Problemas Metodos Numericos V4

METODOS NUMERICOS

Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA

PRELIMINARES FUNCIONES _____________________________________________________ 3 Selecciones la respuesta correcta _____________________________________________________ 4

TEORIA DE ERRORES _________________________________________________________ 11 RAICES DE ECUACIONES _______________________________________________________ 16 Teoría de Descartes _______________________________________________________________ 16 Sturm __________________________________________________________________________ 16 Aproximaciones Sucesivas __________________________________________________________ 17 Bisección ________________________________________________________________________ 20 Falsa Posición y Secante ____________________________________________________________ 22 Newton Raphson _________________________________________________________________ 24 Horner __________________________________________________________________________ 27 Muller __________________________________________________________________________ 27 General Todos los métodos _________________________________________________________ 27 Aplicación _______________________________________________________________________ 29

INTEGRALES DEFINIDAS _______________________________________________________ 41 Rectangular, Trapecial y Simpson ____________________________________________________ 43 Aplicación (P4_ParteA_MB535_2006_1-Int) ____________________________________________ 49

MATRICES __________________________________________________________________ 63 ECUACIONES SIMULTANEAS LINEALES ___________________________________________ 65 A. Métodos Directos_______________________________________________________________ 69 A-1. Eliminación Gaussiana y Sustitución Backward _____________________________________________ 69 A-2. Factorización LU y Sustitución Forward ___________________________________________________ 69 A-3. Pivoteo y número de dígitos ____________________________________________________________ 70

B. Métodos Iterativos ______________________________________________________________ 71 B-1. Número condición. Perturbaciones y número de dígitos ______________________________________ 71 B-2. Mejoramiento iterativo de soluciones _____________________________________________________ 72

AJUSTE DE CURVAS __________________________________________________________ 79 Interpolación de Newton ___________________________________________________________ 79 Polinomios de Lagrange ____________________________________________________________ 79 Mínimos Cuadrados _______________________________________________________________ 80 Linealizables _____________________________________________________________________ 84

Problemas propuestos

1

METODOS NUMERICOS

Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA

Hermite _________________________________________________________________________ 84 Trazadores o Splines_______________________________________________________________ 86

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS _______________________________________ 96

Problemas propuestos

2

METODOS NUMERICOS

Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA

PRELIMINARES FUNCIONES Consideraciones especiales: Una función es creciente cuando su derivada es positiva; es decreciente cuando su derivada es negativa

f (x) es un máximo si f ' ( x )

0 y f ' ( x ) cambia de signo pasando de positivo a negativo

f (x) es un mínimo si f ' ( x )

0 y f ' ( x ) cambia de signo pasando de negativo a positivo

El número de raíces de una función depende del número de variaciones de signo en dicha función. Al reemplazare el x por (1) las variaciones de signo nos dará el número de raíces positivas, Al reemplazar el x por (-1) las variaciones de signo dará el número de raíces negativas y la máxima potencia dará el número total de raíces. Las imaginarias serán las restantes. Encontrar: Los máximos, Los mínimos, el número de raíces positivas, negativas e imaginarias y decir los rangos para los cuales es creciente y decreciente cada una de las siguientes funciones. Asuma los valores que considere necesarios. 1. f ( x )

2 x 3 9 x 2 12 x 3

2. f ( x )

( x 1) 2 ( x 1) 3

3. f ( x )

a b( x c ) 2 / 3

4. f ( x )

x3

6x 2

6. f ( x )

x

3

2

x

4

5. f ( x )

10 12 x 3x

7. f ( x )

2x

9. f ( x )

4

x

2

x

11. f ( x )

x5

13. f ( x )

x

2

15. f ( x )

x2

17. f ( x )

x

2

2x

4

3

8. f ( x )

1

5x 4 2a 3 x a4 x2

x2

21. f ( x )

x a x 2 2a 2 x2 a2 ( 2 x ) 2 (1 x ) 3

23. f ( x )

a b( x c )1 / 2

25. f ( x )

x(a

19. f ( x )

27. f ( x ) 29. f ( x )

x 2

x x2 x2

x ) 2 (a 2 2x 4 x 4 2x 4

Problemas propuestos

3

x)3

2x

9x 15 x 20

4x 4

4 x 3 12 x 2

10. f ( x )

3x

12. f ( x )

3x 5

20 x 3

14. f ( x )

