Problemas Propuestos y Resueltos-estadistica

PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 1. (Diseño de experimentos con un factor fijo)

a Resistenci

“Una fábrica de herramientas desea comprobar si la resistencia de unas piezas mecánicas que le proporcionan cuatro suministradores diferentes depende del suministrador. Para ello recoge una muestra aleatoria de cada suministrador y somete a cada una de las piezas a una prueba de resistencia que consiste en observar el número de veces que soporta una presión hasta estropearse. Los resultados del experimento son los de la tabla adjunta: Sumin. A 205 242 229 225 238 209 214 204

Sumin. B 242 212 253 224 226 247 219 242

Sumin. C 237 242 259 234 265 235 229 250

Sumin. D 212 233 244 224 229 245 272 215

Problema 2. (Diseño de experimentos con un factor fijo) “Un campus universitario tiene cuatro facultades. Se quiere estudiar la variable tiempo que tarda un alumno en hacer una consulta en la base de datos de la biblioteca de su facultad. Para ello se ha recogido una muestra aleatoria cuyos resultados son los de la tabla adjunta. Analizar estos datos y estudiar la influencia del factor facultad en la variable de interés”. Arquitect ura 48 37 31 29 31 24 36 38 39 41

Informáti ca 24 18 16 6 22 24 10 30 25 24 11 15

Derecho 37 40 51 49 36 24 35 26

43 40 35 33 39 55 40

Educaci ón 19 13 26 21 31 26 13 24 12 12 16 21 30

Problema 3. (Diseño de experimento con un factor aleatorio). “En una empresa de montaje trabajan 135 operarios que realizan un determinado trabajo (T). La dirección de la empresa está interesada en conocer si influye el factor “operario” en la variable “tiempo de realización del trabajo T”. Para ello se eligen cinco operarios al azar y se controla el tiempo en minutos que tardan en realizar el trabajo T en diez ocasiones.

Los resultados del experimento son los de la tabla adjunta. ¿Qué conclusiones se deducen de este experimento?” Oper.1 72 71 75 75 71 73 69 69 67 65

Oper.2 75 70 77 73 79

77 72 78 73 69

Oper.3 78 79 84 72 83

77 80 83 71 85

Oper.4 69 65 61 75 70

Oper.5 65 60 63 68 70

68 67 63 76 72

64 62 64 69 62

Problema 4. Datos apareados. “El Ministerio de Trabajo desea saber si un plan de seguridad en el trabajo es efectivo en la reducción del número de accidentes laborables y por tanto en la pérdida de horas de trabajo debido a accidentes. Para ello se hace un seguimiento en 16 fábricas, observando las horas de trabajo semanales pérdidas a causa de accidentes, antes y después de implantar el plan de seguridad. Los datos obtenidos son los de la tabla adjunta. Analizar estos datos y obtener conclusiones acerca del problema planteado”. Fábrica Antes Después Fabrica Antes Después

1 55 52 9 110 95

2 63 60 10 33 35

3 90 85 11 44 47

4 47 49 12 74 70

5 75 65 13 60 55

6 90 87 14 87 75

7 73 67 15 41 45

8 92 85 16 15 18

Problema 5. (Diseño de experimentos en bloques completamente aleatorizados) “Se ha realizado un diseño de experimentos para estudiar la calidad de las soldaduras, el objetivo es determinar si existen diferencias entre las soldaduras según el elemento de soldadura que se utilice entre tres posibles: níquel, hierro o cobre. Como puede haber diferencias significativas entre los elementos a soldar se ha utilizado un diseño de bloques completamente aleatorizados. Para ello se han utilizado diez lingotes (bloques) y de cada uno de ellos se han soldado dos componentes utilizando los tres tipos de soldadura. Finalmente se mide la fuerza (expresada en 100 libras por pulgada cuadrada) necesaria para romper la soldadura. Los resultados obtenidos son los de la tabla adjunta. En base a estos datos estudiar la influencia de factor “tipo de soldadura”, ¿cambian los resultados si no se tiene en cuenta el bloque “lingote?”. Níquel Cobre

B1 76.0 76.1

B2 66.3 74.1

B3 68.9 70.7

B4 74.7 75.4

B5 73.0 66.7

B6 72.7 65.0

B7 80.0 70.8

B8 83.6 76.2

B9 61.2 66.0

B10 62.6 72.0

Hierro

76.4

73.4

69.7

74.7

60.2

61.2

71.7

57.0

58.5

66.3

Problema 6. (Diseño de experimentos de dos factores con interacción o diseño factorial). “Se desea analizar el efecto que sobre el tiempo medio de respuesta tienen dos factores: “la distribución de los ficheros” de las que se consideran tres variantes codificadas como F1, F2 y F3; y el “número de buffers del sistema”, también se consideran tres niveles: 10, 20 y 30 buffers. Se ha hecho una prueba con cada una de las nueve combinaciones posibles, cada prueba consistió en observar el sistema un día completo y calcular el tiempo de respuesta media al compilar un programa en lenguaje C en ese período de tiempo. El experimento se replicó tres veces. Los resultados obtenidos se presentan en la tabla adjunta. En base a estos datos ¿existe influencia de alguno de los dos factores en el tiempo de respuesta del sistema informático?, ¿existe interacción entre ambos factores?”

