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CAMPOS ELECTRICOS

CAPITULO 23 FISICA TOMO 2

Quinta edición

Raymond A. Serway

23.1 Propiedades de las cargas eléctricas 23.2 Aislantes y conductores 23.3 La ley de Coulomb 23.4 El campo eléctrico 23.5 Campo eléctrico de una distribución de carga continua 23.6 Líneas de campo eléctrico 23.7 Movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico uniforme

Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2010

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1

Ejemplo 23.1 El átomo de hidrogeno El electrón y el protón de un átomo de hidrogeno están separados (en promedio) por una distancia de aproximadamente 5,3 x 10 -11 m. Encuentre las magnitudes de la fuerza eléctrica y la fuerza gravitacional entre las dos partículas.

Fuerza electrica = K e

q q 1

2

electrón

r2

protón

r = 5,3 * 10- 11 m

m2 K e = 8,9875 x 109 N C2

q1 = carga del electrón = - 1,6021917 X 10-19 Coulombios q2 = carga del protón = 1,6021917 X 10-19 Coulombios r = es la distancia que los separa = 5,3 x 10 -11 m. ⎛⎜1,6021917 * 10 -19 C ⎞⎟ * ⎛⎜1,6021917 * 10 −19 C ⎞⎟ q1 q 2 m2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9 * = 8,9875 * 10 N Fuerza electrica = K e 2 2 2 C r ⎛⎜ 5,3 * 10 -11 m ⎞⎟ ⎝ ⎠ m 2 2,567018 * 10 − 38 C 2 * Fuerza electrica = 8,9875 * 10 9 N = 8,9875 * 10 9 N * 0,0913854 * 10 -16 22 2 2 − 28,09 * 10 m C Fuerza = 0,8213 *10-7 Newton la fuerza gravitacional entre las dos partículas, se halla con la ley gravitacional de newton. m mp Fuerza gravitacional = G e r2 G = 6,7 x 10 -11 N

m2 Kg 2

me = masa del electrón = 9,1095 X 10-31 Kg mp = masa del protón = 1,67261 X 10-27 Kg r = es la distancia que los separa = 5,3 x 10 -11 m.

⎛⎜ 9,1095 * 10 - 31 Kg ⎞⎟ * ⎛⎜1,67261 * 10 − 27 Kg ⎞⎟ m2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 11 Fuerza gravitacional = G N * = 6,7 * 10 2 2 2 r Kg ⎛⎜ 5,3 * 10 -11 m ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎛⎜15,2366 * 10 - 58 Kg 2 ⎞⎟ m2 ⎝ ⎠ = 6,7 * 10 -11 N * 0,5424 * 10 - 36 11 * Fuerza gravitacional = 6,7 * 10 N 22 2 2 28,09 *10 m Kg me m

p

Fuerza gravitacional = 3,6342 *10-47 Newton Ejemplo 23.2 Encuentre la fuerza resultante Considere tres cargas puntuales localizadas en las esquinas de un triangulo recto, como se muestra en al figura 23.7, donde q1 = q3 = 5 µc, q2 = -2 µc, a 0 0,1 m. Encuentre la fuerza resultante ejercida sobre q3 q1 = q3 = 5 µc = 5*10-6 C q2 = -2 µc = -2*10-6 C

2

La fuerza F23 ejercida por q2 sobre q3 es de atracción por tener cargas de diferente polaridad. La fuerza F13 ejercida por q1 sobre q3 es de repulsión por tener cargas de igual polaridad. F3

F13Y = F13 sen 45 F13X = F13 cos 45

450 450

⎛⎜ 2 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜ 5 * 10 − 6 C ⎞⎟ m2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9 F23 = K e * = 8,9875 * 10 N 2 2 2 (0,1 m ) a C ⎛⎜10 * 10 -12 ⎞⎟ ⎠= 9 F23 = 8,9875 * 10 N * ⎝ 8,9875 * 10 9 N * 10 3 * 10 -12 = 8,9875 Newton 0,01 F23 = 9 Newton q

2

q3

⎛⎜ 5 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜ 5 * 10 − 6 C ⎞⎟ m2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9 F13 = K e * = 8,9875 * 10 N 2 2 2 C 2a 2 * 0,1 m ⎛⎜ 25 * 10 -12 ⎞⎟ ⎠ = 8,9875 * 10 9 N * 1250 * 10 -12 9 F13 = 8,9875 * 10 N * ⎝ 2 * 0,01 F13 = 11,23 Newton q 1 q3

(

)

(

)

La fuerza F13 es de repulsión por tener cargas de igual polaridad y forma un ángulo de 45 grados con el eje de las x. F13X = F13 cos 45 = 11,23* cos 45 = 11,23 *0,7071 = 7,94 Newton F13Y = F13 sen 45 = 11,23* sen 45 = 11,23 *0,7071 = 7,94 Newton La fuerza F23 esta en el eje negativo de las x. La fuerza resultante F3 que actúa sobre la carga q3 es: F3X = F13X - F23 = 7,94 Newton - 9 Newton F3X = -1,06 Newton F3Y = F13Y = 7,94 Newton También se puede expresar la fuerza resultante que actúa sobre q3 en forma de vector unitario como: F3 = (-1,06 i + 7,9 j) Newton

3

Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza resultante F3 ? F3 =

(F3X )2 + (F3Y )2

=

(- 1,06)2 + (7,94)2

= 1,1236 + 63,0436 = 64,16 = 8 Newton

Ejemplo 23.3 ¿Dónde es cero la fuerza resultante? Tres cargas puntuales se encuentran a lo largo del eje x, como se muestra en la fig. 23.8. La carga positiva q1 = 15μC. Esta en x = 2 m, la carga positiva q2 = 6 μC esta en el origen y la fuerza resultante que actua sobre q3 es cero. ¿Cuál es la coordenada x de q3 ?

Figura 23.8 Tres cargas puntuales se colocan a lo largo del eje x. Si la fuerza neta que actúa sobre q3 es cero, entonces la fuerza F13 ejercida por q1 sobre q3 debe ser igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza F23 ejercida por q2 sobre q3 Solucion: Puesto que q3 y q1 = 15μC., q2 = 6 μC son positivas, las fuerzas F13 y F23 son de atracción. Según se indica en la figura 23.8. A partir de la ley de coulomb F13 y F23 tienen magnitudes.

