PROBLEMAS RESUELTOS DE INGENIERÍA QUÍMICA Y BIOQUÍMICA EN
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PROBLEMAS RESUELTOS DE INGENIERÍA QUÍMICA Y BIOQUÍMICA EN EXCEL, EXCEL , MATLAB MATLAB Y POLYMATH CAPITULO 6 PRESENTADO POR: MONTALVO ROMAN, CESAR CUI: 20071428
1. RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS RIGIDAS (STIFF). •
Planteamiento del problema:
Un proceso biológico implica el crecimiento a partir de un sustrato, según Garritsen. Los balances de materia en este proceso por lotes dan lugar a:
() 0.75 ()
(61) (62)
Donde B y S son las concentraciones concentraciones respectivas de biomasa y sustrato. La cinética cinética de la reacción es tal que k=0.3 y K= 10 -6 en unidas coherentes.
1. RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS RIGIDAS (STIFF). •
Planteamiento del problema:
Un proceso biológico implica el crecimiento a partir de un sustrato, según Garritsen. Los balances de materia en este proceso por lotes dan lugar a:
() 0.75 ()
(61) (62)
Donde B y S son las concentraciones concentraciones respectivas de biomasa y sustrato. La cinética cinética de la reacción es tal que k=0.3 y K= 10 -6 en unidas coherentes.
Problema: •
•
Resuelva este conjunto de ecuaciones diferenciales comenzando a y tomando como tiempo final Utilice unidades coherentes.
0 , 5.0 , 0.05 20. Represente gráficamente respecto al tiempo para las condiciones del apartado 1.
Resolución:
0.3 10 −
(63)
0.225 10 −
(64)
0.3 10 − 0.225 10 −
0.310 − 10 − 0.22510 − 10 −
, ± 2 4
(65) (66)
(67)
APLICACIÓN DE POLYMATH EN ECUACIONES DIFERENCIALES SIMULTÁNEAS
POLYMATH Report Ordinary Differential Equations
6.1 SOLUTION OF STIFF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
Calculated values of DEQ variables
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Variable
Initial value Minimal value
Maximal value Final value
t
0
0
16.335
16.335
S
5.
-1.721E-14
5.
-1.721E-14
B
0.05
0.05
6.716667
6.716667
k
0.3
0.3
0.3
0.3
Km
1.0E-06
1.0E-06
1.0E-06
1.0E-06
J11
0.2999999
-5.163E-09
0.2999999
-5.163E-09
J12
6.0E-10
6.0E-10
2.015E+06
2.015E+06
J21
-0.225
-0.225
3.872E-09
3.872E-09
J22
-4.5E-10
-1.511E+06
-4.5E-10
-1.511E+06
lamda1
0.2999999
0
0.2999999
0
y
0.75
0.75
0.75
0.75
lamda2
0
-1.511E+06
0
-1.511E+06
Differential equations
1 2
d(S)/d(t) = -k * y * B * S / (Km + S) d(B)/d(t) = k * B * S / (Km + S)
Explicit equations
1 2 3
k = 0.3 Km = 1.e-6 J11 = k * S / (Km + S) dF1/dB
4
J12 = k * Km * B / (Km + S) ^ 2 dF1/dS
5
J21 = -0.75 * k * S / (Km + S) dF2/dB
6
J22 = -0.75 * k * Km * B / (Km + S) ^ 2 dF2/dS
General
7
lamda1 = (J11 + J22 + sqrt((J11 + J22) ^ 2 - 4 * (J11 * J22 - J12 * J21))) / 2
8
y = .75
9
lamda2 = (J11 + J22 - sqrt((J11 + J22) ^ 2 - 4 * (J11 * J22 - J12 * J21))) / 2
Total number of equations Number of differential equations Number of explicit equations Elapsed time Solution method Step size guess. h Truncation error tolerance. eps
11 2 9 0.000 sec RKF_45 0.000001 0.000001
A. Método Stiff
POLYMATH Report Ordinary Differential Equations
6.1 SOLUTION OF STIFF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
Calculated values of DEQ variables
Variable
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Initial value
Minimal value
Maximal value
Final value
t
0
0
20.
20.
S
5.
4.163E-35
5.
