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PROBLEMAS RESUELTOS DE ANALISIS DE ESTRUCTURAS POR EL METODO DE LOS NUDOS

Problema resuelto Pág. 246 Estática BEDFORD Problema 6.1 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.2 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.4 Estática BEDFORD edic 5 Problema 6.13 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.14 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.1 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.2 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.3 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.4 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.1 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.2 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.3 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.4 Estática Hibbeler edic 10 Problema c-34 estática Hibbeler edic 10 Problema C-35 estática Hibbeler edic 10 Problema 6.8 estática Hibbeler edic 10 Problema resuelto Pag. 145 Estática Meriam Problema 4.1 Estática Meriam edición tres Problema 4.1 Estática Meriam edición cinco Problema 4.3 Estática Meriam edición tres Problema 4.3 Estática Meriam edición cinco Problema 4.4 Estática Meriam edición tres Problema 4.4 Estática Meriam edición cinco Problema 4.5 Estática Meriam edición tres Problema 4.7 Estática Meriam edición tres Erving Quintero Gil Tecnólogo electromecánico - UTS Ing. Electromecánico - UAN Especialista en Ingeniería del gas - UIS Bucaramanga – Colombia 2011

Para cualquier inquietud o consulta escribir a: [email protected] [email protected] [email protected]

1

Método de las juntas o nudos (PROBLEMA RESUELTO PAG. 246 ESTATICA BEDFORD) El método de las juntas implica dibujar diagramas de cuerpo libre de las juntas de una armadura, una por una, y usar las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas axiales en las barras. Por lo general, antes debemos dibujar un diagrama de toda la armadura (es decir, tratar la armadura como un solo cuerpo) y calcular las reacciones en sus soportes. Por ejemplo, la armadura WARREN de la figura 6.6(a) tiene barras de 2 metros de longitud y soporta cargas en B y D. En la figura 6.6(b) dibujamos su diagrama de cuerpo libre. De las ecuaciones de equilibrio. 400 N

D

B

C

E

2m

2m

Fig. 6. 6(a) Armadura WARREN soportando dos cargas 400 N

800 N

D

B

3m

C

A AX 1m AY

1m 2m

400 N

E

800 N

1m

1m

B

2m

TBD

TBD

TBC

TDC

D

EY

TAB

TDE

TAB TBC

A

TAC

TAC

TDE

C

TEC

TEC

E

AY

Fig. 6. 6(b) Diagrama de cuerpo libre de la armadura

2

Σ MA = 0 - 400 (1) - 800 (1 +1+1) + EY (1+1+1+1) = 0

+

∑ FX = 0

AX = 0

- 400 - 800 (3) + E Y (4) = 0

∑ FY = 0

- 400 - 2400 + 4 E Y = 0

AY + EY – 400 - 800 = 0

- 2800 + 4 E Y = 0 4 EY = 2800

EY =

2800 4

= 700 N

E Y = 700 N Σ ME = 0 - AY (1+1+1+1) + 400 (1+1+1) + 800 (1) = 0

+

- AY (4) + 400 (3) + 800 = 0 - 4 AY + 1200 + 800 = 0 4 AY = 2000

AY =

2000 4

= 500 N

A Y = 500 N NUDO A El siguiente paso es elegir una junta y dibujar su diagrama de cuerpo libre. En la figura 6.7(a) aislamos la junta A cortando las barras AB y AC. Los términos T AB y TAC son las fuerzas axiales en las barras AB y AC respectivamente. Aunque las direcciones de las flechas que representan las fuerzas axiales desconocidas se pueden escoger arbitrariamente, observe que las hemos elegido de manera que una barra estará a tensión, si obtenemos un valor positivo para la fuerza axial. Pensamos que escoger  consistentemente las direcciones de esta manera ayudara a evitar errores. 400 N

B

TAB 2

A

TAB

1

3

TAB AY

TAC AY

TAB

TAC

A Figura 6.7(a) Obtención del diagrama de cuerpo libre de la junta A.

C TAC

TAC

AY

3

Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son:

TAB TAC A Y = = 2 1 3

Hallar TAC

Hallar TAB

TAB TAC = 2 1

TAB A Y = 2 3

T TAC = AB 2

A Y = 500 N

TAB = 577,35 Newton

TAB 500 = = 288,67 2 3 TAB = 2 (288,67 ) = 577,35 N

TAC =

577,35 2

= 288,67 N

TAC = 288,67 Newton (Tension)

TAB = 577,35 Newton(compresión) Newton(compresión) NUDO B Luego obtenemos un diagrama de la junta B cortando las barras AB, BC y BD (Fig. 6.8 a). De las ecuaciones de equilibrio para la junta B. 400 N

400 N

800 N

TBD

B

TBD

B

400 N

TBD

TBD

D 0

TAB

60

TBC

TAB

TBC TBC (Y)

TAB (Y)

TBC

TAB TAB

TAC

TAC

TBC (X)

TAB (X)

TBC

A

0

60

C

AY

Figura 6.8(a) Obtención del diagrama de cuerpo libre de la junta B. sen 60 =

TAB(Y ) TAB

Para abreviar los cálculos

TAB (Y) = TAB sen 60

⎛  3 ⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎝   ⎠

TAB(Y ) = TAB ⎜⎜

sen 60 =

3 2

cos 60 =

1 2

4

⎛  3 ⎞ ⎟ TAB ⎟ ⎝  2  ⎠ TAB = 577,35 Newton ⎛  3 ⎞ ⎟ (577,35) = 500 N TAB(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝   ⎠ TAB (Y) = 500 N TAB(Y ) = ⎜⎜

sen 60 =

TBC(Y ) cos 60 =

TBC

TBC (Y) = TBC sen 60

⎛  3 ⎞ ⎟ TBC(Y ) = TBC ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝   ⎠ ⎛  3 ⎞ ⎟ TBC TBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ ⎝  2  ⎠

cos 60 =

TAB(X ) TAB

TAB (X) = TAB cos 60

⎛ 1 ⎞ TAB(X ) = TAB ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

TBC(X ) TBC

TBC (X) = TBC cos 60

⎛ 1 ⎞ TBC(X ) = TBC ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

⎛ 1 ⎞ TAB(X ) = ⎜ ⎟ TAB ⎝ 2 ⎠ TAB = 577,35 Newton TAB(X ) =

1 2

(577,35) = 288,67 N

TAB (X) = 288,67 N

⎛ 1 ⎞ TBC(X ) = ⎜ ⎟ TBC ⎝ 2 ⎠ ⎛  3 ⎞ ⎟ TBC ⎟ 2 ⎝   ⎠

TBC(Y ) = ⎜⎜ ∑ FY = 0 - 400 + T AB (Y) - TBC (Y) = 0

TAB (Y) = 500 N - 400 + 500 - TBC (Y) = 0

100 = TBC (Y)

⎛  3 ⎞ ⎟ TBC ⎟ ⎝  2  ⎠ 200 ⎛  2  ⎞ = 115,47 N TBC = ⎜ ⎟ 100 = 3 3 ⎝   ⎠

100 = ⎜⎜

100 - TBC (Y) = 0

TBC = 115,47 N

(compresión)

100 = TBC (Y)

∑ FX = 0 - TBD + TAB (X) + TBC (X) = 0 TAB (X) = 288,67 N TBC (X) = 57,73 Newton

- TBD + 288,67 + 57,73 = 0

Se halla TBC (X)

⎛ 1 ⎞ TBC(X ) = ⎜ ⎟ TBC ⎝ 2 ⎠ TBC = 115,47 N ⎛ 1 ⎞ TBC(X ) = ⎜ ⎟ (115,47 ) = 57,73 N ⎝ 2 ⎠ TBC (X) = 57,73 Newton

- TBD + 346,4 = 0

TBD = 346,4 Newton (compresión) 5

NUDO D Luego obtenemos un diagrama de la junta D cortando las barras BD, DC y DE . De las ecuaciones de equilibrio para la junta D. 800 N 800 N

800 N

D

TBD

TBD

TBD

D

0

60

TDE

TDC

TDE

TDC (Y)

TDE

TDE (Y)

TDC

TDE

C

TEC

E

TEC EY

TDC(Y ) sen 60 = TDC

cos 60 =

TDC (Y) = TDC sen 60

⎛  3 ⎞ ⎟ TDC(Y ) = TDC ⎜⎜ ⎟ ⎝  2  ⎠ ⎛  3 ⎞ ⎟ TDC TDC (Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝   ⎠

TDE (X)

TDC (X)

TDC

sen 60 =

0

60

Para abreviar los cálculos

sen 60 =

3 2

cos 60 =

1 2

TDC(X ) TDC

TDC (X) = TDC cos 60

⎛ 1 ⎞ TDC(X ) = TDC ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛  3 ⎞ ⎟ TDC ⎟ 2 ⎝   ⎠

TDC(Y ) = ⎜⎜

TDE(Y ) cos 60 =

TDE

TDE (Y) = TDE sen 60

TDE(X ) TDE

TDE (X) = TDE cos 60

⎛  3 ⎞ ⎟ TDE (Y ) = TDE ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝   ⎠ ⎛  3 ⎞ ⎟ TDE TDE(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝   ⎠

⎛ 1 ⎞ TDE(X ) = TDE ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ TDE(X ) = ⎜ ⎟ TDE ⎝ 2 ⎠

∑ FX = 0

TBD - TDE (X) + TDC (X) = 0 TBD = 346,4 Newton

(compresión)

6

346,4

- TDE (X) + TDC (X) = 0

TDE (X) - TDC (X) = 346,4 ecuación 1 Pero:

∑ FY = 0

⎛ 1 ⎞ TDE(X ) = ⎜ ⎟ TDE ⎝ 2 ⎠

- 800 + TDE (Y) + TDC (Y) = 0

TDE (Y) + TDC (Y) = 800 ecuación 2

⎛ 1 ⎞ TDC(X ) = TDC ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

Pero:

Reemplazando en la ecuación 1

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ TDE - ⎜ ⎟ TDC = 346,4 ecuación 3 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

⎛  3 ⎞ ⎟ TDE ⎟ ⎝  2  ⎠ ⎛  3 ⎞ ⎟ TDC TDC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝   ⎠ TDE(Y ) = ⎜⎜

Reemplazando en la ecuación 2

⎛  3 ⎞ ⎛  3 ⎞ ⎜ ⎟ TDE + ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ecuación 4 ⎝   ⎠ ⎝   ⎠

resolver ecuación 3 y ecuación 4

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ TDE - ⎜ ⎟ TDC = 346,4 multiplica r por ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛  3 ⎞ ⎛  3 ⎞ ⎟ TDE + ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ⎝   ⎠ ⎝   ⎠ ⎛  ⎜ ⎜ ⎝  ⎛  ⎜ ⎜ ⎝ 

3 ⎞

⎟ TDE 2  ⎠⎟ 3 ⎞ ⎟ TDE 2  ⎠⎟

⎛  3 ⎞ ⎟ TDC = 346,4 ⎟ ⎝  2  ⎠ ⎛  3 ⎞ ⎟ TDC = 800 + ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝   ⎠

- ⎜⎜

[ 3]

[ 3] = 600

⎛  3 ⎞ ⎛  3 ⎞ ⎜ ⎟ TDE + ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ TDE = 600 + 800 = 1400 ⎝   ⎠ ⎝   ⎠ ⎛  3 ⎞ ⎟ TDE = 1400 2 ⎜⎜ ⎟ ⎝  2  ⎠ 3 TDE = 1400 TDE =

1400 3

= 808,29 N

7

TDE = 808,29 Newton (compresión) Reemplazando en la ecuación 4, se halla

TDC

⎛  3 ⎞ ⎛  3 ⎞ ⎜ ⎟ TDE + ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ecuación 4 ⎝   ⎠ ⎝   ⎠ ⎛  3 ⎞ ⎛  3 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ (808,29) + ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ⎝   ⎠ ⎝   ⎠ ⎛  3 ⎞ ⎟ TDC = 800 700 + ⎜⎜ ⎟ ⎝  2  ⎠ ⎛  3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 - 700 = 100 ⎝   ⎠ ⎛  2  ⎞ 200 = 115,47 N TDC = 100 ⎜ ⎟= 3 3 ⎝   ⎠ TDC = 115,47 Newton (Tensión) Problema 6.1 ESTATICA BEDFORD edic 4 Determine the axial forces in the members of the truss and indicate whether they are in tension (T) or  compression (C)

A

A

A

10 KN

10 KN

2m

2m

C

B

BX

2m

B BY

Σ MC = 0 BY (1) – 10 (2) = 0

BY (1) = 10 (2)

B Y = 20 KN

1m

B

BX

C

1m

+

10 KN

C BY

CY

1m

∑ FX = 0

∑ FY = 0

10 – BX = 0

CY – BY = 0

BX = 10 KN

CY = BY

CY

Pero: BY = 20 KN

C Y = 20 KN

8

NUDO B ∑FY = 0

FBA

∑FX = 0

B

BX

FBC

FBC – BX = 0

FBA – BY = 0 FBA = BY

FBC = BX

pero: BY = 20 KN

pero: BX = 10 KN

FBA = 20 KN (tensión)

BY

FBC = 10 KN (tensión) NUDO A A 10 KN FBA FBA

5

2 1

FAC

FAC

FBA 10 FAC = = 2 1 5

10 KN

Hallamos FAC

10 1

F = AC 5

( )

FAC = 10 5 = 22,36 KN 

FAC = 22,36 KN (compresión)

9

Problema 6.2 ESTATICA BEDFORD edic 4 La armadura mostrada soporta una carga de 10 kN en C. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura y determine las reacciones en sus soportes b) Determine las fuerzas axiales en las barras. Indique si se encuentran a tensión (T) o a compresión (C) .