2x

a3 x2

16. f ( x )

2

18. f ( x )

ax x

a2

x2 x2

a2

20. f ( x )

(2

x ) 2 (1 x ) 2

22. f ( x )

b c( x a ) 2 / 3

24. f ( x )

(2

26. f ( x )

( 2 x a )1 / 3 ( x a ) 2 / 3

28. f ( x ) 30. f ( x )

x2

x )1 / 3 (1 x ) 2 / 3 x

4

x 1 ( x a )(b x2

x)

3

METODOS NUMERICOS

Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA

31. De una pieza cuadrada de cartón de lado a, se desea construir una caja abierta por encima, del mayor volumen posible, cortando de las esquinas cuadrado iguales y doblando hacia arriba el cartón para formar las caras laterales. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados cortados? 32. Suponiendo que la resistencia de una viga de sección transversal rectangular es directamente proporcional a la anchura y al cuadrado de la profundidad, ¿cuáles son las dimensiones de la viga de mayor resistencia que puede aserrarse de un tronco redondo de diámetro d. 33. Hallar la altura del cono de volumen máximo que puede escribirse en una esfera de radio r. 34. Hallar la altura del cilindro de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto dado. 35. Se desea construir una valla alrededor de un campo rectangular y dividirlo en dos parcelas por otra valla paralela a uno de los lados. Si el área del campo es dada hallar la razón de los lados para que la longitud total de las vallas sea la mínima. 36. Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un vecino y ha de tener un área de 10.800m2. Si el vecino paga la mitad de la cerca medianera, ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la huerta para que el costo de cercarla sea para el dueño de la huerta el mínimo?. 37. Un fabricante de Instrumentos electrónicos averigua que puede vender x instrumentos por semana a p pesos cada uno siendo 5 x

375 3 p . El costo de la producción es 500 15x

1 2 x pesos. 5

Demostrar que se obtiene la máxima ganancia cuando la producción es alrededor de 30 instrumentos por semana. p , demostrar que la 5 producción que corresponde a una ganancia máxima es la de unos 25 instrumentos por semana.

38. Si el problema anterior se supone que la relación entre x y p es x

100

20

39. Si en el problema anteriormente planteado se supone que la relación entre x y p es: x 2 2500 20 p , ¿Cuantos instrumentos deben producir semanalmente para obtener la máxima ganancia?. 40. Cuál es el ancho del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un segmento dado de una parábola.

Selecciones la respuesta correcta 41.

Es un procedimiento que describe con ambigüedades, una serie finita de pasos a realizar en un orden especifico: a) Algoritmo b) Seudo código c) a y b son correctas

Problemas propuestos

d) Ninguna de las anteriores

4

METODOS NUMERICOS

42.

Uno de los criterios que siempre trataremos de imponer sobre un algoritmo es que los cambios pequeños en los datos iniciales produzcan otros correspondientes en los resultados finales. Un algoritmo que satisface esta propiedad es: a) Estable

43.

Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA

b) Inestable

c) Condicionalmente estable d) ninguna de las anteriores

Un Punto Fijo de una función " g " es un numero " p" para el cual: a)

g p

p

Problemas propuestos

b)

g0

p c) g p

0 d) f p

0 e) Ninguna de las Anteriores

5

METODOS NUMERICOS

Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA

PRELIMINARES SERIES

1.

2.

Fibonnaci, partiendo de dos valores iniciales (0,1) se continúa calculando el siguiente valor con la suma de los dos anteriores. 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34............ Desarrolle un algoritmo que permita encontrar: 1. Los primeros N términos de dicha serie 2. Los términos hasta encontrar el primero mayor a Q 3. Los términos comprendidos entre un valor M y N (con M>N) Son varios los procedimientos para calcular el resultado de elevar un valor al cuadrado. Ej: Caso 1: La forma sencilla es multiplicar n*n Caso 2: Otra forma es sumar n veces n: n+n+....nn Caso 3: Otra forma es sumar los primeros n impares: 1+3+5+.....(2*n-1) Desarrolle un algoritmo utilizando estructuras cíclicas para resolver el ejercicio por los dos casos últimos. Raíz n ( n # ) de un número(#): Una forma de encontrar la raíz n a un número es el siguiente: si se quiere calcular la

