Problemas Resueltos de Elasticidad

Problemas Resueltos de Elasticidad

Problema Nº1 Cuál debe ser el diámetro máximo de un cable de acero que se quiere emplear en una grúa diseñada para levantar un peso máximo de100 N. El esfuerzo de ruptura por tensión del acero es de 30 107 Pa. Igual pero si se quiere un coeficiente de seguridad de 0.6. Solución:: Solución Datos: Fmáx = 100N ;

á ⋅

= 3 10 108Pa ;

 →  á

á

Procedimiento: 



C.S. =

= (C.S.)(



A=

⋅

D2m2 ; C.S. = 0.6

⋅

) = (0.6)(3 10 108 Pa)

⋅      á á   á 4⋅Dá2  ⋅ áá )  → á = √ 4 ⋅ á  4 ⋅ (1.(100 → 8 8⋅10 ) á =

=

 =

= 1.8 10 108 Pa

=

 =

= 8.410 10-4 m.

Problema Nº2 Un cable de acero de 3 m de largo tiene una sección transversal de 0.4 cm2. Se cuelga un torno de 55 N del cable. Determínese el esfuerzo, la deformación y el alargamiento del cable. Supóngase que el cable se comporta como una varilla con la misma área transversal. El módulo de  Young del acero es 200 200 109 Pa. Solución:: Solución Datos: F = 55N ;

L0 = 3 m. ;

⋅

⋅

A = 4 10 10-5m2 ; Yacero = 2 10 1011 Pa

Procedimiento:





  ⋅ →  =

Y =

=

= 1.375 106 Pa

()( ) ()( )   ()(∆) → ∆ ()() =

1

( )( ) ∆ (⋅)(⋅ ) → ∆  ∆ .  ⋅      .    →   =



=



= 4.125 10-5 m.

= 1.375 10-5

=

Problema Nº3 Una varilla metálica de 4 m de largo y sección 0.5 cm 2 se estira 0.20 cm al someterse a una tensión de 5000 N. ¿Qué módulo de Young tiene el metal? Solución:

⋅

∆ ⋅  ()(∆) ()() (⋅(⋅ )(⋅)() )

Datos: F = 5 103N ;

L0 = 4 m. ;

⋅

A = 5 10-5m2 ;

= 2 10-3 m.

Procedimiento:



Ymetal =

→



=

=

 Ymetal = 2 1011 Pa

Problema Nº4 Una cuerda de Nylon se alarga 1.2 m sometida al peso de 800 N de un alpinista. Si la cuerda tiene 60 m de largo y 8 mm de diámetro, ¿qué módulo de Young tiene el Nylon?. Solución:

∆  ()(∆) ()() (⋅(⋅( )( )      )  )(. ) 

Datos: F = 800N ; Procedimiento:



YNylon = =

→

L0 = 60 m. ;

⋅

D = 8 10-3m ;

= 1.2 m.

=

 YNylon = 7.958 108 Pa

2

Problema Nº5 Para construir un móvil, un artista cuelga una esfera de aluminio de 8N de un alambre vertical (1) de acero de 0.4 m de largo y sección 3 10-3 cm2. En la parte inferior de la esfera sujeta un alambre similar (2) del cual cuelga un cubo de latón de 10 kg. Para cada alambre calcular la deformación por tensión y el alargamiento. Solución:

⋅

Datos: F1 = 106.1N ; F2 = 98.1N; L0 = 0.4 m; A = 3 10-7 m2;

∆

= 1.2 m.

Procedimiento: 



Para el alambre (1):

(()(∆ ()() ) )()) → ∆1 ()(   (.  )(.  ) ∆ (⋅)(⋅ ) → ∆  ∆ .  ⋅      .   . →   (()(∆ ()() ) )()) → ∆2 ()(   (.  )(.  ) ∆ (⋅)(⋅ ) → ∆ Yacero =

=

= 7.073 10-4 m.

 =







=

= 1.768 10-3

=

Para el alambre (2):

Yacero =

 =

=

= 6.54 10-4 m.

3



 ∆ .  ⋅      .    .  →   =

=

= 1.635 10-3

Problema Nº6 Una prensa hidráulica contiene 0.35 m3  de aceite. Calcúlese la disminución de volumen del aceite cuando se le somete a un aumento de presión de 1.6 107 Pa. El módulo de volumen del aceite es B = 5.0 109 Pa y su compresibilidad es 1/B. Solución:

⋅

Datos: V0 = 0.35 m3; Baceite = 5 109Pa ;

∆ ⋅

= 1.6 107 Pa.

