PROBLEMAS OPOSICIÓN 2004 ANDALUCÍA

PROBLEMAS OPOSICIÓN ANDALUCÍA 2004 1. El conjunto a  b  4 / a, b   tiene estructura de anillo respecto de la suma y el producto ordinarios de los números reales. Probar que este anillo no tiene estructura de cuerpo y encontrar un elemento del conjunto que no posea inverso. an n  5n

2. a) Dada la sucesión de término general an  5an1  3, a1  2 , hallar E  lim b) Hallar lim  e  3x  x

1 x

x 0

3. Un segmento AB cuya longitud es 4 se mueve teniendo su extremo A sobre la recta r1 : y  3x  1  0 , y su extremo B sobre la recta r2 : 3 y  x  7  0 . Hallar el lugar geométrico del punto medio del segmento AB. 4. Sea un dado tetraédrico en cuyas caras aparecen los números complejos z0  2, z1  1  i, z2  2  i 5, z3  3  4i . Este dado está trucado y la probabilidad de que cada una de las caras quede oculta al tirar el dado es: P(k )  m  zk , para k = 0, 1, 2, 3, donde m

y zk es

el módulo del complejo zk a) Calcular m, P(0), P(1), P(2), P(3) b) Se lanza cinco veces el dado, ¿cuál es la probabilidad de que quede oculta exactamente dos veces la cara del dado marcada con z3 ? c) Sea el conjunto de los números complejos. Se define f:  , f ( z)  z 3  (6  5i) z 2  (7  17i) z  2 14i

c1) Demostrar que existe   tal que f ( )  0 c2) Los números complejos a  4  5i y b  1  7i satisfacen la ecuación f ( z)  ( z   )  ( z2  az  b) , z  . Calcula z1  z3 y z1  z3 . Resuelve entonces la ecuación f(z) = 0 5. Dada la siguiente configuración de los números naturales: 1

10

5

2 6

3 7

4 8

9

11

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Hallar la suma de los números situados en la n-ésima fila. 6. Se considera la función real de variable real f ( x)  ( x  1)2  e x a) b) c) d)

Estudiar la función y hacer un esbozo de la gráfica Determinar la primitiva de f(x) que se anula para x = 1 Expresa el área del recinto limitado por la curva, el eje OX y las rectas x = 1 y x = a > 1. ¿Cuál es el límite de esta área cuando a   ?

Además, en todos los ejercicios se incluía un apartado que decía: “En este ejercicio se abordan tales conceptos. Relacione esos conceptos con el curriculum de la secundaria y/o del bachillerato y dé una aplicación didáctica de alguno de esos conceptos.”