Problemas Resueltos 04 Fisica II. MECÁNICA DE FLUIDOS.

MECANICA DE FLUIDOS (ESTÁTICA Y DINÁMICA DE FLUIDOS).

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

PROBLEMAS RESUELTOS 04 FISICA II 2015-II Los científicos han encontrado evidencia de que en Marte pudo haber existido alguna vez un océano de 0.500 km de profundidad. La aceleración debida a la gravedad en Marte es de 3.71 𝑚/𝑠 2. a) ¿Cuál habría sido la presión manométrica en el fondo de tal océano, suponiendo que era de agua dulce? b) ¿A qué profundidad de los océanos terrestres se experimenta la misma presión manométrica? 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠: ℎ = 0.5 𝑘𝑚

𝑎)

𝑔 = 3.71 𝑚⁄𝑠 2

𝑃𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 = (103 𝑚3 ) (3.71 𝑠 2) (0.5𝑥103 𝑚)

𝑃𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 = 𝜌. 𝑔. ℎ 𝑘𝑔

𝑚

𝑃𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 = 1.855𝑥106 𝑃𝑎 𝑏) 1.855𝑥106 𝑃𝑎 = (103

𝑘𝑔 𝑚 ) (9.81 2 ) (ℎ) → ℎ = 189.093𝑚 3 𝑚 𝑠

En la alimentación intravenosa, se inserta una aguja en una vena del brazo del paciente y se conecta un tubo entre la aguja y un depósito de fluido (densidad 1050 kg/m3) que está a una altura h sobre el brazo. El depósito está abierto a la atmósfera por arriba. Si la presión manométrica dentro de la vena es de 5980 Pa, ¿qué valor mínimo de h permite que entre fluido en la vena? 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠: 𝜌 = 1050 𝑘𝑔⁄𝑚3 𝑃𝑎𝑏𝑠 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 = 5980𝑃𝑎

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑃𝑚𝑎𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 = 5980 𝑃𝑎 5980𝑃𝑎 = 𝜌. 𝑔. ℎ

ℎ=

5980𝑃𝑎 𝑘𝑔 𝑚 )(9.81 2 ) 𝑚3 𝑠

(1050

ℎ = 0.581𝑚

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

El tubo en forma de U de la figura mostrada contiene agua y tetracloruro de carbón. La altura AB es 2.5 cm; AC igual a 4.0 cm. ¿Cuál es la relación entre las densidades?

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝑃ℎ𝐴𝐶 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝑃ℎ𝐴𝐵 𝜌𝐴𝐶 . 𝑔. ℎ𝐴𝐶 = 𝜌𝐴𝐵 . 𝑔. ℎ𝐴𝐵 𝑘𝑔 𝑚 𝑚 (103 3 ) (9.81 2 ) (4𝑥10−2 𝑚) = (𝜌𝐴𝐵 ) (9.81 2 ) (2.5𝑥10−2 𝑚) 𝑚 𝑠 𝑠 𝑘𝑔 (103 3 ) (4𝑥10−2 𝑚) 𝑚 𝜌𝐴𝐵 = = 1.6𝑥103 𝑘𝑔⁄𝑚3 (2.5𝑥10−2 𝑚)

𝜌𝐴𝐶 103 𝑘𝑔⁄𝑚3 5 = = 3 3 𝜌𝐴𝐵 1.6𝑥10 𝑘𝑔⁄𝑚 8

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

Considere un tubo en U cuyas ramas están abiertas a la atmósfera. Ahora se agrega agua dentro del tubo desde un extremo y aceite ligero (ρ= 790 kg/m3) desde el otro. Una de estas ramas contiene 70 cm de agua, mientras que la otra con tiene ambos fluidos con una relación de altura aceite-agua de 4. Determine la altura de cada fluido en esta rama.

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝑃ℎ1 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝑃ℎ2 + 𝑃ℎ3 𝑘𝑔 𝑚 𝑘𝑔 𝑚 𝑘𝑔 𝑚 (103 3 ) (9.81 2 ) (70𝑥10−2 𝑚) = (103 3 ) (9.81 2 ) (ℎ2 ) + (790 3 ) (9.81 2 ) (4ℎ2 ) 𝑚 𝑠 𝑚 𝑠 𝑚 𝑠 𝑘𝑔 𝑘𝑔 700𝑃𝑎 = 103 3 (ℎ2 ) + 3160 3 (ℎ2 ) 𝑚 𝑚 700𝑃𝑎 ℎ2 = = 0.168𝑚 4160 𝑘𝑔⁄𝑚3 ℎ2 = 16.8𝑐𝑚 ℎ3 = 4 (16.8𝑐𝑚) = 67.2𝑐𝑚

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

Un tubo simple en forma de U que tiene abierto los dos extremos se llena parcialmente con agua. En estas condiciones se agrega, por uno de los brazos del tubo, alcohol etílico (𝜌= 0.806𝑥103 kg/m3), formando una columna de 6 cm de altura, como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es la diferencia h entre las alturas de la superficie de los dos líquidos?

