Problemas Resueltos-cuerpos Rigidos

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2.1.-se tiene las magnitudes lFAl=60N Y lFBl=80N, el Angulo ∝ es de 45 grados. Determine gráficamente la magnitud de la suma de las fuerzas F =FA +FB y el Angulo entre FB y F Aplicando la ley de los cosenos 𝐹 = √(𝐹𝑎)2 + (𝐹𝑏)2 − 𝐹𝑎𝐹𝑏𝑐𝑜𝑠(135) REMPLAZANDO VALORES 𝐹 = √(60)2 + (80)2 − 60 ∗ 80𝑐𝑜𝑠(135)

: F= 129.6N

Y el Angulo entre 𝐹𝐵 Y 𝐹 Aplicando la ley de senos 129.6 60 = 𝑠𝑒𝑛(135) 𝑠𝑒𝑛(∝) ∝ = 19 2.2.- se tiene las magnitudes lFAl=60N Y lFBl=80N, el Angulo ∝ es de 45 grados. Determine gráficamente la magnitud de la fuerza F =2FA -3FB y el Angulo entre FB y F FA = 60 𝑐𝑜𝑠 45 𝑖 + 60 𝑠𝑒𝑛 45 𝑗 FB = 80 𝑖 Sumando ambas fuerzas para determinar la fuerza F F = (60 𝑐𝑜𝑠 45 + 80) 𝑖 + 60 𝑠𝑒𝑛 45 𝑗 Sacando su módulo de la fuerza F 𝐹 = √(60 𝑐𝑜𝑠 45 + 80)2 + (60 𝑠𝑒𝑛 45)2 = 176.84N 2.3.- se tiene las magnitudes /FA/ =100lb y /FB/= 140lb el Angulo es de 40º use la trigonometría para determinar la magnitud de las fuerzas F = FA + FB y el Angulo entre FB y F 

Aplicando la ley de los cosenos.



√(100)2 + (140)2 − 2(100)(140) 𝑐𝑜𝑠(140) = 226 𝑙𝑏. Y el angulo entre FB y F

Donde:

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U= 100lb U+V=F;

100/senα= 226/sen140

Dónde: α=16.5 Rpta. 2.4.- se tiene las magnitudes /FA/ =60N y /FB/= 80N. el angulo es de 45º . use el trigonometría para determinar la magnitud de la fuerza F= 2FA – 3FB y ei angulo entre FB y F

FA= 60cos45°i+60sen45°j FB= 80i F= 2FB- 3FB ;

F= 2(60cos45°I + 60sen45°j)- 3(80i); F= (120cos45°-240)I +120sen45°j

Sacando su magnitud tenemos: 

lFl= √(120𝑐𝑜𝑠45° − 240)2 + (120𝑠𝑒𝑛45°)2 = 176.84𝑁

El ángulo entre FB y F 176.84/sen135=60/senα Dónde: α=13.9° 2.9 Un motor de cohete ejerce una fuerza hacia arriba de magnitud 4 MN (meganewtons) sobre la plataforma de pruebas. Si la fuerza se descompone en componentes vectoriales paralelas a las barras AB y CD, ¿cuáles son las magnitudes de las componentes? Solución;

𝐹𝐴𝐵

𝐹𝐶𝐷

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4

𝐹𝐴𝐵 = 8.00𝑀𝑁

4

𝐹𝐴𝐵 = 5.67𝑀𝑁

𝐹𝐴𝐵 = 𝑠𝑖𝑛 30 𝐹𝐶𝐷 = 𝑠𝑖𝑛 45

2.10 Los vectores Ra y Rb tienen magnitudes Ra =30 m y Rb =40 m. Determine la magnitud de su suma, Ra + Rb (a) si Ra y Rb tienen la misma dirección, (b) si Ra y Rb son perpendiculares. Solución: a) 30m 40m

R=30+40

R=70m

b)

𝑅 = √302 + 402 − 2 ∗ (40 ∗ 30) 𝑐𝑜𝑠 90 𝑅 = 50𝑚

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2.11 Un tanque de almacenamiento esférico está soportado por cables. El torque está sometido a tres fuerzas: las fuerzas Y F ejercidas por los cables el peso W. El peso del tanque es 600 lb. La suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el tanque es igual a cero. Determine las magnitudes de F B' (a) gráficamente (b) usando la trigonometría. Solución: a)

b) ∑ 𝐹𝑥 = 𝐹𝑎 𝑠𝑖𝑛 20 − 𝐹𝑏 𝑠𝑖𝑛 20 𝐹𝑎 = 𝐹𝑏 ∑ 𝐹𝑦 = 𝐹𝑎 𝑐𝑜𝑠 20 + 𝐹𝑏 𝑐𝑜𝑠 20 − 600 𝐹 = 319. .25

2.12La cuerdá ABC ejerce fuerzas F BA F BC sobre la polea en B. Sus magnitudes son IF BAI = IF BeI = 800 N. Determine IFBA FBeI, (a) gráficamente (b) con trigonometría.

a) 𝑅 = √8002 + 8002 − 2 ∗ 800 ∗ 800 𝑐𝑜𝑠 70 𝑅 = 917.7𝑁

2.13 Dos tractores remolcan una unidad habitacional hacia una nueva localidad en la base McMurdo de la Antártica (se muestra una vista aérea. Los cables son horizontales). La suma de las fuerzas FA Y FB ejercidas sobre la unidad es paralela a la línea L, y │FA│= 1000 lb. Determine │FB│y │FB + FA│, (a) gráficamente y (b) usando la trigonometría.

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SOLUCION. a) Solución gráfica: b) Solución trigonométrica: 𝛼 = 180° − 80° ⇒ 𝛼 = 100° 1000 𝐹𝐵 1000 𝑠𝑖𝑛 50° = ⇒ 𝐹𝐵 = 𝑠𝑖𝑛−1 ( ) = 1532.09 𝑙𝑏 𝑠𝑖𝑛 30° 𝑠𝑖𝑛 50° 𝑠𝑖𝑛 30° 1000 𝐿 1000 𝑠𝑖𝑛 100° = ⇒ 𝐿 = 𝑠𝑖𝑛−1 ( ) = 1969.62 𝑙𝑏 𝑠𝑖𝑛 30° 𝑠𝑖𝑛 100° 𝑠𝑖𝑛 30°

2.14 Un topógrafo determina que la distancia horizontal del punto A al B de la figura es de 400 m y que la distancia horizontal de A a C es de 600 m. determine la magnitud del vector horizontal rBC de B a C y el ángulo α, (a) gráficamente y (b) usando la trigonometría.

a) Solución trigonométrica:

𝐹𝑅 = √(400)2 + (600)2 − 2(400)(600) 𝑐𝑜𝑠 40°

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𝐹𝑅 = 390.25 𝑚 390.25 400 400 𝑠𝑖𝑛 40° = ⇒ 𝜃 = 𝑠𝑖𝑛−1 ( ) = 41.2° 𝑠𝑖𝑛 40° 𝑠𝑖𝑛 𝜃 390.25 𝛼 = 41.2° − 20° ⇒ 𝛼 = 21.2° 2.15 El vector r va al punto A de la figura al punto medio del segmento definido por los puntos B y C. Demuestre que:

𝑟 =

1 (𝑟 + 𝑟𝐴𝐶 ). 2 𝐴𝐵

𝑟 = 𝑟𝐴𝐵 + 𝑟𝑚 … … … . . 𝐸𝑐. (1) 𝑟𝐴𝐶 = 𝑟 + 𝑟𝑚 𝑟𝑚 = 𝑟𝐴𝐶 − 𝑟 … … … … . . 𝐸𝑐. (2) Remplazamos la Ec. (2) en Ec. (1) 𝑟 = 𝑟𝐴𝐵 + 𝑟𝑚 𝑟 = 𝑟𝐴𝐵 + 𝑟𝐴𝐶 − 𝑟 1 𝑟 = (𝑟𝐴𝐵 + 𝑟𝐴𝐶 ) 2 2.16 Esbozando los vectores, explique por qué: 𝑈 + (𝑉 + 𝑊 ) = (𝑈 + 𝑉 ) + 𝑊 SOLUCION. 𝑈 + (𝑉 + 𝑊) = (𝑈𝑋 , 𝑈𝑌 , 𝑈𝑍 ) + [(𝑉𝑋 , 𝑉𝑌 , 𝑉𝑍 ) + (𝑊𝑋 , 𝑊𝑌 , 𝑊𝑍 )] 𝑈 + (𝑉 + 𝑊) = (𝑈𝑋 , 𝑈𝑌 , 𝑈𝑍 ) + [(𝑉𝑋 + 𝑊𝑋 ), (𝑉𝑌 + 𝑊𝑌 ), (𝑉𝑍 + 𝑊𝑍 )] 𝑈 + (𝑉 + 𝑊) = [(𝑈𝑋 + 𝑉𝑋 + 𝑊𝑋 ), (𝑈𝑌 + 𝑉𝑌 + 𝑊𝑌 ), (𝑈𝑍 + 𝑉𝑍 + 𝑊𝑍 )] 𝑈 + (𝑉 + 𝑊) = [((𝑈𝑋 + 𝑉𝑋 ), (𝑈𝑌 + 𝑉𝑌 ), (𝑈𝑍 + 𝑉𝑍 )) + (𝑊𝑋 , 𝑊𝑌 , 𝑊𝑍 )] 𝑈 + (𝑉 + 𝑊 ) = (𝑈 + 𝑉 ) + 𝑊

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2.17 Se muestran las coordenadas x y y de los puntos B Y C del velero. (a) Determine un vector unitario paralelo al cable A eque vaya De A a (b) Determine un vector unitario paralelo al cable que vaya de B a C.

A= (9,1.2) m B= (0,0.8) m C= (5.3, 12) m 𝑟𝑎𝑐

Uac = |𝑟𝑎𝑐| rAC = rc – ra = ( -3.7 i + 10.8 j ) −3.7𝑖

10.8𝑗

UAC = 11.42 + 11.42 UAC = -0.3 i + 0.95j 5.3𝑖+11.2𝑗

UAB = (√5.32

+11.22

)

UAB = 0.04i + 0.08j

2.19.- Considere el vector fuerza F = 3i - 4j (kN) mostrado. Determine un vector unitario e que tenga la misma dirección que F. F = [3i-4j] kN

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UF =

3𝑖 5

−

4𝑗 5

UF = 0.6i + 0.8j Rpta

2.19.- El vector de posición que va del punto A al punto B es r = -8i + 6j (pies). (a) Determine el vector unitario que apunta de A a B. (b) Determine el vector unitario que apunta de B a A. A

B

RAB = [-8i+6j] pies −8𝑖+6𝑗  UAB = [√−82 2 ] +6 UAB = -0.18i+ 0.14j Rpta. 

UBA = −[

−8𝑖+6𝑗

√82 +62 8𝑖+6𝑗

]

UBA = 2 2 √8 +6 UBA = 0.18i + 0.14j Rpta. 2.20.- Dos automóviles, A y B, se encuentran en una pista circular de 1000pies de radio. La distancia entre los dos automóviles, medida a lo largo de la pista, es de 2000 pies. ¿Cuál es el vector de posición que va del automóvil A al automóvil B según el sistema coordenado que se muestra?

L=∅∗𝑅 2000 = 𝛼 ∗ 1000 𝛼 = 2° COMVIRTIENDO A RADIANES: 180

𝛼 = 2° ∗ 𝜋 R 𝛼 = 115°

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RAB=√10002 + 10002 − 2(1000 ∗ 1000) 𝑐𝑜𝑠 115° RAB = 1687 m Rpta

2.21: Si 𝐹𝐴 = 𝑖 − 4.5𝑗 (𝐾𝑁) y 𝐹𝐵 = −2𝑖 − 2𝑗 (𝐾𝑁), ¿cuál es la magnitud de la fuerza 𝐹 = 6𝐹𝐴 + 4𝐹𝐵 ? SOLUCION: 𝐹𝐴 = 𝑖 − 4.5𝑗 (𝐾𝑁) 𝐹𝐵 = −2𝑖 − 2𝑗 (𝐾𝑁) 𝐹 = 6𝐹𝐴 + 4𝐹𝐵 𝐹 = 6(𝑖 − 4.5𝑗 ) + 4(−2𝑖 − 2𝑗 ) 𝐹 = (6𝑖 − 27𝑗 ) − (8𝑖 − 8𝑗 ) 𝐹 = [−2𝑖 + 35𝑗 ]𝐾𝑁

2.22: dos vectores perpendiculares U y V se encuentran en el plano 𝑥 − 𝑦. El vector 𝑈 = 6𝑖 − 8𝑗 y |𝑉 | = 20 ¿Cuáles son las componentes escalares de V? SOLUCION: 𝑈 = 6𝑖 − 8𝑗 |𝑉 | = 20

𝑉

𝑉 = |𝑉|

𝑉=

𝑉𝑖 +𝑉𝑗 20

𝑉

𝑉𝑗

𝑉 = 20𝑖 + 20

2.23: un pez ejerce una fuerza F de200𝑁 sobre la vara de pescar. Exprese F en términos de componentes escalares.

𝐹𝑋 = 200𝑁𝑥 𝑐𝑜𝑠(60) = 100𝑁 𝐹𝑌 = 200𝑁𝑥 𝑠𝑖𝑛(60) = 173.21𝑁 𝐹 = {1𝑂𝑂𝑖 − 173,21𝑗}𝑁

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2.24: se ejerce una fuerza F de 60𝑙𝑏 para meter un cajón en un camión. Exprese F en función de componentes escalares.

𝐹𝑋 = 60𝑙𝑏𝑥 𝑐𝑜𝑠(20) = 56.38𝑙𝑏 𝐹𝑌 = 60𝑙𝑏𝑥 𝑠𝑖𝑛(20) = 20.52𝑙𝑏 𝐹 = {56.38𝑖 + 20.52𝑗}𝑙𝑏

2.25 un motor de cohete ejerce una fuerza F de 40kN. Exprese F en función de componentes escalares.

