Problemas Resueltos 1

Vicerrectotía Académica Instituto de Matemáticas, Física y Estadística Asignatura: MAT 333

Guía 2.2 Problemas Resueltos Cátedra 2. Resultados de Aprendizaje: Resolver problemas contextualizados que involucran el cálculo de derivadas de funciones. Relacionar la derivada de una función con conceptos tales como: costo e ingreso marginal. Modelar problemas contextualizados que conduzcan a la clasificación de extremos de una función en dos variables sujeta a una restricción.

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. Problema

1

Una función se dice armónica si cumple que: fxx (x, y) + fyy (x, y) = 0 Muestre que la función dada por: f (x, y) = xy + 3x2 y − y 3 , es una función armónica. Desarrollo: Primero se obtienen las derivadas parciales de primer orden:

fx = y + 6xy

fy = x + 3x2 − 3y 2

Ahora calculamos las derivadas parciales de segundo orden:

fxx = 6y

fyy = −6y

Así,

fxx + fyy = 6y + (−6y) = 0

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. Problema

2

Usando L unidades de mano de obra y K unidades de capital, la producción semanal total de una empresa está dada por P (L, K) = 40K + 54L3 + 6LK − 2L2 − 2,5K 2 . Analice si se cumple la siguiente igualdad: PLL − Pkk + 5PLK = 324L + 10

. . . . . . . . . (∗)

Desarrollo:

Para verificar si se cumple o no la igualdad presentada, es necesario obter las derivasa parciales involucradas.

PL = 162L2 + 6K − 4L PLL = 324L − 4

PK = 40 + 6L − 5K PKK = −5 PLK = 6

de acuerdo a lo calculo se obtine:

PLL − Pkk + 5PLK = 324L − 4(−5) + 5 · 6 = 324L + 31 El resultado dado no coincide con el dado inicialmente. De esta forma, no se cumple la igualdad mostrada en (*).

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. Problema

3

Considere la función dada por: f (x, y) = ln(x2 + y 2 ). Determine si se cumple la siguiente igualdad:

x · fx + y · fy = 2 Desarrollo: En este caso, sólo es necesario calcular las derivadas de primer orden para la función dada. fx =

x2

2x + y2

fy =

x2

2y + y2

Ahora se procede a trabajar con la expresión entregada inicialmente:

x·

. Problema

2y 2x2 2y 2 2x + y · = + x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 2(x2 + y 2 ) = (x2 + y 2 ) = 2

4

Se sabe que la productividad de cierta empresa de computadores viene dada por: P (x, y) = 7x + ln(y 2 + 1) + 2xy − x2 + 3x − 2y 2 en donde x representa la mano de obra en miles de personas e y el capital invertido en miles de dólares. Determine las expresiones que representan a las marginales de la función presentada. Desarrollo: Las expresiones que definen la productividad de la empresa, para cada una de las variables son: Px = 7 + 2y − 2x + 3

Py =

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2y + 2xy − 4y +1

y2

. Problema

5

Una fábrica estima que la producción semanal de uno de sus productos, está dada por la función: P (L, K) = 50L + 3L2 + 4L3 + 2LK 2 + 3L2 K + 2K 3 , donde L y K representan el número de unidades de mano de obra (en horas/hombre) y capital (en cientos de dólares) utilizadas. Determine e interprete las respectivas producciones marginales, al adicionar 12 horas/hombre y 1500 dólares. Desarrollo: Primero se obtienen las expresiones que representan a la función marginal respecto de cada variable:

PL (L, K) = 50 + 6L + 12L2 + 2K 2 + 6LK

PK (L, K) = 4LK + 3L2 + 6K 2

Ahora se procede a evaluar las funciones, en los valores dados:

PL (12, 15) = 50 + 6 · 12 + 12 · 122 + 2 · 152 + 6 · 12 · 15 = 6858 Al aumentar en una unidad la mano de obra a partir del valor dado y mantener constante el capital, se espera que la producción aumente en aproximadamente 6858 unidades. PK (12, 15) = 4 · 12 · 15 + 3 · 122 + 6 · 152 = 2502 Al aumentar en una unidad el capital a partir del nivel dado y mantener constante la mano de obra, se espera que la producción aumente en aproximadamente 2502 unidades.

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. Problema

6

Considere la siguiente función de utilidad de la empresa que está dado por P (x, y) = 16x + 12y + 2xy − x2 − 2y 2 − 7 (miles de dólares), donde x denota la producción de la empresa (cientos de unidades), e y la cantidad gastada en (miles) dólares en los esfuerzos promocionales de vender un producto. a) ¿Cuántas unidades de producción y cuántos dólares se utilizan para obtener la utilidad máxima? b) Determine e interprete la utilidad máxima generada por la empresa. Desarrollo: a) Primero se obtienen los puntos críticos: Px = 16 + 2y − 2x Py = 12 + 2x − 4y Luego, −2x + 2y = −16 2x − 4y = −12 ⇒ −2y = −28 x = 22 y = 14 Punto crítico (22,14). Ahora, se obtienen las derivadas parciales de segundo orden: Pxx = −2 Pyy = −4 Pxy = −2 ∆ = (−2)(−4) − (2)2 ∆ = 4 y Pxx = −2 Por lo tanto, (22,14) es un máximo.

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La Utilidad es máxima al producir 2200 unidades y gastar 14000 dólares en esfuerzos promocionales. b) P (22, 14) = 16 · 22 + 12 · 14 + 2 · 22 · 14 − 222 − 2 · 142 − 7 = 253 La utilidad máxima de la empresa es de 253000 dólares.

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. Problema

7

Suponga que la producciíon de cierta mercancía requiere de x horas-máquina e y horashombre (ambas en decenas de unidades). El costo de producción, en cientos de dólares, está dado por la función: C(x, y) = 2x3 − 6xy + y 2 + 500 a) Determine el número de horas-máquina y el número de horas-hombre necesarias para producir la mercancía al costo mínimo. b) Calcular este costo mínimo. Desarrollo: a) Primero se obtienen las coordenadas de los puntos críticos: Px = 6x2 − 6y Py = −6x + 2y De (2), y = 3x. Reemplazando en (1): 6x2 − 6(3x) = 0 6x2 − 18x = 0 x(6x − 18) = 0 y=3 x=0 Puntos críticos son (0, 0) y (3, 9). Ahora las derivadas de segundo orden: Pxx = 12x Pyy = 2 Pxy = −6 Para (0, 0): ∆ = 12 · 0 · 2 − (−6)2 = −36 Por tanto, (0, 0) es punto de silla para C. Para (3, 9): ∆ = 12 · 3 · 2 − (−6)2 = 36 y Pxx (3, 9) = 36

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(1) (2)

Por tanto, (3, 9) es máximo para C. La producción tendrá un costo mínimo al considerar 30 horas-máquina y 90 horas-hombre.

b) C(3, 9) = 2 · 33 − 6 · 3 · 9 + 92 + 500 = 473 El costo mínimo de producción será de 47300 dólares.

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