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:

𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝑃ℎ6−ℎ = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝑃ℎ6 𝑃𝑎𝑡𝑚 + (103

𝑘𝑔 𝑘𝑔 −2 3 ( )( ) ) 𝑔 6𝑥10 − ℎ 𝑚 = 𝑃 + (0.806𝑥10 ) (𝑔)(6𝑥10−2 )𝑚 𝑎𝑡𝑚 𝑚3 𝑚3 60 − 103 (ℎ) = 48.36 ℎ = 0.012𝑚 = 1.2𝑐𝑚

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

Calcular la diferencia de presión entre los puntos A y B del manómetro diferencial de la figura, si 𝜌 = 850 kg/m3 del aceite.

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:

𝑘𝑔

𝑚

𝑘𝑔

𝑚

𝑃𝐴 + (850 𝑚3 ) (9.81 𝑠 2) (50𝑥10−3 𝑚) + (13.6𝑥103 𝑚3 ) (9.81 𝑠 2 ) (450𝑥10−3 𝑚) − 𝑘𝑔

𝑚

𝑘𝑔

𝑚

(103 𝑚3 ) (9.81 𝑠 2 ) (200𝑥10−3 𝑚) + (13.6𝑥103 𝑚3 ) (9.81 𝑠 2 ) (150𝑥10−3 𝑚) − 𝑘𝑔

𝑚

(850 𝑚3 ) (9.81 𝑠 2 ) (350𝑥10−3 𝑚) = 𝑃𝐵

𝑃𝐴 + 75586.05 = 𝑃𝐵 𝑃𝐵 − 𝑃𝐴 = 75586.05𝑃𝑎

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

Dos tanques de agua están interconectados mediante un manómetro con los tubos inclinados, como se muestra en la figura. Si la diferencia de presión entre los tanques es de 20kPA, calcule a y θ.

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠: 𝑃𝐵 − 𝑃𝐴 = 20𝑥103 𝑃𝑎, 𝜌𝐻𝑔 = 13.6𝑥103

𝑘𝑔 𝑘𝑔 , 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 = 103 3 3 𝑚 𝑚

𝑃𝐴 + 𝑃ℎ𝑎 + 𝑃ℎ2𝑎 − 𝑃ℎ𝑎 = 𝑃𝐵 𝑃𝐵 − 𝑃𝐴 = 𝜌ℎ𝑔 𝑔ℎ2𝑎 20𝑥103 𝑃𝑎 = (13.6𝑥103 𝑎=

𝑘𝑔 𝑚 ) (9.81 2 ) (2𝑎)𝑚 3 𝑚 𝑠

20𝑥103 𝑃𝑎 = 0.075𝑚 𝑘𝑔 𝑚 3 ( ) (13.6𝑥10 3 ) (9.81 2 ) 2 𝑚 𝑠 𝑎 = 7.5𝑐𝑚

𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 (𝑎) 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝜽: 15 26.8 15 𝜃 = sin−1 ( ) 26.8 sin 𝜃 =

𝜃 = 34.04°𝐶

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

Un recipiente cerrado que contiene líquido (incompresible) está conectado al exterior mediante dos pistones, uno pequeño de área 𝐴1 = 1 𝑐𝑚2, y uno grande de área 𝐴2 = 100 𝑐𝑚2 como se ve en la figura. Ambos pistones se encuentran a la misma altura. Cuando se aplica una fuerza F = 100 N hacia abajo sobre el pistón pequeño. ¿Cuánta masa m puede levantar el pistón grande?