4.163E-35
B
0.05
0.05
6.716667
6.716667
k
0.3
0.3
0.3
0.3
Km
1.0E-06
1.0E-06
1.0E-06
1.0E-06
J11
0.2999999
-2.547E-29
0.2999999
-2.547E-29
J12
6.0E-10
6.0E-10
2.015E+06
2.015E+06
J21
-0.225
-0.225
1.91E-29
1.91E-29
J22
-4.5E-10
-1.511E+06
-4.5E-10
-1.511E+06
lamda1
0.2999999
0
0.2999999
0
y
0.75
0.75
0.75
0.75
lamda2
0
-1.511E+06
0
-1.511E+06
Differential equations
1 2
d(S)/d(t) = -k * y * B * S / (Km + S) d(B)/d(t) = k * B * S / (Km + S)
Explicit equations
1 2 3
k = 0.3 Km = 1.e-6 J11 = k * S / (Km + S) dF1/dB
4
J12 = k * Km * B / (Km + S) ^ 2 dF1/dS
5
J21 = -0.75 * k * S / (Km + S) dF2/dB
6
J22 = -0.75 * k * Km * B / (Km + S) ^ 2 dF2/dS
7 8 9
General
lamda1 = (J11 + J22 + sqrt((J11 + J22) ^ 2 - 4 * (J11 * J22 - J12 * J21))) / 2 y = .75 lamda2 = (J11 + J22 - sqrt((J11 + J22) ^ 2 - 4 * (J11 * J22 - J12 * J21))) / 2
Total number of equations Number of differential equations Number of explicit equations Elapsed time Solution method Independent variable accuracy. eps First stepsize guess. h1 Minimum allowed stepsize. hmin Good steps Bad steps
11 2 9 1.157 sec stiff 0.00001 0.0001 0.00000001 198 14
FIGURA 6.1 CAMBIO DE LA CONCENTRACION DE SUSTRATO Y BIOMASA
2. LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS RIGIDAS EN CINETICA QUIMICA Planteamiento del problema: Gear, que ha desarrollado métodos muy conocidos para resolver sistemas rígidos de EDOs, presento el siguiente problema (que denominó “Problema Químico”) para probar programas de software con objeto de resolver EDOs rígidas.
0.013 1.000 2.500 0.013 1.000 2.500
(68)
Las condiciones iniciales son: y1 (0) = 1, y 2 (0) = 1 e y3 (0) = 0. Estas ecuaciones generalmente se integran desde t0 = 0 hasta tf = 50.
Problema: a) Resuelva el sistema definido por el conjunto de ecuaciones (6-8) con las condiciones iníciales dadas. Compare las soluciones y los tiempos de ejecución cuando se utilizan los algoritmos de integración RKF45 y STIFF.
APLICACIÓN DE POLYMATH
POLYMATH Report Ordinary Differential Equations
No Title
Calculated values of DEQ variables
1 2 3 4 5 6 7
Variable
Initial value
Minimal value Maximal value Final value
t
0
0
50.
50.
S
1.
0.5973781
1.
0.5973781
K
1.
1.
1.400721
1.400721
V
0
-0.0036396
0
-0.0019008
a
0.013
0.013
0.013
0.013
b
1.
1.
1.
1.
c
2.5
2.5
2.5
2.5
Differential equations
Explicit equations
1 2 3
d(S)/d(t) = -a * S - b * S * V d(K)/d(t) = -c * K * V d(V)/d(t) = -a * S - b * S * V - c * K * V
1 a = 0.013 2 b=1 3 c = 2.5 General
Total number of equations Number of differential equations Number of explicit equations Elapsed time Solution method Step size guess. h Truncation error tolerance. eps
6 3 3
0.000 sec RKF_45 0.000001 0.000001
POLYMATH Report Ordinary Differential Equations
No Title
Calculated values of DEQ variables
1 2 3 4 5 6 7
Variable
Initial value
Minimal value
Maximal value
Final value
t
0
0
50.
50.
S
1.
0.5973781
1.
0.5973781
K
1.
1.
1.400721
1.400721
V
0
-0.00364
0
-0.0019008
a
0.013
0.013
0.013
0.013
b
1.
1.
1.
1.
c
2.5
2.5
2.5
2.5
Differential equations
Explicit equations
General
1 2 3 1 2 3
d(S)/d(t) = -a * S - b * S * V d(K)/d(t) = -c * K * V d(V)/d(t) = -a * S - b * S * V - c * K * V
a = 0.013 b=1 c = 2.5
Total number of equations Number of differential equations Number of explicit equations Elapsed time Solution method Independent variable accuracy. eps First stepsize guess. h1 Minimum allowed stepsize. hmin Good steps Bad steps
6 3 3 0.000 sec stiff 0.00001 0.0001 0.00000001 157
b) Suponiendo que , represente las concentraciones de especies diferentes ¿tienen sentido y es factible la solución obtenida? No sería factible la solución ya y no tendría sentido ya que se hablaría de juntar dos compuestos muy diferentes lo cual se tendría que resolver de otro modo.
