Problemas Resueltos Cuerpos Rigidos PDF
February 15, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Solución de ejercicios | chancas Ordoñez yoel
∝
2.1.-se tiene las magnitudes lFAl=60N lFAl=60N Y lFBl=80N, el Angulo es de 45 grados. Determine gráficamente la magnitud de la suma de las fuerzas F =FA +FB y el An Angulo gulo entre FB y F Aplicando la ley de los cosenos
135 REMPLAZANDO VALORES VALORES
6060 80 80 60∗80135 Y el Angulo entre Y
: F= 129.6N
Aplicando la ley de senos
129.6 60 135 ∝ ∝ 19
∝
2.2.- se tiene las magnitudes lFAl=60N Y lFBl=80N, el Angulo es de 45 grados. Determine gráficamente la magnitud de la fuerza F =2FA -3FB y el Angulo entre FB y F FA = FB =
45 60 45 45 8060 80 45
Sumando ambas fuerzas para determinar la fuerza F
60 60 45 45 80 80 60 45 45
F =
Sacando su módulo de la fuerza F
60 45 45 80 60 45 = 176.84N 2.3.- se tiene las magnitudes /F A / =100lb y /F B /= 140lb el Angulo es de 40º use la trigonometría para determinar la magnitud de las fuerzas F = F Angulo entre F A + F B y el Angulo B y F
Aplicando la ley de los cosenos.
140 2100 Y 100 100 100 140 140 140 140 22 226 6 . . el angulo entre FB y F
Donde:
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U= 100lb U+V=F;
100/senα= 226/sen140
Dónde: α=16.5 Rpta. 2.4.- se tiene las magnitudes /F A / =60N y /F B /= 80N. el angulo es de 45º . use el trigonometría para determinar la magnitud de la fuerza F= 2F A – – 3F 3F B y ei angulo entre F B y F
FA= 60cos45°i+60sen45°j 60cos45°i+60sen45°j FB= 80i F= 2FB- 3FB ;
F= 2(60cos4 2(60cos45°I 5°I + 60sen45°j)- 3(80i); F= (120cos45°-240)I +12 +120sen45°j 0sen45°j
Sacando su magnitud tenemos:
lFl=
12045°240 12045° 176.84
El ángulo entre FB y F 176.84/sen135=60/senα Dónde: α=13.9° 2.9 Un motor de cohete ejerce una fuerza hacia arriba de magnitud 4 MN (meganewtons) sobre la plataforma de pruebas. Si la fuerza se descompone en componentes vectoriales paralelas a las barras AB y CD, ¿cuáles son las magnitudes de las componentes? Solución;
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8.00 5.67
2.10 Los vectores Ra y Rb tienen magnitudes Ra =30 m y Rb =40 m. Determine la magnitud de su suma, Ra + Rb (a) si Ra y Rb tienen la misma dirección, (b) si Ra y Rb son perpendiculares. Solución: a) 30m 40m
R=30+40
R=70m
b)
30 40 2∗40∗3090 50
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2.11 Un tanque de almacenamiento esférico está soportado por cables. El torque está sometido a tres fuerzas: las fuerzas Y F ejercidas por los los cables el peso W. El peso del tanque es 600 lb. La suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el tanque es igual a cero. Determine las magnitudes de F B' (a) gráficamente (b) usando la trigonometría. Solución: a)
b)
2020 2020600 319..25 2.12La cuerdá ABC ejerce fuerzas F BA F BC sobre la polea en B. Sus magnitudes son IF BAI = IF BeI = 800 N. Determine IFBA FBeI, (a) (a) gráficamente (b) con trigonometría.
a)
2∗800∗80070 917.7 √ 880000 800 2.13 Dos tractores remolcan una unidad habitacional hacia una nueva localidad en la base McMurdo de la Antártica (se muestra una vista aérea. a érea. Los cables son horizontales). La suma de las la s fuerzas F A Y F B ejercidas sobre la unidad es pa ralela a la línea L, y │F A│= 1000 lb. Determine │F B│y │F B + F A│, (a) gráficamen gráficamente te y (b) usando la trigonometría.