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐹1 𝑎𝑐𝑡ú𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑠𝑡ó𝑛 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑷 𝑑𝑒𝑙 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠: 𝑃1 =

𝐹1 100𝑁 = −4 2 = 106 𝑃𝑎 𝐴1 10 𝑚

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑠𝑡ó𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡á 𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟á 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑝𝑖𝑠𝑡ó𝑛, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝐹2 𝑒𝑠: 𝐹2 = 𝑃. 𝐴2 , 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝐹2 = 𝑚. 𝑔 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑚. 𝑔 = 𝑃. 𝐴2 𝑚=

𝑃. 𝐴2 (106 𝑃𝑎)(10−2 𝑚2 ) = 𝑚 𝑔 9.81 2 𝑠 𝑚 = 1020𝑘𝑔

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

Una roca cuelga de un hilo ligero. Cuando está en el aire, la tensión en el hilo es de 39.2 N. Cuando está totalmente sumergida en agua, la tensión es de 28.4 N. Cuando está totalmente sumergida en un líquido desconocido, la tensión es de 18.6 N. Determine la densidad del líquido desconocido. 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:

→ 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑖𝑟𝑒:

→ 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎:

→ 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜:

∑𝐹 = 0

∑𝐹 = 0

∑𝐹 = 0

𝑇 = 𝑚. 𝑔 𝑚. 𝑔 = 𝑊𝑟𝑜𝑐𝑎 = 39.2𝑁

𝑇 + 𝐸 = 𝑚. 𝑔 = 𝑊𝑟𝑜𝑐𝑎 28.4𝑁 + 𝐸 = 39.2𝑁 𝐸 = 10.8𝑁

𝑇 + 𝐸 = 𝑚. 𝑔 𝑇 + 𝜌𝑙𝑖𝑞.𝑑𝑒𝑠𝑐. . 𝑔. 𝑉𝑟𝑜𝑐𝑎 = 𝑊𝑟𝑜𝑐𝑎 𝑚

𝜌𝑙𝑖𝑞.𝑑𝑒𝑠𝑐. (9.81 2 ) (1.1𝑥10−3 𝑚3 ) 𝑠

= 20.6𝑁

𝐸 = 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 . 𝑔. 𝑉𝑟𝑜𝑐𝑎 𝑘𝑔 𝑚 10.8𝑁 = (103 3 ) (9.81 2 ) (𝑉) 𝑚 𝑠 −3

𝑉𝑟𝑜𝑐𝑎 = 1.1𝑥10 𝑚

𝜌𝑙𝑖𝑞.𝑑𝑒𝑠𝑐. = 1907.26

𝑘𝑔 𝑚3

3

Una plancha de hielo flota en un lago de agua dulce. ¿Qué volumen mínimo debe tener para que una mujer de 45.0 kg pueda ponerse de pie sobre ella sin mojarse los pies? ∑𝐹 = 0

𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠: 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 =

𝑘𝑔 103 𝑚3 𝑘𝑔

𝜌ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 = 920

𝑚3

𝑚𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 = 45𝑘𝑔

𝐸 = 𝜌ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 . 𝑔 + 𝑚𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 . 𝑔 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 . 𝑉. 𝑔 = 𝜌ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 . 𝑉. 𝑔 + 𝑚𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 . 𝑔 −𝑚𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 . 𝑔 = 𝑉. 𝑔(𝜌ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 − 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 ) 𝑚𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 𝑉= (𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 − 𝜌ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 ) 𝑉 = 0.563𝑚 3

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

Un bloque cúbico de madera de 10.0 cm por lado flota en la interfaz entre aceite y agua con su superficie inferior 1.50 cm bajo la interfaz, en la figura, La densidad del aceite es de 790 kg/m3. a) ¿Qué presión manométrica hay en la superficie superior del bloque? b) ¿Y en la cara inferior? c) ¿Qué masa y densidad tiene el bloque?

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:

𝑎) 𝜌𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 . 𝑔. ℎ𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 = 116.25𝑃𝑎 𝑏) 𝑘𝑔

𝑘𝑔

𝑚

((790 𝑚3 ) (0.1𝑚) + (103 𝑚3 ) (0.015𝑚)) (9.81 𝑠 2) = 922.14𝑃𝑎 𝑐)

𝑚= 𝜌=

𝑊 𝑔

=

(𝑃𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 −𝑃𝑎𝑙𝑡𝑜 )𝐴

0.821𝑘𝑔 (0.1𝑚)3

𝑔

= 821

=

(805.89𝑃𝑎)(0.1𝑚)2 (9.81𝑚⁄𝑠 2 )