Fx = 40° cos (70°)i =13,68kN Fy = 40° sen (70°)j =37,60kN En función a sus componentes F ={𝐹𝑥𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗}𝑘𝑁 F ={−13,69𝑖 + 37,60 𝑗}𝑘𝑁

2.26 Se muestran las coordenadas de los puntos A y B de una armadura. Exprese el vector de posición de A y B en función de sus componentes escalares.

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SOLUCION

6 --------------------------- B

2 ---- ----A 1

4

rAB = (XB – XA)i+( YB -YA)j rAB = (4-1)j+ (6-2)j rAB = (3i+4j)N 2.27 El vector de posición del punto A al punto B de la figura es rAB = 12i - 16j (a) ¿Cuál es la distancia del punto A al punto B? (b) ¿Cuál es el vector de posición del punto B al punto A?

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r AB = (12i – 16j )m a = AB PORCION DE B A A r AB

B a) Distancia de A B | 𝑟 𝐴𝐵| = √122 + (−16)2 = √144 + 256 | 𝑟 𝐴𝐵| = √400 = 20𝑚 b) r AB = (-12i + 16j)m 2.28 (a) Exprese el vector de posición del punto A al punto B de la figura en función de componentes escalares. (b) Exprese el vector de posición del punto B al punto en función de componentes escalares. c) Use los resultados de las partes (a) y (b) para determinar la distancia del punto A al punto C.

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SOLUCION: a) 50--------------------- B

35 -------- A

50 pul

98

rAB = (XB – XA)i+( YB -YA)j rAB = (98-50)j+ (50-35)j rAB = (38i+15j)pulg b) 55---------C------------

50----A---

45

B

98

rBC = (XC – XB)i+( YC -YA)j rBC = (45-98)j+ (55-50)j rBC = -53i+50

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b) C

53i

50j B

43° 64°

15j

21°

A

38i

|𝐴𝐵| = 40.35 𝑝𝑢𝑙𝑔 |𝐵𝐶 | = 72.86 𝑝𝑢𝑙𝑔 |𝐴𝐶 | = √40.852 + 72.862 − 2(40.85)(72.86) ∗ 𝐶𝑂𝑆 67° |𝐴𝐶 | = 66 𝑝𝑢𝑙𝑔

2.33. Se muestra las coordenadas “x” y “y” de los puntos A, B y C del velero.

a) Determine un vector unitario paralelo al cable AC que vaya de A a C. b) Determine un vector unitario paralelo al cable BC que vaya de B a C. Solución al problema a) S=𝑣1 -𝑣2 𝑣𝐴𝐶 = (5.3i, 12j) – (9i, 1.2j) = (-3.7i , 10.8j) 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟

e = 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟

𝑒𝐴𝐶 =

𝑒𝐴𝐶 =

−3.7𝑖+1𝑜.8𝑗 √(−3.7)2 + (10.8)2

−3.7𝑖 √30.33

+

10.8𝑗 √30.33

Rpta.

Solucion al problema b) 𝑣𝐵𝐶 = (5.3i, 12j) – (0i, 0.8j) = (5.3i, 11.2j) 𝑒𝐵𝐶 =

5.3𝑖+11.2𝑗 √(5.3)2 +(11.2)2

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𝑒𝐵𝑐 =

5.3𝑖 √153.57

+

11.2𝑗 √153.57

Rpta.

2.34. Considere el vector fuerza F= 3i – 4j (KN) mostrado. Determine el vector unitario e que ten Ga la misma dirección que F. 𝐹

e = |𝐹| 3𝑖−4𝑗

e=

√(3)2+(−4)2

3𝑖

e=

5

+

4𝑗 5

Rpta.

2. 35. El vector de posion que va del punto A al punto B es r = -8i + 6j (pies) a. Determine el vector unitario 𝑒𝐴𝐵 que apunta de A a B. b. Determine el vector unitario 𝑒𝐵𝐴 que apunta de B a A. Solución a)

𝑉

𝑒 𝐴𝐵 = |𝑉𝐴𝐵| 𝐴𝐵

𝑒𝐴𝐵 =

−8𝑖+6𝑗 √(−8)2+(6)2

𝑒𝐴𝐵 =

𝑉𝐵𝐴 = 8i – 6j 𝑒𝐵𝐴 = 8𝑖

−8𝑖 10

6𝑗

+ 10 Rpta.

8𝑖−6𝑗 √(8)2 +(−6)2

6𝑗

𝑒𝐵𝐴 = 10 - 10 Rpta.

2.36. dos automóviles, A y b, se encuentran en una pista circular de 1000 pies de radio. La distancia entre los dos automóviles, medida a lo largo de la pista, es de 2000 pies . cual es el vector posición que va del automóvil A al automóvil B según el sistema coordenado que se muesta. Solución. 𝐿

L = Θr 𝜃 = 𝑅

θ = 20 α =

d = 22.4719 pie

1800 − 20 2

= 890

𝑑 𝑆𝑒𝑛20

𝑑𝐴𝐵 = 1000i + 1000j + 0k

=

1000 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑆𝑒𝑛890

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2.37 Se encuentra que la longitud de la línea OA es de 1500 metros y que la longitud de la línea OB es de 2000 metros. (a) Exprese el vector de posición de A a B en función de sus componentes escalares. (b)Use el resultado de la parte (a) para determinar la distancia de A a B. rOA = 1500 cos 60i + 1500 sin 60j rOA =750i +1299j m Los puntos de A es (750, 1299) (m) rOB i + 20 rOB = 1732i + 1000j m

jm

Los puntos de B es (1732, 1000)

a)El vector unitario desde A y B es rAB = (xB _ xA)i +(yB - yA)j rAB = 982i -299j m b) el vector unitario eAB es: 𝑒𝐴𝐵 =

𝑟𝐴𝐵 982𝑖 − 299𝑗 = |𝑟𝐴𝐵 | 1026.6

2.38 La distancia del Sol (S) a Mercurio (M) es de 57 x 106 km, la distancia del Sol a Venus (V) es de x km y la distancia del Sol a la Tierra (E) es de 150 x 10 6 km. Suponga que los planetas están localizados en el plano x-y. (a) Determine las componentes del vector de posición rM del Sol a Mercurio, del vector de posición ry del Sol a Venus y del vector de posición rE del Sol a la Tierra. (b) Use los resultados de la parte (a) para determinar la distancia de la Tierra a Mercurio y la distancia de la Tierra a Venus. 𝑟𝑚=(57𝑥106 −0)𝑖 𝑟𝑣 = 108𝑥106 𝑐𝑜𝑠40𝑖 + 108𝑥106 𝑠𝑒𝑛40𝑗 𝑟𝑒 = 150𝑥106 𝑐𝑜𝑠20𝑖 + 150𝑥106 𝑠𝑒𝑛20𝑗 𝑑𝑡𝑣 = √(150𝑥106 )2 + (108𝑥106 )2 = 184𝑥106 𝑑𝑡𝑣 = √(150𝑥106 )2 + (57𝑥106 )2 = 160𝑥106

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2.39 Una cuerda ejerce las fuerzas FA Y FB sobre una polea. Sus magnitudes son IFAl = IFBl = 80 lb. ¿Cuál es la magnitud de la suma vectorial de las fuerzas?

