Problemas Resueltos de Analisis Combinariro

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico Problemas Resueltos de Análisis Combinatorio 01 De una ciudad A a otra B hay 6 caminos diferentes ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje de ida y vuelta, si en el regreso no puede tomar el camino de ida? a) 12 b) 42 c) 25 d) 36 e) 30 RESOL: •Veamos el siguiente grafico:

A

B

•

Nº de posibilidades de ida = 6 (Evento 1ero) Nº de posibilidades de regreso = 5 (Evento 2do) • Como los eventos deben ocurrir a la vez, por el principio de la multiplicidad tenemos: Total de maneras: 6 × 5 = 30

☞ CLAVE E 02 Un grupo de 5 amigos se van de paseo; en un auto que tiene 2 asientos adelante y 3 atrás. ¿De cuántas formas se podrán ubicar, si sólo 2 de ellos saben manejar? a) 10 b) 48 c) 16 d) 24 e) 120 RESOL: •

Veamos el siguiente cuadro: 1 2 3 4 5 Para Para Para Para Para

la la la la la

∴

posición posición posición posición posición

Nº Nº Nº Nº Nº

1 2 3 4 5

hay hay hay hay hay

2 4 3 2 1

posibilidades posibilidades posibilidades posibilidades posibilidad

Nº de formas que se podrán ubicar es:

2 × 4 × 3 × 2 × 1 = 48

☞ CLAVE E 03 Con cinco varones y nueve damas ¿cuántas parejas diferentes de baile pueden formarse (cada pareja está conformada por un varón y una dama)? a) 35 b) 40 c)45 d) 50 e) N.A.

Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico

RESOL: • Consideremos los eventos A y B Evento A: Elegir una mujer Evento B: Ser pareja de un hombre

d d v 1 v 2 v 3 v 4 v 5

5 maneras ×

1

2 d 3 d 4 d 5 d 6 d 7 d 8 d 9 9 maneras

= 45 maneras

☞ CLAVE C 04 En una reunión cumbre entre los presidentes de 10 países de América del Sur, el día final de sesiones deciden retratarse para la posteridad. ¿De cuántas maneras pueden disponerse los 10 mandatarios, si los presidentes de Perú y Ecuador por voluntad propia no desean posar juntos? a) 9! b) 8! c) 9! × 8 d) 10! e) 8 × 9! RESOL.: • Tenemos 10 presidentes; si estos pueden ubicarse indis–tintamente, el total de ubicaciones posibles para la foto se determinan como sigue: P P 1 2

P P P 3 4 5

P 6

P

7

P 8

P

9

P

10

10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 El lugar P , puede ser ocupado por cualquiera de los 10 presidentes; el P sólo lo 1 2 podrán ocupar los 9 restantes; para el P sólo quedan 8 posibilidades y así hasta que 3

Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico luego que estén ya ubicados hasta el P , para la posición P quedará sólo 1 9 10 presidente; el total de posibilidades será: 10! … (α ) • Pero como sabemos, los presidentes de Perú y Ecuador no desean aparecer juntos; ¿Qué haremos?, calcularemos la cantidad de veces en las que podrían aparecer juntos y luego restando este resultado de (α ) habremos determi–nado el total de posibilidades de no aparecer juntos en las fotos. • Para esto consideraremos a ambos presidentes como una sóla persona, de modo que no tendríamos 10 sino 9 personas para ubicar: Aplicando el mismo procedimiento que nos llevó a (α ), obtenemos ahora: 9! , sin embargo, aún cuando estén juntos los presidentes, estos pueden ubicarse de 2 maneras intercambiando sus posiciones, por lo que el total de posiciones en las que aparecerán juntos es en realidad: 2 × 9! … (β ) • Calculamos: (α )–(β ): ⇒

10! – 2 × 9! = 9! (10 – 2) =

8 × 9!

☞ CLAVE E 05 Un coleccionista de artículos precolombinos ha sido invitado a exponer sus mejores cerámicas Mochicas. Dicho coleccionista ha decidido presentar 8 ceramios de los 10 de su colección. ¿De cuantas maneras puede seleccionarlos si 3 de ellos no pueden faltar en la exposición? a) 7 b) 3 c) 21 d) 8 e) 10 RESOL.: • Representémoslos a las cerámicas por las siguientes figuras C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 Supongamos que C1, C2 y C3 son los que no pueden faltar, con lo cual tengo 7 Fijos Disponibles cerámicas para seleccionar 5, esto me permite aplicar combinatoria ya que el evento es seleccionar 5 de 7 sin importar el orden. •

Por lo tanto el Nº de maneras es

7 C7 5 = C2 = 21

☞ CLAVE C 06 Un turista europeo desea realizar un tours en el Perú. Para tal efecto ha contactado con una agencia de viajes; la cual le ofrece una estadía en 8 ciudades 5 de la región andina y 3 de la región costeña. Pero por el tiempo del que dispone dicho turista sólo desea visitar 6 ciudades. ¿De cuántas maneras puede seleccionar dichas ciudades a visitar, si 4 ciudades andinas son puntos obligatorios de visita? a) 18 b) 4 c) 3 d) 2 e) 12 Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico RESOL.: • Como 4 ciudades andinas son puntos obligatorios de visita, tenemos para escoger de las 4 esto es

C5 4

, por lo que me quedan 2 ciudades por escoger de las 3 de la . Entonces el total de maneras es : C3 2 = 15 C3 2

región costeña, esto es

C5 4

x

Ahora si escogiera las 5 ciudades andinas tengo para escoger una mas de las de la región costeña esto es

C5 5

x

3 C1

= 3. Concluimos que el total de maneras es:

15 + 3 que es 18

☞ CLAVE A 07 Se han matriculado 5 hombres y 7 mujeres en el curso inicial de Química, en el cual las prácticas se dan en el laboratorio. En dicho laboratorio se deben formar grupos bipersonales, necesariamente formados por un hombre y una mujer ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse dichos grupos si un hombre decide no trabajar con 2 de sus compañeras? a) 30 b) 16 c) 33 d) 32 e) 25 RESOL: • Cada hombre tendrá 7 posibilidades de formar grupo con una mujer excepto uno de ellos que solo tendrá 5 (2 posibilidades menos). Total de maneras es 5 x 7 – 2 = 33 ☞ CLAVE C 08 Un agente vendedor de productos farmacéuticos de primera calidad visita diariamente 5 farmacias en el centro de Trujillo, para no tratar de dar preferencias a uno u otro establecimiento ha decidido alterar el orden de sus visitas ¿De cuántas maneras puede hacerlo a) 24 b) 60 c) 5 d) 120 e) 720 RESOL: • Cada cuadro representa una farmacia A

B

C

D

E

5 x 4 x 3 x 2 x 1 Para ubicar el nombre de la farmacia en A tengo 5 posibilidades, como ya escogí una para B me queda 4 y así sucesivamente hasta que para E tenga solo una posibilidad. • Por lo tanto el nº de maneras es 5!, esto es el caso de permutaciones . P5 = 5! = 120

☞ CLAVE D

Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico 09 En un congreso de estudiantes de Matemáticas de la UNT se esta realizando un taller en una sala de exposiciones, donde participan 10 estudiantes, los cuales deben agruparse en 3 grupos; 2 de 3 personas y el último de 4 ¿De cuántas formas se pueden agrupar los 10 estudiantes? a) 10 b) 8 c) 36 d) 16 e) 4200 RESOL: • Estamos en un caso de permutaciones con repetición, para eso apoyémonos en el graficoE siguiente 1 E1 E1 E2 E2 E2 E3 E3 E3 E3 I Grupo III Grupo de 3 de 4 II Grupo de 3 • Por lo tanto el nº de formas es:

10 ! 3 ! ×3 ! × 4 !

,esto es 4200 formas de agrupar.

☞ CLAVE E 10 En una reunión entre 5 compañeros de la universidad que se encuentran después de 5 años de haber egresado; ellos van acompañados de sus respectivas esposas. ¿De cuantas maneras pueden disponerse en una mesa circular si siempre deben estar hombres y mujeres en forma alternada? a) 1400 b) 2600 c) 2880 d) 4200 e) 5760 RESOL: • Juntemos primero a las mujeres alrededor de la mesa, esto se puede hacer de 4! formas luego quedarían 5 lugares alternados para ubicar a los hombres y esto se puede hacer de 5! Formas. Por lo tanto, el número total de formas diferentes será igual a 4! 5! esto es 2880 formas ☞ CLAVE C 11 Seis alumnos del grupo de estudios Pierre Fermat se encuentran en un seminario. Determinar ¿Cuántos saludos se intercambian como mínimo, si 2 de ellas están reunidas? a) 6 b) 30 c) 15 d) 12 e) 14 RESOL: • El número de saludos de los 6 alumnos si recién se reúnen es 2 reunidas, significa que hay un saludo menos es decir

C6 2

C6 2

pero como ya hay

– 1 = 14 saludos

☞ CLAVE E Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico 12 En un simposio organizado por la Municipalidad de Lima participan 4 alcaldes del Cono Norte y 3 alcaldes del cono Sur, los cuales están ubicados en una mesa rectangular dando de frente al público asistente. ¿De cuántas maneras pueden disponerse los alcaldes, si los burgo maestres de un mismo cono no pueden estar separados? a) 12 b) 240 c) 144 d) 288 e) 270 RESOL: • Veamos el siguiente cuadro CN CN CS CS

CN

CN

CS

• El número de maneras esta dado por 4! para los del cono norte 3! para los del cono sur y 2! para todo el grupo Por lo tanto el numero total de maneras que se les puede disponer es 4! × 3! × 2! esto es 4! x 3! x 2! = 288

☞ CLAVE D 13 Dado los dígitos 3,5 y 7 ¿Cuántos números distintos se puede formar con ellos sin que los números formados presenten dígitos repetidos? a) 10 b) 11 c) 12 d) 14 e) 15 RESOL: • Tomando un digito se puede formar 3 números distintos. Se puede obtener por la siguiente formula 3 × 2×1 3! = =3 P13 = 2×1 (3 - 1) ! •

Tomando dos dígitos: tenemos

•

Tomando 3 dígitos: tenemos

3 × 2 ×1 = =6 P3 2 1!

P33 =

3x2x1=6

∴ El total de números es 15

☞ CLAVE E 14 La compañía de teléfonos desea averiguar cuántas líneas adicionales puede instalar en la serie 531, si se sabe que hasta el momento no ha usado 2 cifras para las últimas 3 casillas y 5 para la 4ta casilla. Observación: El número telefónico dispone de 7 casillas. a) 15 b) 24 c) 40 d) 28 e) 53 RESOL: • Veamos el siguiente gráfico 5

3

1

Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico Para estas 3 últimas hay 2 posibilidades

5

3

para esta casilla hay 5 posibilidades

1

5 x 2 x 2 x 2= 40 líneas adicionales

☞ CLAVE C 15 En un circo, un payaso tiene a su disposición 5 trajes multicolores diferentes, 6 gorras especiales diferentes y 3 triciclos ¿De cuántas maneras puede seleccionar su equipo para salir a la función? a) 45 b) 30 c) 18 d) 90 e) 40 RESOL: ∧ Evento B ∧ Evento C seleccionar gorras

