Problemas Programacion Lineal

PROBLEMAS PROGRAMACIÓN LINEAL (BACHILLERATO CIENCIAS SOCIALES) 1. a) (2 puntos) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones y calcule sus vértices: ≥ ; ≥ ; − + ≤ ; + ≤ ; ≤ .

b) (1 punto) Calcule el máximo de la función F(x,y) = 2x+2y+1 en la región anterior e indique dónde se alcanza. [Sol.:a)A(0,0);B(4,0);C(4,2);D(2,4);E(0,3); b) 13











] (Andalucía, 2006)

2. En una confitería se dispone de 24 kg de polvorones y 15 kg de matecados, que se envasan en dos tipos de cajas del modo siguiente: • Caja tipo 1: 200 g de polvorones y 100 g de mantecados. Precio: 4€ • Caja tipo 2: 200 g de polvorones y 300 g de mantecados. Preco: 6€ 1. ¿Cuántas cajas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para obtener el máximo de ingresos? ¿Cuál es el importe de la venta? [Solución: 105 cajas de tipo 1 y 15 cajas de tipo 2; 510 euros ] (Cantabria, 2006) 3. En una tienda de artículos deportivos se pueden adquirir, entre otros productos, raquetas de bádminton y raquetas de tenis. El beneficio por la venta de cada raqueta es de 20 y 25 euros, respectivamente. Por cuestiones de estrategia comercial, se decide vender al día, como máximo, 6 raquetas de bádminton y 5 de tenis. Considerando que el número total de raquetas vendidas no puede ser mayor que 7: 1. Representa la región factible. 2. Calcula ese beneficio máximo. [Solución: beneficio máximo: 165 € diarios ]

(Castilla-La Mancha, 2006)

4. En una factoría se desean producir al menos 4 unidades del producto B. Cada unidad de producto B ocupa un metro cúbico de espacio de almacenamiento, lo mismo que cada unidad de producto A. Tan solo disponemos de un almacén con capacidad de 20 metros cúbicos. Juan se encarga de una fase de la producción y Pedro de otra fase de la producción. Cada unidad de A requiere 4 horas de trabajo de Juan y 2 horas de trabajo de Pedro. Cada unidad de B requiere 1 hora de trabajo de Juan y 3 horas de trabajo de Pedro. Juan debe trabajar al menos 32 horas y Pedro al menos 36 horas. Cada unidad de producto A produce un beneficio de 25 euros y cada unidad de B produce un beneficio de 20 euros. Utilizando técnicas de programación lineal, calcula el número de unidades de producto A y de producto B que permiten obtener mayores beneficios, así como el beneficio máximo que se puede conseguir. [Solución: 16 unidades de A; 4 unidades de B; 480 € de beneficio ] (Castilla-León, 2006)

1

PROBLEMAS PROGRAMACIÓN LINEAL (BACHILLERATO CIENCIAS SOCIALES) 5. La función objetivo de un problema de programación lineal es f(x,y)=ax-by+c, con a, b, c números positivos. Encuentra en cuál de los dos puntos A o B del gráfico, la función objetivo presenta un valor mayor. Razona la respuesta.

[Solución:

]

(Cataluña, 2006)

6. Una refinería de petróleo adquiere dos tipos de crudo, ligero y pesado, a un precio de 70 y 65 euros por barril, respectivamente. Con cada barril de crudo ligero la refinería produce 0,3 barriles de gasolina 95; 0,4 barriles de gasolina 98 y 0,2 barriles de gasoil. Asimismo, con cada barril de crudo pesado produce 0,1; 0,2 y 0,5 barriles de cada uno de estos tres productos, respectivamente. La refinería debe suministrar al menos 26 300 barriles de gasolina 95, 40 600 barriles de gasolina 98 y 29 500 barriles de gasoil. Determina cuántos barriles de cada tipo de crudo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades de producción con un coste mínimo y calcula éste. $ # ; 23 000 !"##$ %# " ;% : 7 795 000 €] [S: 90 000 !"##$ %# (C. Valenciana, 2006)

2

PROBLEMAS PROGRAMACIÓN LINEAL (BACHILLERATO CIENCIAS SOCIALES) 7. Una empresa de equipos informáticos produce dos tipos de microprocesadores: A y B. El trabajo necesario para su producción se desarrolla en dos fases, la de fabricación y la de montaje. Cada microprocesador A requiere 3 minutos de fabricación y 2 minutos de montaje y cada procesador B requiere 2 minutos de fabricación y 4 minutos de montaje. Si solo se dispone diariamente de 4 horas para la fabricación y 4 horas para el montaje, siendo el beneficio obtenido de 160 euros por cada microprocesador A y de 190 euros por cada microprocesador B, se pide, justificando la respuesta: a) ¿Cuántos microprocesadores hay que producir de cada tipo para obtener unos beneficios máximos? b) ¿Cuál será el valor de dichos beneficios máximos? [Sol: ") 60 $

. / 30 $

0 !) 15 300€]