BY BX

B FCB

FAB

=0

FAB

=0

3m

Σ MB = 0

+

AX

AX (3) - 10 (4) = 0

FCB

A FCA

FCA

AX (3) = 10 (4)

4m

C 10 KN

3 AX = 40

AX =

40 3

= 13,33KN 

∑ FY = 0 BY - 10 = 0

AX = 13,33 KN

B Y = 10 KN

Σ MA = 0

+

BX (3) - 10 (4) = 0

BX (3) = 10 (4) 3 BX = 40

BX =

40 3

= 13,33KN 

BX = 13,33 KN

10

NUDO C FCB

3 10 KN

FCA

C 10 KN

5 4

FCB

FCA

FCB FCA 10 = = 5 4 3

Hallar FCA

FCA 10 = 4 3

Hallar FCB

FCB 10 = 5 3 (5)10 FCB = = 16,66 KN 3

FCA =

(4)10 3

= 13,33 KN

FCA = 13,33 kN (compresión)

FCB = 16,66 kN (Tensión) NUDO A ∑ FY = 0

AX = 13,33 KN FAB = 0

∑ FX = 0 AX - FCA = 0 AX = FCA Pero: FCA = 13,33 kN AX = FCA =13,33 kN

FAB AX

=0

A FCA

B Y = 10 KN BX = 13,33 KN

FCB = 16,66 kN (Tensión) FCA = 13,33 kN (compresión) FAB = 0

11

Problema 6.4 ESTATICA BEDFORD edic 5 The members of the truss are all of lenght L. Determine the axial forces in the members and indicate whether they are in tension (T) or compression (C)

F D

B

F FBD

B

D

FBA

C

FBC

FBA

FBC

A

A AX = 0 L

FBD

FCD

C

FCD

FAC

FAC

CY

AY L

NUDO D

F

F F

D

FBD

FBD

B

FBD

FBD

D FDC

60

FCD

FDC (Y)

Σ MC = 0

+

AX = 0

AY (L) – F (L/2) = 0

C

A

FDC

FDC (X)

L AY

CY

FDC

L/2

AY (L) = F (L/2)

A Y = ½ F Σ MA = 0

+

CY (L) – F ( L + L/2) = 0

CY (L) - F ( 3/2 L) = 0 CY (L) = F ( 3/2 L) CY = F ( 3/2)

FDC(X ) FDC

FDC (X) = FDC cos 60

⎛ 1 ⎞

Para abreviar los cálculos

sen 60 =

3 2

cos 60 =

1 2

FDC(X ) = FDC ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

C Y = 3/2 F sen 60 =

cos 60 =

FDC(Y ) FDC 12

FDC (Y) = FDC sen 60

⎛  3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝  2  ⎠ 3 ⎞ ⎟ FDC 2  ⎠⎟

FDC(Y ) = FDC ⎜⎜

⎛ 

FDC(Y ) = ⎜⎜

⎝ 

∑ FY = 0 - F + FDC (Y) = 0 F = FDC (Y) Pero: FDC (Y) = FDC sen 60 F = FDC sen 60 DESPEJANDO F DC

FDC =

1 sen 60

(F) = 1,154 F

FDC = 1,154 F (Compresion)

∑ FX = 0

AX = 0

∑ FX = 0

∑ FY = 0

- FBD + FDC (X) = 0

AY + EY – 400 - 800 = 0

FBD = FDC (X) Pero: FDC (X) = FDC cos 60

FBD = FDC cos 60 Pero: FDC = 1,154 F

F

FBD = (1,154 F) cos 60 FBD = 0,577 F (tensión) NUDO B B FBA

FBC

FBC

FBA

FBA

FBD

FBC

A AX = 0

FBD

D

FBA

FBD

FBC

FBD

B

C

L AY

CY

13

sen 60 =

FBA(Y ) TAB

FBA (Y) = TBA sen 60

⎛  3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝  2  ⎠ 3 ⎞ ⎟ FBA 2  ⎠⎟

cos 60 =

FBA(Y ) = FBA ⎜⎜

⎛ 

FBA(Y ) = ⎜⎜

⎝ 

sen 60 =

FBA(X ) FBD

FBA

0

60

FBA (X) = FBA cos 60

FBC(Y )

⎛ 1 ⎞ FBA(X ) = FBA ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

0

60

FBC

FBA (Y) FBA

⎛ 1 ⎞ FBA(X ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝ 2 ⎠

FBC (Y)

FBC (X)

FBA (X)

FBC

FBC (Y) = TBC sen 60

⎛  3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝  2  ⎠ 3 ⎞ ⎟ FBC 2  ⎠⎟

FBC(Y ) = FBC ⎜⎜

⎛ 

FBC(Y ) = ⎜⎜

⎝ 

∑ FX = 0

cos 60 =

FBC(x ) FBC

FBC (X) = FBC cos 60

⎛ 1 ⎞ FBC (X ) = FBC ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

FBD - FBC (X) - FBA (X) = 0 Para abreviar los cálculos

FBD - FBC(X ) - FBA (X ) = 0 FBC(X ) + FBA (X ) = FBD

sen 60 =

3 2

cos 60 =

1 2

PERO:

FBD = 0,577 F FBC(X ) + FBA (X ) = 0,577 F

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FBC + ⎜ ⎟FBA = 0,577 F (ECUACIÓN 1) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ∑ FY = 0 FBC (Y) - FBA (Y) = 0

⎛  3 ⎞ ⎛  3 ⎞ ⎜ ⎟ FBC − ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟FBA = 0 (ECUACIÓN 2) ⎝   ⎠ ⎝   ⎠ resolver ecuación 1 y ecuación 2

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FBC + ⎜ ⎟ FBA = 0,577 F multiplica r por ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

[ 3] 14

⎛  3 ⎞ ⎛  3 ⎞ ⎜ ⎟ FBC - ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 0 ⎝   ⎠ ⎝   ⎠ ⎛  ⎜ ⎜ ⎝  ⎛  ⎜ ⎜ ⎝ 

3 ⎞

⎛  3 ⎞ ⎟ FBC + ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = ( 3 ) (0,577 F) 2  ⎠⎟ ⎝   ⎠ ⎛  3 ⎞ 3 ⎞ ⎟ FBC - ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 0 2  ⎠⎟ ⎝   ⎠ ⎛  3 ⎞ ⎟ FBC = F ⎟ ⎝  2  ⎠

2 ⎜⎜

3 FBC = F

⎛  1  ⎞ ⎟F ⎝  3 ⎠

FBC = ⎜

FBC = 0,577 F (compresión) Reemplazando en la ecuación 2

⎛  ⎜ ⎜ ⎝  ⎛  ⎜ ⎜ ⎝  ⎛  ⎜ ⎜ ⎝ 

3 ⎞

⎛  3 ⎞ ⎟ FBC − ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟FBA = 0 (ECUACIÓN 2) 2  ⎠⎟ ⎝   ⎠ ⎛  3 ⎞ 3 ⎞ ⎟ (0,577 F) − ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 0 2  ⎠⎟ ⎝   ⎠ ⎛  3 ⎞ 3 ⎞ ⎟ (0,577 F) = ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA 2  ⎠⎟ ⎝   ⎠ F

Cancelando terminos semejantes

(0,577 F) = FBA

FBD

B

FBA = 0,577 F (tensión)

L

FBD

D

FBA

FBC

FCD

NUDO A FBA

FBA

A

L

A

FBA

L/2

AY

L/2

C

FCD

FAC

FAC AY

FAC AY

FBC

L

CY

FAC

15

FBA FAC = L L 2 FBA 2 FAC =  L L

A Y = ½ F C Y = 3/2 F

Cancelando términos semejantes FBA = 2 FAC

FDC = 1,154 F (Compresion)

Pero: FBA = 0,577 F

FBD = 0,577 F (tensión)

0,577 F = 2 F AC 0,577 FAC = F 2

FBC = 0,577 F (compresión)

FAC = 0,288 F (Compresión)

FBA = 0,577 F (tensión)

Problema 6.13 bedford edic 4 La armadura recibe cargas en C y E. Si F = 3 KN, cuales son las fuerzas axiales BC y BE?

AX=0

A Y

1m

A

FAB FCA

B

FAB

1m

1m

D

FDB FEB

FDB

FGD

FDE

FCB

1m FCA

FCB FEC

C 3 kN

FEB

FGD FDE

G

FEC

E

FGE

FGE

G Y

6 kN

Σ MG = 0

+

6 (1) + 3 (1 +1) - AY (1+1+1) = 0

16

6 (1) + 3 (2) - AY (3) = 0 6 + 6 – 3 AY = 0 6 + 6 = 3 AY

∑ FX = 0

AX = 0

12 = 3 AY

AY =

12 3

= 4 KN

A Y = 4 KN Σ MA = 0 - 3 (1) - 6 (1 +1) + GY (1+1+1) = 0

+

- 3 - 6 (2) + GY (3) = 0 - 3 - 12 + 3 GY = 0 - 15 + 3 GY = 0 3 GY = 15

GY =

15 3

= 5 KN

AX

A Y

1m

A

B

1m

1m

D

G Y = 5 KN

FGD

NUDO G 1m FGD

FGD

G G FGE

G Y

E

C

FGE

3 kN

1

FGE

FGE

G Y

6 kN

FGD

2

1

GY = 5 KN

Las ecuaciones de equilibrio para la junta G son:

FGD FGE 5 = = 1 1 2 Hallar FGD

Hallar FGE

FGE 5 = 1 1

FGE = 5 KN (Tensión)

FGD =5 2 17

FGD = 2 (5)

FGD = 7,071 KN (compresión)

NUDO D D AX

FDB

A Y

1m

A

1m

B

1m

D FDB

FDB FDE

FGD

FDE

FGD

1m FDB

FGD FDE

G

1

FGD

2

1

E

C

FDE

3 kN

FGE

FGE

G Y

6 kN

Las ecuaciones de equilibrio para la junta D son:

FGD FDE FDB = = 1 1 2 PERO:

7,071

Hallar FDB

5 = FDB

FGD = 7,071 KN

FDB = 5 KN (compresion)

F F = DE = DB

1 2 5 = FDE = FDB

1

Hallar FDE 5 = FDE

AX

A Y

1m

A

B

FDE = 5 KN (TENSION)

1m

1m

D

FDB FEB

FDB

FGD

FDE

NUDO E

FDE

1m FEB

FEB

FGD FDE

FEC FEC

C E

G

FEC

E

FGE 3 kN

FGE

FGE

G Y

6 kN

6 kN

18

FEB(Y ) FEB = FEB sen 45

sen 45 = FEB (Y)

⎛  2  ⎞ ⎟ FEB(Y ) = FEB ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝   ⎠ ⎛  2  ⎞ ⎟ FEB(Y ) = ⎜ ⎜ 2 ⎟ FEB ⎝   ⎠

FEB(X ) FEB = FEB cos 45

cos 45 = FEB (X)

⎛  2  ⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎝   ⎠ 2  ⎞ ⎟ FEB 2  ⎠⎟

FEB(X ) = FEB ⎜ ⎜

⎛  FEB(X ) = ⎜ ⎜ ⎝ 

∑ FY = 0

FEB(X)

FEB(Y)

FDE = 5 KN

FEB 0

45 FEC

FGE = 5 KN 6 kN

FDE - 6 + FEB(Y) = 0 PERO: FDE = 5 kN 5 - 6 + FEB(Y) = 0 - 1 + FEB(Y) = 0

FEB(Y) = 1 KN FEB =

FEB(Y ) 1 = = 1,414 kN sen45 sen 45

FEB = 1,414 KN (tension) FEB (X) = FEB cos 45 FEB (X) = (1,414) cos 45

FEB (X) = 1 KN ∑ FX = 0 FGE - FEC - FEB (X) = 0 PERO: FGE = 5 kN FEB (X) = 1 KN FGE - FEC - FEB (X) = 0 5 - FEC - 1 = 0 4 - FEC = 0

FEC = 4 KN (tension)

19

NUDO C FCB

A Y

AX=0

FCA

1m

A FCA

FEC

1m

D

FDB FEB

FDB

FGD

FDE

FCB

1m

C

FCA

FCB FEC

3 kN

FEB

FGD FDE

G

FEC

E

C

FCA(Y ) sen 45 = FCA FCA (Y) = FCA sen 45

⎛  2  ⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎝   ⎠ 2  ⎞ ⎟ FCA 2  ⎠⎟

1m

B

3 kN

FGE

FGE

G Y

6 kN

FCA (Y ) = FCA ⎜ ⎜

⎛ 

FCA (Y ) = ⎜ ⎜

⎝ 

∑ FX = 0 FEC - FAC (X) = 0 FEC = FAC (X) PERO: FEC = 4 kN

FCA(X ) FCA = FCA cos 45

cos 45 = FCA (X)

FCA(X)

⎛  2  ⎞ ⎟ FCA (X ) = FCA ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝   ⎠ ⎛  2  ⎞ ⎟ FCA (X ) = ⎜ ⎜ 2 ⎟ FCA ⎝   ⎠

FCA(Y)

FCB

FCA 0

45

FEC = 4 KN 3 kN

FAC (X) = 4 kN FCA (X) = FCA cos 45 FCA (X ) 4 FCA = = = 5,656kN cos 45 0,7071

FCA = 5,656 KN (tension) ⎛  2  ⎞ ⎟ FCA ⎟ 2 ⎝   ⎠ ⎛  2  ⎞ ⎟ FCA (Y ) = ⎜ ⎜ 2 ⎟ 5,656 = 4 KN ⎝   ⎠ FCA (Y) = 4 kN FCA (Y ) = ⎜ ⎜

∑ FY = 0 - FCB - 3 + FCA(Y) = 0 PERO:

FCA (Y) = 4 kN

- FCB - 3 + 4 = 0 - FCB + 1 = 0

FCB = 1 KN (compresión)

20

NUDO A AX=0

A Y

1m

A

A Y = 4 KN AX=0

A

FAB

FAB

1m

1m

D

FDB FEB

FCA FAB

B

FDB

FGD

FDE

FCB

1m FCA

FEB

FCB

G

FEC

FEC

FCA

FGD FDE

E

C Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son: 3 kN

FCA FAB A Y = = 1 1 2

FGE

FGE

G Y

6 kN

FAB 1

FCA

PERO: AY = 4 KN

2

FAB A Y = 1 1

1

A Y = 4 KN

FAB = 4 KN (compresión) Problema 6.14 bedford edic 4 If you don t want the members of the truss to be subjected to an axial load (tension or compression) greater than 20 kn, what is the largest acceptable magnitude of the downward force F? '

A

β

12 m

δ

12 m

F

Ө

B

α 4m

β

C

D

13 m

3m

tg θ  =

5 12

= 0,4166

5m 4m

β

Ө = arc tg (0,4166) Ө = 22,610

3m

21

tg  β  =

4 3

= 1,3333 β + δ = 900

β = arc tg (1,3333) β

0

δ + Ө + α = 90

δ = 900 - β

= 53,120

0

δ = 90 - 53,12 δ

pero: 0 δ = 36,87 0 Ө = 22,61

0

= 36,870

0

δ + Ө + α = 90

NUDO A

36,87 + 22,61 + α = 900

FAB X 0

δ = 36,87

α = 900 - 36,87 - 22,61 F

FAB Y FAB

α

α

= 30,520

FAC Y

FAC FAC X

sen 36,87 = FAB (Y)

FAB(Y )

FAB = FAB sen 36,87

FAB(Y ) = (0,6) FAB

sen α  =

cos 36,87 = FAB (X)

FAB = FAB cos 36,87

FAB(X ) = (0,8) FAB

FAC(X ) FAC FAC(X )

sen 30,52 =

FAC

FAC (X) = FAC sen 30,52

FAB(X )

cos 30,52 = FAC (Y)

FAC(Y )

FAC = FAC cos 30,52

FAC(Y ) = (0,8614 ) FAC

FAC(X ) = (0,507 ) FAC ∑ FX = 0 FAC(X) - FAB (X) = 0

0,507 FAC - 0,8 FAB = 0 ECUACION 1 ∑ FY = 0 FAC (Y) - F - FAB (Y) = 0

22

0,8614 FAC - F - 0,6 FAB = 0 ECUACION 2 NUDO C FCB

FAC(X)

FCB X

FAC

FAC(Y) FCD

C

FCB

α

FCB

Y

FAC

β

β

= 53,120

FCD

FCB(Y ) FCB = FCB sen 53,12

sen 53,12 = FCB (Y)

FCB(X ) FCB = FCB cos 53,12

cos 53,12 = FCB (X)

FCB(Y ) = (0,7998 ) FCB

FAC(X ) = (0,507 ) FAC FAC(Y ) = (0,8614 ) FAC

FCB(X ) = (0,6 ) FCB

∑ FX = 0 FCD - FAC(X) - FCB (X) = 0 FCD – 0,507F AC - 0,6 FCB = 0

ECUACION 3

∑ FY = 0 FCB (Y) - FAC (Y) = 0 0,7998 F CB - 0,8614 F AC = 0

ECUACION 4

NUDO D DX

A FCD 12 m

∑ FX = 0 DX - FCD = 0

BY

ECUACION 5

0,507 F AC - 0,8 FAB = 0 ECUACION 1 0,8614 F AC - F - 0,6 0,6 FAB = 0 ECUACION 2 FCD – 0,507F AC - 0,6 FCB = 0 ECUACION 3 0,7998 F CB - 0,8614 F AC = 0 ECUACION 4 DX - FCD = 0 ECUACION 5 DESPEJAMOS F en la ecuación 2 0,8614 F AC - F - 0,6 0,6 FAB = 0 ECUACION 2