𝐹𝐴 + 𝐹𝐵 = (|𝐹𝐴 |𝑠𝑒𝑛40º + |𝐹𝐵 |𝑠𝑒𝑛90)𝑖 80𝑠𝑒𝑛40º + 80𝑠𝑒𝑛90º = 131.4𝑙𝑏 𝐹𝐴 + 𝐹𝐵 = 131.4𝑙𝑏

2.40 La cuerda ABC ejerce las fuerzas FBA Y FBC sobre la polea en B mostrada. Sus magnitudes son IFBAI = IFBCI = 920N. Determine la magnitud de la suma vectorial de las fuerzas descomponiendo las fuerzas en sus componentes, y compare su respuesta con la del problema 2.12.

FBC = F(cos 20i + sin 20j) FBA = F(-j) FBC + FBA= ( Fcos 20i + (sin 20-1))j (920 N)2 = F2 (cos2 20° + [sin 20° -1]2)

F = 802 N

2.41. Las magnitudes de las fuerzas mostradas son F 1=IFzl = F3 = 5 KN. ¿Cuál es la magnitud de la suma vectorial de las tres fuerzas?

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F =Fx + FY Fx = (F1 – F3 =cos 30 + F2 cos 45) i FY= (-F2 sen 45 – F3 sen 30) FX= (4.20 I – 6.03j) KN

2.42. Las cuatro fuerzas concurrentes mostradas tienen una suma vectorial igual a cero. Si IFBI = 800 lb, IFcl = 1000lb Y IFDI = 900 lIJ, ¿cuál es la magnitud de FA y el ángulo α?

Solución: ∑ F=0 ∑ FX=0

∑ FX= -800 cos70º + 1000 cos30º+900 cos 20º

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- FA cos α

FA cos α=1438, 13…….. (α)

∑ FY=0 ∑ FY= -900 sen90º - FA sen α + 800 sen 70º + 1000 sen30º FA sen α=943.94…………. (β 𝛼 𝛽

=

𝐹𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝛼

𝛼

𝐹𝐴 𝑠𝑒𝑛𝛼

𝛽

943.94

𝑇𝑔𝛼 = 1438.13

=

1438.13 943.94

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

943.94 1438.13

𝛼 = 33.28

943.94

FA × sen (33.28) = 943.94 FA= 𝑠𝑒𝑛 (33.28) FA = 1720.22lb

2.43. El empuje total ejercido sobre el impulsor por los motores principales de un cohete es de 200 000 lb Y es paralelo al eje y. Cada uno de los dos pequeños motores "vernier" ejerce un empuje de 5000 lb en las direcciones mostradas. Determine la magnitud y dirección de la fuerza total ejercida por los motores sobre el impulsor.

Solución: ∑FX = 500 sen 30º - 500 sen 15º ∑FY= 200000 + 500 cos 30º + 500 sen 15º F= FX + FY F= (120.59 i + 200562.42j) lb F=200562.45lb

F= √120.592 + 200562.422

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2.44. Las magnitudes de las fuerzas que actúan sobre el soporte son IF1I = IF2 I = 100 lb. El soporte fallará si la magnitud de la fuerza total que actúa sobre él excede de 150 lb. Determine el intervalo de valores aceptables para el ángulo α.

Solución: FR=√𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑥 1502 = 1002 + 1002 - 2(1002 ) cos α -1/8= cos α

22500=2 (1002 ) cos α

α= 97.19

2.45) Tres fuerzas actúan sobre la esfera mostrada. La magnitud de FB es de 60 lb. La suma vectorial de las tres fuerzas es igual 2.4 ¿Cuáles son las magnitudes de FA YFe?

:∑ 𝐹 = 0 ∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0

𝐹𝐴 − 𝐹𝑐. 𝑐𝑜𝑠(30°) => 𝐹𝐴 = 𝐹𝑐. 𝑐𝑜𝑠(30°) 𝐹𝐵

𝐹𝑐 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (30°) − 𝐹𝐵 = 0 => 𝐹𝑐 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (30°) = 𝐹𝐵 => 𝐹𝑐 = 𝑠𝑒𝑛30°

Calculando la fuerza C

60𝑙𝑏

𝐹𝑐 = 𝑠𝑒𝑛30°

𝐹𝑐 = 120

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Reemplazando en la ecuación 1: 𝐹𝐴 = 𝐹𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑠30° 𝐹𝐴 = 120 𝑥 𝑐𝑜𝑠30°

𝐹𝐴 = 103,92 𝑙𝑏

2.46) Cuatro fuerzas actúan sobre una viga. La suma vectorial de las fuerzas es igual a cero.|𝐹𝐵 | = 10𝐾𝑁 𝑦 |𝐹𝐵 | = 5𝐾𝑁 Determine las magnitudes de 𝐹𝐴 y 𝐹𝐷 .∑ 𝐹 = 0 ∑ 𝐹𝑥 = 0

𝐹𝐴 𝑥 𝑐𝑜𝑠(30°) − 𝐹𝐷 => 𝐹𝐴 𝑥 𝑐𝑜𝑠(30°) = 𝐹𝐷 … … . . . (1) ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝐹𝐴 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (30°) − 𝐹𝐵 + 𝐹𝑐 = 0 => 𝐹𝐴 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (30°) = −5𝑘𝑁 + 10𝐾𝑁 Calculando la fuerza 𝐹𝐴

𝐹𝐴 =

5𝐾𝑁 𝑠𝑒𝑛30°

𝐹𝐴 = 10𝐾𝑁

En la ecuación 1: 10𝐾𝑁 𝑥 𝑐𝑜𝑠 30° = 𝐹𝐷

𝐹𝐷 = 8.66𝐾𝑁

2.47) Seis fuerzas actúan sobre una viga que forma parte de la estructura de un edificio. La suma vectorial de las fuerzas es igual a cero.|𝐹𝐵 | = |𝐹𝐸 | = 5𝐾𝑙𝑏, |𝐹𝑐 | = 4𝑘𝑙𝑏 𝑦 |𝐹𝐷 | = 2𝑘𝑙𝑏. Determine las magnitudes de |𝐹𝐵 | 𝑦 |𝐹𝐸 |.

SOLUCION; DATOS: |𝐹𝐵 | = |𝐹𝐸 | = 5𝐾𝑙𝑏,

|𝐹𝑐 | = 4𝑘𝑙𝑏

𝑦 |𝐹𝐷 | = 2𝑘𝑙𝑏

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∑𝐹 = 0

∑ 𝐹𝑥 = 0

𝐹𝐷 𝑥 𝑐𝑜𝑠 40° + 𝐹𝐺 𝑐𝑜𝑠 50° − 𝐹𝑐 𝑐𝑜𝑠40° − 𝐹𝐴 𝑐𝑜𝑠70° = 0 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 40° + 𝐹𝐺 𝑐𝑜𝑠 50° − 4 𝑐𝑜𝑠40° − 𝐹𝐴 𝑐𝑜𝑠70° = 0 𝐹𝐺 𝑐𝑜𝑠 50° − 𝐹𝐴 𝑐𝑜𝑠70° = 1,53𝑘𝑙𝑏 … … . . (1) ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝐹𝐴 𝑠𝑒𝑛 70° + 𝐹𝑐 𝑠𝑒𝑛 90° + 𝐹𝐷 𝑠𝑒𝑛 40° + 𝐹𝐺 𝑠𝑒𝑛 50° − 𝐹𝐵 − 𝐹𝐸 = 0 𝐹𝐴 𝑠𝑒𝑛 70° + 4 𝑠𝑒𝑛 90° + 2 𝑠𝑒𝑛 40° + 𝐹𝐺 𝑠𝑒𝑛 50° − 5 − 5 = 0 𝐹𝐴 𝑠𝑒𝑛 70° + 𝐹𝐺 𝑠𝑒𝑛 50° = 6,14 𝑘𝑙𝑏 … … … (2) Sumando la ecuación 1 y 2: 𝐹𝐺 𝑐𝑜𝑠 50° − 𝐹𝐴 𝑐𝑜𝑠70° = 1,53𝑘𝑙𝑏 𝐹𝐴 𝑠𝑒𝑛 70° + 𝐹𝐺 𝑠𝑒𝑛 50° = 6,14 𝑘𝑙𝑏 Calculando la fuerza 𝐹𝐺