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SOLUCION. a) Solución gráfica: b) Solución trigonométrica:
180°80° ⇒ 100° 1000 ⇒ − 100050° 1532.09 30° 30° 50° 1000 ⇒ − 1000100° 1969.62 30° 30° 100° 2.14 Un topógrafo determina que la distancia horizontal del punto A al B de la figura es de 400 m y que la distancia horizontal de A a C es de 600 m. determine la magnitud del vector horizontal r BC de B a C y el ángulo α, α, (a) gráficamente gráficamente y (b) usando la trigonometría.
a) Solución trigonométrica:
400 600 240060040°
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390. 390.25 25 390.25 400 ⇒ − 40040° 41.2° 40° 390.25 41.2°20° ⇒ 21.2° 2.15 El vector r va al punto A de la figura al punto medio del segmento definido por los puntos B y C. Demuestre que:
12 . ……….. .1 …… …… …….... .2 .2
Remplazamos la Ec. (2) en Ec. (1)
21
2.16 Esbozando los vectores, explique por qué:
SOLUCION.
, , [, , , , ] , , [ , , ]] [ , , ] [ , , , , ]
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2.17 Se muestran las coordenadas x y y de los puntos B Y C del velero. (a) Determine un vector unitario paralelo al cable A eque vaya De A a (b) Determine un vector unitario paralelo al cable que vaya de B a C.
A= (9,1.2) m B= (0,0.8) m C= (5.3, 12) m Uac =
||
rAC = rc – ra ra = ( -3.7 i + 10.8 j ) UAC =
−. . . .
UAC = -0.3 i + 0.95j UAB =
√ ...+. +.
UAB = 0.04i + 0.08j
2.19.- Considere el vector fuerza F = 3i - 4j (kN) mostrado. Determine un vector unitario e que tenga la misma dirección que F. F = [3i-4j] kN
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UF =
UF = 0.6i + 0.8j Rpta
2.19.- El vector de posición que va del punto A al punto B es r = -8i + 6j (pies). (a) Determine el vector unitario que apunta de A a B. (b) Determine el vector unitario que apunta de B a A. A
B
RAB = [-8i+6j] pies
−+ ] −− +
UAB = [ √
UAB = -0.18i+ 0.14j Rpta.
UBA =
UBA =
[√ −+ + ]
+ √ +
UBA = 0.18i + 0.14j Rpta. 2.20.- Dos automóviles, A y B, se encuentran en una pista circular de 1000pies de radio. La distancia entre los dos automóviles, medida a lo largo de la pista, es de 2000 pies. ¿Cuál es el vector de posición que va del automóvil A al automóvil B según el sistema coordenado que se muestra?
∅ ∗ 2000 = ∗1000 2°
L =
COMVIRTIENDO A RADIANES:
2°∗ R 115°
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1000 1000 21000∗1000 115°
RAB=
RAB = 1687 m Rpta
2.21: Si
4.5 y 2 2 , , ¿cuál es la magnitud de la fuerza 6
SOLUCION: 4? 4.5 2 2 6 4 64.5 42 2 (6 27) 8 8 [2 35] 2.22: dos vectores perpendiculares U y V se encuentran en el plano
|| 20 ¿Cuáles son las componentes escalares de V?
. El vector 6 8 y
SOLUCION:
6 8 || 20 || + 2.23: un pez ejerce una fuerza F de 200 sobre la vara de pescar. Exprese F en términos de componentes escalares.
20060 100 20060 173.21 {1173,21 1173,21}}
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2.24: se ejerce una fuerza F de componentes escalares.
60 para meter un cajón en un camión. Exprese F en función de
6020 56.38 6020 20.52 {56.3820.52} 2.25 un motor de cohete ejerce una fuerza F de 40kN. Exprese F en función de componentes escalares.
Fx = 40° cos (70°)i =13,68kN Fy = 40° sen (70°)j =37,60kN En función a sus componentes componentes
{ } F ={1 13,3,6699 37,6 37,600 } F =
2.26 Se muestran las coordenadas de los puntos A y B de una armadura. Exprese el vector de posición de A y B en función de de sus componentes escalares.
