Problemas resueltos de estadistica

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

27 DE MAYO DEL 2015

AUTOEVALUACIÓN 1° PARCIAL DE ESTADISTICA PARA EL ANÁLISIS SOCIOLÓGICO

PROFESOR: ADÁN TEJADA CABANILLAS

ALUMNO: SERGIO CESAR DÁVALOS ANDÍA CÓDIGO: 13150023

Índice I. Ejercicios propuestos de probabilidades ......................................................................2

ii. Ejercicios propuestos de probabilidad de bayes........................................................4

iii. Ejercicios propuestos de manejo de distribución normal .......................................6

iv. Ejercicios de estimación por intervalos de confianza ..............................................9

v. Ejercicios propuestos de manejo de alfa de cronbach ...........................................12

vi. Ejercicios de estimación por tamaño de muestra para poblaciones finitas e infinitas ....................................................................................................................................14

vii. Tema libre .........................................................................................................................16

I. EJERCICIOS PROPUESTOS DE PROBABILIDADES 1. Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan: a. Dos caras 1 1 1 p(2k )    2 2 4

b. Dos cruces 1 1 1 p(2 x)    2 2 4

c. Una cara y una cruz 1 1 1 1 1 p(1k 1x)      2 2 2 2 2

2. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

X (>9) = {(4,6), (5,5), (5,6), (6,6)} 1 1 1 Y ( p(h m)    )= {(0,4), (1,3), (2,2), (2,6), (3,5), (4,4), (6,6)} 4 3 12

p(X Y ) 

4 7 1 5    28 28 28 14

3. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando: a. La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda

 

BB, BR, BV , BN , RB, RR, RV , RN , VB, VR, VV , VN, NB, NR, NV ,

b. La primera bola no se devuelve

 

 BR, BV , BN , RB, RV , RN , VB, VR, VN , NB, NR, NV 

NN

4. La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:

a. De que ambos vivan 20 años. 1 1 1 p(h m)    4 3 12

b. De qué el hombre viva 20 años y su mujer no. p(h

1 2 1 m)  p(h)[1  p(m)]   4 3 6

c. De que ambos mueran antes de los 20 años.

p( h

3 2 1 m)  [1  p(h)][1  p(m)]    4 3 2

5. Dos hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

p( x p( x

y) 

p( x) 

2 5

p( y ) 

1 2

2 1 1 y)    5 2 5

2 1 1 7    p( x 5 2 5 10

y) 

2 1 1 7    5 2 5 10

II. EJERCICIOS PROPUESTOS DE PROBABILIDAD DE BAYES 1. Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25% respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa (d) de estas máquinas son del 13,83%, 14,61% y 15,49%. a. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. P(B/ d) 

0.1461 0.30  0.3027 0.1383  0.45  0.30  0.1461  0.25  0.1549

 30.27 % de probabilidad de haber sido producida por la máquina B.

b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser no defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina C. P(C /

d) 

0.0951 0.25  0.1114313836 0.3187  0.45  0.30  0.1539  0.0951 0.25

 11.14% de probabilidad de haber sido producida por la máquina C.

2. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? P(Ing/ dir) 

0.2  0.75  0.405 0.2  0.75+0.2  0.5 + 0.6  0.2

 40.5% es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero.

3. La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 10 %. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 97% y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 2%. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

P(Incidente/ Alarma) 

0.9  0.02  0.157 0.1 0.97 + 0.9  0.02

 15.7% es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente cuando la alarma estaba funcionando.

4. Una fábrica de enlatados produce 5000 envases diarios. La máquina A produce 3000 de estos envases, de los que el 2% son defectuosos (d) y la máquina B produce los 2000 restantes de los que se sabe que el 4% son defectuosos. Determinar si el envase seleccionado es defectuoso, qué probabilidad hay de que proceda de la máquina A. ¿y B?

