PROBLEMAS RESUELTOS VECTORES
CAPITULO 3 FISICA TOMO 1
Cuarta, quinta y sexta edición
Raymond A. Serway
VECTORES 3.1 Sistemas de coordenadas 3.2 Cantidades vectoriales y escaleras 3.3 Algunas propiedades de vectores 3.4 Componentes de un vector y unidades vectoriales
Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2010
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1
Problema 3.1 serway sexta edición. Problema 3.3 serway cuarta edición. Las coordenadas polares de un punto son r = 5.5 m y θ = 240°. ¿Cuáles son las coordenadas cartesianas de este punto? cos 240
X
=
=
r
X 5,5
X
X = 5,5 cos 240
Θ = 240
X = 5,5 * (-0,5) r = 5,5
X = - 2,75 metros Y
sen 240 =
=
r
Y
Y 5,5
Y = 5,5 sen 240 Y = 5,5 * (-0,866) Y = - 4,76 metros Problema 3.2 serway cuarta edición Si las coordenadas rectangulares y polares de un punto son (2,Y) y (r,30 0) respectivamente. Determine Y y r. Coordenadas cartesianas (2, Y) Coordenadas polares (r, 300)
tg 30 =
Y
=
X
Y
Y
(2 , Y) r
2
Θ = 30
Y = 2 * tg 30 Y = 2 * (0,5773)
X=2
Y = 1,15 metros cos 30
r =
=
X
=
r
2 cos 30
=
2 r 2
0,866
= 2,3 metros
r = 2,3 metros Problema 3.2 serway sexta edición Dos puntos en un plano tienen coordenadas polares (2.5 m, 30 0) y (3.8 m, 120°). Determine (a) las coordenadas cartesianas de estos puntos y (b) la distancia entre ellos. sen 30 =
Y1 r
=
Y1 2,5
Y1 = 2,5 sen 30
2
Y1 = 2,5 * 0,5 Y1 = 1,25 metros Y1 cos 30
=
X1 r
=
(X1, Y1)
X1
r = 2,5
2,5
Θ = 30
X1 = 2,5 cos30 X1 = 2,5 * 0,866 X1 = 2,16 metros sen
120
=
Y2 r
=
X1
(X1 , Y1) = (2.16 , 1.25) metros
Y2 3,8
(X2, Y2)
Y2 = 3,8 sen 120
Y2 r = 3,8
Y2 = 3,8 * 0,866 Y2 = 3,29 metros cos 30
=
X2 r
=
Θ = 120
X2 3,8
X2
X2 = 3,8 cos 120 X2 =3,8 * (-0,5) X2 = - 1,9 metros (X2 , Y2) = (-1.9 , 3.29) metros
ΔX = (X2 – X1 )= (-1.9 – 2.16) ΔX = (- 4.06)
d (X2, Y2)
ΔY = (Y2 – Y1 )= (3.29 – 1.25) ΔY = (2.04) Y1 = 1,25 d= d=
d=
Y2 = 3,29 (X1, Y1)
(ΔX )2 + (ΔY)2 (− 4.06)2 + (2.04)2 (16.48) + (4.1616)
d = 20,6416
X2 = -1,9
X1 = 2,16
d = 4,54 metros Problema 3.3 serway sexta edición Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior izquierda de la pared se selecciona como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones. Si la mosca está parada en el punto que tiene coordenadas (2, 1) m, (a) ¿qué tan lejos está de la esquina del cuarto? (b) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares?