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SOLUCION
6 --------------------------- B
2 ---- ---- A 1
4
rAB = (XB – XA)i+( XA)i+( YB -YA)j rAB = (4-1)j+ (6-2)j rAB = (3i+4j)N 2.27 El vector de posición del punto A al punto B de la figura es rAB = 12i - 16j (a) ¿Cuál es la distancia del punto A al punto B? (b) ¿Cuál es el vector de posición del punto B al punto A?
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r AB = (12i – 16j 16j )m a = AB PORCION DE B A A r AB
B a) Distancia de A B
| | 12 16 √144256 | | √ 40020 4 0020 b) r AB = (-12i + 16j)m
2.28 (a) Exprese el vector de posición del punto A al punto B de la figura en función de componentes escalares. (b) Exprese el vector de posición del punto B al punto en función de componentes escalares. c) Use los resultados de las partes (a) y (b) para determinar la distancia del punto A al punto C.
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SOLUCION: a) 50--------------------- B
35 -------- A
50 pul
98
rAB = (XB – XA)i+( XA)i+( YB -YA)j rAB = (98-50)j+ (50-35)j rAB = (38i+15j)pulg b) 55---------C------------
50----A---
45
B
98
rBC = (XC – XB)i+( XB)i+( YC -YA)j rBC = (45-98)j+ (55-50)j rBC = -53i+50
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b) C
53i
50j
43°
B
64°
A
21°
15j
38i
| || 40.3355 || 72.8866 | | 40.85 72.86 240.8572.86 ∗ 67° 67° | | 66 2.33. Se muestra las coor denadas denadas “x” y “y” de los puntos A, B y C del velero.
a) Determine un vector unitario paralelo al cable AC que vaya de de A a C. b) Determine un vector unitario paralelo al cable BC que vaya de de B a C. Solución al problema a) S=
-
= (5.3i, 12j) – (9i, (9i, 1.2j) = (-3.7i (- 3.7i , 10.8j) e=
+ . = −.−.+.
= √ −... + √ ... Rpta. Solucion al problema b)
= (5.3i, 12j) – (0i, (0i, 0.8j) = (5.3i, 11.2j) = ..+. +.
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. + . Rpta. = √ . . √ . . 2.34. Considere el vector fuerza F= 3i – 4j 4j (KN) mostrado. Determine el vector unitario e que ten Ga la misma dirección que F.
|| − e= +−
e=
Rpta.
e = +
2. 35. El vector de posion que va del punto A al punto B es r = -8i + 6j (pies) a. Determine el vector unitario b. Determine el vector unitario
que apunta de A a B. que apunta de B a A.
Solución a)
= || −+ = − + Rpta. = − + = 8i – 6j6j = − +− = - Rpta. 2.36. dos automóviles, A y b, se encuentran en una pista circular de 1000 pies de radio. La distancia entre los dos automóviles, medida a lo largo de la pista, es de 2000 pies . cual es el vector posición que va del automóvil A al automóvil B según el sistema coordenado que se muesta. Solución.
2 α = − = 89 = d = 22.4719 pie = 1000i + 1000j + 0k 0k
L = Θr
=
θ=
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2.37 Se encuentra que la longitud de la línea OA es de 1500 metros y que la longitud de la línea OB es de 2000 metros. (a) Exprese el vector de posición de A a B en función de sus componentes escalares. (b)Use el resultado de la parte (a) para determinar la distancia de A a B. r OA OA = 1500 cos 60i + 1500 sin 60j r OA OA =750i +1299j m Los puntos de A es (750, (750, 1299) (m) r OB i + 20 OB r OB OB = 1732i + 1000j m
jm
Los puntos de B es (1732, (1732, 1000)
a)El vector unitario desde A y B es r AB = (x B _ x A )i +(y B - y A )j r AB = 982i 982i -299j -299j m b) el vector unitario e AB es:
299 || 9821026. 6 2.38 La distancia del Sol (S) a Mercurio (M) es de 57 x 106 km, la distancia del Sol a Venus (V) es de x km y la distancia del Sol a la Tierra (E) es de 150 x 106 km. Suponga que los planetas están localizados en el plano x-y. (a) Determine las componentes del vector de posición r M del del Sol a Mercurio, del vector de posición r y del Sol a Venus y del vector de posición r E del del Sol a la Tierra. (b) Use los resultados de la parte (a) para determinar la distancia de la Tierra a Mercurio y la distancia de la Tierra a Venus.