(Extremadura, 2006)

8. Un granjero dispone de un máximo de 45 hectáreas en las que quiere sembrar dos tipos de cultivo, A y B, esperando obtener un beneficio de 120 € por hectárea de A y 180 € por hectárea de B. Calcula que va a tener, como máximo, 600 horas de trabajo disponibles durante la estación de siembra y que va a necesitar 10 horas por hectárea de A y 40 horas por hectárea de B. Además, el tipo de cultivo exige que las hectáreas dedicadas al cultivo tipo B no superen a las del tipo A. a) Formula el sistema de inecuaciones asociado al enunciado. b) Dibuja la región factible y calcula sus vértices. c) ¿Cuántas hectáreas debe sembrar de cada tipo de cultivo para maximizar los beneficios? Calcula dicho beneficio máximo. [Sol: 1234á6278 92 3:;4 ? @ A 1234á6278 92 3:;4 B; AC € D2E2F8 4 ? @ 4 B ] (Murcia, 2006) [Sol: Y 14. Una empresa fabrica dos tipos de tipos de productos P1 y P2 que se venden a 50 euros y 40 euros la unidad, respectivamente. Para ello alquila dos máquinas, M1 y M2 al precio de 5 euros por hora y 6 euros por hora, respectivamente. Las horas de funcionamiento de cada máquina necesarias para la fabricación de una unidad de cada producto así como la disponibilidad máxima semanal de cada máquina vienen dadas por la siguiente tabla: Producto P1 Producto P2 Disponibilidad M1 2 horas 4 horas 80 horas M2 4 horas 2 horas 100 horas

El coste del material utilizado en la fabricación de una unidad del producto P1 es de 10 euros y en una unidad del producto P2, es de 8 euros. Se desea saber cuántas unidades de cada producto se han de fabricar para maximizar el beneficio. i) ii) iii)

Plantea el problema. (4 puntos) Resolución gráfica. (4 puntos) Analiza gráficamente qué ocurre si el precio de P2 se reduce en 2 euros. (2 puntos)

:EE2;7978 92 4 ? @

4>E2;7978 92 4 B; 3>842 ^íE



€ ] (Madrid, 2009)

47. Un atleta debe tomar por lo menos 4 unidades de vitamina A, 6 unidades de vitamina B y 23 de vitamina C cada día. Existen en el mercado dos productos, P1 y P2 que en cada bote contienen las siguientes unidades de esas vitaminas: A B C P1 4 1 6 P2 1 6 10 Si el precio de un bote del producto P1 es de 100 euros y el de un bote del producto P2 es de 160 euros, averiguar: c) ¿Cómo deben mezclarse ambos productos para obtener la dieta deseada con el mínimo precio? d) ¿Qué cantidad tomará de cada vitamina si decide gastar lo menos posible? [S: )^29 D>42 92 [G RM QMP iMNOP QO Š ; i) W TQ r, G , A W TQ Y QO o ] (Murcia, 2009)

48. Una empresa de muebles fabrica dos modelos de armarios. Cada armario del primer modelo requiere 5 horas para su montaje, 1 hora de pulido y 1 hora para su embalaje y deja un beneficio de 300 euros. Cada armario del segundo modelo necesita 2 horas para el montaje, 1 hora de pulido y 2 horas de embalaje y su beneficio es de 400 euros. La empresa dispone de 40 horas para montaje, 10 horas para el pulido y 16 horas para el embalaje. ¿Cuál es la producción que maximiza el beneficio? i) ii) iii)

Plantear el problema. (4 puntos) Resolución gráfica. (4 puntos) Analizar gráficamente qué ocurre si el beneficio de cada armario del primer modelo aumenta en 100 euros. (2 puntos)

[S: ?B, 3>E ?m , )@ Bm , ) ] [Sol: (Murcia, junio 2012)

112.

113. Una industria papelera elabora dos clases de papel a partir de dos tipos de madera. Las cantidades de madera necesarias por unidad de cada tipo de papel y las disponibilidades semanales (en las unidades adecuadas): PAPEL 1 PAPEL 2 DISPONIBILIDADES MADERA 1 8 8 64 MADERA 2 4 8 50 Si el beneficio neto por cada unidad son 100000 y 200000 u.m. respectivamente, ¿qué cantidad de papel de cada clase nos dará el beneficio máximo? a) Plantear el problema. (1,5 puntos) b) Resolución gráfica. (1,5 puntos) c) Analizar gráficamente qué ocurre si las disponibilidades de madera 1 se reducen a 50 unidades. (0,5 puntos) [Sol: b) el beneficio máximo se obtiene en los puntos (0,6); (2,5); (4,4); c) (0,6)] (Navarra, junio 2012)

30

PROBLEMAS PROGRAMACIÓN LINEAL (BACHILLERATO CIENCIAS SOCIALES) a) Representar gráficamente la región del plano definida por las inecuaciones: …≥0 ¯ /≥0 … + 2/ ≤ 20 \ ®3… + 2/ ≤ 30 ¬ …+/ ≥5 b) Hallar los valores máximo y mínimo de la función F(x,y) =x+3y en dicha región y los puntos en los que se alcanzan. (3 puntos) [Sol: i) ·; ^á‹ 28 Y @ 82 7;37E|7 2E m , G ); 2; ^íE 28 A @ 82 7;37E|7 2E mA, ) ] (Pais Vasco, junio 2012)

114.