Evento A Seleccionar trajes

T1 T2 T3 T4 T5 5 •

G1 G2 G3 G4 G5 G6 x

6

seleccionar triciclos

C1 C2 C3

x

3

Por lo tanto el total de maneras es 5 x 6 x 3 = 90

CLAVE D 16 En una reunión de 10 amigos desean ordenarse para tomarse una foto. Si entre ellos hay una pareja de enamorados que no desea separarse. ¿De cuántas maneras pueden ordenarse? a) 9! b) 8! c) 2 × 9! d) 3 × 8 ! e) 3 × 9! RESOL: • Como de los 10 amigos hay una pareja que no desea separarse, tenemos un arreglo de 9 objetos, es decir 9! formas de ordenarse, pero como la pareja puede ubicarse de 2! formas. Entonces como ambos eventos deben ocurrir a la vez tenemos 9! X 2! Formas de ordenarse esto es: 2 x 9! ☞ CLAVE C Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico 17 Si se dispone de m objetos iguales, otros n objetos iguales y finalmente P objetos diferentes. ¿De cuántas maneras puede Ud. seleccionar por lo menos a 1 de ellos? a) mnp b) (m+1)(n+1) p – 1 c) (m+1)(n+1)2P –1 d) mn2P e) mn2P+1–1

RESOL: • Veamos: Si tenemos “m” objetos iguales tenemos la opción de seleccionar 1,2,3 …, m objetos o no seleccionar ninguno, por lo cual tenemos para este evento (m+1) posibilidades, el mismo razonamiento tenemos para los “n” objetos iguales, con lo cual tenemos (n+1) posibilidades de selección. • Ahora del grupo de “P” elementos diferentes para cada uno tenemos 2 opciones; lo selecciono o no lo selecciono. Esto hace un total de 2P posibilidades. • Por lo tanto tendremos un total de formas de selección (m+1)(n+1)2P, pero este numero incluye a una, aquella que no escoge a ningún objeto, la cual debemos eliminar. Así tendremos en total (m+1)(n+1)2P–1

☞ CLAVE C 18 Si se dispone de (n+1) números primos, ¿Cuántos factores diferentes tiene el producto de dichos números? a) 2n b) 2n+1 c) 2n–1–1 d) 2n–1 e) n+1 2 -1 RESOL: • Tenemos que cada uno de los (n+1) números primos tiene 2 factores el mismo y la unidad, por lo tanto cada numero tiene 2 posibilidades, luego por el principio de la multiplicidad el numero de factores es 2n+1. • En estos factores esta incluido el producto de puros unos, luego como los factores deben ser diferentes a 2n+1 le quitamos uno. El total de factores diferentes es: 2n+1 –1

☞ CLAVE E 19 ¿Cuántas ordenaciones lineales distintas pueden formarse con todas las letras de la palabra FERMAT de tal manera que comiencen y terminen en consonantes? a) 240 b) 720 c) 288 d) 420 e) N.A. RESOL: • La palabra FERMAT tiene 6 letras diferentes tenemos entonces 6 elementos, veamos la grafica Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico 1er 2do

3er

4to

5to

6to

• La consonante que ocupará el 1er lugar puede ser cualquiera de las 4 dadas, una vez escogida la primera quedan 3 consonantes y cualquiera de ellas puede ocupar el último lugar de la ordenación lineal.

• Ahora escogida ya las letras para el 1ero y 6to casillero quedan aun 4 letras disponibles para el resto de casilleros 1er 2do 3ero 4to 5to 6to

4 x 4 x 3 x 2 x 1 x 3 •

El total de ordenaciones es 4 x 4 x 3 x 2 x 1 x 3 = 288

☞ CLAVE C 20 En una reunión de amigos, se encuentran 3 hombres y 3 mujeres ¿De cuántas maneras pueden sentarse en forma lineal si se desea que queden alternados (un hombre una mujer o una mujer un hombre)? a) 36 b) 24 c) 72 d) 108 e) 64 H1 M1 H2 M2 RESOL: Ayudémonos del siguiente cuadro H3 M3

• Caso I: Si en el 1er casillero va un hombre ordenamos dejando un casillero a los 3 hombres tendríamos

P3 3

formas, luego en los otros 3 casilleros alternados formas por el principio de la multiplicidad P3 3 formas, es decir 3! x 3! = 36 P3 3

colocamos a las mujeres tendríamos tendríamos para el caso I

P3 3

x

• Caso II: Ahora si en el 1er casillero va una mujer entonces tendríamos también la misma cantidad es decir 3! x 3! = 36 Como los casos I y II son excluyentes por el principio de la adición tendríamos 36 +36 = 72 formas distintas de ordenar a los hombres y mujeres en forma lineal alternadamente. Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico ☞ CLAVE C 21 Rosa tiene 3 anillos distintos ¿De cuantas maneras puede colocarlos en sus dedos de la mano izquierda, colocando solo un anillo por dedo, sin contar el pulgar? (considere una sola forma de colocación en cada dedo) a) 36 b) 48 c) 16 d) 24 e) 6 RESOL: • En el dedo d5 no esta contabilizado •

El 1er anillo tiene 4 opciones (d1,d2 ,d3, d4)

• El 2do anillo después de colocar un anillo ya en un dedo le quedan 3 opciones. •

El 3er anillo tendría 2 opciones

•

Luego por el principio de la multiplicidad Tenemos: El número de maneras es: 4 x 3 x 2 = 24 d2

d3

 d1

d4 d5

☞ CLAVE D 22 Un equipo de voley se sienta a dialogar en una mesa circular. ¿De cuántas formas se puede sentar sus integrantes si 3 de ellos siempre deben estar juntos? a) 22 b) 24 c) 12 d) 36 e) 6 J2 RESOL: J1 J3

J4 J5 J6

• Como 3 jugadores siempre deben estar juntos tenemos una permutación circular de 4 elementos es decir. P4 = (4–1)! = 3 x 2 x 1 = 6 = 3! Pero las 3 jugadoras que siempre están juntas se pueden ubicar de 3! formas.

Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico • Luego por el principio de la multiplicidad ambos eventos deben ocurrir de 3! x 3! = 36 formas ☞ CLAVE D 23 Anita tiene 6 blusas de colores diferentes y 5 minifaldas también de colores distintos. ¿De cuántas maneras diferentes puede lucir ambas prendas a la vez, si la blusa azul y la minifalda blanca las usa siempre juntas y la minifalda roja con la blusa negra nunca las usa juntas? a) 25 b) 36 c) 100 d) 64 e) 45 RESOL: • Consideremos las blusas: roja, azul, negro, amarilla, celeste y verde y las minifaldas roja, azul, blanca, negra y amarilla. Veamos el cuadro Blusas

Minifaldas

• Calculemos 1ero el número de formas distintas en que puede usar una blusa con una minifalda. Según el cuadro para el primer cuadro hay 6 posibilidades y para el segundo hay 5, luego por el principio de la multiplicidad tenemos: Nº de formas = 6 x 5 = 30 Aquí incluimos las restricciones siguientes: La blusa azul pierde 4 posibilidades Y la blusa negra pierde una posibilidad ∴ El numero de formas es 30 – (4+1) = 25 Otra forma seria Blusas BR BA BN BAM BC BV

Minifaldas MR MB MN MAM

MA

Cada blusa tiene 5 posibilidades excepto BA implica 4 x 5 + 4 +1 posibilidades, es decir 25

(tiene una) y la BN (tiene 4), lo que

☞ CLAVE A 24 A un alumno que va a matricularse en el grupo de estudios Pierre Fermat le toman un test conteniendo 10 preguntas, de las cuales el alumno tendrá que responder solo 6 cualesquiera ¿De cuántas formas puede responder dicho test? Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico a) 120 b) 310 c) 720 d) 210 e) N.A. RESOL: • Según el problema el hecho que responda 6 preguntas de las 10 formuladas no interesa el orden en que las conteste (aquí interesa el puntaje). Por lo que nos lleva a un caso de combinatoria de 10 elementos tomados de 6 en 6 Luego Nº de formas =

10! = = 210 C10 6 (10 - 6)! 6! ☞ CLAVE D

25 Se tiene un conjunto conformado por 3,5,9,12,13 y 15; se quiere sumar 3 elementos diferentes ¿Cuántas sumas diferentes puedo obtener con los elementos de dicho conjunto? a) 120 b) 36 c) 15 d) 80 e) 20 RESOL: • Vemos que si sumamos: 3 + 5 + 9, esto es lo mismo que sume 5 + 3 + 9; por lo que concluimos que el orden no interesa, estamos ante un caso de combinaciones de 6 elementos tomados de 3 en 3. Es decir:

= 6× 5× 4 = 20sumas diferentes C6 3 3× 2× 1

☞ CLAVE E 26 Mónica tiene 5 aretes diferentes y para usarlos todos se hace 2 perforaciones en la oreja derecha y 3 perforaciones en la de la izquierda ¿De cuantas maneras diferentes puede lucir todos los aretes? a) 1440 b) 720 c) 120 d) 640 e) 210

RESOL: Oreja izquierda C D

perforacion es

E

Oreja Derecha B A

• Según el grafico tenemos 5 lugares diferentes para usar 5 aretes diferentes, estamos en un problema de permutación de 5 elementos tomados de 5 en 5. P5 = 5! = 120

☞ CLAVE C Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico 27 Si un grupo de 20 alumnos son clasificados, según sexo, colegio de procedencia (estatal o particular) y área a la que postula (ciencias o letra) ¿De cuantas maneras se puede hacer esta clasificación? a) 80 b) 8 c) 4 d) 160 e) 12 RESOL: • Supongamos que tenemos que llenar el siguiente cuadro.

1º 3er

2º

(3 espacios) • El primer espacio puede llenarse de 2 formas (varón o mujer). El segundo espacio puede llenarse de 2 formas (estatal o particular) y el tercero de 2 formas (ciencias o letras). Luego concluimos por el principio de la multiplicidad que la manera de clasificarlos es: 2 x 2 x 2 = 8 maneras

☞ CLAVE B 28 ¿De cuantas maneras puede el profesor Herrera ordenar en su biblioteca 5 libros de Álgebra, 4 de aritmética y 3 de Razonamiento Matemático, si los libros de cada materia deben estar juntos? a) 5 x 104 b) 5 x 84 c) 5 x 124 d)

3 x 124

e) 7 x 124

RESOL: Raz. matemático

Álgebra

5! •

Aritmética

x

4!

x

3!

x 3! números de grupos

Como vemos el grafico: Los libros de Álgebra puede ordenarse de P5 = 5! Los libros de Aritmética pueden ordenarse de P4 = 4! Los libros de R.M. pueden ordenarse de P3 = 3! Los 3 grupos de libros pueden ordenarse de P3 = 3!

• Por el principio de la multiplicidad tenemos Nº de maneras que se pueden ordenar es: 5! x 4! x 3! x 3! esto es 5 x 124 formas. Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico ☞ CLAVE C 29 En el problema anterior ¿Hallar el numero de maneras que puede el profesor Herrera ordenar sus libros si solo los de R.M. deben estar juntos? a)

12 ! 12

b) e)

12 ! 6

c)

12 ! 3

d)

12 ! 5

12 ! 22

RESOL: • Como los libros de R.M deben estar juntos se le considera a los 3 como 1 solo sin diferenciar las materias, lo que haría un total de 10 libros por ordenar, que puede hacerse de P10=10! Formas. Pero los libros de R.M. pueden ordenarse entre si de 3! formas diferentes. Por consiguiente por el principio de la multiplicidad esta operación puede hacerse de 3! x 10! formas. 3! x 10!