3.- SOLUCIÓN ITERATIVA DE UN PLOBELA DE VALOR LÍMITE DE UNA ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA Planteamiento del problema Luss y Amundson estudiaron un modelo simplificado para la dinámica de un lecho fluido de un catalizador en el que se suponía que transcurría una reacción irreversible en fase gaseosa: A → B. las ecuaciones de conservación de masa y energía junto con la constante de velocidad cinética para este sistema se muestra como un Conjunto de Ecuaciones (6-9), a las que se denominara Conjunto I:
1 69 0.0006 20.7 15.000/
Donde T es la temperatura absoluta de los reactivos en el fluido (°R), P=presión parcial del reactivo en el fluido (atm), Tp = temperatura del reactivo en la superficie del catalizador (°R), P p = presión parcial del reactivo en la superficie del catalizador (atm), K = constante de velocidad de reacción adimensional, τ = tiempo adimensional. Las constantes adimensionales son: H g=320, Te=600. HT=266.67, H w=1.6, Tw=720, F=8000, A=0.17142, C=205.74 y P =0.1.
Aiken y Lapidus utilizaron el Conjunto I y al resultado de este Conjunto de Ecuaciones (6-10) se le denomino Conjunto II:
0.1320 321 1.752269267 1.88 10 1 6 10 1.3 1.04 10 15000 0.0006 exp(20.7 )
Resolución parcial
1.296 10.369 269.267 1.752 266.667 0.1 1321 611 0.1 320321 0.006exp 20.7 15.000
4.- SOLUCIÓN ITERATIVA DE UN PROBLEMA DE VALOR LÍMITE DE UNA ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA Planteamiento del Problema Un proceso de conducción térmico tiene lugar a través de una losa unidimensional de conductividad térmica variable, tal como se muestra en la Figura 6.2. Una superficie de la losa o pared se mantiene a temperatura T 0 mientras que la otra superficie, a temperatura T S, experimenta transferencia de calor radiactiva con los alrededores que actúan como cuerpo negro a temperatura T B. El grosor de la losa viene dado por L. hay convección despreciable ya que se mantiene el vacío entre la losa y los alrededores.
FIGURA 6.2 Losa con conducción y radiación en la superficie
La aplicación de la ley de Fourier en la dirección x da lugar a:
/
(612)
Donde T se mide en K, q x es la transferencia de calor en la dirección x y en W o J/s, A es el área se mide en m2, Q es el flujo de calor medido en W/m 2, k es la conductividad térmica del medio medida en W/m*k y x es la dirección en m.
La conductividad térmica del medio depende de la temperatura y viene dado por:
30 1 0.002
(6 13)
El Flujo de calor resultante en la superficie de la losa (o en cualquier posición de la losa) es:
− − = = =
(614)
Donde σ es la constante de Stefan -Boltzmann, con un valor de 5,676 x 10 -8 W/m2*K4.
Problema Las superficie de losa se mantienen a
1273 , 0.2
290 y la temperatura del cuerpo negro de los aireadores es
Calcule y represente la temperatura de la primera losa utilizando el método secante para determinar la constante de flujo calorífico en la losa ¿Cuál es el valor correspondiente a ?
Resolución Este problema se resolverá optimizando el valor del flujo calorífico, q x/A, para que se satisfaga la condición final. En este caso, una función objetivo, representando el error en la condición final, se puede expresar mediante:
=
(615)
Donde el flujo calorífico q x/A es designado como Q x y T es el valor final de la integración numérica a x=L.
Método Secante
, ′ ′ ≡
616 (617)
POLYMATH Report Ordinary Differential Equations
3.5(a) Single Variable Optimization - Secant Method
Calculated values of DEQ variables
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Variable
Initial value
Minimal value
Maximal value
Final value
x
0
0
0.2
0.2
T1
290.
290.
636.1485
636.1485
T
290.
290.
636.1191
636.1191
Qx
-1.0E+05
-1.0E+05
-1.0E+05
-1.0E+05
k
47.4
47.4
68.16715
68.16715
k1
47.4
47.4
68.16891
68.16891
TB
1273.
1273.
1273.
1273.
delta
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
Qx1
-1.0E+05
-1.0E+05
-1.0E+05
-1.0E+05
err
4.866E+04
3.976E+04
4.866E+04
3.976E+04
err1
4.865E+04
3.975E+04
4.865E+04
3.975E+04
derr
1.
1.