Sea la función f(x,y) = -0,8x+1,5y sujeta a las restricciones: … + / ≤ 10; … + 2/ ≥ 8 ; 2 ≤ / ≤ … + 6 ; … ≤ 6. a) Representa la región R del plano determinado por el conjunto de restricciones y calcula sus vértices. b) Calcula los puntos de R donde la función alcanza sus valores máximo y mínimo. (Galicia, junio 2013)

115.

116. O dono dunha tenda de fotografía desexa comercializar dous tipos de cámaras de fotos A e B cun prezo de venda ao público de 210 e 300 euros a unidade, respectivamente. Para a compra de ambos os dous tipos dispón dun máximo de 2760 euros e fará o pedido a un almacén que lle cobra 120 euros por cada cámara do tipo A e 180 euros por cada cámara do B. O dono fará o pedido coa condición de que: polo menos 3 cámaras sexan do tipo A, entre 4 e 12 sexan do B e o número de cámaras do tipo A non debe superar en máis de tres unidades ao número de cámaras do tipo B. (a) Formula o sistema de inecuacións asociado ao problema. Representa a rexión factible, calcula os seus vértices. (b) ¿Cantas cámaras de cada tipo deberá adquirir para que os beneficios obtidos sexan máximos? (Galicia, septiembre 2013) 117. Un fabricante de tapices dispone de 500 kg de hilo de seda, 400 kg de hilo de plata y 225 kg de hilo de oro. Desea fabricar dos tipos de tapices: A y B. Para los del tipo A, se necesitan 1 kg de hilo de seda, 2 kg de hilo de plata y 1 kg de hilo de oro, y para los del tipo B, 2 kg de hilo de seda y 1 kg de hilo de plata. Cada tapiz del tipo A se vende a 2000 euros, y cada tapiz del tipo B, a 3000 euros. Si se vende todo lo que se fabrica, calcula : a) ¿Cuántos tapices de cada tipo ha de fabricar para que el beneficio sea mínimo y cuál es ese beneficio? . (2 puntos) b) ¿Qué cantidad de hilo de cada clase quedará cuando se fabrique el número de tapices que proporciona el máximo beneficio? (0,5 puntos) [Solución: a) 100 / 200; 800000€ ; b) no quedará hilo de seda ni de planta; quedarán 125 kg de hilo de oro ] (Andalucía, junio 2013

31

PROBLEMAS PROGRAMACIÓN LINEAL (BACHILLERATO CIENCIAS SOCIALES) 118. Una empresa fabrica pinturas de dos tipos: mate y brillante. Para ello, mezcla dos productos A y B en distintas proporciones. Cada kilo de pintura mate necesita 0,4 kilos de producto A y 0,6 kilos de producto B. Cada kilo de pintura brillante necesita 0,2 kilos de producto A y 0,8 kilos de producto B. La empresa no puede usar más de 200 kilos de producto A ni más de 500 kilos de producto B. Además, por razones comerciales, quiere fabricar al menos 200 kilos de pintura mate y al menso 300 kilos de pintura brillante. El beneficio por kilo de pintura mate es de 4 euros y el beneficio por kilo de pintura brillante es de 5 euros. ¿Qué cantidad de cada tipo de pintura debe fabricar la empresa para maximizar su beneficio? ¿Cuál será el beneficio máximo que obtendrá? (3,5 puntos) [S: 300 kg mate, 400 kg brillante; 3200 € ] (Aragón, junio 2013 119. Una empresa constructora dispone de un terreno de 100 dam2 para construir dos tipos de casas. Las casas de tipo A ocuparán una superficie de 4 dam2 y las de tipo B de 2 dam2. Sobre plano ya se han vendido 4 casas de tipo A y 18 de tipo B, por tanto deben construir al menos esas unidades. Además, por estudios de mercado han decidido construir al menos el triple de casas de tipo B que de tipo A. a) ¿Cuántas casas pueden construirse de cada tipo? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Se cumplirían los requisitos si se construyesen 5 casas de tipo A y 11 de tipo B? (1,75 puntos) b) Si por cada casa de tipo A vendida obtendrán un beneficio de 100000 euros, por cada cas de tipo B un beneficio de 60000 euros y venden todo lo que construyen, ¿cuántas casas deben construir de cada tipo para maximizar beneficios? (0,75 puntos) [S: a) NO ; D) RSPSP QO NTUM r