F13 = K e

q1 q3

(2 - x )2

F23 = K e

q

2

q3

x2 Para que la fuerza resultante sobre q3 sea cero, F23 debe ser igual en magnitud y puesta en dirección a F13. Por lo anterior se igualan las ecuaciones. F13 = F23

Ke

q1 q3 q q = Ke 2 3 2 (2 - x ) x2

Se cancelan los términos semejantes como Ke , q3

q

1

(2 - x )2

=

q2 x2

Despejando X2 q1 = (2-x)2 q2 X2 q1 = (4 - 4x +x2 )q2 pero: q1 = 15 μC., q2 = 6 μC X2 * 15 * 10

-6

= (4 - 4x +x2 ) * 6 * 10

-6

4

CANCELANDO 10

-6

a ambos lados

X2 * 15 = (4 - 4x +x2 ) * 6 15 X2 = 24 - 24x + 6x2 Ordenando y simplificando la ecuación de segundo grado 15 X2 – 24 + 24x - 6x2 = 0 9 X2 + 24x - 24 = 0 3 X2 + 8x - 8 = 0 a=3

b=8

c=-8

2 - b ± b 2 - 4 a c - (8) ± (8) - 4 * 3 * (- 8) - 8 ± 64 + 96 = = 2a 2*3 6 - 8 ± 160 - 8 ± 12,649 x= = 6 6 4,649 x= = 0,775 6 x =

Ejemplo 23.4 ¿Encuentre la carga sobre las esferas? Dos pequeñas esferas idénticas cargadas, cada una con 3*10-2 kg. De masa, cuelgan en equilibrio como se indica en la figura 23.9 a. La longitud de cada cuerda es e 0,15 m y el ángulo θ = 5 grados. Encuentre la magnitud de la carga sobre cada esfera.

Figura 23.9 a) Dos esferas idénticas., cada una conduciendo la misma carga q, suspendidas en equilibrio. b) Diagrama de cuerpo libre para la esfera a la izquierda. a por Solución: de acuerdo con el triangulo recto que se muestra en la figura 23.9 a, se ve que sen θ = l consiguiente, a = l sen θ = 0,15 * sen 5 = 0,15 * 0,087 = 0,013 metros. La separación de las dos esferas es 2 * a = 2 * 0,013 = 0,026 metros Las fuerzas que actúan sobre la esfera izquierda se muestran en la figura 23.9 b. Ya que la esfera esta en equilibrio, las fuerzas en las direcciones horizontal y vertical deben sumar cero por separado. Σ Fx = T sen θ - Fe = 0

5

Σ FY = T cos θ - m g = 0 Dividiendo las 2 ecuaciones y simplificando los términos semejantes T sen θ Fe = T cos θ m g

sen θ Fe = cos θ m g F tgθ = e mg Fe = m g tg θ Fe = 3*10-2 kg.* 9,8 m/seg2 tg 5 = 2,572 *10-2 Newton A partir de la ley de coulomb, la magnitud de la fuerza electrica es: Fe = K e

qq q2 = 8,9875 * 10 9 * (2a )2 (0,026 )2

2,572 * 10 - 2 = 8,9875 * 10 9 *

q2

(0,026 )2

2,572 * 10 - 2 ⎛⎜ 6,76 * 10 - 4 ⎞⎟ = 8,9875 * 10 9 * q 2 ⎝ ⎠ 1,7386 * 10 - 3 * 10 − 2 q= = 1,9345 * 10 - 4 * 10 − 2 * 10 − 9 9 8,9875 * 10

q = 19,345 * 10 - 16 = 4,39 * 10 − 8 coulombios Ejercicio si la carga sobre las esferas fuera negativa, cuantos electrones tendrían que añadirsen a ellas para producir una carga neta de – 4,4 * 10- 8 C. Ejemplo 23.5 Campo eléctrico debido a dos cargas Una carga q1 = 7 μC se ubica en el origen y una segunda carga q2 = -5 μC se ubica en el eje x a 0,3 m del origen (Fig 23.13). Encuentre el campo eléctrico en el punto P, el cual tiene coordenadas (0, 0.4) m Solución. Comience por encontrar la magnitud del campo eléctrico en P producido por cada carga. Los campos E1 producidos por la carga de q1 = 7 μC Los campos E2 producidos por la carga de q2 = - 5 μC se muestran en la figura 23.13.

⎛⎜ 7 * 10 - 6 ⎞⎟ -6 q1 ⎠ = 8,99 * 109 * 7 * 10 = 8,99 * 10 9 * 43,75 * 10 − 6 9 E1 = K e = 8,99 * 10 * ⎝ 0,16 (r1 )2 (0,4 m )2 E1 = 393,31* 103 N/C

6

E2X = E2 cos θ θ0 E2Y = E2 sen θ E2

0,4 = 0,8 0,5 θ = arc sen 0,8 sen θ =

E

θ = 53,130

EY = E sen Φ Φ0 EX = EX cos Φ

Figura 23.13 El campo eléctrico total E en P es igual al vector suma E1 + E2, donde E1 es el campo debido a la carga positiva q1 y E2 es el campo debido a la carga negativa q2

⎛⎜ 5 * 10 - 6 ⎞⎟ -6 q1 ⎠ = 8,99 * 10 9 * 5 * 10 = 8,99 * 10 9 * 20 * 10 − 6 E1 = K e = 8,99 * 10 9 * ⎝ 0,25 (r1 )2 (0,5 m )2 E1 = 179,8* 103 N/C El vector E1 solo tiene componente en el eje Y. El vector E2 tiene componente en el eje Y y en el eje X. La fuerza E1 se descompone en E1Y (Ver las graficas) E1Y = 393,31* 103 Newton La fuerza E2 se descompone en E2X y en E2Y (Ver las graficas) E2X = E2 cos 53,13 = 179,8 * 103 * 0,6 = 107,88 * 103 Newton E2Y = - E2 sen 53,13 = 179,8* 103 *0,8 = -143,84 * 103 Newton E es la fuerza resultante entre las fuerzas E1 y la fuerza E2 (Ver las graficas) La fuerza E se descompone en EX y en EY (Ver las graficas) EX = E2X = 107,88 * 103 Newton EY = E1Y - E2Y = 393,31* 103 Newton - 143,84 * 103 Newton = 249,47* 103 EY = 249,47* 103 Newton