12 ! 22

☞ CLAVE E 30 Un sistema tiene 5 mecanismos, cada uno de ellos puede colocarse en 4 posiciones para que funcionen, digamos A B C y D ¿De cuantas formas puede instalarse el sistema, si los mecanismos pueden estar en la misma posición? a) 29 – 1 b) 28 – 1 c) 83 – 1 d) 210 e) 210 – 1

RESOL: • Supongamos que cada mecanismo representa un espacio por llenar.

Pero cada mecanismo puede colocarse en 4 posiciones diferentes, además pueden colocarse en la misma posición, esto implica que cada espacio puede llenarse de 4 formas. • Por lo tanto hay 4x4x4x4x4 = 45 = 210 formas de instalar el sistema.

☞ CLAVE D 31 Un mozo debe servir 10 vasos diferentes de cerveza y gaseosa en una mesa donde hay 6 caballeros y 4 damas, sabiendo que los vasos de cerveza son para los caballeros y los de gaseosa, para las damas. Calcule la cantidad de maneras diferentes en que el mozo puede realizar la distribución? a) 205 b) 450 c) 210 d) 120 e) 135 RESOL: 6 vasos de cerveza

4 vasos de gaseosa

Calle Piura 14 B Laredo damas caballeros Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

Tenemos personas de cuales son hombres y mujeres

10 los 6 4

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico •

Tenemos una permutación con repetición:

10 10 ! P = = 120 6,4 6! 4 ! ☞ CLAVE D 32 Un usuario de hotmail. com olvido su contraseña, pero recuerda que son 6 numerales y además que las 3 primeras cifras son 5+2…… y las 3 cifras siguientes son diferentes ¿Cuántas posibilidades tiene el usuario para dar con su clave? a) 720 b) 640 c) 510 d) 120 e) 900 RESOL: • El orden de los elementos interesa, por lo que estamos en una permutación de 10 elementos tomados de 3 en 3. Es decir

10 10× 9× 8× 7! P = = 720 posibilidades 3 7! ☞ CLAVE A 33 La junta directiva de una empresa consta de 10 miembros ¿De cuantas maneras se puede elegir un presidente, un vicepresidente y un secretario? a) 620 b) 360 c) 480 d) 520 e) 720 RESOL: • Como el orden en que salgan elegidos determina el cargo que ocupan y solo se va a elegir a 3 cada vez de un total de 10 miembros, estamos ante una permutación de 10 elementos tomados de 3 en 3

10 10× 9× 8× 7! P = = 720 3 7!

☞ CLAVE E 34 De cuantas maneras pueden destacarse a 4 empleados de una empresa a 3 diferentes lugares. Para hacer una campaña publicitaria a) 12 b) 24 c) 48 d) 36 e) 8 RESOL: • Consideremos los tres lugares como tres casilleros

Cada casillero será ocupado por empleados diferentes el 1er casillero puede ser ocupado por los 4 empleados disponibles, el 2do por 3 restantes y el 3ero por los 2 restantes. Luego por el principio de la multiplicidad tenemos

Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico Nº de maneras es: 4x3x2 =

4! 4! = = 24 (4− 3)! 1!

☞ CLAVE B 35 En el grupo de estudios Pierre Fermat hay 15 profesores de los cuales 10 son varones y 5 mujeres, se necesitan 4 profesores para llevar a cabo un proyecto especial que fomente la cultura ¿De cuantas maneras se puede elegir 2 varones y 2 mujeres? a) 350 b) 250 c) 650 d) 450 e) 900 RESOL: • Vemos que en la elección no nos interesa el orden. Se va a elegir grupos de 4 en 4 de un total de 15. Por lo tanto es un caso de combinatoria. Primero elegiremos 2 varones de los 10 presentes y 2 mujeres de las 5 presentes es decir:

10 10 ! C = = 45 2 2! 8 !

5 5! = = 10 2 2! 3 !

y C

• Por el principio de la multiplicidad tenemos. El número de maneras que ocurran ambos eventos es: 1 0 5 C × C =4 5× 1 0 =4 5 0 2 2

☞ CLAVE D 36 En el problema anterior ¿De cuantas maneras se podrá elegir 5 varones? a) 1232 b) 256 c) 120 d) 720 e) 252 RESOL: • Estamos en el caso de combinatorio de

10 hombres, tomados de 5 en 5, esto es:

10 10! 10× 9× 8× 7× 6× 5 C = = = 252 5 5! 5! 5!5× 4× 3× 2×1 ☞ CLAVE E 37 Si en el problema 35 nos piden calcular el número de maneras que se puede elegir 3 varones y 3 mujeres. a) 900 b) 1200 c) 850 d) 600 e) 72 RESOL: • Utilizando combinatoria tenemos:

10 5 10× 9× 8 5× 4 C ×C = × = 1200 3 3 3× 2×1 2×1 ☞ CLAVE B Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico 38 Juan dispone para estudiar de 20 folletos de los cuales 6 no son de matemáticas. ¿De cuantas maneras se puede elegir 2 folletos que no son de matemáticas? a) 12 b) 18 c) 15 d) 25 e) 36 RESOL: • Vemos que el orden de la elección no interesa solo interesa el número de folletos que no son de matemáticas que pueden ser cero o uno o dos.

