө 𝜋 4𝑙2 cs𝑐 2 ө 2

𝜋 2

[ ∫ dө + ∫

4𝜋 𝑙 0

𝜋 4 𝜋 2

µ˳𝐼 𝜋

3𝜋 2 4 𝑠𝑒𝑛ө2𝑙cs𝑐 өdө 𝜋 4𝑙2 cs𝑐 2 ө 2

+∫

]

3𝜋 4 𝜋 2

│B│=4𝜋𝑙 [ 2 − (𝑐𝑜𝑠ө)│ − (𝑐𝑜𝑠ө)│ ] µ˳𝐼 𝜋 √2

│B│=4𝜋𝑙 [ 2 - 2 +

√2 ] 2

µ˳𝐼

│B│= 8𝑙

10) La figura de un largo conductor cilíndrico de radio R [m], por el cual circula axialmente una corriente de intensidad I [A]. Paralelamente a una distancia 2R de su eje, circula una corriente de la misma intensidad, pero en sentido contrario, por un largo conductor rectilíneo. Calcule la magnitud y dirección de la inducción magnética que esta distribución de corriente produce en los puntos P,S y T, ubicados donde se indica. Explique bien. 3𝑅/2

∮ 𝐵. 𝑑𝑠 = 𝑀0 [ 𝐼𝑜 − ∫𝑅

𝐼 𝑑𝑠

3𝑅/2

𝐼𝑜 = 2𝜋 ∫

𝑘 𝑣 2 𝑑𝑟

𝑅

12

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

𝑟 3 3/2𝑅 27𝑅 3 𝑅 3 𝐼𝑜 = 2𝜋 [ ] |𝑅 = 2𝜋 [ − ] 3 8 (3) 3 27 1 27 − 1 2𝜋𝑘𝑅 3 3 𝐼𝑜 = 2𝜋 𝑘𝑅 [ − ] = 2𝜋𝑘𝑅 [ ]= (19) 8 3 24 24 3

Luego 𝑘 =

12 𝐼𝑜 19 𝜋 𝑅 3 2𝑅 1250

Calculando 𝐼 = ∫ 𝐽. 𝑑𝑠 = 2𝜋 ∫𝑅 𝐼=

19𝜋𝑅 3

𝑉 2 𝑑𝑣 =

24 𝐼𝑜 19 𝑅 3

[

𝑟3 3

] |2𝑅 𝑅

24 𝐼𝑜 7 56 𝐼𝑜 [ ] = 𝐼𝑜 19 3 19

b) ∮ 𝐵. 𝑑𝑠 = 𝑈𝑜 [ 𝐼𝑜 −

𝐵 ∫ 𝑑𝑠 = 𝑈𝑜 𝐼𝑜 [

19 56 − ] 19 19

𝐵 (2𝜋𝑟) = 𝑈𝑜 𝐼𝑜 (− 𝐵=

36 𝐼𝑜 ] 19

37 ) 19

−37 𝑈𝑜 𝐼𝑜 𝑆𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝐻𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 38 𝜋 𝑟

11) Un largo conductor cilíndrico de radio R [m], tiene dos cavidades de diámetro R atreves de toda su longitud, como se ve en la figura. Una corriente de intensidad I [A]. dirigida hacia afuera de esta hoja esta uniformemente distribuida atreves de la sección transversal del conductor (parte ”achurada”). Determine la magnitud y dirección del campo magnético en el punto P, en términos de 𝑈𝑜, 𝐼𝑜 , 𝑟 𝑦 𝑅. ∮ 𝐵 𝑑𝑠 = 𝑈𝑜 [ 𝐼 − 𝐼𝑜 ]

13

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO 5

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐼𝑜 = 25

𝐼𝑜 =

4

𝐼𝑜 =

4

𝜋 [(3 𝑅)2 − (2𝑅)2 ] 𝜋 (9𝑅 2 − 4𝑅 2)

𝑅 2 − 4𝑅 2

9𝑅 2 − 4𝑅 2 9

5

𝐼´ =

𝐼´

𝐼´

9 𝐼´ 20

Como B = 0 𝑈𝑜 [ 𝐼 − 𝐼´ =

9 𝐼´] 20

20 𝐼 9

Luego el campo magnético es ∮ 𝐵 𝑑𝑠 = 𝑈𝑜 [ 𝐼 −

20 𝐼] 9

𝐵 ∮ 𝑑𝑠 = 𝑈𝑜 𝐼 [9 −

𝐵 (2𝜋𝑟) = −𝑈𝑜 𝐼

20 ] 9

11 11 𝐼𝑈𝑜 => 𝐵 = − → 𝑆𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖ℎ𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 9 18 𝜋𝑟

−2𝑟 2𝜋 3 3 = 9𝑅 − 3 4𝑅 7𝑅 −7𝑅 2 𝑟 = 18𝑅 3 − 43

12. la figura muestra dos largos cilindros paralelos de iguales radios R [m], por cuyas secciones circulan corrientes axiales de iguales intensidades I [A]. en la misma dirección. Calcule la magnitud del campo magnético B que producen en un punto que esta a una distancia x del eje de uno de los cilindros, en los casos x ≤ R, R≤ x ≤ (0-R)≤x ≤D. 14