F

FAC

B BX

FCB

FDB

4m FDB DX

D

FAC

FCB

FCD FCD

C

3m

0,8614 F AC - 0,6 F AB = F ECUACION 6

23

Resolver la ecuación 1 0,507 F AC - 0,8 FAB = 0 0,507 F AC = 0,8 F AB Despejando

FAC =

0,8 0,507

F AC

FAB = 1,577 FAB

FAC = 1,577 FAB Reemplazar  FAC en la ecuación 6 0,8614 F AC - 0,6 F AB = F ECUACION 6 0,8614 (1,577 FAB ) - 0,6 FAB = F 1,3592 FAB - 0,6 FAB = F 0,7592 FAB = F Despejando

FAB =

F AB

1

F = 1,317 F

0,7592

FAB = 1,317 F Reemplazar  FAB en la ecuación 6 0,8614 F AC - 0,6 F AB = F ECUACION 6 0,8614 F AC - 0,6 (1,317 F) = F 0,8614 F AC - 0,79 F = F 0,8614 F AC = F + 0,79 F 0,8614 F AC = 1,79 F

FAC =

1,79

F = 2,078 F

0,8614

FAC = 2,078 F Reemplazar F AC en la ecuación 4 0,7998 F CB - 0,8614 F AC = 0 ECUACION 4 0,7998 F CB - 0,8614 ( 2,078 F) = 0 0,7998 F CB - 1,79 F = 0 0,7998 F CB = 1,79 F

FCB =

1,79 0,7998

F = 2,238 F

FCB = 2,238 F

FAB = 1,317 F FAC = 2,078 F FCB = 2,238 F FCD = 2,395 F FDB = 0

Reemplazar F AC y FCB en la ecuación 3

24

FCD – 0,507F AC - 0,6 FCB = 0 ECUACION 3 FCD – 0,507 ( 2,078 F ) - 0,6 (2,238 F) = 0 FCD – 1,053 F

- 1,342 F = 0

FCD = 1,053 F

+ 1,342 F

FCD = 2,395 F LA ESTRUCTURA MAS CRITICA ES F CD

2,395 F = 20 F=

20

= 8,35 KN

2,395 F = 8,35 KN

Problema 6.1 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. A

A

4m

1,92 N

1,92 N

B

C

B

BY 3m

A

la reacción en B? Σ FY = 0

1,92 ( 3) - CY (4,5) = 0

5,76 - CY (4,5 ) = 0

4m

BY – 1,92 - CY = 0

1,92 N

CY (4,5 ) = 5,76 5,76 CY = = 1,28 N 4,5

C Y = 1,28 N

CY

4,5 m

Σ MB = 0

+

C

C

B BY 3m

CY

BY – 1,92 – 1,28 = 0

B Y = 3,2 Newton

4,5 m

25

Nudo B FAB FAB B

4

BY = 3,2 N

FBC

BY

4

=

16 4

BY

FBC

B

Hallar FBC FBC 3,2 = 3 4 (3) 3,2 9,6 FBC = = = 2,4 N 4 4

Hallar FAB FAB 3,2 = 5 4

(5) 3,2

B

3

FAB FBC 3,2 = = 5 3 4

FAB =

5

FBc = 2,4 Newton (compresión)

=4N

FAB = 4 Newton(compresión) Newton(compresión) FCA

FCA (Y)

Nudo C C 8,5

α

CY

8,5

4

C

FCA (X)

x

FCA

4 7,5

7,5

FBC

C CY

cos α  =

sen α  =

7,5

4

∑ FX = 0

8,5

FBC – FCA (X) = 0

8,5

FCA (X) = cos α (FCA) FCA (X ) =

7,5 8,5

FCA

FCA (Y) = sen α (FCA) FCA (Y ) =

4 8,5

FBC FCA

7,5

FBC = 2,4 =

FCA = 0

8,5 7,5 8,5

7,5 8,5

FCA =

FCA

FCA

(2,4) 8,5 7,5

=

20,4 7,5

= 2,72 Newton

FCA = 2,72 Newton (tracción)

26

Problema 6.1 Beer edic 8 Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza presente en cada elemento de las armaduras. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión.

800 lb B

A

AY AX

FAC

4 pies 4 pies

800 lb

7,5 pies

FAB

FAB tensión

A

B

FCB

tensión compresión

C 7,5 pies

FAC

Σ MA = 0

CX

FCB C

CX ( 4) - 800 (7,5) = 0

+

∑Fx= 0

4 CX - 6000 = 0 CX – AX = 0 4 CX = 6000 6000 CX = = 1500 lb 4

CX = AX AX = 1500 lb.

CX = 1500 lb.

Nudo B AY

FBA B

AX

800 lb

FBA B

A

800 lb

FBA FBC

4 pies

FBC

FBA CX

C

FBC 7,5 pies

FBA 800 FBC = = 7,5 4 8,5 FBA F = 200 = BC 7,5 8,5

7,5 4

FBC

8,5

Hallar FBC

Hallar FBA

F 200 = BC 8,5

FBA = 200 7,5

FBC = 8,5 (200)

FBA = 1500 N (tensión)

800 lb

FBC = 1700 N (compresión)

27

NUDO C AY

FCA

FBA B

A FBA

800 lb

AX

FCA

FBC CX

4 pies

CX

C

FCA

7,5 4

CX

FBC

FBC

FCA C

FBC 7,5 pies

8,5

FCA CX FBC = = 4 7,5 8,5

Pero: FBC = 1700 N (compresión)

FBC = 1700 N (compresión) FBA = 1500 N (tensión) FCA = 200 (4) = 800 N (tensión)

FCA CX 1700 = = 4 7,5 8,5 FCA CX = = 200 4 7,5

Hallar FcA FCA = 200 4

FCA = 200 (4) = 800 N (tensión)

28

Problema 6.2 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. 0,75 m A 0,4 m B 1,4 m 2,8 KN

0,7 0,75 m

AY AX

FAC

C

FAB tensión

A

FAB

Σ MA = 0

+

tensión

1,4 m

CX ( 1,4) = 2,8 (0,75) 1,4 CX = 2,1 2,1 CX = = 1,5 N 1,4

CX = 1,5 KNewton

B

FCB

CX ( 1,4) - 2,8 (0,75) = 0

0,4 m

2,8 KN

compresión FAC CX

∑FY= 0 AY – 2,8 = 0

FCB C

A Y = 2,8 KNewton

Σ MC = 0

+

- AX ( 1,4) - 2,8 (0,75) = 0

-1,4 AX = 2,1 2,1 AX = = - 1,5 N 1,4

0,75 0,75 m

AY

- AX ( 1,4) = 2,8 (0,75)

AX

A

0,4 m B

AX = - 1,5 KNewton (significa que la fuerza A X esta direccionada hacia la izquierda)

1,4 m 2,8 N

Σ MC = 0

+

AX ( 1,4) - 2,8 (0,75) = 0

AX ( 1,4) = 2,8 (0,75) CX

C

1,4 AX = 2,1 2,1 AX = = 1,5 N 1,4

29

AX = 1,5 KNewton Nudo A AY

AY A

AX AX

A

A

FAB

0,85

0,4

FAB (Y)

0,75

0,75

FAC

cos α  =

FAB

FAB α

FAB (X)

FAC

0,75

AY

0,85

sen α  =

A

FAB (X) = cos α (FAB) FAB (X ) =

0,85

0,4

FAB

AX

FAC

0,75

0,85

FAB (Y) = sen α (FAB)

FAB

0,85

0,4

FAB (Y ) =

∑ FX = 0 - AX + FAB (X) = 0 0,75 - AX + FAB = 0 0,85 0,75 AX = FAB 0,85 FAB =

0,85

FAB =

0,85

0,75 0,75

AX

0,85

FAB

∑FY= 0

FAC

AX

0,4

AY

FAB

(1,5)

AY – FAC – FAB (Y) = 0 0,4 A Y - FAC − FAB = 0 0,85 0,4 (1,7) = 0 2,8 - FAC − 0,85 2,8 − 0,8 = FAC

FAC = 2 KNewton (Tracción)

FAB = 1,7 KNewton (tracción) Nudo C FAC

sen α  =

FCB

CX CX

C

FAC

FCB

1 1,25

FCB (Y) = sen α (FCB)

cos α  =

0,75 1,25

FCB (X) = sen α (FCB)

1,25

FCB

0,75

1

FCB (Y)

α

⎛  1  ⎞ ⎟ FCB ⎝ 1,25 ⎠

FCB (Y ) = ⎜

F ⎛ 0,75 ⎞ CB(X ) = ⎜⎜ ⎟⎟ FCB ⎝ 1,25 ⎠

FCB (X)

C

30

∑ FX = 0

0,75 m

AY

CX - FCB (X) = 0

AX

A

0,4 m

CX = FCB (X) CX =

0,75 1,25

FCB =

B

FCB

1,25

FAC

CX

0,75

CX

1,25

0,75 2,8 N

1m

FCB

CX = 1,5 KNewton FCB =

1,4 m 1

FAC

C

(1,5) = 2,5 KN

0,75

FCB C

CX

FCB = 2,5 KNewton (compresión) Problema 6.2 beer edic 8

Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza presente en cada elemento de las armaduras. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión. 4,2 KN 4,2 KN

B

B

FBC FBC

FBA

1,5 m

1,5 m

C

4m

C

4m

FBA

CY

3m

A A

AX

4m

Σ MA = 0

+

CY ( 4 + 2) - 4,2 (4) = 0

6 CY = 16,8

16,8 6

4m

2m

2m

∑ FY = 0

CY ( 6) - 16,8 16,8 = 0

CY =

BY

= 2.8 KN

C Y = 2,8 KN

BY + CY – 4,2 = 0 Pero: CY = 2,8 KN BY + 2,8 – 4,2 = 0 BY – 1,4 = 0

B Y = 1,4 kN

31

Nudo B

4,2 KN

B

FBC 1,5 m

FBC

FBA

4,2 KN

FBA

FBC

B

C

4m

4,2 KN

3m

CY

FBC

FBA

A

FBA

AX 4m

BY

cos α  =

cos α  =

2 2,5

= 0,8

FBC(X )

2m

1,5

sen α  =

= 0,6 2,5 FBC(Y )

sen α  =

FBC

FBC

FBC (X) = cos α (FBC)

FBC (Y) = sen α (FBC)

FBC (X ) = (0,8) FBC

FBC (Y ) = (0,6 ) FBC

FBC(X)

FBC(Y)

1,5

2,5

α 2

cos θ  =

cos θ  =

4 5,65

= 0,7079

FBA(X ) FBA

sen θ  = sen θ  =

FBA FBA(Y)

FBA

FBA (X) = cos Ө (FBA)

FBA (Y) = sen Ө (FBA)

FBA (X ) = (0,7079 ) FBA

FBA (Y ) = (0,7079 ) FBA

α Ө

4

= 0,7079 5,65 FBA(Y )

FBC

5,65 Ө 4 Ө

4,2 KN 4

FBA(X)

∑ FY = 0 ∑ FX = 0 FBC(Y) + FBA (Y) – 4,2 = 0 FBA(X) – FBC (X) = 0 FBC(Y) + FBA (Y) = 4,2 0,6 FBC + 0,7079 F BA = 4,2

(Ecuación 2)

0,7079 FBA - (0,8) FBC = 0 (Ecuación 1)

Resolver las ecuaciones

32

0,7079 F BA - 0,8 FBC = 0 (-1) Reemplazando en la ecuación 1

0,6 FBC + 0,7079 F BA = 4,2

0,7079 F BA - 0,8 FBC = 0

- 0,7079 F BA + 0,8 F BC = 0

Pero: FBC = 3 KN

0,6 FBC + 0,7079 F BA = 4,2

0,7079 F BA - 0,8 (3) = 0

0,8 FBC + 0,6 F BC = 4,2

0,7079 F BA – 2,4 = 0

1,4 FBC = 4,2

FBC =

4,2 1,4

0,7079 F BA = 2,4

= 3 KN

FBA =

FBC = 3 KN (compresión)

2,4

= 3,39 KN

0,7079

FBC = 3,39 KN (compresión)

NUDO C FBC

4,2 KN

B

FBC FBC

FBA

FBC(X)

C 1,5 m

FCA

CY

FBC(Y)

1,5

FCA

FBA

A

CY

α

FBC

2

C

4m

2,5

3m

α β

FCA(Y)

FCA

FCA

6,7 β

AX

FCA(X) 4m

BY

cos α  =

2 2,5

= 0,8

2m

cos α  =

FBC(X ) FBC

sen α  = sen α  =

1,5

= 0,6

3 6 CY

2,5 FBC(Y ) FBC

FBC (X) = cos α (FBC)

FBC (Y) = sen α (FBC)

FBC (X ) = (0,8) FBC

FBC (Y ) = (0,6 ) FBC

33

6

cos β  =

6,7

= 0,8955

cos α  =

FCA(X )

sen  β  =

FCA

FCA (X) = cos β (FCA)

sen  β  =

FCA (X ) = (0,8955) FCA

3

= 0,4477 6,7 FCA(Y ) FCA

FCA (Y) = sen β (FCA)

FCA (Y ) = (0,4477 ) FCA ∑ FX = 0 FBC(X) – FCA (X) = 0

(0,8) FBC - (0,8955 ) FCA = 0 (Ecuación 1) PERO:

FBC = 3 KN (compresión)

(0,8) FBC - (0,8955 ) FCA = 0 (0,8) (3) - (0,8955 ) FCA = 0 2,4 - (0,8955 ) FCA = 0

FBC = 3,39 KN (compresión) FBC = 3 KN (compresión)

0,8955 F CA = 2,4

FCA =

2,4 0,8955

FCA = 3 KN (tension)

= 2,68 KN

FCA = 3 KN (tension) Problema 6.3 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. 945 lb

∑ FX = 0 BX = 0 Σ MB = 0

+

A

CY ( 12 + 3,75) - 945 (12) = 0 9 pies

CY (15,75) - 945 (12) = 0 CY (15,75) = 945 (12)

B

C

15,75 C Y = 11340 12 pies

CY =

11340 15,75

= 720 lb

3,75 pies

34

C Y = 720 lb Σ MC = 0

945 lb

945 (3,75) - B Y ( 12+ 3,75) = 0

+

A

FBA

945 (3,75) = B Y ( 15,75)

FCA

945 lb

3543,75 = 15,75 B Y

A BY =

3543,75 15,75

= 225 lb

B

BX

FCA

FBA

B Y = 225 lb.

C

FBC

FBC

9 pies

CY

BY

B

BX BY

C CY

12 pies

3,75 pies

NUDO B sen α  =

9 15

FBA (X) = sen α (FBA) F ⎛  9  ⎞ BA(X ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝ 15 ⎠

FBA FBC B Y = = 15 12 9 FBA FBC 225 = = 15 12 9

Hallar FBA FBA 225 = 15 9 (15) 225 FBA = = 375 lb. 9

cos α  =

12

FBA

15

FBA (Y) = sen α (FBA) F ⎛ 12 ⎞ BA(Y ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝ 15 ⎠

BY

FBA BX

B

FBC

BX

FBC BY

Hallar FBC FBC 225 = 12 9 FBC =

(12) 225 9

= 300 lb.