=(−) 10810401081040 15010201501020 15010 10810 18410 15010 5710 16010
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2.39 Una Una cuerda ejerce las fuerzas FA Y FB sobre una polea. polea. Sus magnitudes son IF Al = IF Bl = 80 lb. ¿Cuál es la magnitud de la suma vectorial de las fuerzas?
||40º ||90 8040º8090º131.4 131.4
2.40 La cuerda ABC ejerce las fuerzas F BA sobre la polea en B mostrada. Sus magnitudes son BA Y F BC sobre IF BA I = IF BC I = 920N. Determine la magnitud de la suma vectorial de las fuerzas f uerzas descomponiendo las fuerzas en sus componentes, y compare su respuesta con la del problema 2.12.
F BC = F(cos 20i + sin 20j) F BA = F(-j) F BC + + F BA= ( Fcos 20i + (sin 20-1))j (920 N)2 = F 2 (cos2 20° + [sin 20° -1] 2 )
F = 802 N
2.41. Las magnitudes de las fuerzas mostradas son F 1=IFzl = F3 = 5 KN. ¿Cuál es la magnitud de la suma vectorial de las tres fuerzas?
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F =Fx + FY Fx = (F1 – F3 F3 =cos 30 + F2 cos 45) i FY= (-F2 sen 45 – F3 F3 sen 30) FX= (4.20 I – 6.03j) 6.03j) KN
2.42. Las cuatro fuerzas concurrentes mostradas tienen una suma vectorial igual a cero. Si IFBI = 800 lb, IFcl = 1000lb Y IFDI = 900 lIJ, ¿cuál es la magnitud de FA y el ángulo
Solución:
∑ F=0 ∑ FX=0
∑ FX= -800 cos70º + 1000 cos30º+900 cos 20º
α?
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- FA cos α
FA cos α=1438,
13…….. ( α )
∑ FY=0 ∑ FY= -900 sen90º - FA sen α + 800 sen 70º + 1000 sen30º FA sen α=943.94……… α=943.94…………. …. (β
. . . 33.28 . . . . FA = 1720.22lb FA × sen (33.28) = 943.94 943.94 FA= . 2.43. El empuje total ejercido sobre el impulsor por los motores principales de un cohete es de 200 000 lb Y es paralelo al eje y. Cada uno de los dos pequeños motores "vernier" ejerce un empuje de 5000 lb en las direcciones mostradas. Determine la magnitud y dirección de la fuerza total ejercida por los motores sobre el impulsor.
Solución:
∑FX = 500 sen 30º - 500 sen 15º ∑FY= 200000 + 500 cos 30º + 500 sen 15º F= FX + FY F= (120.59 i + 200562.42j) 200562.42j) lb F=200562.45lb F=200562.45 lb
√ √ 120. 120.59 200562.42
F=
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2.44. Las magnitudes de las fuerzas que actúan sobre el soporte son IF1I = IF2 I = 100 lb. El soporte fallará f allará si la magnitud de la fuerza total que actúa sobre él excede de 150 lb. Determine el intervalo de valores aceptables para el ángulo
α.
Solución:
FR=
√ 2 150 = 100 + 100 - 2( 100 100 ) cos α
-1/8= cos α
110000 ) cos α
22500=2 (
α= 97.19
2.45) Tres fuerzas actúan sobre la esfera mostrada. La magnitud de FB es de 60 lb. La suma vectorial de las tres fuerzas f uerzas es igual 2.4 ¿Cuáles son las magnitudes de FA YFe?
∑ 0 ∑ 0 .30° >.30° ∑ 0 30° 0 > 30° > °
:
Calculando la fuerza C
°
120
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Reemplazando en la ecuación 1: 1:
30 30°° 12 1200 30 30°° 10 103,3,9922 2.46) Cuatro fuerzas actúan sobre una viga. La suma vectorial de las fuerzas es igual a cero.
