PROBLEMAS - Momento de Inercia

 

MATERIA: ESTATICA

I

T

S

CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON  

A

EJERCICIO No. 1: Determínese el momento de inercia de un triángulo respecto a su base

l h-y h y

dy

b

dI x

y 2dA

dA

l

dy

dI x  

l

y 2dy

Por similitud de triángulos

l

b d Ix Ix

h

y h

b (h   y ) h

 l

b (h y ) 2 y dy h h b (h y) 2 y dy o h

by 3 h by 4 h 0 0 3 4h 4b h 3   3b h 3 12

bh 3 3

b 3   bh 2   y d y y dy  o  h h  h

bh 4 4h

bh 3 3

bh 3 4

3

bh Ix  12

UNIDAD: I V

PAG: 6(a)

PROPIEDADES DE AREAS PLANAS Y LINEAS  

 

MATERIA: ESTATICA

I

T

S

CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON  

A

EJERCICIO No. 2: Determine por integración directa el momento de inercia del área sombreada, respecto al eje x y al ej eje e y. Calcule el radio de giro.

y

y  kx

13

kx

13

( a   x )dy

dA x dy

b y a

Cálcul Cá lcul o de k

y

b  x

a  b

 k  

ka 1 3

b 1

a

b

y

a

3

x13

1 3

 ya   x     b

1 3

  

3

a 3 y b3

Cálcul Cá lcul o del momento de inercia con respecto al eje x (elemento (elemento diferencial hori zontal)

Ix





2

y dA b

0

ay

ab 3

2



dy

3

ab 6b

b 0

6 3

b 0

y

2

(a

5

ay dy b 3 ab 3 ab 3 6

Ix 



x ) dy ay

3 b 0

3 3

b 0

y

ay 3

ab

(a

0 3

ab 6

y 3a ) dy 3 b

6 b

6b 2 ab

2

3

ab   6

3

3

6 Cálcul Cá lcul o d el momento de i nercia con respecto al eje y (ele (elemento mento dif ere erencial ncial vertical)

y

kx

13

d A   yd ydx x x y

dx UNIDAD: I V

PAG: 6(b)

PROPIEDADES DE AREAS PLANAS Y LINEAS  

 

MATERIA: ESTATICA



2

Iy



I

x dA b

a 0

a

7

x

1 3

3

dx

a 0

x

a

1 3

S

 

ydx yd x

 3  x   10 

b

 

2

T

Iy 

10

CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON  

A



a

x

0

3

2

 b  a

1

x

1



3

3b

a 0



3

10 a

1 3

dy

10

a

3

 

3 a 3b 10

3 a 3b 10

Cálcu Cá lcu lo d el área a

 A

0

 A  

ydx yd x



b

a 0

a

1 3

x

1

3

dx

 

b a

1 3

 3   4  x

4

3

a 0

3b 4a

1 3

a

4

3 ab 4

Cálcul Cá lcul o del radio de giro K x

K

K

ab 3 6 3 ab 4

Ix  A

x

 

x

b 3

4 ab 3 18 ab

4b 2 9 * 2

2

Cálcul Cá lcul o del radio de giro K y

K

K

3 a 3b 10 3 ab 4

Iy y

y

 A

  a

UNIDAD: I V

12 a 3 b 30 ab

6 * 2a 6 * 5

2

2 5 PAG: 6(c)

PROPIEDADES DE AREAS PLANAS Y LINEAS  

3

 

MATERIA: ESTATICA

I

T

S

CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON  

A

EJERCICIO No. 3: Determine los momentos de inercia y los radios de giro del área circular de la figura.

r

d A =  2 π  r d r  dr

r

Cálcul Cá lcul o del momento de inercia pol ar

J

2

=

O

r  d A 2 π  r 

4

=

O

=

4

0

R

2

r    ( 2 π  r  ) d r  =

0

2

π 

r  3 d r  =

R 0

J

 

R

2 π  R = 4

4

π 

=

JO =

R 2

π 

R 2

4

4

Cálcul Cá lcul o del momento de inercia Ix  e Iy  

Por  Po r  Ix

simetría

1 = 2

π 

Ix = UNIDAD: I V

R 2

4

R4 4

π 

  Ix = Iy   y   Ix = Iy = 1 J 2 4 4 π  R π  R = Iy = ∴   4 4

Iy = PAG: 6(d)

O

R4 4

π 

PROPIEDADES DE AREAS PLANAS Y LINEAS  

 

MATERIA: ESTATICA

I

T

S

CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON  

A

Cálcu Cá lcu lo d el área

 A



 A

 



dA R

R 0

2 2

r 

2

R 0

r d r 

2

2

Cálcul Cá lcul o de los radios de giro Con respect o a O

K

R 2 R

JO  A

O

4

2

 

R 4 2 R 2

R 2 2

R 2

Cálcul Cá lcul o del radio de giro K y

K

x

K

UNIDAD: I V

y

Ix  A

R 4 4  R 2

R 4 4 R 2

PAG: 6(e)

R 2 4

R 2

PROPIEDADES DE AREAS PLANAS Y LINEAS