= 0.821𝑘𝑔

𝑘𝑔 𝑚3

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

Una esfera hueca de plástico se mantiene por debajo de la superficie de un lago de agua dulce mediante una cuerda anclada al fondo del lago. La esfera tiene un volumen de 0.650 m3 y la tensión en la cuerda es de 900 N. a) Calcule la fuerza de flotación que ejerce el agua sobre la esfera. b) ¿Cuál es la masa de la esfera? c) La cuerda se rompe y la esfera se eleva a la superficie. Cuando la esfera llega al reposo, ¿qué fracción de su volumen estará sumergida? 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑎) 𝑘𝑔

𝑚

𝐸 = (103 𝑚3 ) (9.81 𝑠 2) (0.65𝑚3 ) = 6376.5𝑁 𝑏)

𝐸 = 𝑇 − 𝑚. 𝑔 → 𝑚 =

𝐸−𝑇 𝑔

=

6376.5𝑁−900𝑁 9.81𝑚⁄𝑠2

= 558.26𝑘𝑔

𝑐) 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎: 𝐸 = 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 . 𝑉𝑠𝑢𝑚 . 𝑔, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑉𝑠𝑢𝑚 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡á 𝑠𝑢𝑚𝑒𝑟𝑔𝑖𝑑𝑎: 𝐸 = 𝑚. 𝑔 𝑉𝑠𝑢𝑚 =

𝑚 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎

=

558.26𝑘𝑔 = 0.558𝑚3 103 𝑘𝑔⁄𝑚3

𝑉𝑠𝑢𝑚 0.558𝑚3 = = 0.858 = 85.8% 𝑉𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 0.650𝑚3

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

Corre agua hacia una fuente, llenando todos los tubos a una tasa constante de 0.750 m3/s. a) ¿Qué tan rápido saldrá por un agujero de 4.50 cm de diámetro? b) ¿Con qué rapidez saldrá si el diámetro del agujero es tres veces más grande? 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑎) 𝐴𝑣 = 0.750 𝑚3 ⁄𝑠 𝑦 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑠 𝐴 = 𝜋 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝜋

𝐷2 4

. 𝑣 = 0.75 𝑚

3⁄

𝐷2 4

4(0.75𝑚 3 ⁄𝑠 )

𝑠 → 𝑣 = 𝜋(4.50𝑥10−2𝑚)2 = 471.57 𝑚⁄𝑠

𝑏) 𝐷

2

2

𝐷

𝑣1 . 𝐷1 2 = 𝑣2 . 𝐷2 2 → 𝑣2 = 𝑣1 . (𝐷1 ) = (471.57 𝑚⁄𝑠) (3𝐷1 ) = 52.4 𝑚⁄𝑠 2

1

Una regadera tiene 20 agujeros circulares cuyo radio es de 1.00 𝑚𝑚. La regadera está conectada a un tubo de 0.80 cm de radio. Si la rapidez del agua en el tubo es de 3.0 m/s, ¿con qué rapidez saldrá de los agujeros de la regadera? 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐴𝑡 . 𝑣𝑡 = 𝐴𝑟 . 𝑣𝑟 𝑦 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝐴 = 𝜋𝑟 2 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴𝑡 = 𝜋(0.8𝑐𝑚)2 𝑦 𝐴𝑟 = 20𝜋(0.1𝑐𝑚)2 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐴𝑡 . 𝑣𝑡 = 𝐴𝑟 . 𝑣𝑟 → 𝑣𝑟 = 𝑣𝑡 ( 𝑣𝑟 = 3.0 m/s (

𝐴𝑡 ) 𝐴𝑟

𝜋(0.8𝑐𝑚)2 ) 20𝜋(0.1𝑐𝑚)2

𝑣𝑟 = 9.6 𝑚⁄𝑠

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

Fluye agua por un tubo de sección transversal variable, llenándolo en todos sus puntos. En el punto 1, el área transversal del tubo es de 0.070 m2, y la rapidez del fluido es de 3.50 m/s. ¿Qué rapidez tiene el fluido en puntos donde el área transversal es de a) 0.105 m2? b) ¿0.047 m2? c) Calcule el volumen de agua descargada del extremo abierto del tubo en 1.00 h. 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠: 𝐴1 = 0.07𝑚2 ; 𝑣1 = 3.5 𝑚⁄𝑠 𝑎) 𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝐴1 . 𝑣1 = 𝐴2 . 𝑣2 (0.07𝑚 2 )(3.5 𝑚⁄𝑠 ) = (0.105 m2 )(𝑣2 )

𝑣2 = 2.33 𝑚⁄𝑠 𝑏) 𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝐴1 . 𝑣1 = 𝐴3 . 𝑣3 (0.07𝑚 2 )(3.5 𝑚⁄𝑠 ) = (0.047 m2 )(𝑣3 )