P(A/ d) 

0.6  0.02  0.428571429 0.6  0.2 + 0.4  0.4

 42% de probabilidad de que envase seleccionado a partir de la maquina A sea defectuoso.

P(B/ d) 

0.4  0.4  0.5714285714 0.6  0.2 + 0.4  0.4

 57% de probabilidad de que envase seleccionado a partir de la maquina B sea defectuoso. 5. Un equipo de liga menor de una organización juega el 70% de sus partidos en la noche, y el 30% durante el día. El equipo gana el 50% de sus juegos nocturnos y el 90% de los diurnos. De acuerdo con esto el equipo ganó ayer. ¿Cuál es la probabilidad de que el partido se haya desarrollado en la noche? P( Noche / gano) 

0.70  0.50  0.56 0.70  0.50+0.30  0.90

 56% de probabilidad de que de que el partido se haya desarrollado en la noche con triunfo.

III. EJERCICIOS PROPUESTOS DE MANEJO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL 1. El peso medio de 500 estudiantes varones de una universidad es de 68,5 Kg. y la desviación típica es de 10 Kg. Suponiendo que los pesos están distribuidos normalmente, hallar el número de estudiantes que pesan a. Entre 48 y 71 kg.

71  68.5   48  68.5 p[48  x  71]  p  z  10   10 p  2.05  z  0.25  p  z  2.05  p  z  0.25  p  z  2.05  p  z  0.25  p  z  2.05  (1  p[ z  0.25])   0.9798  (1  0.5987)  0.5785  El 57.85% de 500 es 289.25 o entre 289 y 290 estudiantes

b. Más de 91 kg

 91  68.5  p[ x  91]  p   z   10  p  2.25  z   1  p[ z  2.25]   1  0.9878  0.0122

 El 1.22% de 500 es 289.25 o entre 6 y 7 estudiantes

2. La media del diámetro interior del conjunto de lavadoras producidas por una máquina es 1,275 cm. y la desviación típica de 0,0125 cm. El propósito para el cual se han diseñado las lavadoras permite una tolerancia máxima en el diámetro de 1,26cm. a 1,29 cm., de otra forma las lavadoras se consideran defectuosas. Determinar el porcentaje de lavadoras defectuosas producidas por la máquina, suponiendo que los diámetros están distribuidos normalmente.

1.26  1.275 x  1.275 1.29  1.275  p[1.26  x  1.29]  p     0.0125 0.0125   0.0125 p  1.2  z  1.2  p  z  1.2  p  z  1.2  p  z  1.2  p  z  1.2  p  z  1.2  (1  p[ z  1.2])   0.8849  0.1151  0.7698  El 23.02% (100%-76.98%) de las lavadoras son defectuosas.

3. Cierto tipo de pieza para automóvil tiene un promedio de duración de tres años, con una desviación estándar de 0,5 años. Suponga que las duraciones de las piezas están normalmente distribuidas y encuentre la probabilidad de que una pieza determinada tenga un tiempo de duración de más de 3,5 años

 3.5  3  p[3.5  x]  p   z   0.5  p 1  z   1  p[ z  1]   1  0.8413  0.1587

 Tiene una probabilidad de 15.87%.

4. Una fábrica de alimentos empaca productos cuyos pesos están normalmente distribuidos con media de 450 gramos y desviación estándar de 20 gramos. Encuentre la probabilidad de que un paquete escogido al azar pese entre 425 y 486 gramos

486  450   425  450 p[425  x  486]  p  z   20 20  p  1.25  z  1.8  p  z  1.8  p  z  1.25  p  z  1.8  p  z  1.25  p  z  1.8  (1  p[ z  1.25])   0.9641  (1  0.8944)  0.8585  Tiene una probabilidad de 85.85%.

5. La cantidad de radiación cósmica a la cual está expuesta una persona mientras vuela en avión es una variable aleatoria que tiene una distribución normal con μ = 4,35 mrem y σ = 0,59 mrem. Determine las probabilidades de que una persona que va en este vuelo está expuesta a: Más de 5,00 mrem de radiación cósmica.