Newton

7

E=

(E X )2

+ (E Y )2 =

(107,88*10 ) + (249,47 *10 ) 3 2

3 2

= 11639,82 *10 6 + 62235,28 *10 6 = 73875,1*10 6

F = 271,79*103 Newton E Y 249,47 * 10 3 249,47 = = = 2,312476 E X 107,88 * 10 3 107,88 Φ = arc tg(2,312476) tg φ =

Φ = 66,610 RESPECTO AL EJE X POSITIVO Ejemplo 23.6 Campo eléctrico de un dipolo Un dipolo eléctrico se define como una carga positiva q y una carga negativa –q separadas por alguna distancia. Para el dipolo mostrado en la figura 23.14 determine el campo eléctrico E en P debido a estas

E1 E1Y = E1 sen θ θ

0

E1X = E1 cos θ

E2X = E2 cos θ

θ y r a cos θ = r

E2Y = E2 sen θ

E2

sen θ =

cargas, donde P esta a una distancia y >>a desde el origen. Figura 23.14 El campo electrico total E en P debido a dos cargas de igual magnitud y signo opuesto (un dipolo electrico) es igual al vector suma E1 + E2. El campo E1 se debe a la carga positiva q El campo E2 se debe a la carga negativa -q Solucion: En el punto P los campos E1 y E2 son iguales en magnitud, debido a que las carga q y –q son iguales, el punto P es equidistante de las cargas. E1 = K e

q (r )2

E2 = Ke

q (r )2

E1 = E2

8

La distancia r se halla por el teorema de Pitágoras, ver grafica r2 = y2 + a2 q q E1 = E 2 = K e = Ke 2 2 (r ) y + a2 La fuerza E1 se descompone en E1X y en E1Y (Ver las graficas) E1X = E1 cos θ E1Y = E1 sen θ La fuerza E2 se descompone en E2X y en E2Y (Ver las graficas) E2X = E2 cos θ E2Y = - E2 sen θ E es la fuerza resultante entre las fuerzas E1 y la fuerza E2 (Ver las graficas) La fuerza E se descompone en EX y en EY (Ver las graficas) EX = E1X + E2X = E1 cos θ + E2 cos θ = 2 E1 cos θ (no olvide que E1 = E2) EX = 2 E1 cos θ a cos θ = r La distancia r se halla por el teorema de Pitágoras, ver grafica r2 = y2 + a2 Reemplazando

E x = 2 E1

a = 2 E1 r

a y2 + a 2

EY = E1Y + E2Y = E1 sen θ - E2 sen θ = 0 (no olvide que E1 = E2) EY = 0

E=

(E X )2

E = 2 E1 E = 2 E1

+ (E Y )2 =

a y2 + a 2 a y2 + a 2

⎛ ⎜ ⎜ 2 E1 ⎜ ⎝

2 ⎞ ⎟ 2 ⎟ + (0 ) = 2 E1 y 2 + a 2 ⎟⎠ a

pero: E1 = K e

= 2 Ke

q * (r )2

a y2 + a 2

q (r )2

a y2 + a 2

q a * 2 2 y +a y2 + a 2 simplificando qa E = 2 Ke 32 ⎛⎜ y 2 + a 2 ⎞⎟ ⎠ ⎝ E = 2 Ke

9

Si observamos en la grafica y >>a, se puede ignorar el valor de a qa qa E = 2 Ke = 2 Ke 32 y3 ⎛⎜ y 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ qa E ≅ 2 Ke y3 Problema 1 Serway quinta edición. a) Calcule el número de electrones en un pequeño alfiler de plata, eléctricamente neutro, que tiene una masa de 10 g. La plata tiene 47 electrones por átomo, y su masa molar es de 107.87 g/mol. b) Se añaden electrones al alfiler hasta que la carga negativa neta sea de 1 mC (1*10-3 Coulomb). ¿Cuántos electrones se añaden por cada 109 electrones ya presentes? Masa molar de la plata es de 107.87 g/mol. La plata tiene 47 electrones por átomo. 1 mol de plata 107,8 gr X 10 gr. Plata 1 mol de plata *10 gr x= = 0,0927 mol de plata 107,8 gr 6,02 * 1023 átomos x átomos 23 0,0927 mol de plata * 6,02 * 10 atomos x= = 0,558 * 10 23 atomos de plata 1 mol de plata

1 mol plata 0,0927 mol de plata

1 átomo de plata 47 electrones 0,558*1023 átomos de plata x electrones 23 0,558 * 10 atomos de plata * 47 electrones x= = 26,2285 * 10 23 electrones 1 atomo de plata 1 electrón (carga) 1,6*10- 19 Coulomb -3 x 1* 10 Coulomb 1 * 10 - 3 Coulomb * 1 electron x= = 0,625 * 1016 electrones 1,6 * 10 - 19 Coulomb Problema 2 Serway quinta edición. a) Dos protones en una molécula están separados por una distancia de 3.8 x 10-10 m. Encuentre la fuerza eléctrica ejercida por un protón sobre el otro. b) ¿Cómo se compara la magnitud de esta fuerza con la magnitud de la fuerza gravitacional entre los dos protones? c) ¿Cuál debe ser la relación carga a masa de una partícula si la magnitud de la fuerza gravitacional entre dos de estas partículas es igual a la magnitud de la fuerza eléctrica entre ellas? protón

protón

r = 3,8 *10- 10 m

Fuerza electrica = K e

q q 1

r2

2

K e = 8,9875 x 10 9 N

m2 C2

10

q = carga del protón = 1,6021917 X 10-19 Coulombios r = es la distancia que los separa = 3,8 x 10 -10 m. −19 C ⎞ * ⎛1,6021917 * 10 −19 C ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜1,6021917 * 10 q*q m ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ * Fuerza electrica = K e = 8,9875 * 10 9 N 2 C2 r2 ⎛⎜ 3,8 * 10 -10 m ⎞⎟ ⎝ ⎠ m 2 2,567018 * 10 − 38 C 2 * Fuerza electrica = 8,9875 * 10 9 N = 8,9875 * 10 9 * 0,17728 * 10 -18 Newton 20 2 2 − 14,44 * 10 m C -9 Fuerza eléctrica = 1,59 *10 Newton, es de repulsión por que los protones tienen la misma polaridad (positiva). b) ¿Cómo se compara la magnitud de esta fuerza con la magnitud de la fuerza gravitacional entre los dos protones? la fuerza gravitacional entre las dos partículas, se halla con la ley gravitacional de newton. m mp m2 Fuerza gravitacional = G e G = 6,67 x 10 -11 N Kg 2 r2 mp = masa del protón = 1,67261 X 10-27 Kg r = es la distancia que los separa =3,8 x 10 -10 m.