10 || 5 Determine las magnitudes de y .∑ 0 ∑ 0
||
30° > 30° ……... 1 0 30° 30° 30° 0 > 30° 510 ° 10 En la ecuación 1: 10 30° 8.66 Calculando la fuerza
2.47) Seis fuerzas actúan sobre una viga que forma parte de la estructura de un edificio. La suma vectorial de las fuerzas es igual a cero. las magnitudes de
|| ||.
|| || 5 4 || 2. Determine 5,, | | 4
SOLUCION; DATOS:
|| || 5 5,, || 4 || 2
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0 0 40° 50° 40° 70° 0 2 40° 50° 4 40° 70° 0
50° 70° 1,53……..1 0 70° 70° 90° 90° 40° 40° 50° 50° 0 70° 70° 4 990°0° 2 40° 40° 50° 5 5 0 70° 70° 50 50°° 6,14 … … … 22 Sumando la ecuación 1 y 2:
50° 70° 1,53 70° Calculando 70°lafuerza 550°0° 6,1144 , 10,41 3,3377 ° 2.48) El peso total de un hombre y su su paracaídas es La fuerza D de arra arrastre stre es
|| 230, Perpendicular Perpendicular a la fuerza de elevación. Si la suma vectorial de las tres fuerzas es igual a cero, ¿cuáles son las magnitudes de y D?
SOLUCION:
0
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∑ 0 20° 60° 0 ∑ 0 70° 20° 230 0 70 70°° 20° 20° 230 230 ° 70° 70° 20 20°° 23 2300 Igualando o reemplazando1 reemplazando1 en 2: ° 20° 70° 70° 20° 230 20 20°° 70 70°° 20 20°° 230 230 20° 70° 70° 20° 230 ° °+ ° 230 179 179.6.699 20° 179.30 179,6699 230 1,23028 179, 70° 2.49 Dos cables AB y CD se extienden desde la estructura de lanzamiento de un cohete hasta el suelo. El cable AB ejerce-una fuerza f uerza de 10 000 lb sobre la torre y el cable CD ejerce una fuerza de 5000 lb. (a) Usando el sistema coordenado que se muestra, exprese cada una de las dos fuerzas ejercidas sobre la torre por los cables en función de componentes componentes escalares. (b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total ejercida por los dos cables sobre la estructura?
6427.87
7660.12
8927.87
4330.12
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8927.87
11990.56
11990.56 8927.87 √ 223480391. 223480391.9 1494.26 2.50 Los cables A, B C ayudan a soportar una columna de una estructura. Las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los cables son iguales: IFAI= IFBI IFe!. I Fe!. La magnitud de la suma vectorial de las tres fuerzas es de 200 kN. ¿Qué valor tiene IFAl?
41.55 41.5555 ∅
41.5555 ∅
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∅ ∅ = . =. || 27.7 62.3 68.2
= . =.
2.51 La tensión en el cable A C del velero mostrado es de 300lb. La suma vectorial de las fuerzas ejercidas sobre la parte superior del mástil C por el cable A C y el cable BC del velero está dirigida hacia abajo. (a) ¿Cuál es la tensión en el cable BC? (b) ¿Cuál es la fuerza vertical total que los dos cables ejercen sobre el mástil?
β) = 120.8 5.30 11.5.32 64.67
121.3 5.399 10.3.78 77.8
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F
38º T BC
25º
T AC
→ → 300 90 90 0.42 0.22 157. 157.1144 → 300 38.25 90 0.61 0.42 435.71 2.52 La estructura mostrada forma parte de una armadura que soporta el techo de un edificio. Los miembros AB, AC y AD ejercen fuerzas FAB, FAC YFAD sobre la junta A. IFABI = 4 kN. Si la suma vectorial de las tres fuerzas f uerzas es igual a cero, ¿cuáles son las magnitudes de FAC y FAD?
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75.96 66.43 14.04
26.57
56.31 33.69 T BC
4 70.35 33.69 4.25 33.69 3.53 4.25 142.4 2.6 53. El vector de posición r va del punto A mostrado mostrado a un punto sobre la línea recta entre entre B y C. Su magnitud es [r] = pies. Exprese r en términos de sus componentes escalares.
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TENEMOS EL PUNTO “N”: (9; 7) DESCONPONIENDO: DESCONPON IENDO: EN X: (9i – 3i) 3i) = 6i EN Y: (7j – 5j) = 2j
Entonces r = 6i + 2j
2.54. Sea r el vector de posición posición que va del punto de de la figura al punto situado a una distancia de metros del punto A sobre la línea recta que conecta A con B. Exprese en términos de componentes escalares. (Su solución estará en función de s.)