 5  4.35  p[5  x]  p   z   0.59  p 1.10  z   1  p[ z  1.10])   1  0.8643  0.1357  Tiene una probabilidad de 13.57%.

Entre 3,00 y 4,00 mrem de radiación cósmica

4  4.35   3  4.35 p[3  x  4]  p  z 0.59   0.59 p  2.28  z  0.59  p  z  0.59  p  z  2.28  p  z  0.59  p  z  2.28  p  z  0.59  (1  p[ z  2.28])   0.27759  (1  0.9887)  0.26629  Tiene una probabilidad de 26.62%.

IV. EJERCICIOS DE ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA 1. Para una muestra de 400 personas elegidas al azar se obtiene una renta per cápita de 1.215.000 ptas. Si la desviación típica de la renta per cápita para la población es de 700.000 ptas, calcula el intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de significación de 0.05.

x  1215

  700 Z /2 

1

95 100  0.975  1.96 2

    700 700   ; X  Z /2  ;1215  1.96   X  Z /2    1215  1.96    (1146.4;1283.6) n n  400 400  

 El intervalo de confianza es (1146.4 ; 1283.6)

2. Para una muestra de 30 alumnos se obtuvo una nota media en el último examen de matemáticas de x  5'83 , con una desviación típica s= 1’92. Determina el intervalo de confianza al 80%.

x  5.83   1.92 Z /2 

1

80 100  0.900  1.285 2

    1.92 1.92   ; X  Z /2  ; 5.83  1.28   X  Z /2     5.83  1.28   n n  30 30  

 El intervalo de confianza es (5.381 ; 6.278)

3. El peso medio de una muestra de 100 recién nacidos es 3.200 gramos. Sabiendo que la desviación típica de los pesos de la población de recién nacidos es de 150 gramos, halla el intervalo de confianza para la media poblacional para una significación de 0’05.

n  100 x  3200   150 Z /2 

1

95 100  0.9750  1.96 2

    150 150   ; X  Z /2  ; 3200  1.96   X  Z /2     3200  1.96   n n  100 100    El intervalo de confianza es (3170.6 ; 3229.4)

4. Un investigador de mercado de una compañía de productos electrónicos desea estudiar los hábitos televisivos de los residentes de una pequeña ciudad. Selecciona una muestra aleatoria de 40 participantes y les pide que mantengan un registro detallado de lo que ven en televisión durante una semana. Los resultados son los siguientes:  Tiempo frente al televisor: x = 15,3 h. s = 3,8 h. Establezca un intervalo de confianza de 95% para el promedio semanal de tiempo que ven televisión en esta ciudad. n  40 x  15.3   3.8 Z /2 

1

95 100  0.9750  1.96 2

    3.8 3.8   ; X  Z /2  ;15.3  1.96   X  Z /2    15.3  1.96    (14.122;16.478) n n  40 40    El intervalo de confianza es de (14.122;16.478) .

5. Un director de producción sabe que la cantidad de impurezas contenida en los envases de cierta sustancia química sigue una distribución normal con una desviación típica de 3,8 gramos. Se extrae una muestra aleatoria de nueve envases cuyos contenidos de impurezas son los siguientes: 18,2; 13,7; 15,9; 17,4; 21,8; 16,6; 12,3; 18,8; 16,2.

n9 18.2+13.7 + 15.9 + 17.4 + 21.8+16.6 + 12.3+18.8 + 16.2 x  16.767 9   3.8 90 1 Z /2  100  0.95  1.645 2     ; X  Z /2   X  Z /2   n n  3.8 3.8   ;16.767  1.96  16.767  1.96    (14.683;18.851) 9 9 

 El intervalo de confianza es de (14.683;18.851)

V. EJERCICIOS PROPUESTOS DE MANEJO DE ALFA DE CRONBACH 1. En la siguiente tabla se muestran las puntuaciones obtenidas por un grupo de 10 estudiantes de 2º de Bachillerato en un test de Matemáticas compuesto por 5 ítems de elección múltiple.

