Problemas Resueltos de Ecuaciones de Primer Grado

PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1.-Un 1.Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo? Solución: Sea x: número años de la edad del padre para que sea mayor que la edad del hijo. 35 + x = 3 · (5 + x) 35 + x = 15 + 3 · x -3x+x = 15 – 35 -2x = -20 (multiplicando por -1) obtenemos 2x = 20 x = 10. Respuesta: al cabo de 10 años Respuesta: 2.-Si 2.Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número? Solución: Sea x: el número buscado. 2x-x/2=54 entonces, (4x-x)/2=54 3x/2= 54 3x=54*2 X=108/3

x=36.

Repuesta: el número es 36. 3.- La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm? Solución: Sea x: Altura del rectángulo 2x: Base del rectángulo Sabemos la fórmula de perímetro de un rectángulo es: P= 2*a + 2*b, donde a= altura, b= base, luego la ecuación será: 2 · x + 2 (2x) = 30

2x + 4x = 30

6x = 30

x=5

Respuesta: las dimensiones del rectángulo son: altura de 5 cm y Base=10cm Respuesta:

4.- En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas? Solución: Sea

x: Número de hombres en la reunión 2x: Número de mujeres en la reunión 3 · (x + 2x) = 3 · 3x = 9x: Número de niños en la reunión

la ecuación a plantear será: x + 2x + 9x = 96, resolviendo la ecuación tenemos: 12x = 96, donde x = 8. Respuesta: Hombres son 8, Mujeres son (2 · 8) = 16 y niños (9 · 8) = 72 5.-Se 5.Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 litros y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón Solución: Sea

x: Capacidad del bidón en litros. (7/8)*x: lo que se ha consumido del bidón, en litros (38): la reposición de aceite para el bidón, en litros (3/5)*x: la parte que ha quedado del bidón, en litros

Luego la ecuación según el enunciado del problema será: x – (7/8)*x + (38)= (3/5)*x, resolviendo la ecuación nos queda: (1/8)*x + 38 = (3/5)*x

(3/5-1/8)*x= 38 (19/40)*x=38, entonces,

X = (38*40)/19, luego x= 80 Respuesta: La capacidad del bidón es de 80 litros.

6.-Una 6.Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay? Solución: Sea

x: números de Cerdos 35 – x: número de pavos.

La ecuación será: 4x + 2 · (35 − x) = 116 4x + 70 − 2x = 116

2x = 46

x = 23

Respuesta: Cerdos hay 23 y Pavos hay (35 – 23) = 12 Respuesta: 7.-Luís 7.Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 litros de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide: a. Litros de gasolina que tenía en el depósito. b. Litros consumidos en cada etapa. Solución: a. Litros de gasolina que tenía en el depósito: Sea 2/3*x: 1º etapa ½(x – 2/3*x)= (½*x -1/3*x)= (1/6)*x: 2º etapa. La ecuación a plantear es: 2/3*x + 1/6*x= 20, resolviendo, obtenemos: sacando el m.c.m (3,6)= 6, luego nos queda 4*x + x = 120, donde x=120/5, X=24. Respuesta: En el depósito tenía 24 litros de gasolina. b. Litros consumidos en cada etapa: En la 1º etapa: 2/3*24= 16. En la 2º etapa: 1/6*24= 4.

Respuesta:: en cada etapa consumió 16 litros de gasolina en la 1º etapa y, en Respuesta la 2º etapa consumió 4 litros de gasolina. gasolina. 8.-En 8.En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 €. ¿Cuánto dinero tenía Ana?

Solución: Sea

x: Total de dinero que tenía Ana.

(1/3)*x: tercera parte de su dinero compró un libro. 4/9*x: dos terceras partes compró un cómic. 2/3(1 – 1/3)= 2/3 – 4/9*x: La ecuación a plantear según el enunciando del problema es: (1/3)*x + (4/9)*x + 12 = x, resolviendo la ecuación obtenemos: 1º sacando m.c.d. (3,9)= 9, entonces la ecuación nos queda: 3*x + 4*x + 108 = 9*x, 7*x + 108 = 9*x, 9*x  – 7*x = 108, 2*x= 108, X=108/2….x=54.

Respuesta: El total de dinero que tenía Ana es 54 € . 9.- Las dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la menor la de las unidades. El número es igual a seis veces la suma de las cifras. ¿Cuál es el número? Solución: Sea

x: Unidades del número x + 1: Decenas del número.

Si tenemos un número de dos cifras, por ejemplo 65 podemos descomponerlo, de este modo: 6 ·10 + 5. Nuestro número de dos cifras es: (x +1) · 10 + x. Como este número es seis veces mayor que la suma de sus cifras: x + x + 1 = 2x + 1, tendremos: (x +1) · 10 + x = 6 (2x + 1) 10x + 10 + x = 12 x + 6 10 x + x - 12x = 6 - 10 −x = −4

x = 4.

Luego las unidades será: 4 y las decenas (4+1)=5. Repuesta: el número es 54. 10.- Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de éste. Hace cuatro años la edad del padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos. Solución: Hacemos el siguiente cuadro: Juan

Padre de Juan

Hace cuatro años

x

2x

Hoy

x+4

2x + 4

La ecuación será: ¾(2*x+4) = x + 4 +15. Resolviendo la ecuación obtenemos: 6x +12 = x + 19……… 6*x – 4x = 4*(19) – 12……… 2*x = 76 – 12…… x= 64/2 X= 32. Repuesta: la edad de Juan es 32 + 4= 36 años y la edad del padre es 2*32 + 4 = 68 años.

11.- Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en hacerlo por separado si uno es el doble de rápido que el otro? Solución:

Hacemos el siguiente Rápido

Lento

Tiempo

x

2x

Hora de trabajo

1/x

1/2x

Cuadro:

La ecuación será: 1/x +1/2x = 1/14. M.C.M (x, 2x, 14)= 14x. 14+7=x, entonces x=21. Respuesta: el primer obrero tardara 21 horas en hacer el trabajo más rápido, en cambio el segundo tardara 42 horas más lento.

12.- Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B. Solución: Sea

x: el valor del ángulo de C (X + 40): el valor del ángulo de B

X + 40 + 40= (x+80): el valor del ángulo de A Pero sabemos que la suma de sus ángulos interiores de todo triángulo es 180º, luego la ecuación nos queda: X + (x + 40) + (x + 80) = 180º, resolviendo nos queda: 3x +120º = 180º donde 3x = 180º - 120º entonces x= 60º/3, finalmente x= 20º Respuesta: Valor del ángulo A es (20 + 80)=100º, valor del ángulo B es (20 + 40) = 60º, y el valor del ángulo de C es 20º. OTROS PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y OTRAS COSAS DE ALGEBRA:

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