𝑣3 = 5.21 𝑚⁄𝑠 𝑐) 𝑉 = 𝐴. 𝑣. 𝑡 = (0.07𝑚2 )(3.5 𝑚⁄𝑠)(3600𝑠) = 882𝑚3

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

En un gran tanque de almacenamiento abierto en la parte superior y lleno de alcohol, se forma un pequeño hoyo en su costado, en un punto 16 m debajo del nivel del agua .Si la relación de flujo de la fuga es de 2.50 m 3/min, determine a) ¿La rapidez a la cual el agua sale del hoyo? , y b) el diámetro de este. 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:

𝐸𝑙 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑇𝑜𝑟𝑟𝑖𝑐𝑒𝑙𝑙𝑖 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑠 𝒗 = √𝟐𝒈𝒉, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝒉 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 𝐴𝑠í: 𝑎) 𝑚

𝑣 = √2𝑔ℎ = √2 (9.81 𝑠 2) (16.0𝑚) = 17.72 𝑚⁄𝑠 𝑏) 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎, 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜: 𝐴𝑣 = 𝜑 = 0.042 0.042

𝑚3 𝑠

𝑚3 𝐷2 𝑚 =𝜋 (17.72 ) 𝑠 4 𝑠

𝑚3 4 (0.042 𝑠 ) 𝐷=√ 𝑚 𝜋 (17.72 𝑠 ) 𝐷 = 0.055𝑚 = 5.5𝑐𝑚

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

La figura muestra cómo la corriente de agua que sale de un grifo se estrecha conforme va cayendo. La superficie transversal A1 es 1.2 cm2 y la de A2 es 0.35 cm2. Los dos niveles están separados por una distancia vertical h = 45 𝑚𝑚. ¿Con qué rapidez fluye el agua del grifo?

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑆𝑖 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐴1 . 𝑣1 = 𝐴2 . 𝑣2 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑎 𝑢𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝒎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 2 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠: 1 1 𝑆𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒: 𝐾2 + 𝑈2 = 𝐾1 + 𝑈1 (𝑒𝑛 𝑈2 𝑙𝑎 ℎ = 0) . 𝐸𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 𝑚𝑣2 2 + 0 = 𝑚𝑣1 2 + 𝑚𝑔ℎ 2 2 𝐴𝑙 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑣2 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑣1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑣1 = √

2𝑔ℎ𝐴2 2 𝐴1 2 − 𝐴2 2

𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠: 2((9.81𝑥102 𝑐𝑚⁄𝑠 2 )(4.5𝑐𝑚)( 0.35𝑐𝑚2 )2 ) 𝑣1 = √ (1.2𝑐𝑚2 )2 − (0.35𝑐𝑚2 )2 𝑣1 = 28.65 𝑐𝑚⁄𝑠

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

Un fluido incompresible fluye de izquierda a derecha por un tubo cilíndrico como el que se muestra en la figura. La densidad de la sustancia es de 10,5 g/cm3. Su velocidad en el extremo de entrada es v0 = 1,5 m/s, y la presión allí es de 𝑃0 = 1,75 Kg-f/cm2, y el radio de la sección es r0 = 20 cm. El extremo de salida está 4,5 m abajo del extremo de entrada y el radio de la sección allí, es r1 = 7,5cm. Encontrar la presión P1 en ese extremo.

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠: 𝜌 = 10.5𝑥103

𝑘𝑔 𝑚 𝑘𝑔𝑓 , 𝑣0 = 1.5 , 𝑃𝑜 = 1.75 2 , 𝑟0 = 0.2𝑚, 𝑟1 = 0.075𝑚, ℎ = 4.5𝑚 3 𝑚 𝑠 𝑐𝑚

𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠: 𝑘𝑔𝑓 = 98066.5𝑃𝑎 𝑐𝑚2 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑣1 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑: 1

𝐴0 . 𝑣0 = 𝐴1 . 𝑣1 𝑚 𝜋(0.2𝑚)2 (1.5 ) = 𝜋(0.075𝑚)2 (𝑣1 ) 𝑠 𝑣1 = 10.67 𝑚⁄𝑠 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖: 1 1 𝑃0 + 𝜌𝑣0 2 + 𝜌𝑔𝑦0 = 𝑃1 + 𝜌𝑣1 2 + 𝜌𝑔𝑦1 2 2 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑦1 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 1 1 𝑃0 + 𝜌𝑣0 2 + 𝜌𝑔𝑦0 = 𝑃1 + 𝜌𝑣1 2 2 2 1 𝑃1 = 𝑃0 + 𝜌𝑔𝑦0 + 𝜌(𝑣0 2 − 𝑣1 2 ) 2 𝑃1 = (171616.375𝑃𝑎) + (10.5𝑥103