Sujetos

1

2

3

4

5

Total

A

0

1

1

1

1

4

B

1

0

0

1

1

3

C

1

1

1

0

0

3

D

1

1

1

1

0

4

E

1

1

0

0

0

2

F

1

1

1

1

1

5

G

1

1

0

1

0

3

H

0

1

1

1

1

4

I

1

1

1

1

1

5

J

1

0

0

0

0

1

total

8

8

6

7

5

34

Varianza 0.16 0.16 0.24 0.21 0.25

Hallar el coeficiente de Cronbach.

k   si2  K   5  1.02  1  i 1 2   1  0.3645   K 1  si  5  1  1.44     El coeficiente de Cronbach es 0.36

La varianza del elemento 5 es igual: 2  elemento 5 

(1  0.5)2  (1  0.5)2  (1  0.5)2  (1  0.5)  2 (1  0.5)2  (0  0.5)2  (0  0.5)2  (0  0.5)2  (0  0.5)2 10

=> 0.2

2. Con los datos de la siguiente tabla, el coeficiente alfa de Cronbach es igual a: Sujetos A B C D E TOTAL

Elementos 1 2 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 4 2

3 0 1 0 1 1 3

4 1 0 0 1 1 3

5 1 0 0 0 0 1

3 3 3 1 2 4 13

VARIANZA 0.16 0.24 0.24 0.24 0.16 1.04

k   si2  K   5  1.04  1  i 1 2    1 0 K 1  si  5  1  1.04   

=> El coeficiente alfa de Cronbach es 0

VI. EJERCICIOS DE ESTIMACIÓN POR TAMAÑO DE MUESTRA PARA POBLACIONES FINITAS E INFINITAS 1. Para un mercado de prueba, encuentre el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción real de consumidores satisfechos con un cierto producto nuevo, dentro de ± 0,04 a un nivel de confianza de 90%. Suponga que no tiene una buena idea del valor de la proporción.

Z /2 2  q  p 1, 652  0.5  0.5 n   425.390625 e2 0.042 => El tamaño de muestra necesario para estimar la proporción real de consumidores satisfechos es 426

2. Un encuestador político desea estimar la proporción de electores que votarán por el candidato demócrata en una campaña presidencial. El encuestador desea 99% de confianza de que su predicción será correcta dentro de ± 0,04 de la proporción de la población, que sabe que es de 0,5. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario?

n

Z /2 2  p  q 2.582  0.5  0.5   1040.0625 e2 0.042

 El tamaño de muestra necesario es 1041

3. Si el gerente de una tienda de pinturas desea estimar la cantidad promedio en una lata de 1 galón dentro ± 0,004 de galón con 95% de confianza y supone que la desviación estándar es 0,02 de galón ¿qué tamaño de muestra requiere?

Z /2 2   2 1.962  0.022 n   96, 04 e2 0.0042  97 es el tamaño de muestra que se requiere.

4. El director de una escuela de ciencias empresariales está interesado en conocer los salarios de los ex alumnos cinco años después de completar sus estudios. Dispone de una muestra de 25 de estos diplomados cuya media y desviación estándar es de 450000 y 85000 bolívares mensuales. Suponiendo que la distribución es normal, hallar un intervalo de confianza del 90% para la media poblacional.

    85000 85000   ; X  Z /2  ; 450000  1, 65   X  Z /2     450000  1, 65   n n  25 25    (421950; 478050)

 Para una muestra finita de 25 personas el intervalo de confianza es (421950; 478050)

VII. TEMA LIBRE 1. Un proceso produce bolsas de azúcar refinado. El peso del contenido de estas bolsas tiene una distribución normal con desviación típica 15 gramos. Los contenidos de una muestra aleatoria de 25 bolsas tienen un peso medio de 100 gramos. Calcular un intervalo de confianza del 95% para el verdadero peso medio de todas las bolsas de azúcar producidas por el proceso.

