Problemas resueltos de dinámica rotacional (parte 2)

Problemas resueltos de dinámica rotacional (PARTE 2) 1. En el sistema de la figura 1 se tiene un objeto A de masa “m” acoplado a un bloque B de masa M y un momento de inercia I con respecto a su eje de rotación, los radios que presenta el bloque son R y 2R. La masa del hilo es despreciable. Determine la aceleración del objeto A.

Figura 1 Solución Para evaluar el movimiento (traslación) del objeto A se debe evaluar los movimientos de rotación y traslación que presenta el bloque B. De dinámica de traslación para el objeto A se tiene 

∑F = ma

1

   mg + T1 = ma1 mg ( −kˆ) + T1 ( kˆ) = ma 1 (−kˆ ) mg −T1 = ma 1

(1)

De dinámica de traslación del bloque B se tiene 

∑F = ma

2

     T1 +T2 +T3 + Mg = Ma 2 Mg (−kˆ ) +T1 ( −kˆ ) +T2 ( kˆ ) +T3 ( kˆ) = Ma 2 ( −kˆ)

− Mg − T1 + ( T2 + T3 ) = −Ma 2 T2 +T3 = Mg +T1 − Ma 2

(2)

Ahora de dinámica rotacional tenemos Se utiliza los ejes x, y, z del caso anterior 

∑τ = Iα        R ×T3 + R ×T2 + 2 R ×T1 = Iα R (−iˆ) ×T3 ( kˆ ) + R ( −iˆ) ×T2 (kˆ) + 2 R(iˆ) ×T1 ( −kˆ ) = Iα( ˆj )

− RT 3 ( − ˆj ) + −RT 2 ( − ˆj ) + −2 RT1 ( − ˆj ) = Iα( ˆj )

Vista lateral del objeto B

RT 3 + RT 2 + 2 RT1 = Iα

Debido a que el movimiento de traslación y rotación considerado para el bloque B es causado por las cuerdas que se sujetan al techo se tiene α = a2 / R a RT3 + RT2 + 2 RT1 = I 2 R R(T3 + T2 ) + 2 RT1 = I

a2 R

(3)

Aplicando (2) en (3) se tiene a2 R a RMg + RT1 − RMa 2 + 2 RT1 = I 2 R a2 RMg − RMa 2 + 3RT1 = I R a2 I − RMg + RMa 2 R T1 = 3R R ( Mg + T1 − Ma 2 ) + 2 RT1 = I

(4)

Reemplazando (4) en (1) se tiene  a2 − RMg + RMa I mg − R 3R   

2

   = ma 1   

a2 + RMg − RMa 2 = 3Rma1 R a 3Rmg + RMg = 3Rma1 + RMa 2 + I 2 (5) R Ahora hay que notar que la aceleración de A esta relacionada con la aceleración tangencial de la sección del bloque de radio R y 2R, la primera produce el deslizamiento del bloque B y el segundo el deslizamiento del objeto A con 3Rmg − I

respecto a B (considera que B está esta en reposo), entonces para obtener la aceleración A es necesario sumar ambos términos. Hay que notar que las secciones de radios R y 2R presentan la misma aceleración angular, por lo tanto: a1 = α 2 R + αR = 3αR

Debido a que a 2 = αR entonces se tiene a1 = 3a 2

(6)

Ahora reemplazando (6) en (5) se tiene 3Rmg + RMg = 3Rm (3a2 ) + RMa 2 + I 3Rmg + RMg = 9 Rma 2 + RMa 2 + I

a2 R

a2 R

I   (3m + M ) Rg =  9 Rm + RM + a2 R 

Dividiendo la expresión entre R se tiene I   (3m + M ) g =  9m + M + 2 a2 R   (3m + M ) g a2 = I    9m + M + 2  R   Finalmente de (6) se tiene a1 =

3(3m + M ) g I    9m + M + 2  R  