QO NTUM ] (Asturias, junio 2013

120. Una empresa química se dedica a la elaboración de dos productos diferentes: A y B. La fabricación de cada uno de ellos requiere dos procesos diferentes. La siguiente tabla muestra el tiempo necesario en cada uno de los procesos para la obtención de una unidad de cada producto: Tiempo necesario en el proceso I Tiempo necesario en el proceso II Unidad de producto A 4 horas 2 horas Unidad de producto B 2 horas 9 horas Cada uno de los procesos debe estar supervisado en todo momento por un ingeniero. El ingeniero que supervisa el proceso I dispone para esa labor de 16 horas cada semana, mientras que el encargado de supervisar el proceso II dispone de 24 horas semanales. La empresa vende cada unidad de producto A a un precio de 7 unidades monetarias, y cada unidad de B, a un precio de 5 unidades monetarias. Determinar las unidades que deben obtenerse de cada producto con el fin de maximizar los ingresos semanales. (3,5 puntos) [Solución: 3 unidades de A y 2 unidades de B ] (Cantabria, junio 2013

32

PROBLEMAS PROGRAMACIÓN LINEAL (BACHILLERATO CIENCIAS SOCIALES) 121. Considera el siguiente problema de programación lineal: Maximiza la función z=2x+y sujeta a las siguientes restricciones:

33

…−/ ≤1 … + / ≤ 2\ q …≥0 /≥0

a) Dibuja la región factible. (1 punto) b) Determina los vértices de la región factible. (0,25 puntos) c) Indica la solución óptima del problema dado y su valor. (0,25 puntos) [Solución: a) ;

i) .m0,0); 0m1,0); ef , fg / m0,2) ; R) ef , fg / z" •

€

•

€



d f

]

(Castilla-La Mancha, junio 2013 122. Un agricultor quiere cultivar una finca de 200 hectáreas únicamente con dos cultivos: trigo y remolacha. Al menos 90 hectáreas deben ser de trigo. Cada hectárea de trigo necesita una dedicación anual del agricultor de 20 horas y proporcionará un beneficio neto anual de 800 euros. Cada hectárea de remolacha requiere 30 horas de dedicación anual pero da un beneficio neto de 1000 euros. El agricultor podrá dedicar este año a esos cultivos un total de 4500 horas. Utiliza técnicas de programación lineal para encontrar cómo debe repartir el cultivo en la finca entre trigo y remolacha para que el beneficio neto anual sea mínimo. Calcula, además, ese beneficio neto máximo. [Solución: 150 Há trigo y 50 Há de remolacha; 170000 € ] (Castilla-León, junio 2013 123. Un tendero va al mercado central con su furgoneta, que puede cargar 700 kg, y con 500 € en el bolsillo, a comprar fruta para su tienda. Encuentra manzanas, a 0,80 €/kg y naranjas a 0,50 €/kg. Calcula qué podrá vender las manzanas a 0,90 €/kg y las naranjas a 0,58/kg. ¿Qué cantidad de manzanas y de naranjas le conviene comprar si quiere obtener el mayor beneficio posible? (2 puntos) [Solución: A ¸n QO VS ´S SP ¸n QO SXS —SP ] (Cataluña, junio 2013) 124. Una tienda de alimentación dispone de 48 litros de zumo de limón, 30 litros de zumo de naranja y 36 litros de zumo de piña. Con ellos elabora dos tipos de lote (A y B). Cada lote A contiene 3 litros de zumo de limón, 2 litros de zumo de naranja y 1 litro de zumo de piña. Cada lote B contiene 2 litros de zumo de limón, 1 litro de zumo de naranja y 2 litros de piña. Sabiendo que el beneficio obtenido por cada lote A es de 6 euros y por cada lote B de 5 euros, se pide: a) El número de lotes de cada tipo para obtener el máximo beneficio. b) El valor de dicho beneficio máximo. [Sol:") 6 $ . / 15 $ 0 ; !) 111 # ] (Extremadura, junio 2013) Sea la función f(x,y) = -0,8x+1,5y sujeta a las restricciones: … + / ≤ 10; … + 2/ ≥ 8 ; 2 ≤ / ≤ … + 6 ; … ≤ 6. a) Representa la región R del plano determinado por el conjunto de restricciones y calcula sus vértices. b) Calcula los puntos de R donde la función alcanza sus valores máximo y mínimo. [Sol:

125.

") zé# $% : . e− , g ; 0 = m2,8); ‚ €‚ •

•

m4,2) ; !) " %" ’"

m2,8) á…$

= m6,4); /

= m6,2)/ « =

m6,2) í $

] (Galicia, junio 2013)