SOLUCION:
TENEMOS EL PUNTO “N”: (5; 5.5) DESCONPONIENDO: DESCONPON IENDO: EN X: (5i – 9i) 9i) = -4i EN Y: (5.5j – 3j) 3j) = 2.5j
Entonces r = -4i + 2.5j
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55 ¿Cuál es la magnitud del vector 3i - 4j - 12k? Estrategia: La magnitud de un vector está está dada, en función de sus componentes, por la ecuación Así, la magnitud de un vector U está dada, en función de sus componentes en tres dimensiones, por la expresión
IUI
SOLUCION:
I U I 3 4 12 13 56 Halle la magnitud del vector F = 20i + 60j - 90k (N).
20 60 90 110 120 40 es || 130 130
2.57) La magnitud del vector fuerza f uerza ¿Qué valor tiene
? SOLUCION: 12040 || 130 || 120 40 130 12040 13012040 30 3012040
Sus componentes escalares están relacionadas 2 4 .Determine las componentes
2.58) La magnitud del vector. por las ecuaciones Escalares.
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SOLUCION:
; 2 ; 2 4 42 8 2 8 2 8 9 Cuando1030 309> 3 2 > 2 103 > 20 3 8 > 8 103 > 80 3 2.59) Determine la magnitud del vector 23 si 100200600 200450100 2 2 100200600 100200600 3200450100 8009501500 || √ 800 800 950 1500 || 1947 2.60) Se dan los vectores.
326 y 4123
(a) Determine las magnitudes de U y V. (b) Determine la magnitud del vector 3U + 2V SOLUCION: .
3 2 2 6 6 ; 4 12 3 3
a)
|| 3 2 6 | | 7
|| 4 12 6 || 13
b) 3U + 2V Sumando U+V
39618 28246 32171812 |32| √ 1717 18 12 |32| √ 757 757
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2. 61) Se tiene el vector V = 40i - 70j - 40k. (a) ¿Cuál es su magnitud? (b) ¿Cuáles son los ángulos
, y entre y los ejes coordenados coordenados positivos?
SOLUCION:
407040 |||| 40 70 40 90 El vector unitario será:
4090 7090 4090 Los ángulos son:
− 409063.61° − 70141.05° 9090 116.4° − 40
2.62) Se tiene la fuerza F = 600i - 700j + 600k (lb). ¿Cuáles son los ángulos vector F y los ejes coordenadas positivos? SOLUCION:
|| 600 600 700 600 || 1100 600 700 600 1100 1100 1100 1100 1100 1100 600 − 110057° − 700 1100 130° 600 57° − 1100 110057° 1100130° 1100 1100 57° 600707.6600
, y entre el
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2.63) El cable ejerce una fuerza F de 50 lb sobre el gancho en O. El ángulo entre F y el eje x es de 40° y el ángulo entre F y el eje y es de 76°. La componente z de F es positiva.
(a) Exprese F en función de componentes escalares. (b) Cuáles son los cosenos directores de F? SOLUCION:
1 70°1 40° 70° 1 40° 1 40° 70° ±0, ±0,73 73 −0,73 ; −0,73 137° 43° ⃗ ⃗ 50137° 5040° 50 5070° 70° ⃗ 2.64) Un vector unitario tiene los cosenos directores. 0,5 , 0.2 Su componente 36.5638.3017.10
Z es positiva. Exprese este vector en función ?e sus componentes componentes escalares. SOLUCION:
−0,5 120° −0,2 78.46 ⃗ ⃗ 11220 7788.46° 0
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2.68.-Un vector fuerza F señala en la misma dirección que el vector unitario e=
- j- k. La
magnitud de F es de 700 lb. Exprese F en función de componentes escalares. escalares.
SOLUCION:
=|| µ =700lb [ ] Respuesta: = [200i-600j-300k] lb 2.69.-Un vector de fuerza F apunta en la misma dirección que el vector de posición r= 4i +4j - 7k (m). La magnitud de F es de 90 kN. Exprese F en términos de sus componentes escalares.