F 1

B1 0 2. 7 2. 4 2. 3

B2 0 2. 0 2. 2 1. 9

B3 0 1. 8 1. 5 1. 6

F2

B1 0 2. 9 3. 4 3. 3

B2 0 2. 7 2. 4 2. 5

B3 0 2. 2 1. 9 2. 3

F 3

B1 0 3. 7 3. 4 3. 9

B2 0 2. 9 3. 4 3. 3

B3 0 3. 5 3. 4 3. 8

Problema 7. (Diseño de experimentos en cuadrado latino). "Se quiere estudiar la eficacia de cuatro fármacos diferentes (F1, F2, F3 y F4) en el tratamiento de una enfermedad. Para ello se observa el número de días que tardan en curar enfermos tratados con estos fármacos. Se considera que el factor edad y el factor peso pueden influir en el experimento, por ello se controlan estos factores y se consideran cuatro niveles de edad (E1, E2, E3 y E4) y cuatro de peso (P1, P2, P3 y P4). Los resultados del experimento diseñado según la técnica del cuadrado latino son los de la tabla adjunta. ¿Qué conclusiones se deducen del experimento? E1 P1 P2 P3 P4

10 8 7 6

E2 F1 F2 F3 F4

9.5 10 6.5 5

E3 F2 F1 F4 F3

7 8.5 7 6

E4 F4 F3 F1 F2

11.5 9 8 9

F3 F4 F2 F1

Problema 8. (Diseño de experimentos con bloques completamente aleatorizados) "El servicio bibliotecario de una universidad está· interesado en un programa para gestionar la localización de un libro en la base de datos. Le ofrecen cinco programas para tal fin: P1, P2, P3, P4, P5. En la universidad se dispone de cuatro tipos de ordenadores y se desea saber si el tiempo de respuesta de los cinco programas ofertados es el mismo. Para ello se diseña el siguiente experimento: se eligen diez libros al azar y se localizan utilizando los cinco programas y los cuatro tipos de ordenadores. Los tiempos medio de respuesta (en segundos) en cada caso son los de la tabla adjunta."

Ord.1 Ord.2 Ord.3 Ord.4

Prog. 1 1.3 2.2 1.8 3.9

Prog. 2 1.6 2.4 1.7 4.4

Prog. 3 0.5 0.4 0.6 2.0

Prog. 4 1.2 2.0 1.5 4.1

Prog. 5 1.1 1.8 1.3 3.4

PROBLEMAS RESUELTOS DISEÑO FACTORIAL 22 Problema 1 Un ingeniero de alimentos está interesado en determinar los efectos de la Temperatura y el tiempo de almacenamiento en la conservación de las manzanas. La respuesta en este estudio es el número de manzanas que se pudren. Para realizar este experimento se escogieron 2 lotes de 120 manzanas cada uno, dividiendo cada lote en cuatro porciones de igual tamaño y asignando al azar los tratamientos a estas porciones. Para realizar este estudio se tomaron 2 niveles de tiempo de almacenamiento de 20 y 25 días (Factor A) y 2 niveles de Temperatura de 13 ° C y 17 ° C (Factor B). A continuación se presentan los resultados del número de manzanas podridas de cada 30 manzanas. Temperatura (Factor B)

Tiempo (Factor A)

13 ° C

17 ° C

20 días

5 3

12 11

25 días

9 8

12 14

Solución Variable Respuesta: Número de manzanas podridas. Hipótesis a probar: Efectos principales: H0 : El tiempo de almacenamiento no influye significativamente en el número de manzanas que se pudren H1 : El tiempo de almacenamiento influye significativamente en el número de manzanas que se pudren H0 : El nivel de temperatura no influye significativamente en el número de manzanas que se pudren H0 : El nivel de temperatura influye significativamente en el número de manzanas que se pudren Interacción: H0 : El tiempo de almacenamiento y el nivel temperatura no influye significativamente en el número de manzanas que se pudren H1 : El tiempo de almacenamiento y el nivel temperatura influye significativamente en el número de manzanas que se pudren Como puede observarse este Experimento es un Diseño Factorial 2 2, donde existen dos factores, factor A (Tiempo) y factor B (temperatura) ambos a dos niveles. El factor A con nivel bajo de que es de 20 días y el nivel alto de 25 días. El factor B con nivel bajo que es de 13 ° C y el nivel alto de 17 ° C Realizándose este experimento dos veces. De la tabla de datos es posible obtener una tabla de combinaciones de tratamientos, como la que se muestra a continuación: Combinación de Tratamientos A bajo, B bajo A alto, B bajo A bajo, B alto A alto, B alto