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

Calculando el campo (B), en todo el espacio. Para rR ∮ 𝐵 𝑑𝑠=µ˳𝐼 B∮ 𝑑𝑠=µ˳𝐼 B=

µ˳𝐼

2Ԥ𝑟

Luego para el punto b donde 𝑟1 = 2𝑅𝑟2 = 2𝑅 𝑦 𝐵, 𝐵1 en dirección –j ⃓B⃓ =

µ˳𝐼

+

µ˳𝐼

+

4Ԥ𝑅 4Ԥ𝑅

µ˳𝐼 2Ԥ𝑅

Para el punto q donde 𝑟1 = 6𝑅 dirección j. ⃓B⃓ =

µ˳𝐼

Y 𝑟2 =2R y 𝐵1 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 − 𝑗 𝑦 𝐵2 en

µ˳𝐼

-

4Ԥ𝑅 12Ԥ𝑅 µ˳𝐼 1

1

Ԥ𝑅 4

12

⃓B⃓ = ⃓B⃓ =

⦋ −

µ˳𝐼

⦋

3

Ԥ𝑅 12

⃓B⃓ =

−

⦌

1 12

⦌

µ˳𝐼 1

⦋ ⦌

Ԥ𝑅 6

⃓B⃓ =

µ˳𝐼

6Ԥ𝑅

15

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

13. Suponga que el sistema que muestra la figura se encuentra en el plano vertical, donde g[m/𝑠 2 ]es la aceleración de gravedad constante. El largo alambre rectilíneo esta fijo, y por el circula una corriente de intensidad I[A] en la dirección indicada. La espira rectangular, de los lados a [m] y b[m], está ubicada paralelamente a una distancia d[m] del alambre, tiene una masa m[kg] y está libre para moverse. Encuentre la intensidad 𝐼2 de la corriente que debe hacerse circular por ella, justificando el sentido, para que permanezca en reposo en la posición señalada.

Realizando sumatoria de fuerzas en y’ y x’ ∑ 𝑓𝑦 = 0 ∑ 𝑓𝑥 = 0 f𝑏3 - f𝑏4 -m*g=0

f𝑏2 - f𝑏1 =0

usando los vectores B y dl │𝐵𝑥𝑑𝑙│=│𝐵𝑥 𝑑𝑙│ luego: I2 │ ∫ 𝑑𝑙1 𝑥𝐵1 │ − 𝐼2 │ ∫ 𝑑𝑙2 𝑥𝐵2 │ = 𝑚 ∗ 𝑔 I2[𝐵 ∫ 𝑑𝑙1 │ − 𝐼2 │𝐵 ∫ 𝑑𝑙2 │=m*g I2 [𝐵1 (𝑏) − 𝐵2 (b)⦌=m*g I2⦋

µ˳𝐼(𝑏) 2Ԥ𝑑

−

µ˳𝐼

I2µ˳𝐼(𝑏) 1 2Ԥ𝑑

I2⦋

1

⦋ − 𝑑

𝑑 𝑑(𝑑+𝑎)

⦌=m*g

2Ԥ(𝑑+𝑎)

𝑑+𝑎

⦌=m*g

2𝑚𝑔Ԥ

⦌=

µ˳𝐼𝑏

16

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

I2=

2𝑚𝑔Ԥ µ˳𝐼𝑏

Como f 𝑏3 > f 𝑏4 , f 𝑏0 debe ir al contrario de µ˳, 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜.

f 𝑏4 y

14. Calcule la fuerza que ejerce el alambre rectilíneo infinito sobre el conductor rectilíneo paralelo a el, si por ambos circulan corriente de igual densidad I[A] en las direcciones indicadas.

Nota: la fuerza en los lados son iguales y en sentido contrario por lo tanto se anulan la fuerza total está dada por: 𝑓𝑟𝑐 = 𝑓1 − 𝑓2 𝑓𝑟𝑐 = I│ ∫ 𝑑𝑙1 𝑥𝐵1 │ − 𝐼2 │ ∫ 𝑑𝑙2 𝑥𝐵2 │𝑑𝑙1 𝑦 𝑑𝑙2 𝑓𝑟𝑐 = I[𝐵 ∫ 𝑑𝑙1 │ − 𝐼2 │𝐵 ∫ 𝑑𝑙2 │ 𝑓𝑟𝑐 = I2⦋ 𝑓𝑟𝑐 =

µ˳𝐼(𝑎) 2Ԥ𝑐

−

µ˳𝐼𝑎 2Ԥ(𝑐+𝑏)

𝐼 2 µ˳𝐼𝑎𝑏 1 2Ԥ𝐶

⦋ − 𝑐

1 𝑐+𝑏

⦌

⦌

𝐼 2 µ˳𝐼𝑎𝑏 𝑓𝑟𝑐 = 2Ԥ𝑐(𝑐 + 𝑏)

17

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

15. Por el conductor que muestra la figura circula una corriente de intensidad I[A].calcule la magnitud y dirección de la fuerza que ejerce sobre el electrón, cuando este pasa por el centro o con rapidez v[m/s],en la dirección señalada.

f= q│(𝑣 ∗ 𝐵)│

luego

f= q│𝑣││𝐵│

f=µ˳𝐼│𝑞││𝐵│

│B│= │B│= │B│= │B│= │B│=

µ˳𝐼

∫ 4𝜋 µ˳𝐼

4𝜋𝑅 2 µ˳𝐼

│𝑑𝑠𝑥𝑉𝑟│ 𝑟2

ds⊥ µ𝑟1

∫ 𝑑𝑠 │ds│=Rdө

después como v(f) y B(x) luego

𝜋

∫ Rdөf’(←) por el signo negativo del 4𝜋𝑅 2 0 µ˳𝐼 4𝜋𝑅 µ˳𝐼 4𝑅

│𝜋│

elerctron.

entrando al papel.

18

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

16. considere una corriente de intensidad I[A].a lo largo del circuito que muestra la figura compuesta por 2 porciones semicirculares, de radios 𝑅1 [m] y 𝑅2 [m] y dos rectilíneas. Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza que ejerce una carga puntual q