1.171474
1.171474
QxNEW
-1.487E+05
-1.487E+05
-1.339E+05
-1.339E+05
Differential equations
Explicit equations
1 2
d(T1)/d(x) = -Qx1 / k1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Qx = -100000
d(T)/d(x) = -Qx / k
k = 30 * (1 + 0.002 * T) k1 = 30 * (1 + 0.002 * T1) TB = 1273 delta = 0.0001 Qx1 = (1 + delta) * Qx err = Qx - 5.676e-8 * (T ^ 4 - TB ^ 4) err1 = Qx1 - 5.676e-8 * (T1 ^ 4 - TB ^ 4) derr = (err1 - err) / (delta * Qx) QxNEW = Qx - err / derr
General
Total number of equations Number of differential equations Number of explicit equations Elapsed time Solution method Step size guess. h Truncation error tolerance. eps
12 2 10 0.000 sec RKF_45 0.000001
FIGURA 6.3 PERFIL DE TEMPERATURA EN LA LOSA
Método posición Falsa
,
(619)
POLYMATH Report Ordinary Differential Equations
6.4(b) ITERATIVE SOLUTION OF ODE BOUNDARY VALUE PROBLEM - False Position Method
Calculated values of DEQ variables
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Variable
Initial value
Minimal value
Maximal value
Final value
x
0
0
0.2
0.2
T
290.
290.
727.8572
727.8572
QxN
-1.5E+05
-1.5E+05
-1.5E+05
-1.5E+05
k
47.4
47.4
73.67143
73.67143
QxP
-1.0E+05
-1.0E+05
-1.0E+05
-1.0E+05
TB
1273.
1273.
1273.
1273.
FQxN
-2.136E+04
-2.136E+04
-2.136E+04
-2.136E+04
FQxP
3.976E+04
3.976E+04
3.976E+04
3.976E+04
QxNEW
-1.325E+05
-1.325E+05
-1.325E+05
-1.325E+05
FQxNEW
1.613E+04
597.8489
1.613E+04
597.8489
Differential equations
1
d(T)/d(x) = -QxNEW / k
Explicit equations
General
1 2 3 4 5 6 7 8
QxN = -150000 k = 30 * (1 + 0.002 * T) QxP = -100000 TB = 1273 FQxN = -21355
FQxP = 39764 QxNEW = QxN - (QxN - QxP) * (FQxN) / (FQxN - FQxP) FQxNEW = QxNEW - 5.676e-8 * (T ^ 4 - TB ^ 4)
Total number of equations Number of differential equations Number of explicit equations Elapsed time Solution method Step size guess. h Truncation error tolerance. eps
9 1 8 0.000 sec
RKF_45 0.000001 0.000001
5 METODO DEL DISPARO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR FRONTERA DE DOS PUNTOS Planteamiento del problema La difusión y la reacción química irreversible simultanea de primer orden es una sola fase que solo contenga un reactivo A y un producto B, se transforma en una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, dado por:
(620)
Donde C A es la concentración del reactivo A (kg-mol/m3), z es la distancia variable (m), k es la constante de velocidad de reacción homogénea (s-1) y D AB es el coeficiente de difusión binaria (m2/s).
0 (6 21) 0 (6 22) ℎ 1 (623) cosh
Problema * Resuelve numéricamente la ecuación 6.20 con las condiciones frontera de 6.21 y 6.22 en el caso de que C A0=0.2 Kg mol/m, k=10 -3 s-1, D AB =1.210 m2/s y L =10-3m.
Resolución
, ,
APLICACION DE POLYMATH
POLYMATH Report Ordinary Differential Equations
3.6(a) Trial Solution for Two Point Boundary Value Problem
Calculated values of DEQ variables
1 2 3 4 5 6
Variable
Initial value
Minimal value
Maximal value
Final value
z
0
0
0.001
0.001
CA
0.2
0.1175647
0.2
0.1175647
y
-150.
-150.
-26.16397
-26.16397
k
0.001
0.001
0.001
0.001
DAB
1.2E-09
1.2E-09
1.2E-09
1.2E-09
err
-150.
-150.
-26.16397
-26.16397
1 2
d(CA)/d(z) = y
Differential equations
d(y)/d(z) = k * CA / DAB
Explicit equations
1 k = 0.001 2 DAB = 1.2E-9 3 err = y
METODO SECANTE
POLYMATH Report Ordinary Differential Equations
6.5(a) Secant Method for Two Point Boundary Value Problem
Calculated values of DEQ variables
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Variable
Initial value
Minimal value
Maximal value
Final value
z
0
0
0.001
0.001
CA
0.2
0.1404279
0.2
0.1404606
y
-130.
-130.
2.764383
2.764383
CA1
0.2
0.1404135
0.2
0.1404457
y1
-130.013
-130.013
2.745579
2.745579
k
0.001
0.001
0.001
0.001
DAB
1.2E-09
1.2E-09
1.2E-09
1.2E-09
err
-130.
-130.
2.764383
2.764383
err1
-130.013
-130.013
2.745579
2.745579
y0
-130.
-130.
-130.
-130.
L
0.001
0.001
0.001
0.001
delta
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
CAanal
0.2
0.1382726
0.2
0.1382726
derr
1.
1.