FBC = 300 lb. (tracción)

FBA = 375 lb. (compresión)

35

Nudo C FCA (X)

FCA FBC

3,75 9,75

C FCA

FBC

CY

9

FCA (Y)

FCA

FCA

CY

FBC

C CY

FCA FBC C Y = = 9,75 3,75 9 FCA FBC = 9,75 3,75

C Y = 720 lb

Hallar FCA

FBC = 300 lb. (tracción)

FCA =

(9,75)300 3,75

B Y = 225 lb. FBA = 375 lb. (compresión)

= 780 lb

FCA = 780 lb. (compresión)

FCA = 780 lb. (compresión) Problema 6.3 Beer edic 8 Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza presente en cada elemento de las armaduras. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión. 450 lb

450 lb B

A

AX

AY

FBA

FBA tensión

A 10 pies

FCA

B

FBC

compresión

C

FCA

FBC

10 pies

compresión

C 24 pies

7,5 pie

CY 7,5 pie

24 pies

Σ MA = 0

+

CY ( 7,5) - 450 (7,5 + 24) = 0

7,5 CY - 450 (31,5 ) = 0 7,5 CY - 14175 = 0 7,5 CY = 14175

CY =

14175 7.5

= 1890 lb

C Y = 1890 lb. 36

NUDO B AY AX

A A

450 lb

FBA

FBA

B

FBC 26

FBC

10

10 pies β

FBC

C

450 lb

24

FBA

CY

FBC 450 FBA = = 26 10 24

24 pies

7,5 pie

Hallar FBA

Cancelando términos semejantes

F 90 = BA 12

FBC 450 FBA = = 13 5 12

FBA = 90 (12) = 1080 lb (tensión)

FBC F = 90 = BA 13 12 AY

Hallar FBC

AX

FBC = 90 13

FCA

FBC = 90 (13) = 1170 lb (compresión) NUDO C

450 lb

FBA

FBA

A

B

FBC

FCA FBC

C

FCA

10 pies

CY

FBC

C

24 pies

7,5 pie

CY

cos α  = cos α  =

7,5

= 0,6 12,5 FCA (X )

sen α  =

10 12,5

= 0,8

FCA (Y )

FCA FCA (X) = cos α (FCA)

sen α  =

FCA (X ) = (0,6) FCA

FCA (Y) = sen α (FCA)

FCA(X)

FCA

FCA (Y ) = (0,8) FCA

FCA(Y)

FBC(X)

10 12,5

FCA

7,5

α

FBC β

26

10 FBC(Y)

24

CY

37

cos  β  = cos α  =

24

= 0,923 26 FBC(X )

sen  β  =

10 26

= 0,3846

FBC FBC (X) = cos α (FBC)

sen  β  =

FBC (X ) = (0,923) FBC

FBC (Y) = sen β (FBC)

FBC(Y ) FBC

FBC (Y ) = (0,3846 ) FBC ∑ FY = 0 CY - FCA(Y) - FBC (Y) = 0 ∑ FX = 0 Pero: CY = 1890 lb. FCA (X) - FBC(X) = 0 1890 - F CA(Y) - FBC (Y) = 0

(0,6) FCA - (0,923) FBC = 0 (Ecuación 1)

FCA(Y) + FBC (Y) = 1890 0,8 FCA + 0,3846 F BC = 1890

(Ecuación 2)

Resolver las ecuaciones 0,6 FCA - 0,923 F BC = 0 (0,3846) 0,8 FCA + 0,3846 F BC = 1890 (0,923)

FBA = 90 (12) = 1080 lb (tensión)

0,23 F CA - 0,354 F BC = 0

FBC = 90 (13) = 1170 lb (compresión)

0,7384 F CA + 0,354 FBC = 1744,47

FCA = 1801,39 KN (compresión)

0,23 F CA + 0,7384 F CA = 1744,47 0,9684 F CA = 1744,47

FCA =

1744,47 0,9684

= 1801,39 KN

FCA = 1801,39 KN (compresión)

38

Problema 6.4 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. 10,8 Kips

A

10,8 Kips 35 pies

22,5 pies

C

B 12 pies

D ∑ FX = 0

AX = 0

Σ MA = 0

+

D (22,5) - 10,8 (22,5) -10,8 (22,5 + 35) = 0

D (22,5) - 10,8 (22,5) -10,8 (57,5) = 0

A

D=

864 22,5

B

FAB

22,5 D - 243 - 621 = 0 22,5 D = 864

10,8 Kips

10,8 Kips

FBC

FBC

C

FAB

FAD

FBD

AY

= 38,4 Kips

D

D = 38,4 Kips

D

Σ MC = 0

+

AY (22,5 + 35) + 10,8 (35) – D (35) = 0

AY (57,5) + 10,8 (35) – (38,4) (35) = 0 57,5 AY + 378 – 1344 = 0 10,8 Kips

57,5 AY = 966 966 AY = = 16,8 Kips 57,5

A Y = 16,8 Kips

A

10,8 Kips 35 pies

22,5 pies

C

B

AX AY

12 pies

D D

39

Nudo A A FAB AY

FAD FAD(Y)

FAD FAB A Y = = 25,5 22,5 12

12

AY

25,5

A Y = 16,8 Kips

FAD

FAD(X)

FAB

FAD FAB 16,8 = = 25,5 22,5 12

25,5 22,5

FAD

22,5

12

A

FAB FAD

Hallar FAB

AY

FAB 16,8 = 22,5 12 FAB =

(22,5)16,8 12

= 31,5 Kips

Hallar FAD FAD 16,8 = 25,5 12

FAB = 35,7 Kips (tensión)

FAD =

(25,5)16,8 12

= 35,7 Kips

FAD = 35,7 Kips (compresión)

Nudo B 10,8 Kips

FAB

B

FAB

10,8 Kips

FBC

B

FBD

10,8 Kips

FAB

FBC FBD

FBC FBD

∑ FX = 0

∑ FY = 0

FBC – FAB = 0

FBD – 10,8 = 0

FAB = 35,7 Kips

FBD = 10,8 Kips (compresión)

FBC = FAB

FBC = 35,7 Kips (tensión)

40

Nudo C 10,8 Kips

10,8 Kips

C

FBC

FCD

37 35

12

FCD

FBC

FCD

FCD FBC 10,8 = = 37 35 12

C

FBC

10,8 Kips

AX = 0 D = 38,4 Kips A Y = 16,8 Kips

Hallar FCD FCD 10,8 = 37 12 (37 )10,8 FCD = = 33,3 Kips 12

FCD = 33,3 Kips (compresión)

FAB = 35,7 Kips (tensión) FAD = 35,7 Kips (compresión) FBC = 35,7 Kips (tensión) FBD = 10,8 Kips (compresión) FCD = 33,3 Kips (compresión)

Problema 6.1 Estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P 1 = 800 lb. y P 2 = 400 lb. AY

6 pies

8 pies

A

TCA

AX

TCA TBC

TBA

CY

tensión

tensión

TBA P2 = 400 lb

- 400 (8) - 800 (6) (6) + CY (6 + 8) = 0

- 400 (8) - 800 (6) (6) + CY (14) = 0 - 3200 - 4800 + C Y (14) = 0

8 pies

TBC

B

P1 = 800 lb

Σ MA = 0

+

C

∑ FX = 0 AX – 400 = 0

AX = 400 lb.

41

- 8000 + CY (14) = 0 CY (14) = 8000

CY =

8000 14

= 571,42 lb

C Y = 571,42 lb Σ MC = 0 - AY (6 + 8) - 400 (8) + 800 (8) = 0

+

- AY (14) - 400 (8) + 800 (8) = 0 - 14 AY - 3200 = 0 14 AY = 3200

AY =

3200 14

= 228,57 lb

A Y = 228,57 lb NUDO B TBC

TBA (X) TBC

TBA

8

TBA

TBA (Y)

8 2

P2 = 400 lb

P2 = 400 lb

8

8

α

B

P2 = 400 lb

10 TBA 6

TBC TBC (Y) (Y)

TBC (X)

P1 = 800 lb P1 = 800 lb

sen α  =

cos α  =

sen α  =

8 10 6 10

=

=

4 5 3 5

TBA(Y ) TBA ⎛ 4 ⎞

sen  β  =

cos β  =

8

=

8 2 8 8 2

=

P1 = 800 lb

2 2 2 2

⇒ TBA(Y )= senα  (TBA )

TBA(Y )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝ 5 ⎠

42

cos α  =

TBA(X ) TBA ⎛ 3 ⎞

⇒ TBA(X )= cosα  (TBA )

TBA(X )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝ 5 ⎠

sen  β  =

⇒ TBC(Y )= sen β  (TBC )

⎛  2  ⎞ ⎟ (TBC ) ⎟ ⎝  2  ⎠

- 400 + TBC (X) - TBA (X) = 0

cos β  =

TBC (X) - TBA (X) = 400

(TBC ) -

2

TBC

TBC(Y )= ⎜⎜

∑ FX = 0

2

TBC(Y )

3 5

TBC(X ) TBC

⇒ TBC(X )= cosβ  (TBC )

⎛  2  ⎞ ⎟ (TBC ) ⎟ ⎝  2  ⎠

TBA = 400 (Ecuación 1)

TBC(X )= ⎜⎜

∑ FY = 0 - 800 + TBC (Y) + TBA (Y) = 0 TBC (Y) + TBA (Y) = 800

2

4

(TBC ) +

2

5

TBA = 800 (Ecuación 2)

resolver ecuación 1 y ecuación 2

2

(TBC ) -

2 2

(TBC ) +

2

3

TBA = 400 ( -1)

5 4 5

TBA = 800

Reemplazando en la ecuación 1

2 2 2 2

-

2 2 2 2

(TBC ) + (TBC ) +

3 5 4 5

TBA = - 400 TBA = 800

2 2 2 2

7 5

TBA = 400

TBA =

(400)5 7

TBA = 285,71 lb. (Tensión)

(TBC ) -

3 5 3

TBA = 400 (Ecuación 1)

(TBC ) - (285,71) = 400 5

(TBC ) - 171,42 = 400 (TBC ) = 571,42 ⎛  2  ⎞ ⎟571,42 ⎝  2  ⎠

TBC = ⎜

TBC = 808,12 lb. (Tensión)

43

NUDO C C

TCA

TBC

8 2 TBC

CY

8

8

CY

TCA

Las ecuaciones de equilibrio para el nudo C son:

TCA TBC C Y = = 8 8 8 2 Hallar TCA

TCA TBC = 8 8 2 Pero: TBC = 808,12 lb.

TCA 808,12 = 8 8 2 TCA =

808,12 2

= 571,42 lb

TCA = 571,42 lb (Compresión) Problema 6.2 Estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P 1 = 500 lb. y P 2 = 100 lb. AY

6 pies

8 pies

A

TCA

AX

TCA TBC

TBA

CY

tensión

tensión

TBA P2 = 100 lb

Σ MA = 0

C

8 pies

TBC

B

P1 = 500 lb

44

- 100 (8) - 500 (6) (6) + CY (6 + 8) = 0

+

- 100 (8) - 500 (6) (6) + CY (14) = 0

∑ FX = 0

- 800 - 3000 + C Y (14) = 0

AX – 400 = 0

- 3800 + CY (14) = 0

AX = 400 lb.

CY (14) = 3800

CY =

3800 14

= 271,42 lb

C Y = 271,42 lb Σ MC = 0 - AY (6 + 8) - 100 (8) + 500 (8) = 0

+

- AY (14) - 100 (8) + 500 (8) = 0 - AY (14) - 800 + 4000 = 0 - 14 AY + 3200 = 0 14 AY = 3200

AY =

3200 14

= 228,57 lb TBA (X)

A Y = 228,57 lb

8

NUDO B

TBA (Y)

TBC

10 TBA 6

8 2 8

α

TBC TBC

TBA

8

TBC (Y) (Y)

TBC (X)

P2 = 400 100 lb

TBA P1 = 800 500 lb

B

P2 = 100 lb

P2 = 100 lb P1 = 500 lb P1 = 500 lb

sen α  =

cos α  =

8 10 6 10

=

=

sen  β  =

4 5 3

cos β  =

8

=

8 2 8 8 2

=

2 2 2 2

5

45

sen α  =

TBA(Y ) TBA ⎛ 4 ⎞

⇒ TBA(Y )= senα  (TBA )

TBA(Y )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝ 5 ⎠ cos α  =

TBA(X ) TBA ⎛ 3 ⎞

⇒ TBA(X )= cosα  (TBA )

TBA(X )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝ 5 ⎠

sen  β  =

∑ FX = 0 - 100 + TBC (X) - TBA (X) = 0

(TBC ) -

2

3 5

TBC

⇒ TBC(Y )= sen β  (TBC )

⎛  2  ⎞ ⎟ (TBC ) ⎟ ⎝  2  ⎠

TBC(Y )= ⎜⎜

TBC (X) - TBA (X) = 100

2

TBC(Y )

cos β  = TBA = 100 (Ecuación 1)

TBC(X ) TBC

⇒ TBC(X )= cosβ  (TBC )

⎛  2  ⎞ ⎟ (TBC ) ⎟ ⎝  2  ⎠

TBC(X )= ⎜⎜

∑ FY = 0 - 500 + TBC (Y) + TBA (Y) = 0 TBC (Y) + TBA (Y) = 500

2

4

(TBC ) +

2

5

TBA = 500 (Ecuación 2)

resolver ecuación 1 y ecuación 2

2

(TBC ) -

2 2

2 2 2 2 7 5

5

(TBC ) +

2 -

3

4 5

(TBC ) + (TBC ) +

TBA = 100 ( -1) TBA = 500

3 5 4 5

TBA = 400

Reemplazando en la ecuación 1

2 2 2 2 2 2 2

(TBC ) -

3 5 3

TBA = 100 (Ecuación 1)

(TBC ) - (285,71) = 100 5

(TBC ) - 171,42 = 100 (TBC ) = 271,42

TBA = - 100

2

TBA = 500

TBC = ⎜

⎛  2  ⎞ ⎟271,42 2 ⎝   ⎠

TBC = 383,84 lb. (Tensión)

46

(400)5

TBA =

7

TBA = 285,71 lb. (Tensión) NUDO C Las ecuaciones de equilibrio para el nudo C son:

TCA TBC C Y = = 8 8 8 2

C

TCA

TBC

8 2 TBC

Hallar TCA

8

8

CY

TCA TBC = 8 8 2

CY

TCA

Pero: TBC = 383,84 lb.