⎛⎜1,67261 * 10 - 27 Kg ⎞⎟ * ⎛⎜1,67261 * 10 − 27 Kg ⎞⎟ mp m p m2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 11 = 6,67 * 10 Fuerza gravitacional = G N * 2 r2 Kg 2 ⎛⎜ 3,8 * 10 -10 m ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎛⎜ 2,7889 * 10 - 54 Kg 2 ⎞⎟ m2 ⎝ ⎠ = 6,67 * 10 -11 * 0,1931 * 10 - 34 Newton 11 Fuerza gravitacional = 6,67 * 10 N * 2 20 2 Kg 14,44 * 10 m Fuerza gravitacional = 1,28 *10

-45

Newton

Fe 1,59 * 10 - 9 = = 1,24 * 10 36 la fuerza eléctrica es mas grande 1,24 *1036 veces que la fuerza Fg 1,28 * 10 - 45 gravitacional ¿Cuál debe ser la relación carga a masa de una partícula si la magnitud de la fuerza gravitacional entre dos de estas partículas es igual a la magnitud de la fuerza eléctrica entre ellas?

Fuerza eléctrica = Fuerza gravitacional

Fuerza electrica = K e

q q 1

2

r2

Fuerza gravitacional = G

m

e

mp

r2

q2 m2 =G r2 r2 Cancelando términos semejantes Ke q2 = G m2 Ke

11

q2 G = 2 K e m q G = Ke m

q2 G = 2 K e m q G 6,67 * 10 -11 = = = m Ke 8,99 * 10 9

0,7419 * 10 - 20

q C = 0,861 * 10 -10 Kg m Problema 7 Serway quinta edición. Tres cargas puntuales se colocan en las esquinas de un triángulo equilátero, como se muestra en la figura P23. 7. Calcule la fuerza eléctrica neta sobre la carga de 7 µC. F2X = F2 cos 60

F1 F1Y = F1 sen 60

F1

600 F2Y = F2 sen 60

600 +

F

F1X = F1 cos 60

F2

F2

F1 FX 600

FY

300 F

600 -6

q1 = 7 µc = 7 *10 C -6 q2 = 2 µc = 2*10 C -6 q3 = - 4 µc = -4 *10 C

F

F2

La fuerza F1 ejercida por q2 sobre q1 es de repulsión por tener cargas de igual polaridad (positivas) La fuerza F2 ejercida por q3 sobre q1 es de ATRACCION por tener cargas de diferente polaridad. a = es la distancia que separa las diferentes cargas = 0,5 m.

−6 ⎞ -6 ⎞ ⎛ ⎛ 2 ⎜ 7 * 10 C ⎟ * ⎜ 2 * 10 C ⎟ q 2 q1 m ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ F1 = K e = 8,99 * 10 9 N * (0,5 m )2 a2 C2 ⎛⎜14 * 10 -12 ⎞⎟ ⎠ Newton = 8,99 * 10 9 * 56 * 10 -12 = 0,5034 Newton 9 F1 = 8,99 * 10 * ⎝ 0,25 F1 = 0,5034 Newton

12

⎛⎜ 4 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜ 7 * 10 − 6 C ⎞⎟ q 3 q1 m2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9 F2 = K e = 8,99 * 10 N * 2 2 2 (0,5 m ) a C ⎛⎜ 28 * 10 -12 ⎞⎟ ⎠ Newton = 8,99 * 10 9 * 112 * 10 -12 = 1,0068 Newton 9 F2 = 8,99 * 10 * ⎝ 0,25 F1 = 1,0068 Newton

La fuerza F1 se descompone en F1X y en F1Y (Ver las graficas) F1X = F1 cos 60 = 0,5034 * 0,5 = 0,2517 Newton F1Y = F1 sen 60 = 0,5034 * 0,866 = 0,4359 Newton La fuerza F2 se descompone en F2X y en F2Y (Ver las graficas) F2X = F2 cos 60 = 1,0068 * 0,5 = 0,5034 Newton F2Y = F2 sen 60 = 1,0068 *0,866 = 0,8719 Newton F es la fuerza resultante entre las fuerzas F1 y la fuerza F2 (Ver las graficas) La fuerza F se descompone en FX y en FY (Ver las graficas) FX = F1X + F2X = 0,2517 Newton + 0,5034 Newton = 0,7551 Newton FX =0,7551 Newton FY = F1Y + F2Y = 0,4359 Newton - 0,8719 Newton = - 0,436 Newton FY = - 0,436 Newton

F=

(F3X )2

+ (F3Y )2 =

(0,7551)2 + (- 0,436)2

= 0,57 + 0,19 = 0,76

F = 0,871 Newton

F - 0,436 tg θ = Y = = - 0,577406 FX 0,7551 θ = arc tg(-0,577406) θ = - 300 Problema 8 Serway quinta edición. Dos pequeñas cuentas que tienen cargas positivas 3q y q están fijas en los extremos opuestos de una barra aislante horizontal que se extiende desde el origen al punto x = d Como se muestra en la figura P23.8, una tercera cuenta pequeña cargada es libre de deslizarse sobre la barra. ¿En qué posición está en equilibrio la tercera cuenta? ¿Puede estar en equilibrio estable? Qq F1 = K e (d - X )2

F2 = K e

Q 3q (X )2

13

F2

X

Q

F1

d -X

Para estar en equilibrio se igualan las dos fuerzas y se halla en que posición esta la carga Q. F1 = F2

Ke

Qq

(d - X )2

= Ke

Q 3q (X )2

Se cancelan términos semejantes 1 3 = (d - X )2 (X )2

(X )2 = 3 (d - X )2 X 2 = 3 (d - X )2 X = 3 (d - X )