PROBLEMAS PROGRAMACIÓN LINEAL (BACHILLERATO CIENCIAS SOCIALES) 126. Una empresa de automóviles tiene dos plantas P1 y P2 de montaje de vehículos en las que produce tres modelos M1, M2 y M3. De la planta P1 salen semanalmente 10 unidades del modelo M1, 30 del M2 y 15 del M3; y de la planta P2 , 20 unidades del modelo M1, 20 del M2 y 70 del M3 cada semana. La empresa necesita al menos 800 unidades del M1, al menos 1600 del M2 y al menos 1800 del M3. Si el gasto de mantenimiento de cada planta es de 36000 € semanales, ¿cuántas semanas ha de funcionar cada planta para que el coste de producción sea mínimo? ¿Cuál es el coste mínimo? Se ha de plantear el problema como un problema de programación lineal, representar gráficamente el conjunto factible de soluciones determinando y dibujando sus vértices, y resolverlo. (10 puntos) [Sol: 40 semanas P1 y 20 semanas P2 ; 2160000 euros ] (Islas Baleares, junio 2013) 127. a) Representar gráficamente, señalando los vértices, así como la ecuación que corresponde a cada una de las rectas que la delimitan, e indicando si es una región acotada del plano o no, el conjunto de puntos que satisfacen las inecuaciones lineales siguientes: (6 puntos) … + / ≥ 14 m1) ¯ 2… - + 3/ ≥ 36 m2) 4… + / ≥ 16 m3) \ (6 puntos) ® … − 3/ ≤ 0 m4) ¬ b) Dar un punto que no cumpla solo la inecuación (2); otro que cumpla solo las restricciones (3) y (4), y otro que no cumpla ninguna de las cuatro restricciones. Comprobar algebraicamente las condiciones de cada punto. (4 puntos) [Sol: a) Región no acotada ; b) (10,5) ; (6,6) ; (0,-1) ] (Islas Baleares, junio 2013) 128. Un artesano fabrica dos tipos de puertas de jardín utilizando varillas de hierro macizo y varillas de hierro hueco. Para una puerta del primer tipo, con un beneficio por unidad de 40 €, necesita 10 metros de varilla de hierro macizo y 20 metros de varilla de hierro hueco. Para una puerta del segundo tipo, con un beneficio por unidad de 60 €, necesita 5 metros de varilla de hierro macizo y 20 metros de varilla de hierro hueco. Dispone de 440 metros de varilla de hierro macizo y, como mínimo, debe gastar 800 metros de varilla de hierro hueco. Además, tiene que fabricar un mínimo de 25 unidades del primer tipo. Si un kilo de A vale 10 euros y uno de B vale 4 euros. a) Plantear un problema para determinar las cantidades que debe fabricar de cada tipo para maximizar los beneficios. b) Dividir la región factible y encontrar la solución óptima para el problema. c) ¿Cuántos metros le han sobrado de varillas de hierro macizo? [Sol: a) ; !) 25 # " $ 1 / 38 # " $ 2 ; %) !#" " " ] (Islas Canarias, junio 2013) 129. P2. Tomemos las restricciones: −… + 2 ≤ / ≤ −2… + 4 ; … ≤ / ≤ 2… a) Dibujar la región factible asociada con las restricciones anteriores. (1 punto) b) Maximizar la función f(x,y)=3x+6y sujeta a las restricciones anteriores. (1 punto) c) Da una función objetivo g(x,y) de forma que el problema de maximizarla sujeta a las restricciones dadas tenga infinitas soluciones. (1 punto) [Sol: ") ; !) ¹á…$ m1,2) ; m…, /) = 2… + /] (La Rioja, junio 2013)

34

PROBLEMAS PROGRAMACIÓN LINEAL (BACHILLERATO CIENCIAS SOCIALES) 130. Calificación máxima 2 puntos. Se desea maximizar la función f(x,y)=64,8x+76,5y sujeta a las siguientes restricciones: + A ≤ C ; + Y ≤ Y ; ≥ ; ≥ a) Represéntese gráficamente la región de soluciones factibles y calcúlense las coordenadas de sus vértices. b) Determínese el valor máximo de f sobre la región, indicando el punto donde se alcanza dicho máximo. [Sol: 7) ?m , ); Bm , G (La Rioja, junio 2013)

); •mCA, A ); º e

C

, g ; D) º e

C

, g ; J JA. ]

131. Una pastelería dispone de 100 kg de masa, 80 kg de crema de chocolate y 46 kg de nata. Con estos ingredientes elabora dos tipos de tartas: la tarta de chocolate, que requiere para su elaboración 1 kg de masa y 2 kg de crema de chocolate, y la tarta de chocolate y nata, que requiere 2 kg de masa, 1 kg de chocolate y 1 kg de nata. Por cada tarta de chocolate se obtiene un beneficio de 10 euros, y de 12 euros por cada una de chocolate y nata. Suponiendo que vende todas las tartas, ¿cuántas tartas de cada tipo debe preparar para maximizar su beneficio?, ¿cuál es el beneficio máximo? (3 puntos) [Sol: 92 31>3>;742 @ 92 31>3>;742 @ E747; D2E2F8 ] (Murcia, junio 2013) 132. Una empresa fabrica dos modelos de sillas de ruedas. Los recursos disponibles y las cantidades requeridas para cada silla se dan en la siguiente tabla: MODELO 1 MODELO 2 DISPONIBILIDAD HORAS DE MANO DE OBRA 2 4 100 UNIDADES DE ACERO 3 1 600 MOTORES 1 200 Si cada silla del modelo 1 da un beneficio de 60 euros y cada silla del modelo 2 de 160 euros, ¿cuántas unidades de cada modelo se han de fabricar para maximizar el beneficio? a) Plantee el problema. (1,5 puntos) b) Resolución gráfica. (1,5 puntos) c) Analice gráficamente qué ocurre si la disponibilidad de acero se reduce a 410 unidades. (0,5 puntos) [Sol: b) en el vértice B(100, 200) alcanza el máximo, Habría que fabricar 100 sillas del modelo I y 200 del modelo II; c) máximo en B(70,200), fabricar 70 sillas de modelo I y 200 de modelo II] (Navarra, junio 2013)