TBA = 285,71 lb. (Tensión)

TCA 383,84 = 8 8 2

TBC = 383,84 lb. (Tensión) TCA = 271,42 lb (Compresión)

TCA =

383,84 2

= 271,42 lb

TCA = 271,42 lb (Compresión) Problema 6.3 Estática Hibbeler edic 10 La armadura, usada para soportar un balcón, esta sometida a la carga mostrada. Aproxime cada nudo como un pasador y determine la fuerza en cada miembro. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P 1 = 600 lb P 2 = 400 lb. P2 = 400 lb

P1 = 600 lb

A

B

FAB FAD

FBC

FBC

C

CY CX

FAB FDC

FBD

4 pies FBD FDC

FAD

D 4 pies

FED

E FED

EX EY = 0

4 pies

Σ MC = 0

+

P1 (4 + 4) + P 2 (4) – EX (4) = 0

47

600 (4 + 4) + 400 (4) – E X (4) = 0 P2 = 400 lb

P1 = 600 lb

600 (8) + 400 (4) – 4 E X = 0 4800 + 1600 – 4 E X = 0

A

B

FAB

6400 – 4 E X = 0

FAD

FBC

FBC

C

CY CX

FAB FBD

FDC

4 EX = 6400 4 pies

EX =

6400 4

FBD

= 1600 lb

FDC

FAD

EX = 1600 lb

D

FED

4 pies

NUDO A

E FED

EX EY = 0

4 pies

P1 = 600 lb

A

FAB

FAB 4

FAD

4 2

Las ecuaciones de equilibrio para el nudo A son:

4

P1 = 600 lb

FAD

FAB FAD 600 = = 4 4 4 2 Cancelar términos semejantes

F FAB = AD = 600 2 Hallar FAB

FAB = 600 lb

Hallar FAD

FAD = 600 2 FAD =

( 2 ) 600 = 848,52 lb

FAD = 848,52 lb (compresión)

FAB = 600 lb (Tension)

48

NUDO E

FED

P2 = 400 lb

P1 = 600 lb

E

EX

A

EY = 0

Σ FX = 0 FED - EX = 0

B

FAB

FBC

C

CY CX

FAB

FAD

FED = EX

FBC

FBD

FDC

4 pies FBD

PERO: EX = 1600 lb

FED = 1600 lb (compresión)

D

Σ FY = 0

E

FDC

FAD

FED

FED

4 pies

4 pies

P1 = 600 lb

P2 = 400 lb

EX EY = 0

E Y = 0

NUDO B P2 = 400 lb FAB

B

FBC P2 = 400 lb

FAB FBD

Σ FX = 0 FBC - FAB = 0

FBD

A

FBC

B

FAB FAD

FBC

FBC

C

CY CX

FAB FBD

FDC

4 pies FBD

FBC = FAB

FDC

FAD

D

PERO: FAB = 600 lb (Tensión)

4 pies

FED

E FED

EX EY = 0

4 pies

FBC = 600 lb (Tensión) Σ FY = 0 FBD - 400 = 0

FBD = 400 lb (compresión) Σ FY = 0 CY - 600 - 400 = 0

Σ FX = 0 CX - EX = 0 CX = EX

PERO: EX = 1600 lb

CX = 1600 lb

CY - 1000 = 0

C Y = 1000 lb.

49

NUDO C P2 = 400 lb

P1 = 600 lb

Σ FY = 0 FBC

CY – FDC(Y) = 0

C

A

CY CX

CY = FDC(Y)

B

FAB FAD

FBC

CX FBD

FBD

sen α  =

1

4 2

2

D

= 0,7071

FDC(Y )

FDC =

FDC(Y ) senα  1000 0,7071

= 1414,22 lb

FDC = 1414,22 lb (tensión)

FED

EX EY = 0

4 pies

FDC 4

FDC (Y)

4

FDC =

FED

4 pies

4 2

FDC

E

FDC

FAD

=

FDC

4 pies

FDC(Y) = 1000 lb

4

CY

C

FAB

FDC

PERO: C Y = 1000 lb.

sen α  =

FBC

FDC (X)

FBC FDC

FDC (Y)

CY

CX

FBD = 400 lb (compresión) FBC = 600 lb (Tensión)

EX = 1600 lb

FAB = 600 lb (Tensión)

E Y = 0

FED = 1600 lb (compresión)

CX = 1600 lb

FAD = 848,52 lb (compresión)

C Y = 1000 lb.

FDC = 1414,22 lb (tensión)

50

Problema 6.4 Estática Hibbeler edic 10 La armadura, usada para soportar un balcón, esta sometida a la carga mostrada. Aproxime cada nudo como un pasador y determine la fuerza en cada miembro. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P 1 = 800 lb P 2 = 0 lb. FUERZA FUE RZA CER CERO O

P1 = 800 lb

A

B

FAB FAD

FBC

FBC

CY

C

CX

FAB FBD = 0

4 pies

FDC

FBD = 0

D

FED

4 pies

Σ MC = 0

E

FDC

FAD

FED

EX EY = 0

4 pies

P1 (4 + 4) – E X (4) = 0

+

800 (4 + 4) – E X (4) = 0 800 (8) – 4 E X = 0 6400 – 4 E X = 0 4 EX = 6400

EX =

6400 4

= 1600 lb

EX = 1600 lb

P1 = 800 lb

NUDO A

A

FAB P1 = 800 lb

A

4 FAB

4 2

4

B

FAB FAD

FBC

C

FBD = 0

4 pies

CY CX

FAB

P1 = 800 lb

FAD

FBC

FDC

FBD = 0

FAD

Las ecuaciones de equilibrio para el nudo A son:

FAB FAD 800 = = 4 4 4 2

FDC

FAD

D 4 pies

FED

E FED

EX EY = 0

4 pies

Cancelar términos semejantes

51

F FAB = AD = 800 2

Hallar FAD

FAD = 800 2

Hallar FAB

FAB = 800 lb

FAD =

FAB = 800 lb (Tensión)

FAD = 1131,37 lb (compresión)

NUDO E Σ FX = 0 FED - EX = 0 FED = EX

( 2 )800 = 1131,37 lb P1 = 800 lb

E FED

A

EX

FBC

C

FBC

CY CX

FAB

FAD

EY = 0

PERO: EX = 1600 lb

B

FAB

FBD = 0

4 pies

FDC

FBD = 0

FED = 1600 lb (compresión) Σ FY = 0

D

E Y = 0

E

FDC

FAD

FED

4 pies

FED

EX EY = 0

4 pies

NUDO B FUERZA CERO Si tres miembros forman un nudo de armadura en el cual dos de los miembros son colineales, el tercer  miembro es un miembro de fuerza cero siempre que ninguna fuerza exterior o reacción de soporte este aplicada al nudo. FUERZA CERO B FBC P1 = 800 lb Σ FX = 0 FBC - FAB = 0 FAB B C

FBC = FAB

FBD

A

FBC

FAB

FAD

FBC

C

Y

CX

FAB FBD = 0

FDC

Pero:

FAB = 800 lb (Tensión)

4 pies

FBD = 0

FBC = 800 lb (Tensión) Σ FY = 0

FBD = 0

FDC

FAD

D 4 pies

FED

E FED

EX EY = 0

4 pies

52

Σ FY = 0

Σ FX = 0

CY - 800 = 0

CX = EX

C Y = 800 lb.

PERO: EX = 1600 lb

CX - EX = 0

FDC

CX = 1600 lb

4 2

FDC

Σ FY = 0

C

FBC

CY – FDC(Y) = 0 FDC

PERO: C Y = 800 lb.

P1 = 800 lb

A

FDC = FDC =

B

FAB FAD

1

=

4 2 2 FDC(Y )

= 0,7071

0,7071

CX = 1600 lb

FBD = 0

C

CY

FDC

FBD = 0 FDC

D

FED

4 pies

E FED

EX EY = 0

4 pies

FBD = 0 lb

= 1131,38 lb

FBC = 800 lb (Tensión) FAB = 800 lb (Tensión)

FDC = 1131,38 lb (tensión) EX = 1600 lb

FBC

CX

FAD

FDC(Y )

800

FBC

FAB

4 pies

FDC

senα 

FDC (X)

CY

CX

FDC(Y) = 800 lb

4

FDC (Y)

CY CX

CY = FDC(Y)

sen α  =

FDC (Y)

4

NUDO C

sen α  =

4

FBC

E Y = 0

FED = 1600 lb (compresión) FAD = 1131,37 lb (compresión) FDC = 1131,38 lb (tensión)

C Y = 800 lb.

53

Problema c-34 estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. BY FUERZA CERO

FCB

B

BX

FAB

FCB

C

3 pies

FDC

FCA

FDC

D

FAB

FCA

FDA

FDA

A

AX

2 pies

2 pies 300 lb

NUDO D

FDC FDC

FDC 300 FDA = = 5 3 4 FDC F = 100 = DA 5 4

5

D

FDA

300 lb

3

4

FDA 300 lb

Hallar FDA FDA = 100 4

Hallar FCD FDC = 100 5

FDA = (4) 100 = 400 lb (compresión)

FDC = (5) 100 = 500 lb (Tensión) FUERZA CERO Si tres miembros forman un nudo de armadura en el cual dos de los miembros son colineales, el tercer  miembro es un miembro de fuerza cero siempre que ninguna fuerza exterior o reacción de soporte este aplicada al nudo. FUERZA CERO

FCA = 0 FCB

FDC = FCB Pero: FDC = 500 lb

C FDC

FCA = 0

FCB = 500 lb (Tensión)

54

NUDO A FCA = 0

FDA

FAB = 0

A

∑ FX = 0 FDA - AX = 0

FCA = 0

FAB = 0

BY

AX

FCB

AX

FDA

FCA = 0

B

BX

FCB

C

FAB = 0

∑ FY = 0

FCB = 500 lb (Tensión)

FAB = 0

FDA = (4) 100 = 400 lb

3 pies

FDC FDC

D

(compresión)

FDA

FDA

(Tensión)

AX

2 pies

2 pies

FDC = (5) 100 = 500 lb

A

300 lb

Problema C-35 estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en los miembros AE y DC. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. E

D

F

FAB

=0

FAE

FCD

3 pies FAF = 0

A AX = 0 AY

FAE

FCB = 0

FAB

FAB

B

FCD

C

FCB = 0

4 pies

4 pies

CY

800 lb

∑ FY = 0 AY – 800 + C Y = 0 Pero: CY = 400 lb AY – 800 + 400 = 0 AY – 400 = 0

A Y = 400 lb

55

Σ MA = 0 - 800 (4 ) + C Y (4 + 4) = 0

+

- 3200 + C Y (8) = 0 CY (8) = 3200

CY =

3200 8

= 400 lb

C Y = 400 lb ∑ FX = 0

AX = 0 NUDO C ∑ FY = 0

FCB = 0

FCD

C

CY – FCD = 0 CY

Pero: CY = 400 lb CY = FCD

FCD = 400 lb (compresión) ∑ FX = 0

E

F FAB

FCB = 0

=0

D

FAE

FCD

3 pies FAF = 0

A AX = 0 AY

FAE

FCB = 0

FAB

FAB

B

4 pies

FCD

C

FCB = 0 4 pies

CY

800 lb

56

NUDO A FAF = 0

FAE 5

FAE

A

4

FAB

AX = 0

AY

3

FAB

AY

E

F

FAE A Y FAB = = 5 3 4

Pero: A Y = 400 lb FAE 400 FAB = = 5 3 4

FAB

=0

FAE

FAF = 0

A AX = 0

FAE

FCD

FCB = 0

FAB

B

FAB

C

FCB = 0

4 pies

CY

4 pies 800 lb

Hallar FAE FAE 400 = 5 3 400(5)

=

FCD

3 pies

AY

F  AE 

D

Hallar FCD FAB 400 = 4 3

3

FAB = 533,33 lb (Tensión)

FAE = 666,66 lb (compresión) Problema 6.8 estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están a tensión o en compresión. Considere P 1 = 2 KN y P2 = 1,5 kN. AY

A AX

FBA FBA

B

Y  = 3,464

FCB

FBE FDB FBE FDB

E

EX CY

FDE

FDE

Y  = 1,732 F1DB

D

3m

FCD

FCB 0

30

C

FCD 3m

2 KN

1,5 KN

57

Σ ME = 0 - 2 (3) – 1,5 (3 + 3) + AX (3,464) = 0

+

- 6 – 1,5 (6) + 3,464 A X = 0 - 6 – 9 + 3,464 A X = 0 - 15 + 3,464 A X = 0 3,464 AX = 15

15

AX =

3,464

tg 30 =

Y 6

Y = 6 tg 30 = 6 (0,5773) = 3,464 m

= 4,33 kN

Y tg 30 = 1 3

AX = 500 N NUDO C

Y1 = 3 tg 30 = 3 (0,5773) = 1,732 m AY

FCB 0

30

C

FCD

A AX

1,5 KN

B FCB

FCB FDB

1,5 KN

Y 1

3,464

= 1,732

3m

EX

E

FCD

CY

FCB

FDB FDE

D

FDE

0

30

FCD

2 KN

C

FCD 1,5 KN

Las ecuaciones de equilibrio para la junta C son:

FCB F 1,5 = = CD 3,464 1,732 3

1,5 1,732

Hallar FCB

FCB 1,5 = 3,464 1,732

FCB =

Hallar FCD

1,5 (3,464 ) 1,732

F = CD

FCD =

3

1,5 (3) 1,732

= 2,598 kN

FCD = 2,598 kN (compresión)

= 3 kN

FCB = 3 kN (tensión) 58

NUDO D

FDB

FDE

FCD

D

AY

FDE FDB

2 KN

A

∑ FY = 0

2 KN

FCD

AX

∑ FX = 0

FDB - 2 = 0

FDE - FCD = 0

FDB = 2 kN (tensión)

B

FDE = FCD

FCB FDB

Pero: FCD = 2,598 kN (compresión)

FDE = 2,598 kN (compresión)

E

EX

FCB

FDB

CY

FDE

D

FDE

NUDO B

0

30

FCD

C

FCD

2 KN

FBA

B FBA(X)

FCB

FBE

AY

A

FBA

FBA(Y)

FDB

FBA

AX

1,5 KN

0

30

FBA

FBE(Y)

B

CY

FDE

FDE

D 2 KN

sen 30 =

FBA(Y ) FBA

FCB(X)

FCB

FDB

E

FCB(Y)

FDB

FDB

EX

FCB

FBE FBE(X)

FCB

FBE FBE

0

30

30

30

FCD

C

FCD 1,5 KN

Para abreviar los cálculos

sen 30 =

3 2

sen 60 =

1 2

FBA (Y) = FBA sen 30

⎛ 1 ⎞ FBA(Y ) = FBA ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 59

sen 30 =

FBE(Y )

cos 30 =

FBE

FBA(X ) FBA

FBE (Y) = FBE sen 30

FBA (X) = FBA cos 30

⎛ 1 ⎞ FBE(Y ) = FBE ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

FBA(X ) = FBA ⎜⎜

sen 30 =

⎛  3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝  2  ⎠

FCB(Y )

cos 30 =

FCB

FCB (Y) = FCB sen 30

⎛ 1 ⎞ FCB(Y ) = FCB ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

cos 30 =

FCB(X ) FCB

FCB (X) = FCB cos 30

⎛  3 ⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎝   ⎠

FCB(X ) = FCB ⎜⎜

FBE(X ) FBE

FBE (X) = FBE cos 30

⎛  3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝  2  ⎠

FBE(X ) = FBE ⎜⎜

∑ FY = 0 FBA (Y) + FBE (Y) - FCB (Y) - FDB = 0

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FBA + ⎜ ⎟FBE - ⎜ ⎟ FCB - FDB = 0 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Pero: FDB = 2 kN (tensión) FCB = 3 kN (tensión)

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟FBA + ⎜ ⎟FBE - ⎜ ⎟ (3) - 2 = 0 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟FBA + ⎜ ⎟ FBE = ⎜ ⎟ (3) + 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟FBA + ⎜ ⎟FBE = 1,5 + 2 = 3,5 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 0,5 FBA + 0,5 F BE = 3,5 dividiendo por 0,5 (para simplificar) simplifi car)

FBA + FBE = 7 (Ecuación 1) ∑ FX = 0 - FBA (X) + FBE (X) + FCB (X) = 0

⎛  3 ⎞ ⎛  3 ⎞ ⎛  3 ⎞ ⎟FBA + ⎜ ⎟FBE + ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ FCB = 0 2 ⎝   ⎠ ⎝   ⎠ ⎝   ⎠