Réplicas I II 5 3 9 8 12 11 12 14

Total

Simbología

8 17 23 26

(1) a b ab

Y = 74 Estas combinaciones de tratamientos Geometricamente se representa de la siguiente manera:

n

: el número de replicas

(n−2)

Utilizando el primer método para la estimación de los efectos promedio de los factores principales e interacción, se tiene:

A=

1 1 1 [ 26 +17−23−8 ] = [ 12 ] =3 [ ab +a−b−(1)] = 2n 2 ×2 4

B=

1 1 1 [ 26+23−17−8 ] = [ 24 ] =6 [ ab+ b−a−(1)] = 2n 2 ×2 4

AB=

1 1 1 ab+ ( 1 )−a−b ]= [ 26+8−17−23 ] = [ −6 ] =−1.5 [ 2n 2× 2 4

Los valores encontrados significan: a) El valor del efecto del factor A (Tiempo) es positivo e igual a 3, que significa que se espera un aumento de 3 manzanas podridas de cada 30 manzanas al aumentar el tiempo de almacenamiento de 20 días a 30 días. b) El valor del efecto del factor B (Temperatura) es positivo e igual a 6; lo que significa que se espera un aumento de 6 manzanas podridas de cada 30 manzanas al aumentar la temperatura de 13°C a 17°C; casi sin importar el tiempo de almacenamiento. c) El valor del efecto de la interacción del factor A y factor B es negativo e igual a -1.5; lo que significa que el efecto de ambos factores no afectan en el número de manzanas podridas por cada 30 manzanas. A continuación se encuentran los contrastes:

ContrasteA

¿ ab+ a−b−( 1 )=26 +17−23−8=12

ContrasteB

¿ ab+b−a−( 1 )=26 +23−17−8=24

ContrasteAB

¿ ab+ ( 1 ) −a−b=26 +8−17−23=−6

Suma de cuadrados:

SS A =

(Contraste A )2 (12)2 144 = = =18 4n 4 ×2 8

(Contraste B)2 (24 )2 576 SS B = = = =72 4n 4×2 8 (Contraste AB)2 (−6)2 36 SS AB= = = =4.5 4n 4 ×2 8 2

2

2

SS T =∑ ∑ ∑ y 2ijk − i=1 j=1 k=1

2

y… =784−684.5=99.5 4n

SS E =SST −SS A −SS B −SS AB ¿ 99.5−18−72−4.5 ¿5

ANALISIS DE VARIANZA Fuente de variación Tiempo Temperatura Tiempo x Temperatura Error Total

Suma de cuadrados 18.0 72.0 4.5

Grados de libertad 1 1 1

Media de cuadrados 18.0 72.0 4.5

5.0 99.5

4 7

1.25

F0 14.4 57.6 3.6

Tomando

α =0.05

para obtener el F de tablas con un grado de libertad del

numerador 4(n-1)= 4(2-1)=4 en el denominador, se tiene que: Fα,1,4(n-1) = Fα,1,4(n-1) = 7.71 Conclusiones: 



Para el caso del factor Tiempo el F0 > FTablas (14.4>7.71); por lo tanto, se rechaza H0 y se acepta H1; es decir, que el tiempo de almacenamiento influye significativamente en el número de manzanas que se pudren. Para el caso del factor Temperatura el F0 > FTablas (57.6>7.71); por lo tanto, se rechaza H0 y se acepta H1; es decir, que el nivel de temperatura influye significativamente en el número de manzanas que se pudren.

DISEÑO FACTORIAL 23 Problema 2

Tabla de Análisis de Varianza para el Diseño 2k Fuente de Variación K efectos principales A B C

Suma de cuadrados

Grados de Libertad

SSA SSB SSC

1 1 1

. . . K

(k2 )

SSK

1

SSAB SSAC

1 1

SSJK

1

SSABC SSABD

1 1

SSIJK . . .

1 . . .

SSABC…K SSE SST

1 2 (n-1) n2k-1

interacciones de dos

factores AB AC . . . JK k 3 interacciones de tres

()

factores ABC ABD . . . IJK . . .

(k3 )

interacciones de k

factores ABC…K Error Total

k