X= 3 d- 3X Despejando X X + 3X = 3d X + 1,732 X = 1,732 d 2,732 X = 1,732 d 1,732 d X = = 0,6339 d 2,732 X = 0,6339 d Problema 9 Serway quinta edición. n la teoría de Bohr del átomo de hidrógeno, un electrón se mueve en una órbita circular en torno a un protón, donde el radio de la órbita es 0.529 x 10-10 m. a) Encuentre la fuerza eléctrica entre los dos. b) Si esta fuerza provoca la aceleración centrípeta del electrón, ¿cuál es la rapidez del electrón? q q electrón protón Fuerza electrica = K e 1 2 2 r r = 5,3 * 10- 11 m m2 9 K e = 8,9875 x 10 N C2

14

q1 = carga del electrón = - 1,6021917 X 10-19 Coulombios q2 = carga del protón = 1,6021917 X 10-19 Coulombios r = es la distancia que los separa = 0,529 x 10 -10 m. -19 C ⎞ * ⎛1,6021917 * 10 −19 C ⎞ ⎛ ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎜1,6021917 * 10 q1 q 2 m ⎠ ⎠ ⎝ Fuerza electrica = K e *⎝ = 8,9875 * 10 9 N 2 2 2 r C ⎛⎜ 0,529 * 10 -10 m ⎞⎟ ⎝ ⎠ 38 2 2 − 2,567018 * 10 C m * Fuerza electrica = 8,9875 * 10 9 N = 8,9875 * 10 9 * 9,17447 * 10 -18 Newton 20 2 2 − 0,2798 * 10 m C -9 Fuerza = 82,45 *10 Newton b) Si esta fuerza provoca la aceleración centrípeta del electrón, ¿cuál es la rapidez del electrón? F=ma v2 a= r v2 F= m* r Despejando la velocidad. Fr = V2 m m 43,616 * 10 -19 Kg *m 9 10 seg 2 m2 F*r 82,45 * 10 Newton 0,529 * 10 m V= = = = 4,787711 * 1012 m seg 2 9,11 * 10 - 31 Kg 9,11 * 10 - 31 Kg V = 2,188*106 m/seg Problema 11 Serway quinta edición.¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico que equilibrará el peso de a) un electrón y b) un protón? (Use los datos de la tabla 23.1.)

E = campo eléctrico Fe = fuerza eléctrica = q * E (Ecuación 1) Fe = m * g (fuerza de la gravedad) (Ecuación 1) Igualando las ecuaciones qE=mg Despejando E para hallar el campo eléctrico del electrón y del protón ⎛⎜ 9,1095 * 10 - 31 ⎞⎟ kg * 9,8 m ⎠ m g ⎝ seg 2 89,2731 * 10 - 31 Newton Newton E electron = e = = = - 55,71 * 10 - 12 19 19 qe Coulombios C C - 1,6021917 * 10 - 1,6021917 * 10

15

E proton =

mp g qp

=

⎛⎜1,67261 * 10 - 27 ⎞⎟ kg * 9,8 m ⎝ ⎠ seg 2 1,6021917 * 10 - 19 C

=

16,3915 * 10 - 31 Newton Newton = 10,23 * 10 - 12 19 Coulombios C 1,6021917 * 10

Problema 12 Serway quinta edición. Un objeto que tiene una carga neta de 24 μC se coloca en un campo eléctrico uniforme de 610 N/C que está dirigido verticalmente. ¿Cuál es la masa de este objeto si "flota" en el campo? E = campo eléctrico Fe = fuerza eléctrica = q * E (Ecuación 1) Fe = m * g (fuerza de la gravedad) (Ecuación 1) Igualando las ecuaciones qE=mg q = 24 μC = 24 * 10- 6 C Despejando m para hallar la masa

- 6 kg * m ⎛⎜ 24 * 10 - 6 ⎞⎟ C * 610 N 14640 * 10 * seg 2 q*E ⎝ ⎠ C = = m= = 1493,87 * 10 - 6 kg m m g 9,8 9,8 seg 2 seg 2 Problema 13 Serway quinta edición. En la figura P23.13 determine el punto (distinto del infinito) en el cual el campo eléctrico es cero. q1 = - 2,5 μ C q2= 6 μ C

d +1

d P E2

E1

Los campos E1 producidos por la carga de q1 = - 2,5 μC Los campos E2 producidos por la carga de q2 = 6 μC se muestran en la figura

16

⎛⎜ 2,5 * 10 - 6 ⎞⎟ 3 q1 ⎠ = 22,475 * 10 9 E1 = K e = 8,99 * 10 * ⎝ (d )2 (d )2 d2 ⎛⎜ 6 * 10 - 6 ⎞⎟ 3 ⎠ = 53,94 * 10 9 E2 = Ke = 8,99 * 10 * ⎝ (d + 1)2 (d + 1)2 (d + 1)2 Igualando las ecuaciones E1 = E2 q2

22,475 * 10 3 53,94 * 10 6 = (d + 1)2 d2

22,475 53,94 = (d + 1)2 d2 53,94 d2 = 22,475 (d+1)2 53,94 d2 = 22,475 (d2 +2d +1) 53,94 d2 = 22,475 d2 + 44,95 d + 22,475 53,94 d2 - 22,475 d2 - 44,95 d - 22,475 = 0 31,465 d2 - 44,95 d - 22,475 = 0 a = 31,465 b = - 44,95 c = - 22,475 d =

2 - b ± b 2 - 4 a c - (-44,95) ± (- 44,95) - 4 * 31,465 * (- 22,475) 44,95 ± 2020,5 + 2828,7 = = 2a 2 * 31,465 62,93

d =

44,95 ± 4849,2 44,95 + 69,63 114,58 = = = 1,82 metros 62,93 62,93 62,93

Problema 15 Serway quinta edición. En la figura P23.7 se muestran tres cargas colocadas en las esquinas de un triángulo equilátero. a) Calcule el campo eléctrico en la posición de la carga de 2 µC debido a las cargas de 7 µC y -4 µC. b) Utilice su respuesta a la parte a) para determinar la fuerza sobre la carga de 2 µC. a = es la distancia que separa las diferentes cargas = 0,5 m. -6 q1 = 7 µc = 7 *10 C -6 q2 = 2 µc = 2*10 C

17

q3 = - 4 µc = -4 *10

-6

C

q1 = 7*10-6 C

600

E1X

E2 = E2X

600 a = 0,5 cm

E1

E1Y

E1X 600

600

600 θ0

E2 = E2X

q2 = 2 *10-6 C E2

q3 = - 7 *10-6 C

E1 E

E1

El campo eléctrico E1 ejercida por q1 sobre q2 es de repulsión por tener cargas de igual polaridad (positivas) El campo eléctrico E2 ejercida por q3 sobre q1 es de ATRACCION por tener cargas de diferente polaridad. a = es la distancia que separa las diferentes cargas = 0,5 m.

