Problemas Resueltos de Cinemática de La Partícula

Problemas resueltos de Cinemática de la Partícula Problema 01

La posición de una partícula que se mueve sobre el eje OX de un sistema de 2 coordenadas está dada x(t) = 1 + 8t - 2t , donde la posición esta en metros y el tiempo en segundos. Determine a) La velocidad inicial en t = 5s 2 x(t) =1 + 8t - 2t v(t) = 8  – 4 t v(5) = 8  – 4 85) = - 12 m/s b) La aceleración en t = 2s  2 a(t) = a(t)= - 4 m/s  Problema 02 3 2 Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t -4t +5 m. Hallar la expresión de la velocidad La aceleración del móvil en función del tiempo.

v=

 

 2 – 8t

m/s

a=

 2  = 12 t  – 8 m/s 

Problema 03

El vector de posición por un móvil es x(t)= 5 t⃗ + 2 t⃗ . (m). Calcular: a) Hallar la velocidad media desde t 1= 0 s y t 2 = 3 s  ()() vm = vm =   2 x(3)= 5 (3)⃗ + 2 (3)⃗  = 15⃗ + 18⃗  m 2 x(0)= 5(o)⃗ + 2(0)⃗  = 0⃗ + 0⃗  ⃗   ⃗(⃗  ⃗) ⃗   ⃗) vm = = = 5⃗ + 6⃗ m/s   b) La velocidad instantánea en función de t  v= 5⃗ + 4 t⃗   m/s  c) El módulo de la velocidad instantánea V=       =    ()=√     2

d)

La aceleración instantánea en función de t  2 a= a= 4⃗  m/s  Problema 04 2 La ecuación de un movimiento está dada por la e cuación x= (4 t  + 6 t + 5)⃗ Determine la ecuación de la velocidad y la aceleración instantánea.   2 v(t) = v(t)= 8 t + 6 ⃗(m/s) a(t) = a(t) = 8⃗(m/s )   Problema 05 2 La posición de una partícula en el plano viene dada por la ecuación vectorial x(t)= ( t  – 4)⃗ + ( t + 2)⃗ . Calcular: a) La posición del móvil para t= 2 s y t= 4 s 2 x(2)= ( 2  – 4)⃗ + ( 2 + 2)⃗  = 4⃗  m 2 x(4)= ( 4  – 4)⃗ + ( 4 + 2)⃗ = 12⃗ + 6⃗  m

b) La velocidad instantánea para t= 1 s  v(t) = v(t)= 2 t⃗ + ⃗ (m/s) v(t)= 2 (1)⃗ + ⃗ = 2⃗ + ⃗  (m/s)  c) La aceleración instantánea  2 a(t) = a(t)= 2⃗  (m/s )  Problema 06 2 2 El vector de posición de una partícula es x(t)= (3 t  + 1)⃗ + (4 t  + 2)⃗ . Calcular: a) Hallar la velocidad media en el intervalo t 1=2 s y t2 = 4 s  ()() vm = vm =   2 2 x(4)= (3 (4)  + 1)⃗ + (4 (4)  + 2)⃗ = 49⃗ + 66 ⃗  2 2 x(2)= (3 (2)  + 1)⃗ + (4 (2)  + 2)⃗ = 13⃗ + 18⃗  ⃗   ⃗(⃗  ⃗) ⃗  ⃗ vm = = = 18⃗+ 24⃗ m/s   b) La velocidad instantánea en función de t  v(t) = v(t)= 6t⃗ + 8t⃗ m/s  c) El módulo de la velocidad instantánea V=       =    ()=√   

d) La aceleración instantánea en función de t  2 a(t) = a(t) = 6⃗ + 8⃗ (m/s )  Problema 07 3

2

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t -4t  +5 m/s. Si en el instante t 0=2 s. está situado en x 0=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.