6 2

14 6× 5 = ×1= 15 maneras 0 2×1

Esto es C × C

☞ CLAVE C 39 Los asegurados de una compañía se clasifican según edad, sexo y estado civil de la siguiente forma: Edad (en años) De 20 – 30 varón De 30 – 50 mujer De 50 – 60

Sexo

Soltero Casado Viudo

Estado Civil

¿De cuántas maneras se puede clasificar las pólizas de seguros? a) 36 b) 9 c) 54 72 e) 18 RESOL: • La clasificación se dará de tres formas Edad sexo Estado civil (evento A) (evento B)

d)

(evento C)

para el 1er casillero tenemos 3 posibilidades para el 2do casillero tenemos 2 posibilidades para el 3er casillero tenemos 3 posibilidades • Como debe ocurrir los 3 eventos a la vez por el principio de la multiplicidad tenemos. 3 x 2 x 3 maneras de clasificar las pólizas esto es 18 maneras

☞ CLAVE E 40 Un examen esta constituido por 4 grupos de preguntas: I,II,III, y IV cada grupo contiene 5,3,2 y 2 preguntas respectivamente. Si el estudiante debe contestar una pregunta de cada grupo ¿De cuantos modos diferentes puede elegir sus preguntas? a)30 b) 60 c) 90 d) 45 e) 25 RESOL: • Como el estudiante debe contestar una pregunta de cada grupo, entonces tiene para escoger 4 de un total de 12 de la siguiente forma: Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico 5 3 2 2 C × C × C × C = 5× 3× 2× 2 = 60 1 1 1 1 ☞ CLAVE B 41 En una granja experimental se tienen ratas de la misma edad, 6 de la raza A y 7 de la raza B. Si se desea formar parejas para realizar un experimento. ¿Cuántas parejas se pueden formar, si deben ser: a) Los dos de raza A b) Los dos de raza B c) Una de la raza A y una de la raza B Dar como respuesta la suma de a), b) y c) a) 78 b) 88 c) 87 d) 92 e) 38 RESOL: a)Para escoger los dos de la raza A tenemos 6 posibilidades esto es: 6 6× 5 C = = 15 2 2× 1 b)Para escoger los dos de la raza B tenemos 7 posibilidades, esto es: 7 7×6 C = = 21 2 2 ×1 c)

Para escoger los dos, uno de A y uno de B tenemos

6 7 C × C = 6 × 7 = 42 1 1 ∴ a) + b) + c) = 15+21+42 = 78

☞ CLAVE A 42 ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 alumnos en una fila, de manera que dos de ellos, en particular, no queden juntos? a) 9 ! b) 10 ! c) 9 × 10 ! d) 9! × 8 e) 9 × 9 ! RESOL: • Separemos del grupo a uno de los alumnos (cualesquiera), nos quedarían 9 para ordenar: esto es de A

B

C

D

E

F

G

H

I

9! formas • Ahora si elegimos (o fijamos) a uno de los 9 (cualesquiera) que no podrá estar junto al separado nos quedaría. 8 espacios para ubicar al separado veamos el grafico. Espacios disponibles

Calle Piura 14 B Laredo F ⑤ G ⑥ H ⑦ I E Cel.: A ② B ③ C435740 ④ D ① Teléfono:

947832058

Uno de los 9 que fijamos Espacios no disponibles

⑧

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico

• Para ubicar al alumno que habíamos separado tenemos 8 espacios. Por el principio de la multiplicidad tenemos. 9! × 8 formas de ordenar ☞ CLAVE D 43 Una carpeta tiene espacio para 8 personas ¿De cuántas maneras se pueden sentar 4 hombres y 4 mujeres, de modo que queden alternados (un hombre – una mujer ó una mujer un hombre)? a) 2 × 4! b) 2 × 42! c) 2 × (4!)2 d) (4!)2 e) (2 × 4!)2

RESOL: • En este problema se presentan dos casos: 1er caso: cuando el ordenamiento empieza con una mujer. Hay 4 espacio disponibles para ubicar a las mujeres y se puede hacer de P4 maneras. Veamos el gráfico:

mujeres

Los espacios vacíos (4), serán ocupados por los hombres, y se podrán sentar de P 4 maneras. ∴ Por el principio de la multiplicidad El número de maneras que se podrán sentar 4 hombres y 4 mujeres en forma alternada es: P4 × P4 2do Caso: cuando el ordenamiento empieza con un hombre. Los cálculos son los mismos del caso 1 es decir. Nº de maneras es P4 × P4

Luego: como deben ocurrir o el caso I o el caso II 4 mujeres y 4 hombres se pueden sentar alternadamente de P4 × P4 + P4 × P4 formas distintas es decir de: 2 P4 × P4 = 2 × 4! × 4! = 2(4!)2 ☞ CLAVE C 44 ¿De cuántas maneras distintas 3 varones y 3 mujeres pueden sentarse en 3 bancas (c/u con capacidad para 2 de ellos), de modo que en cada banca se siente un varón y una mujer? a) 120 b) 240 c) 360 d) 288 e) 346 RESOL: Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico •

varone

Veamos el siguiente gráfico s

carpetas

mujere s

Según el gráfico si escogen primero los hombres o las mujeres tendrá el 1er varón o 1era mujer 6 espacios para escoger. Supongamos que primero escogen los varones como habíamos dicho el 1er varón tendrá 6 lugares para escoger. Luego el 2do varón, no puede sentarse junto a su compañero, por lo que tiene 4 opciones y el 3er varón le queda 2 opciones. Luego por el principio de la multiplicidad los varones se sientan de 6× 4× 2 formas distintas. Ahora en cada carpeta ya esta ubicado un varón. • Y queda tres espacios para las damas, la que podrán sentarse de 3! Formas (esto es, porque en cada carpeta tiene que estar un hombre y una mujer) Concluimos que el número de formas distintas que se podrán sentar las 6 personas es: 6× 4× 2× 3! = 288 ☞ CLAVE D 45 ¿De cuántas maneras distintas “n” varones y “n” damas pueden sentarse en “n” bancas (c/u con capacidad para dos de ellos) de modo que cada banca se sienten un varón y una dama? a) 2n–1(n!)2 b)2n [(n–1)!]2 c)2n–1 [(n–1)!]2 d) 2n n! e) 2n (n!)2

RESOL: • Del problema anterior vamos a generalizar para el caso de “n” varones y “n” damas. Supongamos que se sientan primero las damas; la primera dama tendrá para escoger “2n” asientos, la segunda de (2n–2), la tercera (2n–4), y así sucesivamente hasta que la última dama tiene para escoger un asiento de 2 que quedan. • Esto se simboliza así: Nº de formas distintas de sentarse las damas es: 2n (2n–2) × (2n–4) × (2n–6) × … 6× 4× 2 En segundo lugar tendríamos “n” espacios (asientos) vacíos para que se puedan sentar n varones. Nº de formas distintas de sentarse los varones es: n !