-6 ⎞ ⎛ 2 ⎜ 7 * 10 C ⎟ 2 −6 q1 m ⎠ = 8,99 * 10 9 N m * 7 * 10 C = 8,99 * 10 9 N * 28 * 10 − 6 *⎝ E1 = K e = 8,99 * 10 9 N C (0,5 m )2 a2 C2 C2 0,25 m 2 N E1 = 251,72 * 10 3 C E1 = 251,72 * 103 N/C

⎛⎜ 4 * 10 - 6 C ⎞⎟ 2 −6 q3 m2 ⎝ ⎠ = 8,99 * 10 9 N m * 4 * 10 C = 8,99 * 10 9 N * 16 * 10 − 6 9 * E2 = Ke = 8,99 * 10 N C (0,5 m )2 a2 C2 C2 0,25 m 2 N E 2 = 143,84 * 103 C E2 = 143,84 * 103 N/C E1 se descompone en E1X y en E1Y (Ver las graficas) E1X = - E1 cos 60 = - 251,72 * 103 * 0,5 = -125,86 N/C E1X = - 125,86* 103 N/C E1Y = - E1 sen 60 = - 251,72 * 103 * 0,866 = - 217,99* 103 N/C E1Y = - 217,99* 103 N/C E2 = E2X (Ver las graficas). no tiene componentes en el eje Y. E2X = 143,84*103 N/C

18

E es la resultante entre E1 y E2 (Ver las graficas) E se descompone en EX y en EY (Ver las graficas) EX = - E1X + E2X = - 125,86* 103 N/C + 143,84*103 N/C = 17,99 N/C EX = 17,99* 103 N/C EY = - E1Y = - 217,99* 103 N/C EY = - 217,99* 103 N/C

E=

(E X )2

+ (E Y )2 =

2 2 ⎛⎜18 * 10 3 ⎞⎟ + ⎛⎜ - 218 * 10 3 ⎞⎟ = 324 * 10 6 + 47524 * 10 6 = 47848 * 10 6 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

E = 218,74*103 N/C. b) Utilice su respuesta a la parte a) para determinar la fuerza sobre la carga de 2 µC. -6 q2 = 2 µc = 2*10 C F = q2 * E F = 2*10-6 C* 218,74*103 N/C F = 437,48*10- 3 NEWTON PROBLEMAS VARIOS Problema 1. Suponga que se tiene tres cargas puntuales localizadas en los vértices de un triangulo recto, -6 q1 = - 80 µC = - 80 *10 C -6 q2 = 50 µC = 50 *10 C -6 q3 = 70 µC = 70 *10 C

F32

F32 F

F

q3 = 70 μC

r = 0,3 2 + 0,4 2 F31

α

θ F31

a = 0,3 m

θ

q1 = - 80 μC

b = 0,4 m q2 = 50 μC

Calcular la fuerza sobre la carga q3 debido a las cargas q1 y q2 La fuerza que ejerce q2 sobre q3 es de repulsión, por que q2 y q3 tiene cargas positivas. Se le denomina F32 . ver grafica.

19

⎛⎜ 70 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜ 50 * 10 − 6 C ⎞⎟ m2 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 9 F32 = K e * = 9 * 10 N 2 2 2 (0,3 m ) a C ⎛⎜ 3500 * 10 - 12 ⎞⎟ C 2 m2 ⎝ ⎠ 9 F32 = 9 * 10 N * = 9 * 10 9 * 38888,888 * 10 - 12 Newton 2 2 C 0,09 m q3 q2

F32 = 350000 * 10- 3 Newton F32 = 350 Newton La fuerza que ejerce q1 sobre q3 es de atracción, por que q1 tiene carga negativa y q3 tiene carga positiva. Se le denomina F31 . ver grafica. La distancia entre la carga q1 y la carga q3 se puede hallar por el teorema de Pitágoras. r = 0,32 + 0,4 2 = 0,09 + 0,16 = 0,5 metros

⎛⎜ 70 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜ − 80 * 10 − 6 C ⎞⎟ m2 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 9 * F31 = K e = 9 * 10 N 2 2 2 (0,5 m ) C r ⎛⎜ - 5600 * 10 - 12 ⎞⎟ C 2 m2 ⎝ ⎠ 9 F31 = 9 * 10 N * = - 9 * 10 9 * 22400 * 10 - 12 Newton 2 2 0,25 m C q 3 q1

F31 = - 201600 * 10- 3 Newton F31 = - 201,6 Newton tg θ =

0,3 0,4

⎛ 0,3 ⎞ ⎟⎟ ⎝ 0,4 ⎠ θ = 36,860

θ = arc tg ⎜⎜

La fuerza F31 se descompone en F31X y en F31Y (Ver las graficas) F31X = F31 cos θ = 201,6 * cos 36,86 = 201,6 * 0,8 = 161,3 Newton F31X = 161,3 Newton F31Y = F31 sen θ = - 201,6 * sen 36,86 = - 201,6 * 0,6 = -120,93 Newton F31Y = -120,93 Newton La fuerza F32 se descompone en F32Y y no tiene componente en el eje x. (Ver las graficas), es decir F32 = F32Y = 350 Newton F es la fuerza resultante entre las fuerzas F31 y la fuerza F32 (Ver las graficas) La fuerza F se descompone en Fx y en Fy (Ver las graficas) FX = F31X = 161,3 Newton

20

FY = F31Y + F32Y = -120,93 Newton + 350 Newton = 229,06 Newton FY = 229,06 Newton