1.446418
1.446418
ynew
-5.227E-11
-131.9112
-5.227E-11
-131.9112
1 2 3 4
Differential equations
d(CA)/d(z) = y d(y)/d(z) = k * CA / DAB d(CA1)/d(z) = y1 d(y1)/d(z) = k * CA1 / DAB
Explicit equations
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k = 0.001 DAB = 1.2E-9 err = y - 0
err1 = y1 - 0 y0 = -130 L = .001 delta = 0.0001 CAanal = 0.2 * cosh(L * (k / DAB) ^ .5 * (1 - z / L)) / (cosh(L * (k / DAB) ^ .5)) derr = (err1 - err) / (delta * y0) ynew = y0 - err / derr
6 FACILITAR LA SOLUCIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES Planteamiento del problema Las reacciones químicas tienen lugar en un reactor por lotes, en fase gaseosa, a volumen constante:
↔ ↔ ↔
Las relaciones de los equilibrios no lineales utilizan las expresiones de los equilibrios termodinámicos y las relaciones lineales se obtienen a partir de la estequiometria de las reacciones
Problema Resuelva este sistema de ecuaciones cuando CA0=CB0=1.5, KC1=1.06, KC2=2.63 y KC3=5 comenzando por los tres grupos de suposiciones iniciales siguientes
a) 0 Resolución
APLICACIÓN DE POLYMATH
POLYMATH Report Nonlinear Equations
6.6(a) Expediting the Solution of Nonlinear Algebraic Equations
Calculated values of NLE variables
Variable
Value
f(x)
Initial Guess
1
CD
0.7053344
-1.342E-08
0
2
CX
0.1777924
-4.623E-08
0
3
CZ
0.3739766
3.969E-08
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Variable
Value
KC1
1.06
CY
0.551769
KC2
2.63
KC3
5.
CA0
1.5
CB0
1.5
CC
0.1535654
CA
0.420689
CB
0.2428966
Nonlinear equations
Explicit equations
1 2 3
f(CD) = CC * CD - KC1 * CA * CB = 0 f(CX) = CX * CY - KC2 * CB * CC = 0 f(CZ) = CZ - KC3 * CA * CX = 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Aceleración de la resolución de ecuaciones no lineales
KC1 = 1.06 CY = CX + CZ KC2 = 2.63 KC3 = 5 CA0 = 1.5
CB0 = 1.5 CC = CD - CY CA = CA0 - CD - CZ CB = CB0 - CD - CY
630
POLYMATH Report Nonlinear Equations
6.6(a) Expediting the Solution of Nonlinear Algebraic Equations
Calculated values of NLE variables
1 2 3
Variable
Value
f(x)
Initial Guess
CD
0.7053344
-1.342E-08
0
CX
0.1777924
-4.623E-08
0
CZ
0.3739766
3.969E-08
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Variable
Value
KC1
1.06
CY
0.551769
KC2
2.63
KC3
5.
CA0
1.5
CB0
1.5
CC
0.1535654
CA
0.420689
CB
0.2428966
Nonlinear equations
1 2 3
f(CD) = CC * CD - KC1 * CA * CB = 0 f(CX) = CX * CY - KC2 * CB * CC = 0
f(CZ) = CZ - KC3 * CA * CX = 0
Explicit equations
General Settings
1 2 3 4 5 6 7 8 9
KC1 = 1.06 CY = CX + CZ KC2 = 2.63 KC3 = 5 CA0 = 1.5 CB0 = 1.5 CC = CD - CY CA = CA0 - CD - CZ CB = CB0 - CD - CY
Total number of equations Number of implicit equations Number of explicit equations Elapsed time Solution method Max iterations eps Tolerance F Tolerance X Tolerance min
12 3 9 0.0000 sec SAFEBROYDN 150 0.0000001 0.0000001 0.0000001
7 RESOLUCION DE ECUACIONES ALGEBRAICAS DIFERENCIALES (EADs) Planteamiento del problema Para un proceso de destilación por lotes que implique a dos componentes denominados 1 y 2, los moles del líquido sobrante, L, en función de la fracción molar del componente 2,X2, se pueden expresar por la ecuación siguiente:
1
(631)
K2 =es la relación del vapor y el líquido en el equilibrio se pueden calcular mediante
++
10 1
(632) (633)
Considere una mezcla binaria de benceno (componente 1) y tolueno (componente 2) como ideal. Las constantes de la ecuación de Antoine para el benceno son = A1=6.90565, B1= -1211.033 y C1=220,79. Para el tolueno A2=6.95464, B2= -1344.8 y C2= 219.482.
Problema
La destilación por lotes de la mezcla del benceno y del tolueno, se lleva a cabo a una presión de 1.2 atm. Inicialmente hay 100 moles de líquido en el matraz de destilación, formados por 60% de benceno y 40% de tolueno. Calcule la cantidad de líquido que quedara en el matraz de destilación cuando la concentración de tolueno sea del 80%.