Procedimiento:



7 3  ∆ ∆ (0. 3 5  )(1. 6 ⋅ 1 0 0  (∆) →∆    (5⋅109) ) 0 ∆= .  ⋅−

Baceite =

=

=

Problema Nº7 Se somete a una muestra de cobre de forma cúbica con 12 cm de arista a una compresión uniforme, aplicando una tensión equivalente a una tonelada perpendicularmente a cada una de sus caras. La variación relativa de volumen que se observa es de 7.25 10-6(ΔV/Vo). Determinar el módulo de compresibilidad del Cu en el sistema internacional, sabiendo que el módulo de Young del cobre es 120 109  Pa. Obtener además el módulo de Poisson. Solución:

⋅

⋅

⋅

Datos: A = 1.44 10-2 m2; Ycobre = 1.2 1010Pa; ΔV/V0 = - 7.25 10-6; F = 9810 N Procedimiento:







) ∆  (.( ⋅) ⋅ 5  (6. 8 12⋅ 1 0 ∆  (∆)  (7.25⋅10 6)) →   =

= 6.812 105 Pa

=

Bcobre=

0

=

K=

(−)  →   ⋅(1 ) 

Bcobre=

= 1.064 10-11Pa-1

=

4

  (.  ⋅     ⋅(1 (.⋅  ))) →  =

= 0.436

Problema Nº8 ¿Cuánto se estira un alambre de acero de longitud l0  = 0.8 m y 4 mm de diámetro cuando se le aplica una tensión de 500 N? El módulo de Young del acero es 200 109 Pa Solución: Datos: F = 500N ;

L0 =0.8 m. ;

⋅

⋅

D = 4 10-3m ; Yacero = 2 1011 Pa

Procedimiento:



()( ) ()( )   ()(∆) → ∆ ()() ( )(.  ) ∆ (⋅(⋅))(⋅ ) → ∆ Yacero =

 =

=



= 1.591 10-4 m.



Problema Nº 9. Demostrar que la magnitud l = σc / g (σc  = esfuerzo de ruptura por tracción) es igual a la longitud máxima de material que puede mantenerse unida bajo su propio peso. Supóngase una columna de material colgada de un soporte fijo. Solución: Procedimiento:



 ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅     →   σc =

=

=

=

=

=

Problema Nº10. Una mujer distribuye su peso de 500 N igualmente sobre los tacones altos de sus zapatos. Cada tacón tiene 1.20 cm 2  de área. ¿Qué presión ejerce cada tacón sobre el suelo? Con la misma presión, ¿cuánto peso podrían soportar 2 sandalias planas cada una con un área de 200 cm2?.

5

Solución: Datos: F = 500N ;

⋅

Atacón = 2.4 10-4 m2;

Asandalia = 0.04 m2.

Procedimiento:



P=



P=

  (.(⋅)) → ó  ⋅  → =

P = 2.083 106 Pa

=

F = (P)(Asandalia) = (2.083 106 Pa)( 0.04 m2)

F = 8.332 N Problema Nº11. Se tiene una lámina de cobre de dimensiones 120 60 0.2 cm. ¿Cuál será su deformación lateral cuando se somete a una tracción uniforme de 9.8 103 N en la dirección de la arista mayor? ¿Cuál será su deformación lateral cuando sobre la lámina descansa un peso de 10 toneladas uniformemente distribuido sobre ella? Dar en este caso la variación relativa de la superficie mayor y la del volumen. El módulo de Young para el cobre es 120x10 9 Pa y el módulo de Poisson es 0.352. Solución: a) Datos: F = 9800N ;

⋅

L0 =1.2 m ; Ycobre = 12 1010 Pa

Procedimiento:



()( ) ()( )   ∆ → ()(∆) ()() )(.  ) ∆ ((⋅( ∆ →   )(. ))(⋅  ) ⋅ ⋅  ()( ) ()( )   ()(∆) → ∆ ()() Ycobre =

=

= 8.167 10-5 m.

 =

b) Datos: F = 98100N ;

= 0.352 ; L0 = 2 10-3m ;Ycobre = 12 1010 Pa

Procedimiento:



Ycobre =

=

6

 ( )(⋅      ) ∆ ((. )(. ))(⋅ ) → ∆ ∆R  ∆ (0.352) (2.271⋅1309 ) → ∆ .⋅ 0 (2⋅10  ) ∆V   (⋅ ( ) (0. 3 52) )((.  )(.  ))  → ∆ .⋅ = 2.271 10-9 m.