F 229,06 tg α = Y = = 1,42 FX 161,3 α = arc tg 1,42 α = 54,840 F=

(FX )2

+ (FY )2 =

(161,3)2 + (229,06)2

=

78486,17

F = 280 Newton Problema 2. Calcular la fuerza de interacción eléctrica en el vacío entre las cargas de la figura r=2m

q1 = + 2,5 * 10 - 6C

Fuerza electrica = K e

q2 = + 1,5 * 10 - 5C

q1 q 2 r2

⎛⎜ 2,5 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜1,5 * 10 − 5 C ⎞⎟ m2 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 9 * = 9 * 10 N 2 2 (2 m ) C

3,75 * 10 - 11 Newton 4 33,75 * 10 - 2 Fuerza electrica = = 8,4375 * 10 - 2 Newton 4

Fuerza electrica = 9 * 10 9 *

Problema 3. Calcular la fuerza neta debido a la interacción eléctrica en el vacío que actúa sobre la carga q2. a=2m

b=1m F23

q1 = + 2,5 * 10 - 6C

F21 q2 = + 1 * 10 - 6C

q3 = + 2 * 10 - 6C

La fuerza que ejerce q1 sobre q2 es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le denomina F21. VER GRAFICA ⎛⎜ 2,5 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜1 * 10 − 6 C ⎞⎟ q1 q 2 m2 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 9 * F21 = K e = 9 * 10 N 2 2 2 (2 m ) a C 2,5 * 10 - 12 Newton 4 22,5 * 10 - 3 F21 = = 5,625 * 10 - 3 Newton 4

F21 = 9 * 10 9 *

21

La fuerza que ejerce q3 sobre q2 es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le denomina F23. VER GRAFICA -6 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎛ 2 ⎜ 2 * 10 C ⎟ * ⎜1 * 10 C ⎟ q3 q2 m ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ F23 = K e * = 9 * 10 9 N (1 m )2 a2 C2

F23 = 9 * 10 9 * 2 * 10 - 12 Newton

F23 = 18 *10 - 3 Newton

Sea F la fuerza resultante, entre F21 que esta dirigida hacia la derecha y F23 que esta dirigida hacia la izquierda en el eje de las X. F = F21 - F23 = 5,625 * 10- 3 - 18*10-3 = -12,375 * 10- 3 Newton F = -12,375 * 10- 3 Newton Problema 4. Tres cargas puntuales se hallan en los vértices de un triangulo equilátero de lado a = 10 cm. Calcular la fuerza resultante sobre la partícula 3. -6 q1 = 2 *10 C -6 -6 q3 = 4 *10 C q2 = 2 *10 C

F

F32

F F32

F31

30

0

q3 = + 4 * 10 - 6C

60

0

60

F32 0

0

60 q1 = + 2 * 10 - 6C

60

F32Y 0

60 q2 = + 2 * 10 - 6C

F31

0

0

30

F32X

F31 0

F31Y

60

F31X

la distancia entre cada carga por ser un triangulo equilátero a = 10 cm = 0,1 m La fuerza que ejerce q1 sobre q3 es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le denomina F31. VER GRAFICA -6 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎛ 2 ⎜ 2 * 10 C ⎟ * ⎜ 4 * 10 C ⎟ q1 q 3 m ⎠ ⎠ ⎝ F31 = K e *⎝ = 9 * 10 9 N 2 2 2 (0,1 m ) a C

8 * 10 - 12 Newton 0,01 F31 = 9 * 10 9 * 8 * 10 -10 = 72 * 10 - 1 Newton F31 = 9 * 10 9 *

22

F31 = 7,2 Newton La fuerza que ejerce q2 sobre q3 es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le denomina F32. VER GRAFICA ⎛⎜ 2 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜ 4 * 10 − 6 C ⎞⎟ q2 q3 m2 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 9 F32 = K e * = 9 * 10 N 2 2 2 (0,1 m ) a C

8 * 10 - 12 Newton 0,01 F32 = 9 * 10 9 * 8 * 10 -10 = 72 * 10 - 1 Newton F32 = 7,2 Newton F32 = 9 * 10 9 *

La fuerza F31 se descompone en F31X y en F31Y (Ver las graficas) F31X = F31 cos 60 = 7,2 * 0,5 = 3,6 Newton F31X = 3,6 Newton F31Y = F31 sen 60 = 7,2 * 0,866 = 6,2352 Newton F31Y = 6,2352 Newton La fuerza F32 se descompone en F32X y en F32Y (Ver las graficas) F32X = - F32 cos 60 = 7,2 * 0,5 = - 3,6 Newton F32X = - 3,6 Newton F32Y = F32 sen 60 = 7,2 * 0,866 = 6,2352 Newton F32Y = 6,2352 Newton F es la fuerza resultante entre las fuerzas F1 y la fuerza F2 (Ver las graficas) La fuerza F se descompone en FX = 0 y en FY (Ver las graficas) FX = F31X - F32X = 3,6 Newton - 3,6 Newton = 0 FX = 0 (no tiene componente en el eje de las X) . (Ver las graficas) FY = F31Y + F32Y = 6,2352 Newton + 6,2352 Newton = 12,47 Newton FY = 12,47 Newton

F=

(FX )2

+ (FY )2 =

(0)2 + (12,47 )2

= 12,47

F = 12,47 Newton Problema 5. Determine la fuerza neta sobre la carga de q2 = 2,5 μC = 2,5 * 10 – 6 C. Todas las cargas son positivas. a = 0,5 m F23 q1 = + 1,3 * 10 - 6C

b = 1,5 m F21 q2 = + 2,5 * 10 - 6C

q3 = + 3,2 * 10 - 6C

23

La fuerza que ejerce q1 sobre q2 es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le denomina F21. VER GRAFICA -6 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎛ 2 ⎜1,3 * 10 C ⎟ * ⎜ 2,5 * 10 C ⎟ q1 q 2 m ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ F21 = K e * = 9 * 10 9 N (0,5 m )2 a2 C2

3,25 * 10 - 12 29,25 * 10 - 3 Newton F21 = = 117 * 10 - 3 Newton 0,25 0,25 La fuerza que ejerce q3 sobre q2 es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le denomina F23. VER GRAFICA -6 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎛ 2 ⎜ 3,2 * 10 C ⎟ * ⎜ 2,5 * 10 C ⎟ q3 q2 m ⎠ ⎠ ⎝ F23 = K e *⎝ = 9 * 10 9 N 2 2 2 (1,5 m ) a C F21 = 9 * 10 9 *