Resolución
1
634 (635)
APLICACIÓN DE POLYMATH
POLYMATH Report Ordinary Differential Equations
6.7 SOLVING DIFFERENTIAL ALGEBRAIC EQUATIONS - DAE’s
Calculated values of DEQ variables
1 2 3 4 5 6 7 8
Variable
Initial value
Minimal value
Maximal value
Final value
x2
0.4
0.4
0.8
0.8
L
100.
14.04555
100.
14.04555
T
95.5851
95.5851
108.5693
108.5693
Kc
5.0E+05
5.0E+05
5.0E+05
5.0E+05
k2
0.5325348
0.5325348
0.7857526
0.7857526
x1
0.6
0.2
0.6
0.2
k1
1.311644
1.311644
1.856602
1.856602
err
-3.646E-07
-3.646E-07
7.75E-05
7.747E-05
Differential equations
1 2
d(L)/d(x2) = L / (k2 * x2 - x2) d(T)/d(x2) = Kc * err
Explicit equations
1 2 3 4 5
Kc = 0.5e6 k2 = 10 ^ (6.95464 - 1344.8 / (T + 219.482)) / (760 * 1.2) x1 = 1 - x2 k1 = 10 ^ (6.90565 - 1211.033 / (T + 220.79)) / (760 * 1.2) err = (1 - k1 * x1 - k2 * x2)
8 METODO DE LINEAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 1 Planteamiento del problema La transferencia de calor en estado no estacionario en una losa, en la dirección x, se describe mediante la ecuación diferencial parcial
(637)
Donde T es la temperatura en K, t es el tiempo en s y α es la difusividad térmica en m2/s dada por k/ρ Cp. En este tratamiento, la conductividad térmica k se mide en W/m ● K, la densidad en kg/m3 y la capacidad calorífica Cp. en J/kg*K; todas ellas se consideran constantes.
FIGURA 6.4 Conducción de calor en estado no estacionario en una losa unidimensional
Tn = 100 para n = 2… (N+1) en t = 0 T1 = 0 para t ≥ 0 (6 – 39)
(6 – 38)
+ 0 ≥ 0
(6 40)
Cuando se considera la convección como la única forma de transferencia de calor a la superficie, el transporte normal a la superficie de la losa en la dirección x viene dada por:
ℎ │=
(641)
Donde h es el coeficiente de transferencia de calor por convección, expresado en W/m2*K y T0 es la temperatura ambiente.
Problema Resuelva numéricamente la Ecuación 6.37 con las condiciones iniciales y frontera de 6.38, 6.39 y 6.40, para el caso en el que α = 2x 10+5 m2/s y la superficie de la losa se mantiene constante a T1 = 0 °C. Represente gráficamente las temperaturas T2, T3, T4 y T5 en función del tiempo hasta 6000 s.
APLICACIÓN DE POLYMATH
POLYMATH Report Ordinary Differential Equations
6.8(a) METHOD OF LINES FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
Calculated values of DEQ variables
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Variable
Initial value
Minimal value
Maximal value
Final value
t
0
0
6000.
6000.
T2
100.
16.19188
100.
16.19188
T3
100.
31.71003
100.
31.71003
T4
100.
45.96068
100.
45.96068
T5
100.
58.4923
100.
58.4923
T6
100.
69.02746
100.
69.02746
T7
100.
77.4599
100.
77.4599
T8
100.
83.82043
100.
83.82043
T9
100.
88.22268
100.
88.22268
T10
100.
90.80213
100.
90.80213
alpha
2.0E-05
2.0E-05
2.0E-05
2.0E-05
deltax
0.1
0.1
0.1
0.1
T1
0
0
0
0
T11
100.
91.66194
100.0035
91.66194
Differential equations
1 2 3 4 5 6 7 8 9
d(T2)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T3 - 2 * T2 + T1) d(T3)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T4 - 2 * T3 + T2) d(T4)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T5 - 2 * T4 + T3)
d(T5)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T6 - 2 * T5 + T4) d(T6)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T7 - 2 * T6 + T5) d(T7)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T8 - 2 * T7 + T6) d(T8)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T9 - 2 * T8 + T7) d(T9)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T10 - 2 * T9 + T8) d(T10)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T11 - 2 * T10 + T9)
Explicit equations
1 2 3 4
alpha = 2.e-5 deltax = .10 T1 = 0 T11 = (4 * T10 - T9) / 3
FIGURA 6.5 Perfiles de temperaturas
POLYMATH Report Ordinary Differential Equations
6.8(b) METHOD OF LINES FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
Calculated values of DEQ variables
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Variable
Initial value
Minimal value
Maximal value
Final value
t
0
0
6000.
6000.
T2
100.
8.128488
100.
8.128488
T3
100.
16.17181
100.
16.17181
T4
100.