𝐹𝐺 =

3,54 𝑠𝑒𝑛50°

𝐹𝐺 = 10,41𝑘𝑙𝑏

𝐹𝐴 = 3,37 𝑘𝑙𝑏

2.48) El peso total de un hombre y su paracaídas es La fuerza D de arrastre es |𝑤| = 230𝑙𝑏, Perpendicular a la fuerza de elevación. Si la suma vectorial de las tres fuerzas es igual a cero, ¿cuáles son las magnitudes de y D?

SOLUCION: ∑𝐹 = 0

Solución de ejercicios | chancas Ordoñez yoel

∑ 𝐹𝑥 = 0 −𝐷 𝑐𝑜𝑠 20° + 𝐿 𝑐𝑜𝑠 60° = 0

∑ 𝐹𝑦 = 0

𝐿 𝑠𝑒𝑛 70° + 𝐷 𝑠𝑒𝑛 20° − 230𝑙𝑏𝑠 = 0 𝐿 𝑠𝑒𝑛 70° + 𝐷 𝑠𝑒𝑛 20° = 230𝑙𝑏)𝑠 Igualando o reemplazando1 en 2:

𝐿=

𝐷 𝑐𝑜𝑠 20° 𝑐𝑜𝑠 70°

𝐿

𝑠𝑒𝑛 70° + 𝐷 𝑠𝑒𝑛 20° = 230𝑙𝑏𝑠

𝐷 𝑐𝑜𝑠 20° 𝑠𝑒𝑛 70° + 𝐷 𝑠𝑒𝑛 20° = 230𝑙𝑏𝑠 𝑐𝑜𝑠 70° 𝐷 𝑠𝑒𝑛20° 𝑥 𝑡𝑔 70° + 𝐷 𝑠𝑒𝑛20° = 230 230

𝐷 (𝑠𝑒𝑛 20° 𝑥 𝑡𝑔 70° + 𝑠𝑒𝑛 20°) = 230 𝐷 = 𝑠𝑒𝑛 20° 𝑥 𝑡𝑔 70°+𝑠𝑒𝑛 20° 𝐷=

230 1,28

𝐷 = 179,69 𝑙𝑏𝑠𝐿 =

230 − 179.69 𝑠𝑒𝑛 20° 𝐿 = 179.30𝑙𝑏𝑠 𝑠𝑒𝑛 70°

2.49 Dos cables AB y CD se extienden desde la estructura de lanzamiento de un cohete hasta el suelo. El cable AB ejerce-una fuerza de 10 000 lb sobre la torre y el cable CD ejerce una fuerza de 5000 lb. (a) Usando el sistema coordenado que se muestra, exprese cada una de las dos fuerzas ejercidas sobre la torre por los cables en función de componentes escalares. (b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total ejercida por los dos cables sobre la estructura?

6427.87

7660.12

8927.87

4330.12

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8927.87

11990.56

𝐹𝑅 = √(11990.56)2 + (8927.87)2 𝐹𝑅 = √223480391.9 𝐹𝑅 =

1494.26

2.50 Los cables A, B C ayudan a soportar una columna de una estructura. Las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los cables son iguales: IFAI= IFBI IFe!. La magnitud de la suma vectorial de las tres fuerzas es de 200 kN. ¿Qué valor tiene IFAl?

𝐹𝐴 = 41.55 𝐹𝑥 = 41.55 𝑐𝑜𝑠(∅)

𝐹𝑦 = 41.55 𝑠𝑒𝑛(∅)

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𝑐𝑜𝑠(∅) =

4 6

𝑠𝑒𝑛(∅) =

6 4

𝐹𝑥 = 41.5 𝑥 4 =27.7 6

𝐹𝑦 = 41.5 𝑥 6 =62.3 4

|𝐹𝐴| = √(27.7)2 + (62.3)2 = 68.2

2.51 La tensión en el cable A C del velero mostrado es de 300lb. La suma vectorial de las fuerzas ejercidas sobre la parte superior del mástil C por el cable A C y el cable BC del velero está dirigida hacia abajo. (a) ¿Cuál es la tensión en el cable BC? (b) ¿Cuál es la fuerza vertical total que los dos cables ejercen sobre el mástil?

𝑡𝑎𝑛(β) =

(12 − 0.8) (5.3 − 0)

𝑡𝑎𝑛(𝛽 ) =

11.2 5.3

𝛽 = 64. 67

𝑡𝑎𝑛(𝛼 ) =

(12 − 1.3) (5.3 − 99

𝑡𝑎𝑛(𝛼 ) =

10.8 3.7

𝛼 = 77.8

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F

𝛽 𝛼 38º TBC

25º TAC

𝑇𝐴𝐶 𝑇𝐵𝐶 𝑇𝐴𝐶 𝑇𝐵𝐶 300𝐿𝑏 𝑇𝐵𝐶 = → = → = 𝑠𝑒𝑛(90 + 𝛽 ) 𝑠𝑒𝑛(90 + 𝛼) 𝑐𝑜𝑠(𝛽) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) 0.42 0.22 𝑇𝐵𝐶 = 157.14 𝐿𝑏

𝐹 𝑇𝐴𝐶 𝐹 300𝐿𝑏 = → = 𝑠𝑒𝑛(38.25) 𝑠𝑒𝑛(90 + 𝛽) 𝑐𝑜𝑠(0.61) 0.42 𝐹 = 435.71

2.52 La estructura mostrada forma parte de una armadura que soporta el techo de un edificio. Los miembros AB, AC y AD ejercen fuerzas FAB, FAC YFAD sobre la junta A. IFABI = 4 kN. Si la suma vectorial de las tres fuerzas es igual a cero, ¿cuáles son las magnitudes de FAC y FAD?

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75.96 66.43 14.04

26.57

56.31 33.69 TBC

4 𝑇𝐶 = 𝑠𝑒𝑛(70.35) 𝑐𝑜𝑠(33.69) 4.25 𝑥 𝑐𝑜𝑠(33.69) = 𝑇𝐶

3.53 = 𝑇𝐶

4.25 𝑥 𝑠𝑒𝑛(142.4) = 𝑇𝐷

2.6 = 𝑇𝐷

53. El vector de posición r va del punto A mostrado a un punto sobre la línea recta entre B y C. Su magnitud es [r] = pies. Exprese r en términos de sus componentes escalares.