35

PROBLEMAS PROGRAMACIÓN LINEAL (BACHILLERATO CIENCIAS SOCIALES) 133. (Hasta 3 puntos) a) Representar gráficamente la región del plano definida por las inecuaciones: 3 ≤ … ≤ 20 ¯ / ≤ 10 …+/ ≥6 \ ®−… + 15/ ≥ 10 ¬ b) Hallar los valores mínimos de las funciones F(x,y)=2x+3y , G(x,y)=x+y, en dicha región y los puntos en los que se alcanzan. [Sol: i)» 7;37E|7 2; ^íE 2E mA, G); v 7;37E|7 2; ^íE 2E 2; 82a^2E4> ?·, 3>E ?mA, G); BmY, Y ) ]

(País Vasco,

junio 2013)

134.. a) Representa la región del plano definida por el sistema de inecuaciones: € / + 2… ≤ 6; / ≤ … ; 4/ ≥ … − 3 , y calcula sus vértices. Justifica si los puntos ¼ e1, − g y f

½mf , 1) pertenecen o no a esta región. €

b) Calcula en qué punto o puntos de esta región la función f(x,y)=y+2x alcanza el valor máximo. [S: a ; i) ] (Galicia, septiembre 2014)

135. a) Dadas las inecuaciones / ≤ … + 5, 2… + / ≥ −4 , 4… ≤ 10 − /, / ≥ 0 represente el recinto que limitan y calcule sus vértices. (1,8 puntos)

b) Obtenga el máximo y el mínimo de la función ªm…, /) = … + f / en el recinto anterior, así como los €

puntos en los que se alcanzan. (0,7 puntos) [Solución: a) ; b) En (1,6) el máximo vale 4; el mínimo vale -2 en el segmento AD, con A(2,0); D(-3,2) ] (Andalucía, junio 2014)

136. Un deportista solamente puede tomar para desayunar barritas de chocolate y barritas de cereales. Cada barrita de chocolate proporciona 40 gramos de hidratos de carbono, 30 gramos de proteínas y 200 Kcal, mientras que cada barrita de cereales proporciona 80 gramos de hidratos de carbono, 10 gramos de proteínas y 100 Kcal. El deportista quiere tomar al menos 320 gramos de hidratos de carbono y 90 gramos de proteínas, pero no quiere tomar más de 1000 Kcal. El coste de cada barrita de chocolate es de 2 euros, mientras que el cada barrita de cereales es de 1 euro. Plantear y resolver un problema de programación lineal para determinar cuántas barritas de cada tipo tiene que tomar el deportista para desayunar de forma que cumpla las condiciones anteriores y gaste la menor cantidad de dinero. (3,5 puntos) [S: 2 barritas de chocolate y tres de cereales ] (Aragón, junio 2014)

36

PROBLEMAS PROGRAMACIÓN LINEAL (BACHILLERATO CIENCIAS SOCIALES) 137. Una empresa fabrica y vende dos modelos de cámaras de fotos SX230 WX245. Para la fabricación de cada cámara del modelo SX230 se precisa de 30 minutos de trabajo manual y 20 minutos de trabajo de máquina, mientras que para la fabricación de cada cámara del modelo WX245 se precisa de 40 minutos de trabajo manual y 10 minutos de trabajo de máquina. Además, se sabe que para la fabricación de estos dos modelos la empresa dispone cada semana de 6000 minutos de trabajo manual y 3000 minutos de trabajo de máquina. g) ¿Cuántas cámaras de cada modelo puede fabricar la empresa en una semana? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Se podrían fabricar 100 cámaras de cada modelo en una semana? (1,75 puntos) h) Si el beneficio por unidad vendida es de 50 euros para el modelo SX230 y de 60 euros para el modelo WX2545 y la empresa vende todo lo que fabrica, ¿cuántas cámaras de cada modelo debe fabricar en una semana para maximizar el beneficio? (0,75 puntos) [S: a) NO ; D) G

RáVSXSP ¾¿Y



RáVSXSP À¿

A ] (Asturias, junio 2014)

−… + 3/ ≤ 5 2… + / ≤ 4 \ Minimiza la función Z=2x-3y sujeta a las siguientes restricciones: q …≥0 /≥0

138.