    15 15   ; X  Z /2  ; 100  1, 65   X  Z /2    100  1, 65   n n  25 25    (95.05;10.495)  El intervalo de confianza del 95% para el verdadero peso medio de todas las bolsas de azúcar producidas por el proceso es (95.05;10.495) .

2. Un directivo de cierta empresa ha comprobado que los resultados obtenidos en los tests de aptitud por 100 solicitantes de un determinado puesto de trabajo sigue una distribución normal con una desviación típica de 32,4 puntos. La media de las calificaciones de una muestra aleatoria de nueve tests es de 187,9 puntos. Calcular un intervalo de confianza del 80% para la calificación media poblacional del grupo de solicitantes actual.

    32.4 32.4   ; X  Z /2  ; 187.9  1.28   X  Z /2    187.9  1.28   n n  100 100    (183.7528;192.0472)  El intervalo de confianza del 80% para la calificación media poblacional del grupo de solicitantes actual es (183.7528;192.0472)

3. Los salarios de los trabajadores en cierta industria son en promedio $11,9 por hora y la desviación estándar de $0,4. Si los salarios tienen una distribución normal. ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar: a. Reciba salarios entre $10,9 y $11,9? 11.9  11,9  10.9  11,9 p[10.9  x  11.9]  p  z   0.4 0.4  p  2.5  z  0  p  z  2.5  p  z  0  p  z  2.5  p  z  0   0.9938  0.5000  0.4938

 49.38% de probabilidades

b. Reciba salarios inferiores a $11

11  11.9  p[ x  11]  p   z   0.4  p  2.25  z   1  p[ z  2.25]   1  0.98776  0.012224

 1.22 % de probabilidades

c. Reciba salarios superiores a $12,95?

12.95  11.9  p[ x  12.95]  p   z  0.4   p  2.625  z   1  p[ z  2.62]   1  0.9956  0.0044

 0.44% de probabilidades

4. La siguiente muestra de 8 observaciones fue tomada de una población infinita con distribución normal: 75.3, 76.4, 83.2, 91.0, 80.1, 77.5, 84.8, 81.0- Construya un intervalo de confianza de 98% para la media.

n8 75.3+76.4+83.2+91.0+80.1+77.5+84.8+81.0 x  81.163 8   5, 0938 98 1 Z /2  100  0.99  2.3266666666666667 2     ; X  Z /2   X  Z /2   n n  5, 0938 5, 0938   ; 81.163  2.32   81.163  2.32    (76.98;85.34) 8 8    El intervalo de confianza de 98% para la media es (76.98;85.34)

5. Se tienen fuertes indicios de que la proporción de la población es aproximadamente de 0,7. Encuentre el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción dentro de ± 0,02 con un nivel de confianza de 90%.

n

Z /2 2  q  p 1,6452  0.3  0.7   1420.66 e2 0.022

 El tamaño de muestra necesario es 1421. 6. Una tienda local vende bolsas de plástico para basura y ha recibido unas cuantas quejas con respecto a la resistencia de tales bolsas. Parece ser que las bolsas que se venden en la tienda son menos resistentes que las que vende su competidor y, en consecuencia, se rompen más a menudo. Gustavo, gerente encargado de adquisición, está interesado en determinar el peso máximo promedio que puede resistir una de las bolsas para basura sin que se rompa. Si la desviación estándar del peso límite que puede aguantar una bolsa es de 1,2 Kg., determine el número de bolsas que deben ser probadas con el fin de que Gustavo tenga una certeza de 95% de que el peso límite promedio está dentro de 0,5 Kg., del promedio real.

n

Z /2 2   2 1,962 1.22   22.1276 e2 0.052

 El número de bolsas que deben ser probadas es 23.