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TENEMOS EL PUNTO “N”: (9; 7) DESCONPONIENDO: EN X: (9i – 3i) = 6i EN Y: (7j – 5j) = 2j

Entonces r = 6i + 2j

2.54. Sea r el vector de posición que va del punto de la figura al punto situado a una distancia de metros del punto A sobre la línea recta que conecta A con B. Exprese en términos de componentes escalares. (Su solución estará en función de s.)

SOLUCION: TENEMOS EL PUNTO “N”: (5; 5.5) DESCONPONIENDO: EN X: (5i – 9i) = -4i EN Y: (5.5j – 3j) = 2.5j

Entonces r = -4i + 2.5j

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55 ¿Cuál es la magnitud del vector 3i - 4j - 12k? Estrategia: La magnitud de un vector está dada, en función de sus componentes, por la ecuación Así, la magnitud de un vector U está dada, en función de sus componentes en tres dimensiones, por la expresión I U I = √ 𝑈𝑋2

+ 𝑈𝑌2

+

𝑈𝑍2

I U I = √ 𝑈𝑋2

+ 𝑈𝑌2

+

𝑈𝑍2

SOLUCION:

𝐼 𝑈 𝐼 = √32 + (−42 ) + (−122 ) 𝐼 𝑈 𝐼 = 13 𝑢

56 Halle la magnitud del vector F = 20i + 60j - 90k (N). 𝐼 𝐹 𝐼 = √ 𝑈𝑋2

+ 𝑈𝑌2

+

𝑈𝑍2

𝐼 𝐹𝐼 = √ 𝑈𝑋2

+ 𝑈𝑌2

+

𝑈𝑍2

𝐼 𝐹 𝐼 = √202 + (602 ) + (−902 ) 𝐼 𝐹𝐼 = 110 𝑢

2.57) La magnitud del vector fuerza 𝐹 = 𝐹𝑋 𝑖 − 120𝑗 − 40𝑘 𝑙𝑏 es |𝐹 | = 130 𝑙𝑏 ¿Qué valor tiene𝐹𝑋 ? SOLUCION: 𝐹 = 𝐹𝑋 𝑖 − 120𝑗 − 40𝑘 |𝐹 | = 130 |𝐹 | = √𝐹𝑋 2 + 1202 + 402 130 = 𝐹𝑋 + 120 + 40 𝐹𝑋 = 130 − 120 − 40 𝐹𝑋 = −30 𝐹 = −30𝑖 − 120𝑗 − 40𝑘 2.58) La magnitud del vector. 𝑈 = 𝑈𝑋 𝑖 + 𝑈𝑌 𝑗 + 𝑈𝑍 𝑘 Sus componentes escalares están relacionadas por las ecuaciones 𝑈𝑌 = −2𝑈𝑋 𝑦 𝑈𝑍 = 4𝑈𝑌 .Determine las componentes Escalares.

Solución de ejercicios | chancas Ordoñez yoel

SOLUCION: 𝑈 = 𝑈𝑋 𝑖 + 𝑈𝑌 𝑗 + 𝑈𝑍 𝑘

;

𝑈𝑌 = −2𝑈𝑋

;

𝑈𝑌 = −2𝑈𝑋

𝑈𝑍 = 4𝑈𝑌 𝑈𝑍 = 4(−2𝑈𝑋 ) 𝑈𝑍 = −8𝑈𝑋 𝑈 = 𝑈𝑋 𝑖 + (−2𝑈𝑋 𝑖) + (−8𝑈𝑋 𝑖) 𝑈 = 𝑈𝑋 𝑖 − 2𝑈𝑋 𝑖 − 8𝑈𝑋 𝑖 𝑈 = −9𝑈𝑋 𝑖

Cuando 𝑈 = 30

30 = 9𝑈𝑋 𝑖 => 𝑈𝑋 𝑖 =

10 3

10 −20 => 𝑈𝑌 = 3 3 10 −80 𝑈𝑍 = −8 𝑥 𝑈𝑋 => 𝑈𝑍 = −8𝑥 => 𝑈𝑍 = 3 3 𝑈𝑌 = −2 𝑥𝑈𝑋 𝑖 => 𝑈𝑌 = −2𝑥

2.59) Determine la magnitud del vector −2𝑈 + 3𝑉 si 𝑈 = 100𝑖 + 200𝑗 − 600𝑘 𝑉 = −200𝑖 + +450𝑗 + 100𝑘 𝑀 = −2(100𝑖 + 200𝑗 − 600𝑘) + 3(= −200𝑖 + +450𝑗 + 100𝑘) 𝑀 = (−800𝑖 + 950𝑗 + 1500𝑘)

|𝑀| = √8002 + 9502 + 15002

|𝑀| = 1947 2.60) Se dan los vectores. 𝑈 = 3𝑖 − 2𝑗 + 6𝑘 y 𝑉 = 4𝑖 + 12𝑗 − 3𝑘 (a) Determine las magnitudes de U y V. (b) Determine la magnitud del vector 3U + 2V SOLUCION: . 𝑈 = 3𝑖 − 2𝑗 + 6𝑘

;

𝑉 = 4𝑖 + 12𝑗 − 3𝑘

a) |𝑈| = √32 + (−2)2 + 62

|𝑉 | = √42 + 122 + (−6)2

|𝑈 | = 7

|𝑉 | = 13

b) 3U + 2V Sumando U+V 3𝑈 = 9𝑖 − 6𝑗 + 18𝑘 2𝑉 = 8𝑖 + 24𝑗 − 6𝑘

3𝑈 + 2𝑉 = 17𝑖 + 18𝑗 + 12𝑘

|3𝑈 + 2𝑉 | = √172 + 182 + 122

|3𝑈 + 2𝑉 | = √757

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2. 61) Se tiene el vector V = 40i - 70j - 40k. (a) ¿Cuál es su magnitud? (b) ¿Cuáles son los ángulos 𝜃𝑥 , 𝜃𝑦 y 𝜃𝑧 entre y los ejes coordenados positivos? SOLUCION: 𝑈 = 40𝑖 − 70𝑗 − 40𝑘 |𝑈| = √(40𝑖)2 + (−70𝑗)2 + (−40𝑘)2 |𝑈| = 90 El vector unitario será: 40 70 40 𝑖− 𝑗− 𝑘 90 90 90 Los ángulos son: 𝑈𝑢 =

40 ) = 63.61° 90 −70 𝜃𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( ) = 141.05° 90 −40 𝜃𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( ) = 116.4° 90 𝜃𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (

2.62) Se tiene la fuerza F = 600i - 700j + 600k (lb). ¿Cuáles son los ángulos 𝜃𝑥 , 𝜃𝑦 y 𝜃𝑧 entre el vector F y los ejes coordenadas positivos? SOLUCION: |𝐹 | = √6002 + 7002 + 6002 |𝐹 | = 1100𝑙𝑏 600 700 600 𝑖− 𝑗+ 𝑘 1100 1100 1100 600 𝜃𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( ) = 57° 1100 −700 𝜃𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( ) = 130° 1100 600 𝜃𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( ) = 57° 1100 𝐹𝑢 =

𝐹 = 1100 𝑐𝑜𝑠(57°) 𝑖 − 1100 𝑐𝑜𝑠(130°) 𝑗 + 1100 𝑐𝑜𝑠(57°) 𝑘 𝐹 = 600𝑗 + 707.6𝑗 + 600𝑘

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2.63) El cable ejerce una fuerza F de 50 lb sobre el gancho en O. El ángulo entre F y el eje x es de 40° y el ángulo entre F y el eje y es de 76°. La componente z de F es positiva.