Considera el siguiente problema de programación lineal:

a) Dibuja la región factible. (1 punto) b) Determina los vértices de la región factible. (0,25 puntos) c) Indica la solución óptima del problema dado y su valor. (0,25 puntos)

[Solución: a) ; b) .m0,0); 0m2,0); m1,2); e0, g ; %) í $ • c

junio 2014)

= −8

m1,2)] (Castilla-La Mancha,

139. En un taller textil se confeccionan 2 tipos de prendas: trajes y abrigos. Los trajes requieren 2 metros de lana y 1,25 metros de algodón, y los abrigos requieren 1,5 metros de lana y 2,5 metros de algodón. Se disponen semanalmente de 300 metros de lana y de 350 metros de algodón, y esta semana deben fabricarse al menos 20 abrigos. Empleando técnicas de programación lineal, determina cuántos trajes y abrigos hay que hacer esta semana si se desea maximizar el beneficio obtenido, sabiendo que se ganan 250 euros por cada traje y 350 euros por cada abrigo. ¿A cuánto asciende dicho beneficio? [Solución: 72 trajes y 104 abrigos; 54400 € ] (Castilla-León, junio 2014) 140. Tenemos que fertilizar los terrenos de una finca utilizando dos abonos, A y B. El coste del abono A es de 0,9 €/kg , y el abono B cuesta 1,5 €/kg. El abono A contiene un 20% de nitrógeno y un 10% de fósforo, mientras que el abono B contiene un 18% y un 15% respectivamente. Para fertilizar los terrenos correctamente necesitamos un mínimo de 180 kg de nitrógeno y 120 kg de fósforo. a) Si llamamos x a los kilogramos de abono A e y a los kilogramos de abono B, escribe el sistema de inecuaciones que satisface las condiciones anteriores. (1 punto) b) ¿Cuál es el gasto mínimo que debemos hacer si queremos fertilizar los terrenos de la finca correctamente? (1 punto) [Solución: i) G J €, RM G

¸n QO ‡OXNTLT´S NO r ] (Cataluña, junio 2014)

37

PROBLEMAS PROGRAMACIÓN LINEAL (BACHILLERATO CIENCIAS SOCIALES) Representa gráficamente la región determinada por el sistema de inecuaciones: / …≥ ¯ 2 760… + 370/ ≤ 94500\ ® … / + ≥ 100 ¬ 2

141.

38

y calcula sus vértices. ¿Cuál es el máximo de la función f(x,y) =x+y en esta región? ¿En qué punto se alcanza?

[Sol: rm , J ); mG , A ); om Y, G Valenciana, junio 2014)

) ; Vá TVM: GJ}, O m Y, G

)

]

(Comunidad

142. Una empresa de alimentación tiene en su almacén de legumbres 4000 kg de garbanzos y 3000 kg de judías. Para favorecer su venta quiere distribuirlos en lotes de dos tipos, A y B. Cada lote A contiene 1 kg de garbanzos y 1 kg de judías. Cada lote B contiene 2 kg de garbanzos y 1 kg de judías. Se obtiene un beneficio de 2 euros por cada lote de A y 3 euros por cada lote de B. Se pide: a) El número de lotes de cada tipo para obtener el máximo beneficio. b) El valor de dicho beneficio máximo. [Sol:") 2000

$

. / 1000

$

0 ; !) 7000

# ] (Extremadura, junio 2014)

Consideremos el siguiente sistema de inecuaciones: / − … − 2 ≤ 0; / + … − 6 ≤ 0 ; 2/ ≥ 5 − … . a) Representa gráficamente la región factible y calcula sus vértices. b) Calcula en qué puntos de esa región alcanza los valores máximo y mínimo la función f(x,y)=x+2y. c) Responde al apartado anterior si se añade / ≥ 0 al sistema de inecuaciones anterior. [Sol:

143.

") zé# $% : . e• , •g ; 0 = m7, −1); € d

m2,4); !) " %" ’"

m2,4) á…$

%). e• , •g ; m2,4); m5,0); «m6,0), € d

=

á…$

/





m6,0)/ í $

.0 í $

;

. ] (Galicia, junio 2014

144. Un agricultor estima que el cuidado de cada metro cuadrado de plantado de lechugas requiere semanalmente 45 minutos, mientras que el de col exige 50. Dispone de un terreno de 40 m2 de extensión que puede dedicar total o parcialmente al cultivo de las dos verduras, pero quiere plantar al menos 3 m2 más de col que de lechugas. El metro cuadrado de lechugas le reporta un beneficio de 3 €, mientras que el de col le proporciona 4 €, planificando obtener al menos un beneficio de 60 €. ¿Cuánta extensión le interesa plantar de cada verdura si su objetivo es que el tiempo dedicado al cultivo sea mínimo? Se ha de plantear el problema como un problema de programación lineal, representar gráficamente su conjunto factible de soluciones determinando y dibujando sus vértices, y resolverlo. (10 puntos) [Sol: 15 m2 de col y no plantar lechugas ] (Islas Baleares, junio 2014]