F23 = 9 * 10 9 *

8 * 10 - 12 Newton 2,25

F23 =

72 * 10 - 3 = 32 * 10 - 3 Newton 2,25

Sea F la fuerza resultante, entre F21 que esta dirigida hacia la derecha y F23 que esta dirigida hacia la izquierda en el eje de las X. F = F21 - F23 = 117 * 10- 3 – 32 *10-3 = 85 * 10- 3 Newton F = 85 * 10- 3 Newton Problema 6. Para la configuración de cargas eléctricas que se muestra en la figura determine en que dirección se moverá inicialmente una carga Q (+) al ser colocada en el centro de un hexagono. q2 =+2q

q3 = - q

q2 =+2q

q1= - 2q

q3 = - q

q1= - 2q

F3 F1

Q(+) Q(+)

q4 =+2q

q4 =+2q q6 = - q q5 =+2q

F2

q6 = - q

q5 =+2q

La fuerza que ejerce Q (+) sobre q1 (-) es de ATRACCION por tener cargas de diferente signo. A esta fuerza se le denomina F1. VER GRAFICA La fuerza que ejerce Q (+) sobre q2 (+) es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le denomina F2. VER GRAFICA

24

La fuerza que ejerce Q (+) sobre q3 (-) es de ATRACCION por tener cargas de diferente signo. A esta fuerza se le denomina F3. VER GRAFICA q2 =+2q

q2 =+2q F5

q3 = - q

q3 = - q

F3

F4

q1= - 2q

F4 F1

F1

Q(+

Q(+

q4 =+2q

q4 =+2q

F6

F2

q1= - 2q

q6 = - q

q6 = - q q5 =+2q

q5 =+2q

La fuerza que ejerce Q (+) sobre q4 (+) es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le denomina F4. VER GRAFICA. La fuerza que ejerce Q (+) sobre q5 (+) es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le denomina F5. VER GRAFICA La fuerza que ejerce Q (+) sobre q6 (-) es de ATRACCION por tener cargas de diferente signo. A esta fuerza se le denomina F6. VER GRAFICA Se observa en la grafica, que la fuerza F3 y la fuerza F6 tienen la misma magnitud pero en sentido contrario, por lo tanto se cancelan estas fuerzas. Se observa en la grafica, que la fuerza F2 y la fuerza F5 tienen la misma magnitud pero en sentido contrario, por lo tanto se cancelan estas fuerzas.

a

F4 F1

30 Q(+

30

F1 = K e

Q2q a2

F4 = K e

Q2q a2

a/2

a/2

30 Q(+

F1X

F

F4Y

F4

F1

F1Y

F4Y

F1Y 30

F4X Q(+

F4X

F1X

F 1 = F4 La fuerza F1 se descompone en F1X y en F1Y (Ver las graficas)

25

F1X = F1 cos 30 F1Y = F1 sen 30 La fuerza F4 se descompone en F4X y en F4Y (Ver las graficas) F4X = F4 cos 30 F4Y = F4 sen 30 F es la fuerza resultante entre las fuerzas F1 y la fuerza F4 (Ver las graficas) La fuerza F se descompone en FX y en FY (Ver las graficas) FX = F1X + F4X = F1 cos 30 + F4 cos 30 FY = F1Y + F4Y = F1 sen 30 + F4 sen 30

F=

(FX )2

+ (FY )2

Problema 7. Que fuerza electrostática, debido a las otras dos cargas actúa sobre q1 -6 q1 = - 1,2 *10 C -6 q2 = 3,7*10 C -6 q3 = - 2,3 *10 C q3 = - 2,3 μC

q3 = - 2,3 μC

θ = 320

θ = 320

a = 10 cm

q2 = 3,7 μC

q1 = - 1,2 μC F12

b = 15 cm q1 = - 1,2 μC

q2 = 3,7 μC

F13

La fuerza que ejerce q1 (-) sobre q3 (-) es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le denomina F13. VER GRAFICA La fuerza que ejerce q1 (-) sobre q2 (+) es de ATRACCION por tener cargas de diferente signo. A esta fuerza se le denomina F12. VER GRAFICA ⎛⎜1,2 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜ 2,3 * 10 − 6 C ⎞⎟ q1 q 3 m2 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 9 F13 = K e * = 9 * 10 N 2 2 2 (0,1 m ) a C

26

q3 = - 2,3 μC

q3 = - 2,3 μC

θ = 320

θ = 320

α = 580

F12 α = 580

F13Y

α = 580 q2 = 3,7 μC

F13 F13X

F13 = 9 * 10 9 *

F12 μ

320

F13

q2 = 3,7 μC F

2,76 * 10 - 12 Newton 0,01

24,84 * 10 - 3 = 2484 * 10 - 3 Newton 0,01 F13 = 2,484 Newton F13 =

⎛⎜1,2 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜ 3,7 * 10 − 6 C ⎞⎟ m2 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 9 * F12 = K e = 9 * 10 N 2 2 2 (0,15 m ) a C 4,44 * 10 - 12 F12 = 9 * 10 9 * Newton 0,0225 39,96 * 10 - 3 F12 = = 1776 * 10 - 3 Newton 0,0225 F12 = 1,776 Newton q1 q 2

La fuerza F13 se descompone en F13X y en F13Y (Ver las graficas) F13X = F13 cos 58 = 2,484 Newton * 0,5299 = 1,31 Newton F13X = 1,31 Newton F13Y = - F13 sen 58 = - 2,484 Newton * 0,848 = - 2,106 newton F13Y = - 2,106 Newton La fuerza F12 = F12X (Ver las graficas), es decir no tiene componente en el eje Y. F12 = F12X = 1,776 Newton F es la fuerza resultante entre las fuerzas F13 y la fuerza F12 (Ver las graficas) La fuerza F se descompone en FX y en FY (Ver las graficas) FX = F13X + F12 = 1,31 Newton + 1,776 Newton = 3,08 Newton

27

FY = - F13Y = - 2,106 Newton FY = - 2,106 Newton

F=

(FX )2

+ (FY )2 =

(3,08)2 + (- 2,106)2

= 9,48 + 4,43 = 13,91 = 3,72 Newton

F = 3,72 Newton

- FY - 2,106 = = - 06837 FX 3,08 μ = arc tg - 0,6837 μ = - 34,360

tg μ =

28