𝑘𝑔 𝑚 1 𝑘𝑔 𝑚 2 𝑚 2 ) (9.81 2 ) (4.5𝑚) + (10.5𝑥103 3 ) ((1.5 ) − (10.67 ) ) 3 𝑚 𝑠 2 𝑚 𝑠 𝑠

𝑃1 = 49244.65𝑃𝑎

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

Un tanque cilíndrico de 1,2 m de diámetro se llena hasta 0,3 m de profundidad con agua. El espacio encima del agua está ocupado con aire, comprimido a la presión de 2,026 X 105 N/m2. De un orificio en el fondo se quita un tapón que cierra un área de 2,5 cm2. Calcular la velocidad inicial de la corriente que fluye a través de este orificio. Encontrar la fuerza vertical hacia arriba que experimenta el tanque cuando se quita el tapón. 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑦 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎. 𝐸𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴𝑙 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜, 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜. 𝑈𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝒅𝒕 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠, 𝑢𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝒎 𝑠𝑒𝑟á 𝑒𝑥𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑢𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝒎 𝑠𝑒𝑟á 𝑒𝑥𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑦 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟á 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝒗𝟐 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝐴𝑠í: 𝑑𝑝 = 𝑣2 𝒅𝒎 = 𝑣2 (𝜌𝒅𝑽) = 𝑣2 𝜌(𝐴2 𝒅𝒚) = 𝑣2 𝜌𝐴2 (𝑣2 𝑑𝑡) = 𝑣2 2 𝜌𝐴2 𝑑𝑡 𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑠𝑒𝑟á 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒, 𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑐𝑡ú𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 é𝑙, 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒: 𝐹𝑑𝑡 = 𝑣2 2 𝜌𝐴2 𝑑𝑡 𝐷𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐹 = 𝑣2 2 𝜌𝐴2 𝐿𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖: 1 1 𝑃1 + 𝜌𝑣1 2 + 𝜌𝑔ℎ1 = 𝑃2 + 𝜌𝑣2 2 + 𝜌𝑔ℎ2 2 2 𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑣1 = 0 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑦 ℎ2 = 0, 𝑢𝑠á𝑛𝑑𝑜𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑣2 : 2(𝑃1 − 𝑃2 + 𝜌𝑔ℎ1 ) 2(𝑃1 − 𝑃2 ) 𝑣2 2 = = + 2𝑔ℎ1 𝜌 𝜌 𝑣2 2 =

2(2.026𝑥105 𝑃𝑎 − 1.013𝑥105 𝑃𝑎) 𝑚 𝑚2 𝑚 + 2 (9.81 2 ) (0.3𝑚) → 𝑣2 2 = 208.49 2 → 𝑣2 = 14.44 𝑘𝑔 𝑠 𝑠 𝑠 103 3 𝑚

𝑅𝑒𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

𝐹 = 𝑣2 2 𝜌𝐴2 = (208.49

𝑚2 𝑘𝑔 ) (103 3 ) (2.5𝑥10−4 𝑚2 ) = 52.12𝑁 2 𝑠 𝑚

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

Por una tubería inclinada circula agua a razón de 9 m3/min, como se muestra en la figura: En a el diámetro es 30 cm y la presión es de 1 Kg-f/cm2. ¿Cuál es la presión en el punto b sabiendo que el diámetro es de 15 cm y que el centro de la tubería se halla 50 cm más bajo que en a?

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠:

𝑚3 𝑚3 𝑘𝑔𝑓 𝑘𝑔 = 0.15 , 𝑃𝑎 = 1 2 , 𝐷𝑎 = 30𝑐𝑚, 𝐷𝑏 = 15𝑐𝑚, ℎ = 50𝑐𝑚, 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 = 103 3 𝑚𝑖𝑛 𝑠𝑒𝑔 𝑐𝑚 𝑚 𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠: 𝑘𝑔𝑓 1 2 = 98066.5𝑃𝑎 𝑐𝑚 𝜑=9