PROBLEMAS PROGRAMACIÓN LINEAL (BACHILLERATO CIENCIAS SOCIALES) 145. En un almacén se guardan bidones de aceite de girasol y de oliva. Para atender a los clientes se ha de tener almacenado un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol y 40 de aceite de oliva y, además, el número de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol. La capacidad total del almacén es de 150 bidones. Sabiendo que el gasto de almacenaje de un bidón de aceite de oliva es de 1€ y de uno de girasol de 50 céntimos, ¿cuántos bidones de cada tipo habrá que almacenar para que el gasto sea mínimo? ¿Y para que el gasto sea máximo? Se ha de plantear el problema como un problema de programación lineal, representar gráficamente su conjunto factible de soluciones determinando y dibujando sus vértices, y resolverlo. (6 puntos) [Sol: gasto mínimo: 20 de girasol y 40 de oliva ; gasto máximo: 20 de girasol y 130 de oliva ] (Islas Baleares, junio 2014] 146. Una fábrica hace con harina y nata dos tipos de bizcochos: suave y duro. Dispone de 160 kilogramos de harina y 100 kg de nata. Para fabricar un bizcocho suave, necesita 250 gramos de harina y 250 gramos de nata. Para fabricar un bizcocho duro, necesita 400 gramos de harina y 100 gramos de nata. Si los bizcochos suaves se venden a 6€ y los bizcochos duros a 4,5 €, a) Plantear un problema que controle la fabricación de bizcochos maximizando las ventas. b) ¿Qué cantidad se debe fabricar de cada tipo para maximizar los beneficios. [Sol: a) ; !) 320

"z / 200

#

] (Islas Canarias, junio 2014)

147. En una bodega se producen vinos de crianza y vinos de reserva. Por problemas de diseño, la producción de ambos tipos de vino no debe superar los 60 millones de litros y la producción de vinos de crianza debe ser al menos 10 millones de litros. Además, la producción de vino de reserva no debe superar el doble de la de vino de crianza ni ser inferior a su mitad. a) Plantear el conjunto de restricciones y determinar la región factible. (2 puntos) b) Si la bodega comercializa el litro de vino de crianza a 4€ y el de reserva a 9€, ¿cuál es el diseño de producción que maximiza los ingresos? (1 punto).

[Sol: S) ; i) VTLLM OP QO LTNXMP QO RXTS ´S Rioja, junio 2014)

VTLLM OP QO LTNXMP QO XOPOXtS ]

(La

148. Calificación máxima 2 puntos. Se consideran la función f(x,y)=5x-2y y la región factible del plano S definida por el siguiente conjunto de restricciones: − ≤ ; + ≤ ; ≥ ; ≥ a) Represéntese la región S. b) Calcúlense las coordenadas de los vértices de la región S y obténganse los valores máximo y mínimo de la función f en S, indicando los puntos donde se alcanzan. [Sol: 7) ?m , ); Bm , ); •mY, Y); ºm , Y) ; D)^íE 2E: ºm , Y); − ; ^á‹ 2E ∶ Bm , ), G . ] (Madrid, junio 2014)

39

PROBLEMAS PROGRAMACIÓN LINEAL (BACHILLERATO CIENCIAS SOCIALES) 149. Una fábrica de tintas dispone de 1000 kg del color A, 800 kg del color B y 300 kg del color C, con los que fabrica dos tipos de tinta, una para la etiqueta de un refresco y otra para un cartel. Cada bote de tinta de la etiqueta necesita 10 kg del color A, 5 kg del color B y 5 kg del color C y el de tinta del cartel requiere 5 kg de A y kg de B. Obtiene un beneficio de 30 euros por cada bote de tinta para etiquetas y de 20 euros por cada uno de tinta para carteles. Si vende todos los botes fabricados, ¿cuántos botes de cada tipo de tinta debe fabricar para maximizar su beneficio?, ¿cuál es el beneficio máximo? (3 puntos) [Sol: 2014)

D>428 92 4 m , ), 28 . ] (País Vasco,

Sea R la región del plano determinada por el sistema de inecuaciones: 2… + 3/ ≤ 12 , −2 ≤ 2… − / ≤ 4 , / ≥ 0 (a) Representa la región R y calcula sus vértices. Justifica si el punto P(–1/2, 1/2) pertenece o no a la región R. (b) Calcula el punto o puntos de R donde la función f(x,y)=2x+5y, alcanza sus valores máximo y mínimo. (Galicia, junio 2015)

152.

153. Sea la función lineal f(x,y)=x-3y sujeta al conjunto de restricciones … + 2/ ≤ 12 , 2… + / ≤ 18 , … ≥ / , … ≥ 0 , / ≥ −2 (a) Representa la región R del plano determinado por el conjunto de restricciones y calcula sus vértices. (b) Determina (si existen) los puntos de R donde la región alcanza sus valores máximo y mínimo. (Galicia, septiembre 2015)

40