∴ El número de formas distintas que pueden sentarse las “n” damas y los “n” varones es: Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico 2n(2n–2)(2n–4)(2n–6) × …. × 6 × 4 × 2 × n! En cada factor menos el último sacamos mitad 2× n× 2(n–1) × 2(n–2) × 2(n–3) × . . . × 2× 3× 2× 2× 2× 1× n! 2n× n× (n–1) × (n–2)(n–3) × . . . 3× 2× 1× n! 2n n! × n! = 2n(n!)2

☞ CLAVE E

46 Una familia de 6 integrantes salen a almorzar y cuando ingresan al restaurante encuentran que todas las mesas son circulares, el papa le dice a la madre que se siente a su lado ¿De cuántas maneras se podrán sentar en la mesa circular? a) 24 b) 48 c) 36 d) 72 e) 28 RESOL: • Veamos el siguiente gráfico se pueden ordenar de 2!

PM h1 h2

h4

h3 Vemos 5 elementos para el ordenamiento circular, que se puede hacer de 4! = PC(5). Luego: Nº de arreglos circulares es = 2! × 4! = 48

Nota: Nº de arreglos circulares = Permutación interna de los elementos juntos

×

Permutación externa de los elementos

Para el problema: NºAC = 2! × 4! = 48

☞ CLAVE B

47 De cuántas maneras diferentes 8 amigos se sientan alrededor de una mesa circular a estudiar, si 4 de ellos siempre están juntos? a) 144 b) 288 c) 576 d) 120 e) 720 RESOL: • Aplicando la nota del ejercicio anterior tenemos Permutación de los elementos juntos

Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico Nº de arreglos circulares = P4 × Pc(5) Permutación circular

= 4! × 4! = (4!)2 = 576 formas

Nº de Arreglos circulares

☞ CLAVE C 48 Se desea colocar 11 fichas en un tablero circular, disponiéndose para tal efecto, 2 verdes, 2 azules, 4 blancas, 1 amarilla, 1 roja, 1 negra ¿De cuántas maneras diferentes se podrá lograr, si se quiere que las 2 verdes están siempre juntas, además la ficha roja debe estar siempre en medio de la amarilla y la negra? a) 210 b) 120 c) 360 d) 144 e) 510 RESOL: • Indiquemos en el gráfico los 11 elementos según las condiciones 4 blanca s

XXXX

Verdes juntas

siempre

azule s A R N Roja en medio de la amarilla y negra

Tenemos 8 elementos para permutar circularmente es decir Pc(8)= 7! Las fichas verdes siempre juntas = 1! La roja en de medio de A y N = 2! ⇒ El número de arreglos circulares es: Ac =

2!× 7! 7! = = 210 2!× 4! 4!

Nota: Nº de arreglos circulares =

P e rm u ta cnioin te rn a P e rm u ta cnio c irc u la r d elo se le m e n tojus n to s d elo se le m e n to s P e rm u ta cniod ee le m e n tores p e tid o s ☞ CLAVE A 49 ¿Cuántas señales diferentes puede emitirse con tres focos rojos, cuatro amarillos y tres azules en una serie navideña que contiene diez porta focos? a) 8400 b) 4200 c) 1316 d) 2632 e)2100 Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico RESOL: • Tenemos un grupo de 10 focos para permutar, pero de los cuales hay 3 sub grupos con elementos iguales, esto hace que apliquemos permutaciones con elementos repetidos, es decir. Nº de señales diferentes =

P 10 ×9 ×8 ×7 ×6 ×5 ×4 ! 10 = 3 ! × 4 ! ×3! 3 ! ×4 ! ×3 ! Nº de señales diferentes = 4200 ☞ CLAVE B 50 Calcule el número total de segmentos que se puede formar en el siguiente grafico al unir los puntos de una región con los de otra. a) mnp “m “n b) mn+np+mppuntos” puntos” c) mn+p d) m+n+p e)

m n np m p + + 2 3 4

“p puntos”

RESOL: • Para formar un segmento necesitamos unir dos puntos de diferentes regiones veamos el gráfico. “n puntos”

“m puntos”

Región Región B A Región C

“p puntos”

1º Agrupemos puntos de la región A y de la región B. Luego el nº de segmentos es “mn” 2º

Agrupemos puntos de la región A y C luego el nº de segmentos es “mp”

3º

Agrupemos puntos de las regiones B y C, luego el número de segmentos es “np”

• Luego como los tres cuentos son excluyentes tenemos que el total de segmentos que se pueden formar es: mn + mp + np Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico ☞ CLAVE B 51 ¿Cuántos ordenamientos diferentes puede obtenerse con las letras de la palabra blanquiazol? a)

11 ! 8 e)

b)

11 ! 6

c)

12 ! 5

d)

10 ! 8

10 ! 5

RESOL: • Tenemos un caso de permutación con repetición: El número de letras de la palabra blanquiazul es 11 teniendo repetidas 2 letras a; 2 letras l, z letras u ⇒ El número de ordenamientos es 11 11! 11! P = = 2,2,2 2! 2! 2! 8 ☞ CLAVE A 52 Calcule el número total de ordenaciones diferentes que se puede formar con todas las letras, a la vez, de la palabra KATTII, de manera que las vocales iguales están juntas a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 RESOL: • En la palabra hay 8 letras de las cuales 2 estaremos tomando como si fueran una sola. Entonces existe una permutación con repetición. ⇒ El número total de ordenaciones diferentes es: 5 5! 5×4×3×2! P = = 2 2! 2! 5 P = 6 0 2