3
r =
(X )2
r =
(2)2
(Y)2
+
(1)2
+
Y=1
r = 4 + 1
(2, 1) r
r = 5
Θ
r = 2,23 m
X=2 tg θ
=
Y
=
X
1 2
= 0,5
θ = arc tg 0,5 β = 26,560
Problema 3.4 serway sexta edición. Problema 3.1 serway cuarta edición. Dos puntos en el plano xy tienen coordenadas cartesianas (2, -4) m y ( -3, 3) m. Determine (a) la distancia entre estos puntos y (b) sus coordenadas polares. (x1, y1) = (2, -4) (x2, y2) = (-3, 3) d2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
(-3,3)
d2 = (-3 - 2)2 + (3 - [ - 4]) 2 d2 = (-5)2 + (3 + 4)2 d2 = (-5)2 + (7)2
d
d2 = (25) + (49) d2 = (74) (2,-4)
d = 8,6 m r =
(X )2
+
(Y)2
r =
(2)2
+
(- 4)2
θ
2
r = 4 + 16
β
r = 20
r
r = 4,47 m tg β
=
Y X
=
-4 2
-4
(2,-4)
=-2
β = arc tg -2 β = - 63,430
4
r 2 = - 32 + (3)2 (-3,3)
r 2 = 9 + 9
Y=3 r 1
r 2 = 18 β
r = 4,24 m tg β
=
Y
=
X
θ1
X = -3 3 3
= -1
β = arc tg - 1 β = - 450 θ1 + β = 1800 θ1 = 1800 - 45 0 θ1 = 135
Problema 3.8 serway sexta edición. Un avion vuela 200 km rumbo al oeste desde la ciudad A hasta la ciudad B y después 300 km en la direccion de 30 grados al noroeste de la ciudad B hasta la ciudad C. a) En línea recta, que tan lejos esta la ciudad C de la ciudad A. b) Respecto de la ciudad A en que dirección esta la ciudad C? cos 30
=
BX 300
C
BX = 300 cos 30 B
BX = 300 * (0,866) BX = 259,8 metros B
B
R
CY 300 km
RX = BX + 200 RX = 259,8 + 200 RX = 459,8 metros
0
30
β
B
BX sen
30
=
CY
A 200 km
Est
300
CY = 300 sen 30 CY = 300 * 0,5 CY =150 metros POR PITAGORAS R2 = (C Y)2 + (RX)2 R2 = (150)2 + (459,8)2 R2 = 22500 + 211416,04 R2 = 233916,04 R = 483,64 metros
5
tg β =
CY
=
R X
150 459,8
= 0,326228
Tg β = 0,326228 β = arc tg 0,326228 0
β = 18,06
La ciudad C esta a 483,64 km de la ciudad A. La ciudad C esta 18,06 grados al Nor-Oeste de la ciudad A.
Las coordenadas cartesianas de un punto del plano xy son (x,y) = (-3.5,-2.5) m, como se ve en la figura 3.3. Hállense las coordenadas polares de este punto. r =
(X )2
r =
(- 3,5)2
+
(Y)2 +
-3,5
(- 2,5 )2
β
r = 12,25 + 6,25
r
r = 4,3 tg β =
y x
=
θ
- 2,5 m - 3,5 m
-2,5
= 0,714
tg β = 0,714 β = arc tg 0,714 β = 35,520 θ = 180 + β θ = 180 + 35,52 θ = 215,520
Problema 3.16 serway cuarta edición. Un perro que busca un hueso camina 3,5 metros hacia el sur, después 8,2 metros en un ángulo de 30 Nor-Este y finalmente 15 metros al Oeste. Encuentre el vector de desplazamiento resultante del perro utilizando técnicas graficas. sen
30 =
BY 8,2
BY = 8,2 * sen 30 BY = 8,2 * 0,5 B Y = 4,1 metros
15 metros
D
0
al
C
B
AY
B
B
3,5 + A Y = BY 3,5 + A Y = 4,1 AY = 4,1 – 3,5 A Y = 0,6 metros cos 30 =
BX 8,2
Oeste
R β A
3 5 metros
8 2 metros 30
BY
0
B DX
BX = 8,2 * cos 30 B
6
BX = 8,2 * 0,5866 BX = 7,1 metros B
B
15 = DX + BX 15 = DX + 7,1 15 – 7,1 = D X DX = 7,9 metros
tg β =
AY
0,6
=
Dx
7,9
= 7,5949 * 10
-2
tg β = 7,5949 * 10 - 2 β = arc tg 7,5949 * 10 - 2 β = 4,340 R =
(A Y )2
R =
(0,6)2
R = 0,36
+ +
+
(D X )2
(7,9)2
62,41
R = 62,77
R = 7,92 metros
7