 =





=

=

=

=

(1 - 2 )=

(1 - 2

)

=

Problema Nº12 Se somete a una cuerpo de cobre de forma cúbica y de 1 dm de arista a una fuerza de 100 N, aplicada tangencialmente a la superficie de una de sus caras. Determinar el ángulo de deslizamiento. El módulo de deslizamiento del Cu es de 1.6 103 kp/mm2. Solución: A = 10-2 m2;

Datos: FT = 100N ;



⋅

 = 1.569 1010 Pa

Procedimiento: 

)  ⋅→   (( )(.⋅ )  =

 =

=

 = 6.373 10-7

Problema Nº13. Una varilla de 95m de largo y peso despreciable está sostenida en sus extremos por alambres A y B de igual longitud. El área transversal de A es de 1.5 mm2 y la de B 5 mm2. El módulo de Young de A es 2.4 1011Pa y de B 1.2 1011 Pa. ¿En que punto de la varilla debe colgarse un peso p a fin de producir a) esfuerzos iguales en A y B? y b) ¿deformaciones iguales en A y B?. Solución:

⋅⋅ ⋅

⋅

Datos: A A = 1.5 10-6 m2;  AB = 5 10-6 m2; Y A = 2.4 1011 Pa; YB = 1.2 1011 Pa L A = LB 7

Procedimiento: a) Por dato:

→     →   (.(⋅⋅)) 0.3 → 95  →



σ A = σB

=

=



En la gráfica, tomamos momentos respecto a O.

(F A)(x) = (FB)(95 - x) b) Por dato:



=

=



 =

= 0.3

x = 73.077 m

  → ( )(  ) ()( ) →  (()()())  A =

=

B

=

 (.(⋅⋅)(.)(.⋅⋅  )) 0.6  =



=

En la gráfica, tomamos momentos respecto a O.

(F A)(x) = (FB)(95 - x)

→ 95

 =

 →  = 0.6

x = 59.375 m

Problema Nº14 . Calcular la anchura que habría que dar a una correa sin fin de espesor 1.5 cm y límite de ruptura 103 N/cm2 si se acopla a un motor que funciona a la potencia de 50 cv y le comunica una velocidad de 3 m/s y si se requiere un coeficiente de seguridad de 0.17. Solución:

á

Datos: espesor = 0.015 m; = 107Pa

C.S. = 0.17;

⋅

P = 36.775 103 W;

v = 3 m/s;

Procedimiento: 

C.S. =

 →  á

á

= (C.S.)(



) = (0.17)(107 Pa)

⋅

= 1.7 106Pa

8

⋅→   → P=Fv



=



 (.(⋅/)) ⋅  (.(.⋅⋅ ) )

F=

 A =

= 12.258 103

=

=7.216 m2.

=

→

A = (ancho)(espesor)  (ancho) =



N

)  (.    () (. ) =

= 481.067 m

Problema Nº15. Sobre un tubo vertical de acero de 18 m de largo y 15 cm de diámetro exterior y 1 cm de espesor se pone un bloque de granito de 14 Tn. Si el módulo de young del acero es 2.05x10 11 N/m 2, determinar el acortamiento experimentado por el tubo. Solución: Datos:

⋅

⋅

Yacero= 2.05 1011 Pa; F = 1.37 105N ; L0 = 18 m Procedimiento:



A=



2 2 15 13 ( ( 2 ) ( 2 ) )⋅1042

⋅

 A = 4.398 10-3m2



()( ) ()( )   ()(∆) → ∆ ()()  (.  ⋅   ∆ (.⋅ )(.)(⋅) ) → ∆ Yacero =

 =

=

= 2.735 10-3 m.

Problema Nº16. Un bloque de gelatina tiene 70 x 70 x 30 mm cuando no está sometido a esfuerzo alguno. Se aplica una fuerza de 0.245 N tangencialmente a la superficie superior, provocándole un desplazamiento de 5 mm relativo a la superficie inferior. Encontrar el esfuerzo cortante, la deformación cortante y el módulo de esfuerzocortante. Solución: 9

Datos:

∆ ⋅ ⋅

FT = 0.245N;  A = 21 10-4 m2

= 5 10-3 m ;

Procedimiento:







 (⋅(.))  ∆ (⋅      )    (⋅ ) σT =

 =

=



= 1.167 102 Pa

= 7.143 10-2

=

  (.  ⋅      )   ⋅ →   (.⋅) =

 =

=

= 163.377 Pa

10