SOLUCION:
==90KN || µ [ +− ] = 90KN [ ] Respuesta = [40i+40j-70k] 2.70En el transbordador espacial los astronautas usan radar para determinar las magnitudes y los
cosenos directores de los vectores de posición de dos satélites A y B. El vector del transbordador al satélite A tiene una magnitud de 2 km y cosenos directores de los vectores de de pos posición ición de dos satélites A y B. el vector
del transbordador AL satélite A tiene una magnitud de 2km y cosenos
El vector del transbordador al 0.768; 0.384; 0.512. El satélite B tiene una magnitud de 4 km cosenos directores 0.743; 0.557; 0.371. ¿Cuál es la distancia entre los satélites? directores
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SOLUCION:
ř= 2KM [0.7680.3840.512 ] ř= [1.536 0.7681.024 0.7681.024 ] KM ř= 4KM [ 0.7430.5570.371 0.7430.5570.371 ] ř= [2.9722.2281.48] KM KM d= ř− ř d=[1.4361.462.508] KM KM |d|= 1.436 1.46 2.508² Respuesta: |d|=3.237KM
2.71.-Unos arqueólogos extranjeros midieron una estructura
precolombina y obtuvieron las
dimensiones mostradas. Determine (a) la magnitud (b) los cosenos directores del vector de posición del punto A al punto B.
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SOLUCION:
(a) la magnitud:
−= ̅ −= ̅ - 1 084 ] = [ 01614 0 1614 ] ̅= [ 1084 10 8 10² 10810 ] |− −= ̅ − |= 10 ̅ −=[ 10810 66 m : |− ̅ − |= 2√ 66 (b) los cosenos directores:
− =12.8 √ =√ =60.5 =√ =52.01 =
2.72 Unos arqueólogos extranjeros midieron una estructura ceremonial precolombina y obtuvieron las dimensiones mostradas. Determine (a) la magnitud y (b) los cosenos directores del vector de posición del punto A al punto punto B.
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0,16,14 10,8,4 Y [100] [816] [414] r 108.10 a)| | √ 10 10 8 10 √ 264 264 16.2 AB
b)
AB
√ 0,615
√ 8 264 0,492 264 √ 10 264 0,615 264 2.73 consideremos la estructura descrita en el problema 2.72. Al volver a su país, un arqueólogo se da cuenta de que ha perdido las notas que la dimensión b, pero otras notas indican que la distancia del punta B al punto C es de 16.4m. ¿Cuáles son los cosenos directores que va de B a C? Las coordenadas en B(10m, B(10m, 8m, 4m)
10.0.18 10.0.18 1010 1010 08 08 184 184 Y 8 14 16,61 8 14 3,99 99 16,3,969 1 0,40 16,8 61 04,82 16,14 61 0,8431 Y BC BC
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2.74 Un topógrafo midió originalmente la altura del monte Everest con el siguiente procedimiento. Primero mido las distancias entre los puntos A y B de igual altitud alt itud que se muestran. Suponga que estaban a 10000 pies sobre el nivel del mar y 32000 pies separados entre sí. Luego uso un teodolito para medir los cosenos directores de los vectores del punto B a P. suponga que para r AP se obtuvieron los cosenos directores = 0,509 =0,509, = 0,694 y que para r BP
los cosenos directores obtenidos fueron . El eje del sistema coordenado es vertical. ¿Cuál es la altura del Monte Everest sobre el nivel del mar?
0,605, 0.471 0.642 0,0,10000 10000,0,32000 ,, Y 10000 Y 0,5090509 0,694 Y 32000 10000 Y 0,37430,748605472 0,37430,748605472 0,509 0,509 10000.694 32000 0,748 0,5472 AP
AP
BP
BP
2.75 La distancia OA es de 20 pies. La línea rectaAB es paralela al eje y,y el punto B está en el plano x-z. Exprese el vector r OA OA en función de sus componentes escalares. Estrategia r O OA A se puede descomponer en un vector de O a B y en un vector B a A. Luego se puede descomponer el vector de O a B en componentes vectoriales paralelas a los ejes x,y x, y (véase el Ej . 2.9)
| || | ||3020 30200,5 10
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OB es
|| ||30200,866 17,8 15108,66 El vector r en la condición en el plano es r O OB B
| ||309060 309060
r O OB B
158,68
Resolviendo los componentes del vector es
||90090 0100
r BA r BA
2.73 Consideremos la estructura descrita en el problema 2.72. Al volver a su país, un arqueólogo se da cuenta de que ha perdido las notas que contienen la dimensión b, pero otras notas indican que la distancia del punto B al punto es de 16.4 m. ¿Cuáles son los coseno s directores del vector que va de B a C?