- ⎜⎜

- FBA + FBE + FCB = 0

60

Pero: FCB = 3 kN (tensión) - FBA + FBE + 3 = 0 - FBA + FBE = - 3 (- 1)

FBA - FBE = 3 (Ecuación 2) Resolver la ecuación 1 y 2 FBA + FBE = 7 (Ecuación 1) FBA - FBE = 3

(Ecuación 2)

AX = 500 N FCB = 3 kN (tensión)

2 FBA = 10

FBA =

10 2

= 5 kN

FBA = 5 kN (tensión) Reemplazando en la ecuación 1

FBA + FBE = 7 (Ecuación 1) Pero: FBA = 5 kN (tensión)

FCD = 2,598 kN (compresión) FDE = 2,598 kN (compresión) FDB = 2 kN (tensión) FBA = 5 kN (tensión) FBE = 2 kN (compresión)

5 + FBE = 7 FBE = 7 - 5

FBE = 2 kN (compresión)

61

PROBLEMA RESUELTO ESTATICA MERIAM Edic 3. Calcular, por el método de los nudos, la fuerza en los miembros del entramado en voladizo

B

FBD

FBD

5m

FAB

FBC

FAB

A

D

5m

5m

FCD

FBC

FAC

FAC

C

5m 30 kN

FCE

E

5m 20 kN

B

TX

D

5m 0

60

TY

0

30 0

0

60

5m

60

EX

A

C 5m

30 kN

T

E 5m

EY

20 kN

Σ ME = 0

+

- T (5) + 30 (5 + 5) + 20 (5) = 0

- 5 T + 30 (10) + 20 (5) = 0 - 5 T + 300 + 100 = 0 - 5 T + 400 = 0 5 T = 400

62

T=

400 5

= 80 N

T = 80 N T sen 30 = Y T

T cos 30 = X T

TX = T cos 30

T Y = T sen 30

Pero: T = 80 N

Pero: T = 80 N

TX = 80 (0,866)

TY = 80 (0,5)

TX = 69,28 N

T = 40 40 N

∑FY = 0

∑FX = 0

TY + EY - 30 - 20 = 0

TX - EX = 0

TY + EY - 50 = 0

Pero: TX = 69,28 N

Pero: TY = 40 N

TX = EX

40 + EY - 50 = 0

EX = 69,28 N

EY - 10 = 0

E Y = 10 KN A continuación, dibujamos los diagramas de sólido libre que muestren las fuerzas actuantes en cada nudo. La exactitud de los sentidos asignados a las fuerzas se comprueba al considerar cada nudo en el orden asignado. No debe haber dudas acerca de la exactitud del sentido asignado a las fuerzas actuantes en el nudo A. El equilibrio exige

NUDO A

FAB

F FAB 30 = = AC 5 4,33 2,5

A

Hallar FAB

FAB 30 = 5 4,33 FAB =

(30) 5 4,33

FAB

FAC

5

4,33 2,5

30 kN

FAC

30 kN

Se halla FAC

30 4,33

F = AC

FAC =

= 34,64 KN

2,5 (30) 2,5 4,33

= 17,32 KN

FAC = 17,32 kN (compresion)

FAB = 34,64 kN (tensión)

63

NUDO B B FBD

FBD FBC

FAB

FBC FBC (Y)

FAB (Y) FAB

FBC(Y ) sen 60 = FBC FBC(Y) = FBC sen 60

⎛  3 ⎞ ⎟ FBC(Y ) = FBC ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝   ⎠ ⎛  3 ⎞ ⎟ FBC FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝   ⎠ sen 60 =

FAB(Y ) FAB

FAB(Y) = FAB sen 60

Para abreviar los cálculos

sen 60 =

3 2

cos 60 =

FAB(X ) FAB FAB(X) = FAB cos 60 ⎛ 1 ⎞ FAB(x ) = FAB⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ cos 60 =

⎛ 1 ⎞ FAB(x ) = ⎜ ⎟ FAB ⎝ 2 ⎠

1 2

60 FBC (X)

cos 60 =

60 FAB (X)

FBC(X ) FBC

FBC(X) = FBC cos 60

⎛ 1 ⎞ FBC(x ) = FBC ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ FBC(x ) = ⎜ ⎟ FBC ⎝ 2 ⎠

⎛  3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝  2  ⎠ 3 ⎞ ⎟ FAB 2  ⎠⎟

FAB(Y ) = FAB⎜⎜

⎛ 

FAB(Y ) = ⎜⎜

⎝ 

∑FY = 0 FBC(Y) - FAB(Y) = 0 FBC(Y) = FAB(Y)

⎛  3 ⎞ ⎛   ⎞ ⎜ ⎟ FBC = ⎜ 3 ⎟ FAB ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝  2  ⎠ ⎝  2  ⎠ FBC = FAB

PERO: FAB = 34,64 kN

FBC = 34,64 kN (compresión) ⎛ 1 ⎞ FAB(x ) = ⎜ ⎟ FAB ⎝ 2 ⎠ 64

PERO: FAB = 34,64 kN ⎛ 1 ⎞ FAB(x ) = ⎜ ⎟ (34,64) = 17,32 KN ⎝ 2 ⎠

⎛  3 ⎞ ⎟ FBC ⎟ ⎝  2  ⎠ PERO: FBC = 34,64 kN ⎛ 1 ⎞ FBC(x ) = ⎜ ⎟ (34,64) = 17,32 KN ⎝ 2 ⎠ FBC(x) = 17,32 KN FBC(x ) = ⎜ ⎜

FAB(x) = 17,32 KN ∑FX = 0 - FAB(x) - FBC(x) + FBD = 0

PERO: FAB(x) = 17,32 KN FBC(x) = 17,32 KN - FAB(x) - FBC(x) + FBD = 0 -17,32 – 17,32 + F BD = 0 - 34,64 + FBD = 0

B

FBD = 34,64 KN (tensión)

5m

5m

FBC

FCD

FED

5m

FCD

FBC

FAC

FAB

T

FBD

FBD

NUDO C

D

FAB

C

FCD

FBC

FED EX

FCE

A

FAC

FAC

FCE

C

5m

E

FCE 5m

EY

20 kN 30 kN

20 kN

FCD (X)

FBC (X)

PERO:

FAC = 17,32 kN (compresion) FBC = 34,64 kN (compresión) FBC(x) = 17,32 KN ⎛  3 ⎞ ⎟ FBC ⎟ 2 ⎝   ⎠ ⎛  3 ⎞ ⎟ (34,64) = 30 KN FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝   ⎠ FBC(Y) = 30 KN FBC(Y ) = ⎜ ⎜

FBC

FCD

FBC (Y)

FCD(Y)

0

60

60

FAC

FCE

20 kN

65

cos 60 = FCD(X)

FCD(X )

FCD = FCD cos 60

⎛ 1 ⎞ FCD(x ) = ⎜ ⎟ FCD ⎝ 2 ⎠ ∑FX = 0

sen 60 = FCD(Y)

FCD(Y )

FCD = FCD sen 60

⎛  3 ⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎝   ⎠ 3 ⎞ ⎟ FCD 2  ⎠⎟

FCD(Y ) = FCD ⎜⎜

⎛ 

FCD(Y ) = ⎜ ⎜

⎝ 

FCD(x) + FBC(x) + FAC – FCE = 0

PERO: FAC = 17,32 kN (compresión) FBC(x) = 17,32 KN

17,32 – FCE = 0 FCD(x) + 17,32 + 17,32 –

FCD(x) + 34,64 – FCE = 0 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FCD - FCE = - 34,64 (Ecuación 1) ⎝ 2 ⎠ ⎛  3 ⎞ ⎟ FCD(Y ) = ⎜ ⎜ 2 ⎟ FCD ⎝   ⎠ ⎛  2  ⎞ ⎟⎟ FCD(Y ) FCD = ⎜⎜ 3 ⎝   ⎠ PERO: FCD(Y) = 50 KN ⎛  2  ⎞ ⎟⎟ 50 = 57,73 KN FCD = ⎜⎜ ⎝  3 ⎠ FCD = 57,73 kN (Tensión)

∑FY = 0 - FBC(Y) + FCD(Y) – 20 = 0

PERO: FBC(Y) = 30 KN - 30 + FCD(Y) – 20 = 0 - 50 + FCD(Y) = 0

FCD(Y) = 50 KN

Reemplazar en la ecuación 1 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FCD - FCE = - 34,64 (Ecuación 1) ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ 57,73 - FCE = - 34,64 ⎝ 2 ⎠ 28,86 – F CE = - 34,64  – FCE = - 34,64 - 28,86  – FCE = - 63,5 (-1)

FCE = 63,5 KN (compresión) 66

NUDO E B

FED

5m

E

FCE

5m

FBC

FAB

T

FED

5m

FBD

FBD

EX

D

FCD

EY

FAB

FCD

FBC

FED

∑FY = 0

EX

A

EY - FED (Y) = 0

FAC

FAC

C

FCE

5m

FED (Y) = EY

PERO:

E

FCE 5m

EY

20 kN

30 kN

EY = 10 KN

FED (Y) = 10 KN sen 60 =

FED (X)

FED(Y ) FED

FED

FED (Y) = FED sen 60 FED =

FED(Y ) sen 60

=

10 0,866

FED (Y)

= 11,54 kN 60 EX

FCE

FED = 11,54 KN (compresión)

EY

T = 80 N

EX = 69,28 N

E Y = 10 KN

FAB = 34,64 kN (tensión)

FAC = 17,32 kN (compresión)

FBC = 34,64 kN (compresión)

FBD = 34,64 KN (tensión)

FCD = 57,73 kN (Tensión)

FCE = 63,5 KN (compresión)

FED = 11,54 KN (compresión)

67

Problema 4.1 Estática Meriam edición tres B

Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada

B

600N

600N 1,25 1,25 m

1,25 m

C

A AX

C

A

AY

B 3m

3m

CY

600N

FBA

FBC

Σ MA = 0 CY (3) – 600 (1,25) = 0

+

3 CY – 750 = 0

FBA

A

AX

FCA

3 CY = 750

CY =

750 3

FBC

C

FCA

CY

AY

= 250 N

C Y = 250 N Σ MC = 0 AY (3) – 600 (1,25) = 0

+

Σ FX = 0

3 AY – 750 = 0

600 – AX = 0

3 AY = 750

AY =

750 3

600 = AX

= 250 N

B

AX = 600 Newton

600N

FBA

A Y = 250 N

FBC

Nudo B B

B 600N

FBC

FBA

FBC FBA 600 = = 3,25 1,25 3 FBC FBA = = 200 3,25 1,25

FBA

A

AX

FCA

AY

FBC 1,25

FBA

FBC FCA

C CY

3,25

Hallar FBC 3

600N

FBC = 200 3,25 FBC = 200 (3,25)

FBC = 650 Newton (compresión)

68

Hallar FAB

FBA = 200 1,25 FAB = 200 (1,25)

FAB = 250 Newton (tracción) Nudo C FBC

B C

FCA

FBC

CY = 250 N

CY

1,25

600N

FBA

FBC

3,25 3

FBC C Y FCA = = 3,25 1,25 3

FCA

C

FBA

A

AX

FCA

FBC FCA

AY

C CY

FBC = 650 Newton (compresión) 650 3,25

=

CY 1,25

F = CA 3

Hallar FCA

650 FCA = 3,25 3 FCA =

(650) 3 3,25

FCA = 600 Newton (tracción)

C Y = 250 N AX = 600 Newton A Y = 250 N FAB = 250 Newton (tracción) FBC = 650 Newton (compresión) FCA = 600 Newton (tracción)

69

Problema 4.1 Estática Meriam edición cinco; Problema 4.2 Estática Meriam edición tres Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura simple equilátera

A Y AX A

1,73 1,732 2m

2m

B

2m

C

735,75 N

CX

Σ MA = 0 CX (2) - 735,75 ( 1,732) = 0

+

W=mxg

⎛  m  ⎞⎟ ⎜ = 735,75 Newton w = 75 kg 9,81 ⎜ 2⎟ seg ⎝   ⎠

CX (2) = 1274,31

CX =

2m

1274,31

= 637,15 N

2

W = 735,75 Newton

CX = 637,15 Newton ∑FX = 0

∑FY = 0

CX - AX = 0

AY – 735,75 = 0

CX = AX

A Y = 735,75 Newton

AX = 637,15 Newton Nudo B

FBA 367,87 = 2 1

FBA

D

B

1

0

30

367,87 N FBC 735,75 N

2

FBA

1,732

FBA = 2 X 367,87

FBA = 735,75 Newton

735,75 N 1,732 367,87 N

1

2

FBC

FBC 367,87 = 2 1 FBC = 2 X 367,87

FBC = 735,75 Newton

70

Nudo C FBC FCA C  = =  X  2 1 1,732

FBC = 735,75 Newton (compresión) 735,75 2 FCA =

F = CA

CX

FBC

FCA

1 735,75

0

CX

FCA

30

FBC

1,732

C

2

1

FCA = 367,87 Newton (tensión)

2

Problema 4.3 Estática Meriam edición tres Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada. Explicar por que no hace falta saber las longitudes de los miembros. 2,4 kN

2,4 kN

B

A

B

600

300

A

C

600

300

C

AX CY

AY

Nudo B

2,4 kN

2,4 kN

FBA

B

300 2,4 kN

FBA

FBC

FBA (Y)

600

FBA

FBC

FBC (Y)

FBA (X)

sen 30 =

FBC

FBA(Y ) FBA

FBA(Y) = FBA sen 30

⎛ 1 ⎞ FBA(Y ) = FBA ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ FBA(Y ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝ 2 ⎠

FBC (X)

Para abreviar los cálculos

sen 30 =

1 2

sen 60 =

3 2

cos 60 =

1 2

cos 30 =

3 2

71

sen 60 =

FBC(Y )

cos 30 =

FBC

FBC(Y) = FBC sen 60

cos 60 =

⎛  3 ⎞ ⎟ FBC(Y ) = FBC ⎜⎜ ⎟ ⎝  2  ⎠ ⎛  3 ⎞ ⎟ FBC FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝   ⎠

FBC(X ) FBC

FBA(X ) FBA

FBA(X) = FBA cos 30

FBC(X) = FBC cos 60

∑ FX = 0

⎛ 1 ⎞ FBc(x ) = FBC ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ FBc(x ) = ⎜ ⎟ FBC ⎝ 2 ⎠

⎛  3 ⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎝   ⎠ 3 ⎞ ⎟ FBA 2  ⎠⎟

FBA(x ) = FBA ⎜⎜

⎛ 

FBA(x ) = ⎜⎜

⎝ 

FBA(X) - FBC(X) = 0

⎛  3 ⎞ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FBA - ⎛  ⎜ ⎟ FBC = 0 (ECUACIÓN 1) ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝   ⎠ ⎝   ⎠ Resolver las ecuaciones

⎛  3 ⎞ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FBA - ⎛  ⎜ ⎟ FBC = 0 3 ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝   ⎠ ⎝   ⎠ ⎛  3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ FBC = 2,4 F + ⎜ ⎟ BA ⎜⎜ ⎟ 2 2 ⎝   ⎠ ⎝   ⎠

∑ FY = 0 FBA(Y) + FBC(Y) - 2,4 = 0

⎛  3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ FBC = 2,4 (ECUACIÓN 2) ⎜ ⎟ FBA + ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝  2  ⎠

⎛  3 ⎞ ⎟ FBC = 0 ⎟ 2 ⎝   ⎠ ⎛  3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ FBC = 2,4 F + ⎜ ⎟ BA ⎜⎜ ⎟ 2 2 ⎝   ⎠ ⎝   ⎠

⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ FBA ⎝ 2 ⎠

- ⎜⎜

⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FBA + ⎜ ⎟ FBA = 2,4 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 FBA = 2,4

FBA =

2,4 2

= 1,2 kN

FBA = 1,2 kN (compresión)

72

⎛  3 ⎞ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FBA - ⎛  ⎜ ⎟ FBC = 0 (ECUACIÓN 1) ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝   ⎠ ⎝   ⎠ ⎛  3 ⎞ 1 ⎞ ⎜ ⎟ FBA = ⎛  ⎜ ⎟ FBC ⎜ 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝   ⎠ 3 FBA = FBC FBA = 1,2 kN 3 (1,2) = FBC

FBC = 2,078 kN (compresión) FBC

Nudo C

FBC

cos 60 =

FCA (X ) FCA

600

C

600

FCA (X)

FCA

FCA (X) = (cos 60) FCA

CY

CY FCA

600

FCA

∑ FX = 0

FCA (Y)

FCA (X) - FBC = 0 (cos 60) FCA - FBC = 0 (cos 60) FCA = FBC

FCA =

FBC 2,078 = = 1,039 kN cos 60 0,5

FBA = 1,039 kN (tracción)

73

Problema 4.3 Estática Meriam edición cinco Determine the force in each member of the truss. Note the presence of any zero-force members.