24.04734
100.
24.04734
T5
100.
31.67745
100.
31.67745
T6
100.
38.9916
100.
38.9916
T7
100.
45.9281
100.
45.9281
T8
100.
52.43541
100.
52.43541
T9
100.
58.47289
100.
58.47289
T10
100.
64.01098
100.
64.01098
T11
100.
69.03088
100.
69.03088
T12
100.
73.52373
100.
73.52373
T13
100.
77.48935
100.
77.48935
T14
100.
80.9347
100.
80.9347
T15
100.
83.87205
100.
83.87205
T16
100.
86.31707
100.
86.31707
T17
100.
88.28695
100.
88.28695
T20
100.
91.50333
100.
91.50333
T19
100.
90.8668
100.
90.8668
T18
100.
89.79855
100.
89.79855
alpha
2.0E-05
2.0E-05
2.0E-05
2.0E-05
deltax
0.05
0.05
0.05
0.05
Differential equations
Explicit equations
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3
d(T2)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T3 - 2 * T2 + T1) d(T3)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T4 - 2 * T3 + T2) d(T4)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T5 - 2 * T4 + T3) d(T5)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T6 - 2 * T5 + T4) d(T6)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T7 - 2 * T6 + T5) d(T7)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T8 - 2 * T7 + T6) d(T8)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T9 - 2 * T8 + T7) d(T9)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T10 - 2 * T9 + T8) d(T10)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T1 (T 11 - 2 * T10 + T9) d(T11)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T12 - 2 * T11 + T10) d(T12)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T13 (T 13 - 2 * T12 + T11) d(T13)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T14 - 2 * T13 + T12) d(T14)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T15 - 2 * T14 + T13) d(T15)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T16 - 2 * T15 + T14) d(T16)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T17 - 2 * T16 + T15) d(T17)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T18 - 2 * T17 + T16) d(T20)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T21 - 2 * T20 + T19) d(T19)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T20 - 2 * T19 + T18) d(T18)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T19 - 2 * T18 + T17)
alpha = 2.e-5 deltax = .05 T1 = 0
POLYMATH Report Ordinary Differential Equations
6.8(c) METHOD OF LINES FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
Calculated values of DEQ variables
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Variable
Initial value
Minimal value
Maximal value
Final value
t
0
0
1500.
1500.
T2
100.
78.38455
100.
78.38455
T3
100.
88.13489
100.
88.13489
T4
100.
94.12908
100.
94.12908
T5
100.
97.3809
100.
97.3809
T6
100.
98.94402
100.
98.94402
T7
100.
99.61376
100.
99.61376
T8
100.
99.87132
100.
99.87132
T9
100.
99.96098
100.
99.96098
T10
100.
99.98987
100.
99.98987
alpha
2.0E-05
2.0E-05
2.0E-05
2.0E-05
deltax
0.1
0.1
0.1
0.1
T11
100.
99.9995
100.0008
99.9995
h
25.
25.
25.
25.
T0
0
0
0
0
k
10.
10.
10.
10.
Differential equations
1 2 3 4 5 6 7 8
d(T2)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T3 - 2 * T2 + T1)
9
d(T10)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T11 - 2 * T10 + T9)
d(T3)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T4 - 2 * T3 + T2) d(T4)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T5 - 2 * T4 + T3) d(T5)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T6 - 2 * T5 + T4)
d(T6)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T7 - 2 * T6 + T5) d(T7)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T8 - 2 * T7 + T6) d(T8)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T9 - 2 * T8 + T7) d(T9)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T10 - 2 * T9 + T8)
Explicit equations
1 2 3 4 5 6 7
alpha = 2.e-5 deltax = .10 T11 = (4 * T10 - T9) / 3 h = 25. T0 = 0 k = 10. T1 = (2 * h * T0 * deltax - k * T3 + 4 * k * T2) / (3 * k + 2 * h * deltax)
POLYMATH Report Ordinary Differential Equations
6.8(c) METHOD OF LINES FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
Calculated values of DEQ variables
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Variable
Initial value
Minimal value
Maximal value
Final value
t
0
0
1500.
1500.
T2
100.
72.57457
100.
72.57457
T3
100.
79.06716
100.
79.06716
T4
100.
84.45161
100.
84.45161
T5
100.
88.77182
100.
88.77182
T6
100.
92.12326
100.
92.12326
T7
100.
94.63579
100.
94.63579
T8
100.
96.45551
100.
96.45551
T9
100.
97.72849
100.
97.72849
T10
100.
98.58857
100.
98.58857
T11
100.
99.14981
100.
99.14981
T12
100.
99.50359
100.
99.50359
T13
100.
99.71904
100.
99.71904
T14
100.
99.84585
100.
99.84585
T15
100.
99.918
100.