𝐸𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑚3 𝜑 = 0.15 = 𝐴. 𝑣 = 𝜋𝑟 2 𝑣 𝑠𝑒𝑔 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎: 𝑟 = 15𝑥10−2 𝑚 𝑚3 𝜋(15𝑥10−2 𝑚)2 (𝑣𝑎 ) = 0.15 𝑠𝑒𝑔 𝑣𝑎 = 2.12 𝑚⁄𝑠 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖:

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑏: 𝑟 = 7.5𝑥10−2 𝑚 𝑚3 𝜋(7.5𝑥10−2 𝑚)2 (𝑣𝑏 ) = 0.15 𝑠𝑒𝑔 𝑣𝑏 = 8.49 𝑚⁄𝑠

1 1 𝑃𝑎 + 𝜌𝑣𝑎 2 + 𝜌𝑔𝑦𝑎 = 𝑃𝑏 + 𝜌𝑣𝑏 2 + 𝜌𝑔𝑦𝑏 2 2 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑦𝑏 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 1 1 𝑃𝑎 + 𝜌𝑣𝑎 2 + 𝜌𝑔𝑦𝑎 = 𝑃𝑏 + 𝜌𝑣𝑏 2 2 2 1 𝑃𝑏 = 𝑃𝑎 + 𝜌𝑔𝑦𝑎 + 𝜌(𝑣𝑎 2 − 𝑣𝑏 2 ) 2 𝑃𝑏 = 98066.5𝑃𝑎 + (103

𝑘𝑔 𝑚 1 𝑘𝑔 𝑚 2 𝑚 2 −2 ) 3 ( (9.81 ) ) (8.49 ) ) ) 50𝑥10 𝑚 + (10 ) ((2.12 − 𝑚3 𝑠2 2 𝑚3 𝑠 𝑠 𝑃𝑏 = 69178.65𝑃𝑎

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

Una manguera de bomberos debe ser capaz de lanzar agua hacia la parte superior de un edificio de 35.0 m de altura cuando se apunta recta hacia arriba. El agua entra a esta manguera a una tasa constante de 0.500 m3/s y sale por una boquilla redonda. a) ¿Cuál es el diámetro máximo que esta boquilla puede tener? b) Si la única boquilla disponible tiene un diámetro que es el doble de grande, ¿cuál es el punto más alto que puede alcanzar el agua? 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑔𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑙𝑎 ú𝑛𝑖𝑐𝑎𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙𝑙𝑜 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐. 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 ℎ 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝐿𝑎 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛 𝐴𝑣. 𝐴=𝜋

𝐷2 4

𝑎) 1 2

𝑚

𝑚𝑣 2 = 𝑚𝑔ℎ → 𝑣 = √2𝑔ℎ = √2 (9.81 𝑠 2 ) (35.0𝑚) = 26.2 𝑚⁄𝑠

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝜋

𝐷2 𝑚3 . 𝑣 = 0.5 4 𝑠

𝑚3 4 (0.5 𝑠 ) 𝐷=√ 𝑚 = 0.156𝑚 = 15.6𝑐𝑚 𝜋 (26.2 𝑠 ) 𝑏) 𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑑í𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑜𝑞𝑢𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑒𝑠 𝑚á𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑑𝑟á 𝑐𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑖𝑟á. 𝐷2 𝑣 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖 𝐷 𝑒𝑠 2 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑚á𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝒗 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 4. 𝒉 𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑎 𝑣 2 , 𝑎𝑠𝑖 𝑞𝑢𝑒 𝒉 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 16. 𝐴𝑠í: ℎ=

35.0𝑚 = 2.19𝑚 16

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

Fluye agua continuamente de un tanque abierto como en la figura. La altura del punto 1 es de 10.0 m, y la de los puntos 2 y 3 es de 2.00 m. El área transversal en el punto 2 es de 0.0480 m 2; en el punto 3 es de 0.0160 m2. El área del tanque es muy grande en comparación con el área transversal del tubo. Suponiendo que puede aplicarse la ecuación de Bernoulli, calcule a) la rapidez de descarga en m3/s; b) la presión manométrica en el punto 2.

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑎) 3

𝑚 𝑣3 𝐴3 = √2𝑔(𝑦1 − 𝑦3 )𝐴3 = √2 (9.81 𝑠 2) (8.00𝑚)(0.016𝑚2 ) = 0.2 𝑚 ⁄𝑠

𝑏) 𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑃3 𝑒𝑠 𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎, 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑚𝑎𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 2 𝑠𝑒𝑟á: 1 1 𝐴3 2 𝑃2 = 𝜌(𝑣3 2 − 𝑣2 2 ) = 𝜌𝑣3 2 (1 − ( ) ) 2 2 𝐴2 2

1 𝑘𝑔 𝑚2 0.016𝑚2 𝑃2 = (103 3 ) (12.53 ) (1 − ( ) ) 2 𝑚 𝑠 0.048𝑚2 𝑃2 = 69778.2𝑃𝑎

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

Hay agua hasta una altura H=8.5m en un tanque abierto grande con paredes verticales. Se perfora un agujero en una pared a una profundidad h=3.5m bajo la superficie del agua. a) ¿A qué distancia R del pie de la pared tocará el piso el chorro que sale?