5 kN

A Y Ax

3m

FAB

A FBC

Σ MA = 0

1m

FCA FCA

FCD Dx

DX - 15 = 0

B FBC

FBC

DX (1) - 5 (3) = 0

+

FAB

FCD

D

FBC C

2m

DX = 15 KN Σ FX = 0 DX – AX = 0

5 kN

A Y Ax

b=3m

A

B

0

DX = AX

FBC 1m

δ = 26,56

Ө

β

c= 5

FBC

a=2 2

D Dx

2m

C ley de cosenos

PERO: DX = 15 KN

a2 = b2 + c2 – 2 b c sen δ

AX = 15 KN

a 2 = (3)2 +

Σ FY = 0 AY – 5 = 0

A Y = 5 KN tg θ  =

( 5 )2 - 2 (3) ( 5 )sen 26,56

a2 = 9 + 5- 6

( 5 )(0,4471)

a 2 = 14 - 2,68

( 5)

2

1 Ө = arc tg (2) Ө = 63,430

a 2 = 14 - 6

a2 =8

a = 8 =2 2

74

Ө + δ = 900 0

δ = 90 - Ө 0

δ = 90 – 63,43 δ

= 26,560 FAB

NUDO B

FBC(X)

5 kN

FBC FAB

B

5 kN

0

β = 45

FBC(Y)

FBC

FBC

ley de cosenos c2 = a2 + b2 – 2 a b sen β

β = arc tg 0,7071 β = 450

( 5 )2 = (2 2 )2 + (3)2 - 2 (2 2 ) (3) sen β  5 = 8 + 9 - 12

( 2 )sen β 

cos β = cos 45 = 0,7071 sen β = sen 45 = 0,7071

5 = 8 + 9 - 16,97 sen  β  5 = 17 - 16,97 sen  β  16,97 sen  β  = 17 - 5 = 12 sen  β  =

12 16,97

= 0,7071

FBC(X) = FBC cos 45 Pero:

FBC = 7,071 KN FBC(X) = FBC cos 45

75

FBC(X) = FBC cos 45

FBC(X ) cos 45 = FBC

Pero:

FBC = 7,071 KN

FBC(X) = FBC cos 45

FBC(X) = FBC cos 45

Σ FY = 0 FBC(Y) – 5 = 0

FBC(X) = (7,071) (0,7071)

FBC(Y) = 5 kN FBC =

FBC(X) = 5 kN

FBC(Y ) sen 45

=

5 0,7071

Σ FX = 0 FBC(X) – FAB = 0

= 7,071 kN

FBC = 7,071 KN

FAB = FBC(X)

FAB = 5 kN

NUDO C 5 kN

FCA

A Y

FBC

FCD

C

Ax

3m

FAB

A FBC

1m

cos 26,56 =

FCA

β = 45

FCA

FCD Dx

B 0

FBC

FBC

FCA(X )

FCA FCA(X) = FCA cos 26,56

FAB

FCD

D

FBC C

2m

FCA(X) = 0,8944 FCA

FBC(X) Σ FY = 0 FCA(Y) – FBC(Y) = 0 FCA(Y) = FBC(Y)

FBC

FBC(Y) 0

FCD

β = 45

0

Pero: FBC (Y) = 5 kN

δ = 26,56

FCA

FCA(Y) = 5 kN sen 26,56 =

FCA(Y ) FCA

FCA(Y)

FCA(X)

76

FCA =

FCA(Y ) sen 26,56

=

5 0,4471

= 11,18 kN

FCA = 11,18 kN (tensión) Σ FX = 0 - FBC(X) + FCD – FCA(X) = 0

Reemplazando la ecuación 1

FCD – 0,8944 FCA = 5 (Ecuación 1)

Pero: FBC(X) = 5 kN

Pero: FCA = 11,18 kN

- 5 + FCD – FCA(X) = 0

FCD – 0,8944 (11,18) = 5

FCD – FCA(X) = 5

FCD – 10 = 5

FCA(X) = 0,8944 FCA

FCD = 5 + 10 = 15 kN

FCD – 0,8944 FCA = 5 (Ecuación 1)

FCD = 15 Kn (compresión)

5 kN

A Y

NUDO D Ax

FAB

A

Σ FX = 0 DX - FCD = 0 DX = FCD

3m

FBC 1m

FCA

Σ Fy = 0

β = 45

FCA

FCD Dx

B 0

FBC

FBC

Pero:

FCD = 15 Kn

FAB

FCD

D

FBC C

2m

FBC = 0

77

Problema 4.4 Estática Meriam edición tres; Problema 4.6 Estática Meriam edición cinco; Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada

E

3m

2 kN

FED

FED

FAE

D FBD

FEB

FCD FCD

FEB

Σ MC = 0

FAE

- AY (6) + 2 (3) = 0

+

A

6 AY = 2 (3)

B FAB

AY

A Y = 1 kN

FAB

C

FBC

FBC

6m

CX CY

Σ FX = 0

Σ MA = 0

CX – 2 = 0

2 (3) - CY (6) = 0

+

FBD

CX = 2 kN

2 (3) = CY (6)

C Y = 1 kN Nudo A FAE

4,24 FAE

A

3

FAB

CY 3

F F = AB = AE 3

4,24

F F = AB = AE 3

Se halla FAB

4,24

Se halla F AE

F = AE

F = AB 3 3

1

FAB = 1 kN (tension)

FAE =

1

C Y = 1 kN 3

CY

FAB

AY

1

3

3

4,24 4,24 3

= 1,41kN 

FAE = 1,413 Kn (compresión)

78

Nudo E E

4,24 FED

FAE

3

FEB

3

FAE

FED

FEB

FEB FED FAE = = 3 3 4,24

FAE = 1,413 kN FEB FED 1,413 = = 3 3 4,24

Se halla

FEB

Se halla

FEB = 0,3332 3

FEB = 3 (0,3332) = 1 kN (tensión)

FED

FED = 0,3332 3

FED = 3 (0,3332) = 1 kN (compresión)

FEB FED = = 0,3332 3 3

Nudo B FEB

FBC FBD 4,24

B

FBD FBC

FAB

α

FEB = 1 kn

3

FBD

FBD (Y)

3

α

α

FAB = 1 kN FBD (X)

tg α  =

3

=1

3

∑FY = 0

α = arc tg (1) α = 450 FBD(Y ) sen α  = FBD FBD(Y ) sen 45 = FBD

1 = FBD(Y)

FBD (sen 45) = F BD(Y)

1 = FBD (sen 45)

cos α  =

FBD(X )

cos 45 =

FBD FBD(X )

FEB - FBD(Y) = 0 FEB = FBD(Y)

FEB = 3 (0,3332) = 1 kN

FBD =

1 sen 45

=

1 0,7071

= 1,414 kN

FBD = 1,414 kN

FBD

79

FBD (X) = FBD (cos 45)

∑FX = 0

FBD = 1,414 kN

FBC - FBD (X) – FAB = 0

FBD (X) = 1,414 (cos 45)

FBC = FBD (X) + FAB

Pero: Pero:

FAB = 1 kN

FBD (X) = 1 kN

FBC = 1 + 1 FBD (X) = 1,414 (0,7071)

FBC = 2 kN

FBD (X) = 1 kN Nudo C FCD CX FCD

C

FCD - CY = 0

CX - FBC = 0

CX

FBC CY

∑FY = 0

∑FX = 0

CY FBC

FCD = CY

CX = FBC

C Y = 1 kN

FBC = 2 kN (tracción)

FCD = C Y = 1 kN (tracción)

CX = FBC = 2 kN

Problema 4.4 Estática Meriam edición cinco Calculate the forces in members BE and BD of the loaded truss. 8 pulg.

B

FBC

2

C Y

8 pulg. FBC

2

C Cx

FBD

FAB FEB

8 pulg.

FEB FBD

FAB

A Σ MC = 0

+

FAE

FAE

E

FED

FED

D

Dx

D Y 1000 lb

1000 (8 + 8) - DX (8) = 0

1000 (16) - 8 D X = 0 16000 - 8 D X = 0

80

8 DX = 16000

DX =

16000 8

∑ FX = 0

= 2000 lb.

DX = 2000 lb.

CX - DX = 0

C

C

2

2

C Y

CX = DX

C Y

PERO: DX = 2000 lb.

2

2

CX = 2000 lb.

Cx

Cx

Las ecuaciones de equilibrio para la fuerza C son:

CY 2

C = X 2

Cancelando términos semejantes CY = CX PERO: CX = 2000 lb. CY = 2000 lb.

NUDO A

8 pulg.

B

2

C Y

8 pulg.

2

C Cx

FAB

FAB FAB

A

FAE

8 2

8

8 pulg. 1000 lb FAB

8 1000 lb

A

FAE

FAE

E

FAE

Las ecuaciones de equilibrio son:

FAB 1000 FAE = = 8 8 8 2 Cancelando términos semejantes

FAB = 1000 = FAE 2

D

Dx

D Y 1000 lb

Hallar FAE

1000 = FAE

FAE = 1000 lb. (Compresión)

81

Hallar FAB

FAB = 1000 2 FAB = 1000

2

FAB = 1414,21libras (tensión) NUDO E

8 pulg.

B

FBC

2

C Y

8 pulg.

2

C

FBC

FEB

Cx FBD

FAB FEB FED FAE

8 pulg.

FEB

E

FBD

FAB

A

Σ FY = 0

FEB = 0

FAE

FAE

FED

FED

E

Dx

D D Y

1000 lb

∑ FX = 0 FAE - FED = 0 FAE = FED

FBD(X)

PERO: FAE = 1000 lb. FBD(Y)

FED = 1000 lb. (Compresión) NUDO B

B

8

FAB(X)

8 2

8 2 FBD

8

FAB

8

8

FAB(Y) FBC

FBC FBC

FAB

FBD FBD FEB

=0

Las ecuaciones de equilibrio para la junta B son:

FAB FAB(Y ) FAB(X ) = = 8 8 8 2

FAB

Hallar FAB(X)

FAB = FAB(X ) 2 1414,2 2

= FAB(X )

FAB(X) = 1000 lb.

Cancelando términos semejantes

FAB = FAB(Y ) = FAB(X ) 2 82

PERO:

FAB = 1414,21libras

Hallar FAB(Y)

FAB = FAB(Y ) 2 1414,2 2

∑ FX = 0

= FAB(Y )

FAB(Y) = 1000 lb.

FBC - FBD(X) - FAB(X) = 0 PERO: FAB(X) = 1000 lb.

Σ FY = 0 FBC - FBD(X) = FAB(X) FBD (Y) – FAB (Y) = 0

FBC - FBD(X) = 1000 ECUACION 1

FBD (Y) = FAB (Y)

Pero: FAB (Y) = 1000 lb.

FBD (Y) = 1000 lb. Las ecuaciones de equilibrio para la junta B son:

FBD FBD(Y ) FBD(X ) = = 8 8 8 2 Cancelando términos semejantes

FBD = FBD(Y ) = FBD(X ) 2 Pero: FBD (Y) = 1000 lb. FBD(Y ) = FBD(X ) FBD (X) = 1000 lb.

FBD = FBD(Y ) 2 Pero: FBD (Y) = 1000 lb. FBD =

( 2 ) FBD(Y )

FBD =

2 1000

Hallar FBC FBC - FBD(X) = 1000 ECUACION 1 PERO: FBD (X) = 1000 lb. FBC - 1000 = 1000 FBC = 1000 + 1000

FBC = 2000 lb. (tracción) DX = 2000 lb. FAB = 1414,21libras (tensión) FAE = 1000 lb. (Compresión) FED = 1000 lb. (Compresión) FEB = 0 FBC = 2000 lb. (tracción)

FBD = 1414,2 libras (compresión)

83

Problema 4.5 Estática Meriam edición tres; Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada. Influye la carga de 6 kN en los resultados. 3 4

A

10 kN

B

4m

BX = 6 kN

6 kN

C

4m

3 5 Ө

4 BY =8 kN Ө

10 kN 4m

D

4m

E

BX = 6 kN

AY

10 kN

A

BX BY =8 kN

B

4m

AX

FAB FAE

4m F AE

FCB

+

FCB

FBD

FCD

CY

E

10 5

B = Y 4

Hallar BX BX =2 3 BX = 3 (2) = 6 KN

BX = 6 KN

FBE FED

Σ MA = 0

C

4m

FAB FBE

3

6 kN

=

FCD

FED

D

4m

Hallar BY

BY

- BY (4) + CY (4 + 4) - 6 (4 + 4) = 0

4

- 8 (4) + CY (8) - 6 (8) = 0

ΣFX = 0

- 4 + CY - 6 = 0

BX - AX = 0 = 6 KN

=2

BY = 4 (2) = 6 KN PERO: BX

B Y = 8 KN

CY - 10 = 0

C Y = 10 KN

BX = AX

AX = 6 KN

84

Σ MC = 0 - AY (4 + 4) + B Y (4) = 0

+

PERO: B Y = 8 KN

- AY (8) + 8 (4) = 0 - AY + 4 = 0

A Y = 4 kN

AY

NUDO A sen θ  = sen θ  =

FAE(X) Ө 2

FAE(Y ) FAE 2 3 4

3

=

4

3

FAE(Y ) =

cos θ  =

2

2m

AX

AY

2 3

2

AX

2m

FAB FAE

A FAE(Y)

FAB

B

FAB FBE

4m F AE

FAE

FAE

FAE(Y) = sen Ө FAE

cos θ  =

A

E FAE

FAE(X ) FAE 2 1 4

=

2 ΣFX = 0

FAE(X) = cos Ө FAE FAE(X) – AX + FAB = 0

FAE(X ) =

1 2

FAE

PERO: AX = 6 KN

FAE(Y) = sen Ө FAE

FAE(Y ) = 2

3 2

FAE

ΣFY = 0 AY – FAE (Y) = 0

FAE(X) + FAB = AX

FAE =

FAE(X) + FAB = 6

PERO: FAE (Y) = 4 Kn

PERO:

1

A Y = 4 kN

2

FAE + FAB = 6 (ECUACION 1)

FAE (Y) = AY

FAE =

3

2 3

FAE(Y )

(4) = 4,618

kN

FAE = 4,618 KN (tensión)