99.918
T16
100.
99.95769
100.
99.95769
T17
100.
99.97882
100.
99.97882
T20
100.
99.9975
100.
99.9975
T19
100.
99.99505
100.
99.99505
T18
100.
99.98968
100.
99.98968
alpha
2.0E-05
2.0E-05
2.0E-05
2.0E-05
deltax
0.05
0.05
0.05
0.05
T21
100.
99.99832
100.
99.99832
h
25.
25.
25.
25.
T0
0
0
0
0
k
10
10.
10.
10.
Differential equations
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
d(T2)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T3 - 2 * T2 + T1) d(T3)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T4 - 2 * T3 + T2) d(T4)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T5 - 2 * T4 + T3) d(T5)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T6 - 2 * T5 + T4) d(T6)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T7 - 2 * T6 + T5) d(T7)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T8 - 2 * T7 + T6) d(T8)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T9 - 2 * T8 + T7) d(T9)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T10 - 2 * T9 + T8) d(T10)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T11 - 2 * T10 + T9) d(T11)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T12 - 2 * T11 + T10) d(T12)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T13 - 2 * T12 + T11) d(T13)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T14 - 2 * T13 + T12) d(T14)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T15 - 2 * T14 + T13) d(T15)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T16 - 2 * T15 + T14) d(T16)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T17 - 2 * T16 + T15) d(T17)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T18 - 2 * T17 + T16) d(T20)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T21 - 2 * T20 + T19) d(T19)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T20 - 2 * T19 + T18) d(T18)/d(t) = alpha / deltax ^ 2 * (T19 - 2 * T18 + T17)
Explicit equations
1 2 3 4 5 6 7
alpha = 2.e-5 deltax = .05 T21 = (4 * T20 - T19) / 3 h = 25 T0 = 0 k = 10 T1 = (2 * h * T0 * deltax - k * T3 + 4 * k * T2) / (3 * k + 2 * h * deltax)
9 ESTIMACION DE PARAMETROS MODELO DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS UTILIZANDO DATOS DE FERMENTACION Planteamiento del problema Cuando el microorganismo Penicillium chrysogenum crece en un fermentador por lotes, en condiciones controladas cuidadosamente, las células se reproducen a una velocidad que puede ser representada por la ley:
1
(649)
(650)
Donde y1 es la concentración de las células expresada como porcentaje en masa (en seco). Por otro lado, la velocidad de producción de la penicilina se ha cuantificado matemáticamente mediante la siguiente ecuación, donde y1 es la unidad de penicilina por mL.
Problema a) Utilice datos experimentales de la tabla 6.22, para encontrar los valores de los parámetros b1, b2, b3 y b4 que minimizan la suma de los cuadrados de las diferencias entre las concentraciones calculadas y experimentales (y1 e y2) para todos los datos. Se pueden utilizar las siguientes suposiciones iniciales b1 = 0.1, b2 = 4.0, b3 = 0.02 y b4 = 0.02
b) Represente gráficamente los valores calculados y experimentales de y1 e y2 utilizando los valores de los parámetros óptimos
Tiempo (h)
Concentración de células porcentaje en peso seco y1
Concentración de penicilina unidades/mL. y1
0 10 22 34 46 58 70 82 94 106 118 130 142 154 166 178 190
0.18 0.12 0.48 1.46 1.56 1.73 1.99 2.62 2.88 3.43 3.37 3.92 3.96 3.58 3.58 3.34 3.47
0 0 0.0089 0.0642 0.2266 0.4373 0.6943 1.2459 1.4215 2.0402 1.9278 2.1848 2.4204 2.4615 2.283 2.7078 2.6542
APLICACIÓN DE POLYMATH
POLYMATH Report Ordinary Differential Equations
Calculated values of DEQ variables
1 2 3 4 5 6 7
6.9(a) ESTIMATING MODEL PARAMETERS INVOLVING ODE’S USING FERMENTATION DATA
Variable
Initial value
Minimal value
Maximal value
Final value
t
0
0
190.
190.
y1
0.18
0.18
4.
4.
y2
0
0
3.823093
3.823093
b1
0.1
0.1
0.1
0.1
b2
4.
4.
4.
4.
b3
0.02
0.02
0.02
0.02
b4
0.02
0.02
0.02
0.02
Differential equations
Explicit equations
1 2
1 2 3 4
d(y1)/d(t) = b1 * y1 * (1 - y1 / b2) d(y2)/d(t) = b3 * y1 - b4 * y2
b1 = 0.0.049875 b2 = 3.6349 b3 = 0.020459 b4 = 0.02652
General Total number of equations Number of differential equations Number of explicit equations Elapsed time Solution method Step size guess. h Truncation error tolerance. eps
6 2 4 0.000 sec RKF_45
0.000001 0.000001
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