A{0i,16j,14k} B{0i,8j,4k} C{10+b,0,18}
Hallando cosenos directores de B a C
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rBC = rC- Rb Rbc ={bi,-8j+14j}
BC =
16.4√ =+8 8+ 1414
Ubc =3i-8j-14k
.
cosα=
.−
cos =
= 119.2
; α=79.5
2.74 Un topógrafo midió originalmente la altura del Monte Everest con el siguiente procedimiento. Primero midió la distancia entre los puntos A y B de igual altitud que se muestran. Suponga que estaban a 10 000 pies sobre el nivel del mar y 32 000pies separados entre sí. Luego usó un teodolito para medir los cosenos directores directore s de los vectores vect ores del punto A a la cima P de la montaña y del punto B a P. Suponga que para rAP se obtuvieron los lo s cosenos directores directore s cos Ox = 0.509, cos Oy = 0.509, cos Oz = 0.694 Y que para rBP los coseno s directores obtenidos fueron cos Ox = -0.605, cos Oy = 0.471, Y cos Oz = 0.642. El eje z del sistema coordenado es vertical. ¿Cuál es la altura del Monte Everest sobre el nivel del mar?
2.75 La distancia OA es de 20 pies. La línea recta AB es paralela al eje y , y el punto b esta en el plano x-z. Exprese el vector rOA en función de sus componentes co mponentes escalares. Estrategia: rOA se puede descomponer en un vector de O a B y en un vector de B a A. Luego se puede descomponer el vector de O a B en componentes componentes vectoriales paralelas a los ejes x y z (véase el Ejm. 2.9). 2.9).
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Fy= roa sen30° = 20 sen 30°= 10 10 pies Fb= roa cos30° = 20 cos 30°= 30°= 17.32 pies Fx= FB sen30° =17 .32 sen 60°= 15 pies
=8.66 pies F2 =17.32 cos60° =8.66
Expresado en forma cartesiana: Roa ={15i + 10j +8.66k} +8.66k} pies 2.76 La magnitud de r es de 100 pulg. La recta que va de la cabeza d dee r al punto A es paralela al eje x y el punto A está en el plano j-z. Exprese r en función de sus componentes escalares.
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SOL:
Fx =r sen45° =100sen 45° =70.71 pulg FB =100 cos45° = 70.71 pulg CALCULAMOS LA MAGNITUDES CON LA FB:
Fy =FBsen60° =70.71sen =70.71sen 60° 061.24 pulg =35.36 pulg F2 = 70.71cos60° =35.36
70.71 61.24 35.36 √ 70.
Expresando en forma cartesiana:
_ r=
R ={70,71i+ 61.24j+35.36k} 61.24j+35.36k} pulg
r = 100.002 pulg
2.77 En la figura P2.77, la línea recta que va de la cabeza de F al punto A es paralela al eje y, y el punto A está contenido en el plano x-z. La componente x de F es F, = 100 N N.. (a) ¿Cuál es la magnitud de F?
(b) Determine los ángulos Ѳx, Ѳy y Ѳz los ejes coordenados positivos.
Sol:
→Fx =100 N →100N/SEN 60° =FA/SEN 90° FA = 115.47 N
b) coseno directores de F son:
= 0.63 cos Ѳx =Fx/F =Fx/F =.
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→F2 =115.47 COS60° =57.74 N
115.47/SEN70° = Fr/sen20°
= 0.27 cos Ѳy =Fy/F =. . . = 0.73 .
cos Ѳ z =Fz/F =
Fy =42.03 N
¿cual es la magnitud de F ? F= {100i+42.03j+115.47k} {100i+42.03j+115.47k} F =
√ 100 42.03 115.47
F= 158.43 N
Los ejes cordenados positivos son:
Ѳx =50.95 Ѳ y = 74.63 Ѳz = 43.11
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