(a) Exprese F en función de componentes escalares. (b) Cuáles son los cosenos directores de F? SOLUCION: 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜎 = 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 (40°) + 𝑐𝑜𝑠 2 (70°) = 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 (40°) + 𝑐𝑜𝑠 2 (70°) 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = √1 − 𝑐𝑜𝑠 2 (40°) + 𝑐𝑜𝑠 2 (70°) 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = ±0,73 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (−0,73)

;

𝛼 = 137°

𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (0,73) 𝛼 = 43°

𝐹⃗ = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖 + 𝐹𝑐𝑜𝑠𝛽𝑗 + 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜎𝑘 𝐹⃗ = 50 𝑐𝑜𝑠(137°) 𝑖 + 50 𝑐𝑜𝑠(40°) + 50𝑐𝑜𝑠(70°) 𝐹⃗ = −36.56𝑖 + 38.30𝑗 + 17.10𝑘 2.64) Un vector unitario tiene los cosenos directores. 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 = −0,5 , 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 = 0.2 Su componente Z es positiva. Exprese este vector en función ?e sus componentes escalares. SOLUCION: 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (−0,5) 𝛼 = 120° 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (0,2) 𝛼 = 78.46 𝐹⃗ = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖 + 𝐹𝑐𝑜𝑠𝛽𝑗 + 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜎𝑘 𝐹⃗ = 𝐹 120𝑖 + 𝐹 78.46° 𝑗 + 0𝑘

Solución de ejercicios | chancas Ordoñez yoel 2

6

3

2.68.-Un vector fuerza F señala en la misma dirección que el vector unitario e= 7 𝑖- 7j- 7k. La magnitud de F es de 700 lb. Exprese F en función de componentes escalares.

SOLUCION: 𝐹̅=|𝐹| µ 2 6 3 𝐹̅=700lb [ 𝑖 − 𝑗 − 𝑘] 7

7

7

Respuesta: 𝐹̅= [200i-600j-300k] lb 2.69.-Un vector de fuerza F apunta en la misma dirección que el vector de posición r= 4i +4j - 7k (m). La magnitud de F es de 90 kN. Exprese F en términos de sus componentes escalares.

SOLUCION: 𝐹̅=|𝐹| µ 4𝑖+4𝑗−7𝑘 𝐹̅=90KN [ ] 9

4

4 7 𝐹̅= 90KN [ 9 𝑖 + 9 𝑗 − 9 𝑘]

Respuesta 𝐹̅= [40i+40j-70k]

2.70En el transbordador espacial los astronautas usan radar para determinar las magnitudes y los cosenos directores de los vectores de posición de dos satélites A y B. El vector 𝑟𝑎 del transbordador al satélite A tiene una magnitud de 2 km y cosenos directores de los vectores de de posición de dos satélites A y B. el vector 𝑟𝐴 del transbordador AL satélite A tiene una magnitud de 2km y cosenos directores 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑥 = 0.768; 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 0.384; 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑧 = 0.512. El vector 𝑟𝑏 del transbordador al satélite B tiene una magnitud de 4 km cosenos directores 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑥 = 0.743; 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑦 = 0.557; 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑧 = −0.371. ¿Cuál es la distancia entre los satélites?

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SOLUCION: ř𝐴 = 2KM [0.768𝑖 + 0.384𝑗 + 0.512𝑘 ] ř𝐴 = [1.536𝑖 + 0.768𝑗 + 1.024𝑘 ] KM ř𝐵= 4KM [0.743𝑖 + 0.557𝑗 − 0.371𝑘 ] ř𝐵= [2.972𝑖 + 2.228𝑗 − 1.48𝑘]KM d= ř𝐵− ř𝐴 d=[1.436𝑖 + 1.46𝑗 − 2.508𝑘]KM |d|=√(1.436)2 + (1.46)2 + (−2.508)² Respuesta: |d|=3.237KM

2.71.-Unos arqueólogos extranjeros midieron una estructura

precolombina y obtuvieron las

dimensiones mostradas. Determine (a) la magnitud (b) los cosenos directores del vector de posición del punto A al punto B.

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SOLUCION:

(a) la magnitud: 𝑟̅𝐴−𝐵= 𝑟̅𝐵 - ̅𝑟𝐴 𝑟̅𝐵 = [10𝑖 + 8𝑗 + 4𝑘]

̅𝑟𝐴 = [0𝑖 + 16𝑗 + 14𝑘]

𝑟̅𝐴−𝐵= [−10𝑖 + 8𝑗 + 10𝑘]

|𝑟̅𝐴−𝐵 |=√(−10)2 + 82 + 10²

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: |𝑟̅𝐴−𝐵 |= 2√66 m (b) los cosenos directores: −10

𝑐𝑜𝑠 𝛼=2 𝑐𝑜𝑠 𝛽=2

√66 8

√66

𝑐𝑜𝑠 𝜃=2

10 √66

=12.8 =60.5

=52.01

2.72 Unos arqueólogos extranjeros midieron una estructura ceremonial precolombina y obtuvieron las dimensiones mostradas. Determine (a) la magnitud y (b) los cosenos directores del vector de posición del punto A al punto B.

Solución de ejercicios | chancas Ordoñez yoel

𝐴(0,16,14)𝑚

𝐵(10,8,4)𝑚

YAB = ([10 − 0]𝑖 + [8 − 16]𝑗 + [4 − 14]𝑘)𝑚

rAB = (10𝑖 − 8𝑗. 10𝑚)𝑚

a)|𝑌𝐴𝐵| = √102 + 82 + 102 = √264𝑚 = 16.2𝑚

b)

𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑥 =

𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 =

10 √264

−8 √264 −10

𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑧 =

√264

= 0,615

= −0,492 = −0,615

2.73 consideremos la estructura descrita en el problema 2.72. Al volver a su país, un arqueólogo se da cuenta de que ha perdido las notas que la dimensión b, pero otras notas indican que la distancia del punta B al punto C es de 16.4m. ¿Cuáles son los cosenos directores que va de B a C? Las coordenadas en B(10m, 8m, 4m) 𝑐 (10 + 𝑏. 0.18𝑚) YBC = (10𝑚 + 𝑏 − 10𝑚)𝑖 + (0 − 8𝑚)𝑗 + (18𝑚 − 4𝑚)𝑘 YBC = (𝑏)𝑖 + (−8𝑚)𝑗 + (14𝑚)𝑘 𝑎) 16,61𝑚2 = 𝑏2 + (−8𝑚)2 + (14𝑚)2 𝑏) 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑧 =

3,99𝑚 = 0,40 16,61𝑚

−8𝑚 = −04,82 16,61𝑚

14𝑚 = 0,8431 16,61𝑚

𝑏 = 3,99𝑚

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2.74 Un topógrafo midió originalmente la altura del monte Everest con el siguiente procedimiento. Primero mido las distancias entre los puntos A y B de igual altitud que se muestran. Suponga que estaban a 10000 pies sobre el nivel del mar y 32000 pies separados entre sí. Luego uso un teodolito para medir los cosenos directores de los vectores del punto B a P. suponga que para r AP se obtuvieron los cosenos directores 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑥 = 0,509 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 =0,509, 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑧 = 0,694 y que para rBP

los cosenos directores obtenidos fueron 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑥 = −0,605, 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 0.471 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑧 = 0.642. El eje del sistema coordenado es vertical. ¿Cuál es la altura del Monte Everest sobre el nivel del mar? 𝐴(0,0,10000)𝑚

𝐵(10000,0,32000)𝑚 (𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)

YAP = 𝑋𝑖 + 𝑌𝑗 + (𝑍 − 10000)𝑘 YAP = (0,509𝑖 + 0509𝑗 + 0,694𝑘) YBP = (𝑋 − 32000)𝑖 + 𝑌𝑗 + (𝑍 − 10000)𝑘 YBP= (−0,3743𝑖 + 0,7486𝑗 + 05472𝑘) 𝑋 = 𝑌𝐴𝑃(0,509) 𝑌 = 0,509 𝑍 − 1000𝑚 = 𝑟𝐴𝑃0.694 𝑋 − 32000𝑚 = −𝑟𝐵𝑃 − 0,748 𝑌 = 𝑟𝐵𝑃0,5472

2.75 La distancia OA es de 20 pies. La línea rectaAB es paralela al eje y,y el punto B está en el plano x-z. Exprese el vector rOA en función de sus componentes escalares. Estrategia rOA se puede descomponer en un vector de O a B y en un vector B a A. Luego se puede descomponer el vector de O a B en componentes vectoriales paralelas a los ejes x,y (véase el Ej . 2.9) |𝑟𝐴𝐵| = |𝑟𝑂𝐴|𝑠𝑒𝑛30 = 20(0,5) = 10𝑓𝑡

Solución de ejercicios | chancas Ordoñez yoel

OB es |𝑟𝑂𝐵| = |𝑟𝑂𝐴|𝑐𝑜𝑠30 = 20(0,866) = 17,8𝑓𝑡 𝑟𝑂𝐴 = 15𝑖 + 10𝑗 + 8,66𝑘(𝑓𝑡) El vector r en la condición 𝑋 − 𝑍 en el plano es rOB = |𝑟𝑂𝐵|(𝑖𝑐𝑜𝑠30 + 𝑗𝑐𝑜𝑠90 + 𝑘𝑐𝑜𝑠60)

rOB = 15𝑖 + 𝑜𝑗 + 8,68𝑘 Resolviendo los componentes del vector es rBA = |𝑟𝑏𝑎|(𝑖𝑐𝑜𝑠90 + 𝑗𝑐𝑜𝑠0 + 𝑘𝑐𝑜𝑠90) rBA = 0𝑗 + 10𝑗 + 0𝑘

2.73 Consideremos la estructura descrita en el problema 2.72. Al volver a su país, un arqueólogo se da cuenta de que ha perdido las notas que contienen la dimensión b, pero otras notas indican que la distancia del punto B al punto es de 16.4 m. ¿Cuáles son los coseno s directores del vector que va de B a C?

 A{0i,16j,14k}  B{0i,8j,4k}  C{10+b,0,18}  Hallando cosenos directores de B a C

Solución de ejercicios | chancas Ordoñez yoel

rBC = rC- Rb Rbc ={bi,-8j+14j}

Ubc =3i-8j-14k 3

BC =√𝑏2 + −82 + 142 16.42 = 𝑏2 +82 + 142

cosα= 16.4 −8

cos𝛽= 16.4

; α=79.5

𝛽 = 119.2

2.74 Un topógrafo midió originalmente la altura del Monte Everest con el siguiente procedimiento. Primero midió la distancia entre los puntos A y B de igual altitud que se muestran. Suponga que estaban a 10 000 pies sobre el nivel del mar y 32 000pies separados entre sí. Luego usó un teodolito para medir los cosenos directores de los vectores del punto A a la cima P de la montaña y del punto B a P. Suponga que para rAP se obtuvieron los cosenos directores cos Ox = 0.509, cos Oy = 0.509, cos Oz = 0.694 Y que para rBP los coseno s directores obtenidos fueron cos Ox = -0.605, cos Oy = 0.471, Y cos Oz = 0.642. El eje z del sistema coordenado es vertical. ¿Cuál es la altura del Monte Everest sobre el nivel del mar?

2.75 La distancia OA es de 20 pies. La línea recta AB es paralela al eje y , y el punto b esta en el plano x-z. Exprese el vector rOA en función de sus componentes escalares. Estrategia: rOA se puede descomponer en un vector de O a B y en un vector de B a A. Luego se puede descomponer el vector de O a B en componentes vectoriales paralelas a los ejes x y z (véase el Ejm. 2.9).

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   

Fy= roa sen30° = 20 sen 30°= 10 pies Fb= roa cos30° = 20 cos 30°= 17.32 pies Fx= FB sen30° =17 .32 sen 60°= 15 pies F2 =17.32 cos60° =8.66 pies

Expresado en forma cartesiana: Roa ={15i + 10j +8.66k} pies 2.76 La magnitud de r es de 100 pulg. La recta que va de la cabeza de r al punto A es paralela al eje x y el punto A está en el plano j-z. Exprese r en función de sus componentes escalares.

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SOL:

Fx =r sen45° =100sen 45° =70.71 pulg FB =100 cos45° = 70.71 pulg CALCULAMOS LA MAGNITUDES CON LA FB:  Fy =FBsen60° =70.71sen 60° 061.24 pulg  F2 = 70.71cos60° =35.36 pulg

Expresando en forma cartesiana:

_ r =√70.712 + 61.242 + 35.362

R ={70,71i+ 61.24j+35.36k} pulg

r = 100.002 pulg

2.77 En la figura P2.77, la línea recta que va de la cabeza de F al punto A es paralela al eje y, y el punto A está contenido en el plano x-z. La componente x de F es F, = 100 N. (a) ¿Cuál es la magnitud de F? (b) Determine los ángulos Ѳx, Ѳy y Ѳz los ejes coordenados positivos.

Sol: →Fx =100 N →100N/SEN 60° =FA/SEN 90° FA = 115.47 N

b) coseno directores de F son: 100

cos Ѳx =Fx/F = 158.3 = 0.63

Solución de ejercicios | chancas Ordoñez yoel

→F2 =115.47 COS60° =57.74 N  115.47/SEN70° = Fr/sen20°

42.03

cos Ѳy =Fy/F = 158.3 = 0.27 115.47

cos Ѳz =Fz/F = 158.3 = 0.73

Fy =42.03 N

 ¿cual es la magnitud de F ? F= {100i+42.03j+115.47k} 1002

F= √ + F= 158.43 N

42.032

+

115.472

Los ejes cordenados positivos son: Ѳx =50.95 Ѳy = 74.63 Ѳz = 43.11