FAE (Y) = 4 kN 1 2

FAE + FAB = 6 (ECUACION 1)

PERO: FAE = 4,618 KN

85

FAB = 6 FAB = 6 -

1 2 1 2

FAE

(4,618) = 6 - 2,309 = 3,691 kN

FAB = 3,691 KN (tensión) BX = 6 kN

NUDO C AY 6 kN

A

FCB FCD

B

4m

AX

C

BY =8 kN

10 kN

FAB FAE

FAB

FCB FBD

FBE

4m F AE

FCD

FED 4m

E

FCB CY

FBD

FBE FED

PERO: CY = 10 kN

C

4m

CY

ΣFY = 0 CY – 6 - FCD (Y) = 0

6 kN

FCD

D

10 – 6 - F CD (Y) = 0

sen 60 =

4 - FCD (Y) = 0 FCD (Y) = 4 KN

FCB - FCD(X) = 0

FCD (Y) = FCD sen 60 FCD(Y ) 4 FCD = = = 4,618 kN sen 60 0,866

6 kN

FCB

ΣFX = 0

FCD = 4,618 KN (tensión)

60 FCD

FCD(Y ) FCD

CY = 10 KN

Y

FCD

FCB = FCD(X)

FCB = 2,309 kN (compresión)

FCD

X

cos 60 =

FCD(x ) FCD

FCD (X) = FCD cos 60 PERO: FCD = 4,618 KN (tensión) FCD (X) = 4,618 (0,5) = 2,309 kN

86

NUDO B ΣFX = 0

6 - FAB - FCB + FBE(X) – FBD(X) = 0 PERO: FAB = 3,691 KN FCB = 2,309 kN

BX = 6 kN

10 kN

B

6 - 3,691 - 2,309 + FBE(X) – FBD(X) = 0

BY = 8 kN

FAB

FBE(X) – FBD(X) = 0

BX = 6 kN

BY =8 kN

FAB

FCB

FCB

600

600

FBE cos 60 - F BD cos 60 = 0

FBD

FBE

FBE

Y

FBE

FBD FBD

0,5 FBE – 0,5 FBD = 0 (ECUACION 1) FBE

FBE(Y ) sen 60 = FBE

ΣFY = 0 FBE (Y) + FBD (Y) - 8 = 0

FBE(Y) = FBE sen 60

FBE (Y) + FBD (Y) = 8

sen 60 =

FBE(x ) FBE

FBD

X

Y

X

FBD(Y ) FBD

FBD(Y) = FBD sen 60

FBE sen 60 + F BD sen 60 = 8

cos 60 =

0,866 FBE + 0,866 FBD = 8 (ECUACION 2)

FBE(X) = FBE cos 60

cos 60 =

Resolver las ecuaciones 1 y 2

FBD(x ) FBD

FBD(X) = FBD cos 60

0,5 FBE – 0,5 FBD = 0 (0,866) 0,866 FBE + 0,866 FBD = 8 (0,5)

BX = 6 kN

0,433 FBE – 0,433 FBD = 0 0,433 FBE + 0,433 FBD = 4 0,866 FBE = 4 4 FBE = 4,618 KN 0,866

FBE = 4,618 kN (compresion) NUDO E

AY

10 kN

A AX

FAB FAE

E

FAB

C

4m

FBD

FCB FCD

CY

FBD

FBE FED

E

6 kN

FCB

FBE

4m F AE

FED

B

4m

FBE

FAE

BY =8 kN

FED 4m

FCD

D

87

FED

sen 60 =

FAE

FAE

Y

FBE

FAE FAE(Y) = FAE sen 60 Y

60

60 FAE

FBE

X

FBE

FAE(Y )

cos 60 =

X

ΣFX = 0

FAE(x )

FAE FAE(X) = FAE cos 60

sen 60 = FBE(Y)

FBE = FBE sen 60

cos 60 = FBE(X)

FBE(Y )

FBE(x )

FBE = FBE cos 60

FED - FAE (X) – FBE (X) = 0 FED - FAE cos 60 – F BE cos 60 = 0 PERO: FBE = 4,618 kN FAE = 4,618 KN FED = FAE cos 60 + FBE cos 60 FED = 4,618 (0,5) + 4,618 (0,5) FED = 2,309 + 2,309 = 4,618 KN (Tension)

FED = 4,618 KN (Tension)

C Y = 10 KN A Y = 4 kN AX = 6 KN FAE = 4,618 KN (tensión) FAB = 3,691 KN (tensión) FCD = 4,618 KN (tensión)

FCB = 2,309 kN (compresion) FBE = 4,618 kN (compresion) FED = 4,618 KN (Tension)

Problema 4.7 Estática Meriam edición tres; Problema 4.12 Estática Meriam edición cinco Calcular las fuerzas en los miembros CG y CF de la armadura representada

Σ FX = 0

Σ ME = 0

+

4 (2 + 2 + 2) + 2 (2 + 2) – D X (3) = 0

4 (6) + 2 (4) – D X (3) = 0

DX – EX = 0 EX = DX

EX =10,666 KN

24 + 8 – 3 D X = 0 32 – 3 D X = 0

88

3 DX = 32

DX =

32 3

= 10,666 KN

DX = 10,666 KN NUDO A FAB

A

2 KN 2m

2m

A

FAB

FAG

FAG

6,7

FAB B FBC FBC C FCD FCD D

FAB

FBG

FAG

6 3

FAG

4 KN

4 KN

Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son:

6

FAB =

=

FAG 4 = 6,7 3

Hallar FAG

4

FAB FAG 4 = = 6 6,7 3

3 (4) 6

3

FGC

FGC G F GF

4 KN

FAB = 6 Hallar FAB FAB

D Y

2m

FGF

Dx

FCF FCF

3m

F Ex

E C Y

FAG 4 = 6,7 3 (6,7) 4 FAG = = 8,94 KN 3

= 8 KN

FAB = 8 KN (tensión)

FAG = 8,94 KN (compresion)

NUDO B 2 KN

FAB

B

2 KN 2m

2m

FBC A

FAB

FAB B FBC FBC C

FBG

D Y D Dx

FBG

FAG 4 KN

2m

FAG

3m

G F

∑ FX = 0 ∑ FY = 0

E

FBG - 2 = 0

C Y

FBC - FAB = 0 FBC = FAB

Ex

FBG = 2 KN (compresión)

PERO: FAB = 8 KN (tensión)

FBC = 8 KN KN (tensión)

89

NUDO G FBG FGC

A

FAG

3 6

FGF

Ө = 26,56

FAG(Y)

G F GF

FAG(Y) FGF(Y )

FGC

FAG

FGF

3m

F E

Ex

C Y

FGC(Y)

0

26.560

26.56 26.560

FGF FBG

FGF(Y)

FGF(X)

FGC(Y )

FGC = FGC sen 26,56

sen 26,56 =

FGC

FGC

FAG(X)

FGF = FGF sen 26,56

sen 26,56 =

D

FGC(X)

0

sen 26,56 =

FGC(Y)

FAG

D Y Dx

FBG

= 0,5

Ө = arc tg (0,5)

FGF(Y)

4 KN

2m

FAB B FBC FBC C

FAB FAG

G

tg θ  =

2 KN 2m

2m

FAG(Y )

FAG = FAG sen 26,56

∑ FX = 0

cos 26,56 =

FGF (X)

FGF = FGF cos 26,56

cos 26,56 =

FGC (X)

FGF(X )

FGC(X )

FGC = FGC cos 26,56

FGC (X) + FAG (X) - FGF (X) = 0 PERO: FGC (X) = FGC cos 26,56 FGF (X) = FGF cos 26,56

cos 26,56 =

FAG (X)

FAG(X )

FAG = FAG cos 26,56

FAG (X) = FAG cos 26,56 FAG = 8,94 KN (compresion) FAG (X) = FAG cos 26,56

FAG (X) = (8,94) cos 26,56 FGC (X) + FAG (X) - FGF (X) = 0 FGC cos 26,56 + (8,94) cos 26,56 - F GF cos 26,56 = 0

90

FGC + 8,94 - F GF = 0

FGC - FGF = - 8,94 (Ecuación 1) Resolver las ecuaciones

∑ FY = 0

FGC - FGF = - 8,94 (-0,4471) 0,4471 F GC + 0,4471 F GF = 6

FGC (Y) + FGF (Y) - FAG (Y) - FBG = 0

-0,4471 F GC + 0,4471 F GF = 4 0,4471 F GC + 0,4471 F GF = 6

PERO: FGC(Y) = FGC sen 26,56 FGF(Y) = FGF sen 26,56 FBG = 2 KN (compresión)

0,4471 F GF + 0,4471 F GF = 4 + 6

FAG(Y) = FAG sen 26,56 FAG = 8,94 KN (compresion) FAG (Y) = (8,94) sen 26,56 FAG (Y) = (8,94) (0,4471)

0,8942 F GF = 10

FGF =

10

= 11,18 KN

0,8942

FAG (Y) = 4 KN

FGF = 11,18 KN (compresion)

FGC (Y) + FGF (Y) FGC (Y) + FGF (Y) FGC (Y) + FGF (Y) FGC (Y) + FGF (Y)

Reemplazar la ecuación 1 FGC - FGF = - 8,94 (Ecuación 1)

0,4471 FGC + 0,4471 FGF = 6 (Ecuación 2)

Pero: FGF = 11,18 KN FGC – 11,18 = - 8,94 FGC = 11,18 - 8,94

NUDO C FBC

FCD

FBC

FGC = 2,24 KN (tensión)

26.560

FGC Y

FGC FGC X

C

FCF

FCD

2 KN 2m

2m

A

FGC FCF PERO: FBC = 8 KN FGC = 2,24 KN cos 26,56 =

FGC (X) FGC (X) FGC (X)

FGC(X )

FGC = FGC cos 26,56 = (2,24) cos 26,56 = (2,24) 0,8944

- FAG (Y) - FBG = 0 -4 -2=0 -6=0 =6

FAB

D Y

FAB B FBC FBC C FCD FCD D FBG

FAG 4 KN

2m

FAG

FGC

FGC G F GF

FGF

Dx

FCF FCF

3m

F E

Ex

C Y

91

FGC (X) = 2 KN ∑ FX = 0

sen 26,56 =

FCD - FBC - FGC (X) = 0 FGC (Y) FGC (Y) FGC (Y) FGC (Y)

PERO: FBC = 8 KN FGC (X) = 2 KN

FGC(Y )

FGC = FGC sen 26,56 = (2,24) sen 26,56 = (2,24) 0,4471 = 1 KN

∑ FY = 0 FCF - FGC (Y) = 0 FCF = FGC (Y) PERO: FGC (Y) = 1 KN

FCD - FBC - FGC (X) = 0 FCD - 8 - 2 = 0 FCD - 10 = 0

FCF = 1 KN (compresión)

FCD = 10 kN (tensión) Determinar la fuerza que soporta el elemento KN de la armadura. 1m

0,7 m

0,7 m

E

0,7 m

0,7 m

K

N

Q

G

J

M

P

F

I

L

O

H

1200 N

0,5 m

0,5 m

C D

700 N

700 N

700 N

2,5 m

A

B

92

NUDO Q 1200 N

FQN

0,7 m

0,7 m

N

K

Q FQN

FQP

∑ FX = 0

FQN

1200 N

FQP

0,5 m

FQP

1200 - F QN = 0

FQN = 1200 N (tension)

M

P

L

O

0,5 m

∑ FY = 0

I

FQP = 0 700 N

700 N

NUDO O

700 N 0,7 m

0,7 m

N

K

FOP

Q FQN

FQN

0,5 m

∑ FX = 0

FOL

FQP FQP

=0 M

FOL = 0

1200 N

700 N

P FOP

0,5 m

FOP

∑ FY = 0 L

I

FOP - 700 = 0

FOP = 700 N (tensión)

FOL

FOL

700 N

700 N

O

700 N

NUDO P 0,7 m

0,7 m FPN X

FPN Y

FQP

=0

FPN

0,5 m

FPN

0,7

α

sen α  =

cos α  =

cos α  =

0,5 0,86 0,7 0,86

FPL(Y)

= 0,581

FPL α

α 0,7

FPL X

= 0,813

FPN (X ) FPN

= 700 N

I 700 N

L

FOL

700 N

FOP FOP

FPL FOP

FQP

P

FPL

0,5 m

0,5

1200 N

FQP

FPN

M

α 0 86

Q FQN

0,86 0,5

N FQN

K

FOL

O

700 N

= 0,813 93

FPN(X) = 0,813 FPN sen α  =

FPN(Y ) FPN

= 0,581

FPN(Y) = 0,581 FPN cos α  =

∑ FX = 0 FPL(X) - FPN(X) = 0

FPL

= 0,813

FPL(X) = 0,813 FPL

0,813 F PL - 0,813 F PN = 0

sen α  =

cancelando términos semejantes

FPL - FPN = 0 (ECUACION 1)

FPL(X )

FPL(Y ) FPL

= 0,581

FPL(Y) = 0,581 FPL

∑ FY = 0 FQP + FPN(Y)

+ FPL(Y) - FOP = 0

PERO: FQP = 0 KN FOP = 700 KN FPN(Y) - FPL(Y) - 700 = 0 FPN(Y) - FPL(Y) = 700

0,581 FPN + 0,581 FPL = 700 (ECUACION 2) Resolver las ecuaciones

FPL - FPN = 0 (ECUACION 1) 0,581 FPN + 0,581 FPL = 700 (ECUACION 2) FPL - FPN = 0 (0,581)

0,581 FPN + 0,581 FPL = 700 0,581 F PL – 0,581 F PN = 0

0,581 FPN + 0,581 FPL = 700 (2) 0,581 F PL = 700 1,162 F PL = 700 FPL =

700 1,162

= 602,4 N 94

FPL = 602,4 N (compresión) FPL = FPN (ECUACION 1) FPN = 602,4 N (tensión) K

NUDO N Pero: FPN = 602,4 N (tensión) sen α  =

0,5 0,86

0,7 m

0,7 m

FNK

FNK

N FQN FPN FQN

FNM

0,5 m

FNM

= 0,581

M

cos α  =

cos α  =

0,86

FPN (X ) FPN

= 0,813

FPN(X)

FPN(X) = 0,813 FPN

sen α  =

FPN(Y ) FPN

0,5

FPN

0,7

α

FQN

FPN(Y) = 350 N ∑ FX = 0 FQN + FPN(X) – FNK = 0

O

700 N

FNK

∑ FY = 0 FNM

FPN(Y) = 0,581 (602,4)

700 N

FOL

= 1200 N

= 0,581

FPN(Y) = 0,581 FPN

FOL

0,86 FPN Y

FPN(X) = 0,813 (602,4) FPN(X) = 489,75 N

700 N

L

FOP FOP

FPL

I

FQP

P

FPL

= 0,813

1200 N

FQP

FPN

0,5 m

0,7

Q

FNM - FPN(Y) = 0 PERO: FPN(Y) = 350 N FNM = FPN(Y)

FNM = 350 N (compresión)

Pero: FQN = 1200 N FPN(X) = 489,75 N

FQN = 1200 N (tensión)

FQP = 0

FQN + FPN(X) – FNK = 0

FOP = 700 N (tensión)

FOL = 0

1200 + 489,75 - FNK = 0

FPL = 602,4 N (compresión)

1689,75 - FNK = 0

FNK = 1689,75 N (tensión) FNM = 350 N (compresión)

FPN = 602,4 N (tensión)

FNK = 1689,75 N (tensión)

95