 ∫ (    

  x  – 4 =      (evaluamos de 2 a t) nos  

 ) 

queda: x  – 4 =

() () () () () ()  ( ) ( ) ( )  - ( x  – 4=  -(14            )            

) x=

() ()  ( )  -  + 4        

x=

() ()  ( )  + m        

Problema 08

La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por 2 2 la expresión. a=4-t  m/s . Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del móvil vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante

    ∫(   )  v  – 2 = 4 (t) 3+2 Problema 09

v  – 2 =4 t 

 (evaluamos de 2 a t) nos queda 

() ()   - (4(3)  – ) v  – 2 = 4 t - - (12 - )      v – 2= v= 4 t    / s 

v= 4 t -

 - (3) 

v= 4 t -

  – 

La posición de una partícula que describe una línea recta queda definida mediante la  expresión        , donde si t está en s, s resulta en m. Determine: a) la aceleración de la partícula cuando su velocidad es de 7 m/s b) su velocidad media desde t= 3 hasta t = 6 s. c) Dibuje las gráficas tiempo-posición,tiempo-velocidad y tiempo-aceleración del movimientode la partícula, durante los primeros seissegundos. Resolución



Ecuaciones del movimiento

v=

 

=t

2

a=

– 9

  = 2t 

  

 

a) Tiempo en que la velocidad es 7 m/s 7 = t 2 - 9 t2 = 16 t = ±4 La raíz negativa no tiene significación física en este caso, por lo tanto t=4 Para a= 2 t t = 4 a = 2 (4 )= 8 m/s 2 b) Vm=

  =  



      t= 6s y t= 3 s 



   ()   



      = 72  – 52= 20 m 



   ()   



      = 9 – 25= -16 m 

Vm=

 () 



 = 12 m/s 

c) Tabulación para dibujar las gráficas V (m/s)

0 2 -9 0

t x v a

S (m)

3 -16 0 6

6 20 27 12

2

a(m/s )

t (s) t(s) t (s)

Problema 10

La velocidad de un punto P que se mueve sobre el eje de las ordenadas, que es un eje 2 vertical dirigido hacia arriba, se puede expresar como v = 6 t − 24, en donde v se da en ft/s y t en s; además, cuando t = 0, entonces y = 6 ft. Calcule: a) la magnitud y ladirección de la aceleración del punto cuando t = 3 s; b) el desplazamiento del punto P durante los primeroscuatro segundos; c) la longitud que recorre duranteese mismo lapso.

d) Dibuje esquemáticamente lasgráficas del movimiento del punto P. Ecuaciones del movimientoComo 



 entonces:dy = vdt ∫ dy = ∫vdt 

y = ∫(6t 2 - 24)dty = 2t 3 - 24t + C Si t = 0, y = 66 =2(0)3– 24(0)+C 6 = C

Por tanto:y = 2t 3 - 24t + 6v = 6t 2– 24



 a = 12 t 

a) Para t = 3a = 12(3)= 36 ft/ s 2;

 b)  y  y4 y0En donde: y = 2t 3 - 24t + 6y4= 2(4)3  –  24 (4)+ 6= 128  –  96 +6 =38 y0 = 2(0)3  –  24(0) + 6 = 0  –  0 + 6 = 6 m  y  38  6 y 32 ft c) Para conocer la distancia que recorre, investigaremos cuando v = 0 v = 6t 2– 24 0 = 6t 2– 24t 2= 24/6 t 2= 4t  2Sólo la raíz positiva tiene significado físico t= 2 sy = 2t 3 - 24t + 6y2 = 2 (2) 3– 24(2)+ 6 = 16 – 48 + 6 = - 26 m Por tanto, la partícula se movió de  y0 = 6 a y2 = 26 y luego a y4 = 38  D   y (0  2)   y (2  4)  D   26  6  38  (26)  32  64 D d) Tabulación para dibujar las gráficas t y v a y (ft)

0 6 -24 0

2 - 26 0 24

96 ft

4 38 72 48

V (ft/s)

t (s)

2

a (ft/s )

t (s)

t (s)