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑎) 𝐸𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑒𝑠: 2(𝐻 − ℎ ) 𝑡=√ 𝑔 𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜: 𝑣 = √2𝑔ℎ 𝐸𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑣𝑖𝑎𝑗𝑎𝑟á 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙: 𝑅 = 𝑣. 𝑡 = 2√ℎ(𝐻 − ℎ) 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜𝑠: 𝑅 = 2√(3.5𝑚)(8.5𝑚 − 3.5𝑚) 𝑅 = 8.37𝑚

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

Se muestra una tubería descargando agua con un gasto de 1.5 litros por segundo, en un tanque, A, que tiene un diámetro de 120 cm, el cual a su vez descarga a través de una llave de paso con un diámetro de ½ pulgada a otro tanque, B, de 60 cm de diámetro y 90 cm de altura (ℎ3 ). El tanque A se encuentra sobre un pedestal a una altura ℎ2 = 1.5 m sobre el nivel del suelo. El tanque B se encuentra sobre el suelo. Calcular a) La altura a la cual el nivel del agua en el tanque A se estabiliza b) La velocidad a la cual llega el agua al tanque B c) El tiempo en que tarda en llenarse el tanque B

h

1

1

A

2

h1 3

B

h2

h3

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑎) 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 1 (𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎) 𝑦 2 (𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎): 1 1 𝑃1 + 𝜌𝑣12 + 𝜌𝑔ℎ1 = 𝑃2 + 𝜌𝑣22 + 𝜌𝑔ℎ2 2 2 𝐸𝑠 𝑢𝑛 ℎ𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒, 𝐴1 , 𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑐ℎ𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 2, 𝐴2 , 𝑦 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒, 𝑣1 , 𝑠𝑒𝑟á 𝑚𝑢𝑐ℎ𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜, 𝑣2 , 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒 𝑎: 1 𝜌𝑔ℎ1 = 𝜌𝑣22 + 𝜌𝑔ℎ2 2 𝐸𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ𝑖𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 𝑦 𝑣1 = 0. 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑣2 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2, 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑣2 = √2𝑔∆ℎ 𝐶𝑜𝑛 ∆ℎ = ℎ 1 – ℎ2 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑄1 = 𝑄2 = 𝐴2 𝑣2

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 (3)𝑒𝑛 (4), 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ∆ℎ 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒. ∆ℎ =

(0.8𝑥10−3 𝑚3 ⁄𝑠 )2 𝑄12 = = 2.03𝑚 2𝑔𝐴22 (2𝑥9.81 𝑚⁄𝑠 2 )𝜋(0.00635𝑚2 )2

𝑏) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 2 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑏𝑜𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 3. 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 2 𝑦 3, 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 1 𝑃2 − 𝑃3 = 𝜌(𝑣32 − 𝑣22 ) + 𝜌𝑔(ℎ3 − ℎ2 ) 2 𝐶𝑜𝑛 𝑃2 = 𝑃3 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 𝑦 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑣2 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎: 0=

1 𝜌(𝑣32 − 2𝑔∆ℎ) − 𝜌𝑔(ℎ2 − ℎ3 ) 2

𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑣3 : 𝑣3 = √2𝑔[∆ℎ + (ℎ2 − ℎ3 )] = √2𝑥9.8 𝑚⁄𝑠 2 [2.03𝑚 + 0.9𝑚] = 7.57 𝑚⁄𝑠 𝑐) 𝐸𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 𝐵, 𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜: 𝑄 = 𝑉/𝑡 𝑒𝑛 𝑚3 /𝑠. 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑉 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 𝑦 𝑄 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎: 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠: 𝑡=

𝑉 𝜋(0.30𝑚)2 𝑥0.90𝑚 = = 318𝑠 = 5.3𝑚𝑖𝑛 𝑄 0.8𝑥10−3 𝑚3 ⁄𝑠

Ingeniería civil ambiental Alumno: Aldair Zeña Samamé