☞ CLAVE E

53 ¿Cuál será el numero de letras, de una palabra sabiendo que el numero de combinaciones tomadas de 2 a 2 es igual al de combinaciones tomadas de 3 a 3, como 3 es a 5? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 RESOL: n n(n− 1) C 3 2 = 3⇒ 2 = n 5 n(n− 1)(n − 2) 5 C 3× 2 3 Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico ⇒

3 3 = ⇒ n − 2 = 5 Luego n = 7 n− 2 5

☞ CLAVE B 54 ¿De Cuántas maneras se pueden ubicar 4 parejas de esposos en una mesa circular para jugar casino, si estas parejas juegan siempre juntos? a) 364 b) 50 c) 24 d) 124 e) 96

RESOL: • Veamos el siguiente grafico: E1M1

Punto de referencia

M4

E2 M2

E4 M3

E3

1º Según el grafico: cuando la pareja de referencia se ubica con E1–M1, existen entonces 3 elementos para una permutación circular, es decir 3 ! pero cada elemento se puede permutar 2 ! formas. Entonces la 4 parejas se podrán ubicar de 3! x 2! x 2! x 2! Formas 2ºSi en el grafico la pareja de referencia se ubica como M1–E1 tendríamos También: 3! x 2! x 2! x 2! Formas ∴ El total de formas es: 2 ( 3! x 2! x 2! x 2!) = 96

☞ CLAVE E 55 Un club tiene 15 miembros (10 hombres y 5 mujeres ) ¿Cuántos comités de 8 miembros se pueden formar, si cada comité debe tener 3 mujeres? a) 2520 b) 2585 c) 1348 d) 2250 e) 5258 RESOL: • Nº de comités es una combinatoria de 15 tomados de 8 en 8 Nº de comités = 10 5 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 C •C = 5 3 5 × 4 × 3 × 2 × 1× 3 × 2

Nº de comités = 2520

☞ CLAVE A

Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico 56 Alrededor de una mesa circular de 6 asientos se ubican 2 mujeres y 3 hombres. ¿De cuantas formas podrán ubicarse, si el asiento vacío debe quedar entre las dos mujeres? a) 6 b) 12 c) 32 d) 24 e) 48

RESOL: • Veamos el siguiente grafico Punto de referencia

H1 H3

M1

H2

Por dato estos 3 asientos son un solo elemento en la permutación circular

M2

Asiento vacío

Tenemos 4 elementos en la permutación circular, esto es P4 = 3! = 6 Pero la mujeres se podrán ubicar de 2 ! maneras ∴ El total de formas que podrán ubicarse es: 3 ! × 2! = 6 x 2 = 12

☞ CLAVE B 57 Hay dos obras de 3 volúmenes cada una y otras dos de 2 volúmenes cada una. ¿De cuantas maneras puede colocarse los 10 libros en un estante, si deben quedar de tal manera que no se separen los volúmenes de la misma obra? a) 5634 b) 1465 c) 6345 d) 3456 e) 4616 RESOL: • De los datos nos damos cuenta que estamos en un caso de permutación de 10 elementos. Como los 3 volúmenes de las 2 primeras obras no se deben separar y 2 volúmenes de las obras 2 obras siguientes tampoco, entonces permutaremos solo 4 elementos Obra 2 Obra 1 Obra 3 Obra 4 (Grupos) Veamos el grafico 3 libros

3! Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

3 libros 3!

2 libros 2 libros 3! 3!

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico

• Según el grafico las obras se permutan de 4! Formas y cada obra se permuta de 3!, 3!, 2! Y 2! formas Luego el número de maneras que se pueden colocar los 10 libros en un estante es: 4! x 3! x 3! x 2! x 2! = 3456

☞ CLAVE D 58 ¿De cuantas maneras pueden sentarse correcta–mente 2n personas alrededor de una mesa circular de modo que n de ellas siempre queden juntas? a) n2 b) 2n! c) (n2)! d) 2(n!) e) (n!)2 RESOL: • Veamos el grafico: P 1

P 2

Elemento fijo (n+1) de referencia elementos que P se permutan circularmente n

P “n” personas 3 juntas que se permutan de n! formas

Nº de maneras = Pc(n+1) n! = n! x n! = (n!)2

☞ CLAVE E 59 En una tienda hay 6 camisas y 5 pantalones que me gustan . Si decido comprar 3 camisas y 2 pantalones, ¿de cuantas maneras diferentes puedo escoger las prendas que me gustan? a) 100 b) 120 c) 200 d) 240 e) 480 RESOL •

Tengo que escoger de 11 elementos 5 esto es: 6 Las camisas de C3 maneras 5

Los pantalones de C2 maneras Luego el total de maneras es 6 5 6×5× 4 5× 4 C ×C = × 3 2 3×2×1 2×1 6 5 C ×C =200 3 2

☞ CLAVE E Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24

ING. LUIS ABEL CENTENO FUENTES

Director Academico 60 ¿Cuántas comisiones integradas por un chico y una chica puede formarse de cinco chicos y ocho chicas, si cierto chico rehúsa trabajar con dos chicas en particular? a) 38 b) 40 c) 42 d) 44 e) 46 RESOL: • Calculamos la cantidad de comisiones que se pueden formar con 5 chicos y 8 chicas, esto es: 5 x 8 = 40 Pero como uno de ellos se rehúsa trabajar con dos chicas, quedan 2 posibilidades menos Es decir: Nº de comisiones es 40–2 = 38

☞ CLAVE A

Calle Piura 14 B Laredo Teléfono: 435740 Cel.:

947832058

24