7 entonces se puede replantear como ecuación así: f ( x) x 2 7, f ' ( x) 2 x

Si 3 9 , se asume a x 0 3 como la raíz supuesta de 7 para iniciar el proceso. La primera iteración quedará:

f x0 f ' x0

32 7 2(3)

0.333333

x

x0

3 0.333333

2.666667

Para La segunda iteración el x0 toma el valor de x y se tendrá:

f x0 f ' x0

3.

x

x0

(2.666667) 2 7 2(2.666667) 2.666667 0.0208333

0.0208333 2.6458334

Al igual que el caso anterior, la tercera iteración quedará:

f x0 f ' x0 x

x0

(2.6458334) 2 7 0.000820 2(2.6458334) 2.666667 0.000820 2.6457514

Desarrolle un algoritmo que le permita calcular la raíz de: 1. Los números primos menores a 100. 3 75 , 4 48 , 5 120 2. Para los siguientes ejercicios:

a. Sumar los primero N términos, donde N representa un valor entero que se lee cada vez que se ejecuta el programa junto con el valor de X (en los casos que se requiera). b. Continuar sumando términos sucesivos a la serie hasta que el valor del ultimo término sea menor (en magnitud) que 1 * 10 5

4.

5. 6.

e

ex

1

1 2

1 x

1 1 ... 2 2 2! 2 33! x2 x3 x4 ...... 2! 3! 4!

Problemas propuestos

6

METODOS NUMERICOS

7. 8.

ex e

Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA

cosh(x) sinh(x) x

cosh(x) sinh(x)

12.

x3 x5 .... 3 30 sin 2 ( x ) sin 3 ( x ) e sin ( x ) 1 sin( x ) 2! 3! t 13 3 5 4 e 2 sin( 2t ) 2t t 2 t t ... 12 8 e ix cos(x ) i sin( x )

13.

Sin( x )

x

x3 3!

x5 5!

14.

Sin(

x)

1 2

3

15.

sin( x )

9. 10. 11.

16. 17. 18. 19. 20. 21.

e x sin( x )

3

x2

x

x7 7!

......

... 3x 2 2!

x

sin 4 ( x ) 4!

x3 3!

3x 4 4!

x5 5!

e ix 2i x 2 x4 x6 cos(x) 1 ... 2! 4! 6! e ix e ix cos(x ) 2 x 3 2x 5 17x7 62x 9 tan(x) x .... 3 15 315 2835 x 3 x 5 x7 x 9 1 atan(x) tanh (x) x .... 3 5 7 9 1 π x 3 x 5 x7 x 9 atan( ) x .... x 2 3 5 7 9 2k 1 π π 1 3 k x 1/2 acos(x) k 1 x x 2 k0 2k 1 2 6

...

e ix

3 5 x 40

x

2 22.

asin(x)

x3 6

x

3x 5 40

....

24.

sinh( x )

ex

sinh(x) x

Problemas propuestos

1*3*..( 2n 1 )*x 2 n 1 2*4*...(2n 2 )( 2n 1 )

...

1

1 x 1 x 1

2 23.

5 7 x 112

e 2 x3 3!

x

x5 5!

x7 7!

...

7

METODOS NUMERICOS

1

25.

sinh (x)

x

26.

a sinh( x )

x

Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA

x 3 3x 5 15 x 7 ... 6 40 336 1 x3 1* 3 x 5 2 3 2*4 5

1* 3 * 5 x 7 2*4*6 7

...

27. n

28.

1 (2n )! x 2 n 1 ,x 2 2 n ( n ! ) 2 2n 1

asinh(x) n 0

29.

asinh(x) ln x

30.

cosh(x)

31.

acosh(x) ln(2)

ex

1

x2 1 e

x

2

1 x 2 2 2

1*3 x 4 2*4 4

1*3*5 x 6 2*4*6 6

...

n

32.

1 ( 2n )! x 2 n ,x 2 2n (n !) 2 2n

acosh(x) ln(2) n 1

33. 34.

x2 1

a cosh(x) ln x tanh( x )

x

1

x3 3

2x5 15

17 x 7 315

.....

35.

36.

37.

38.

a sec h( x ) acosh(x 1 ) ln(2)

39.

asech(x)

1 x2 2 2

1* 3 x 4 2*4 4

1* 3 * 5 x 6 2*4*6 6

...

n

ln(2) n 1

1 (2n )! x 2 n ,0 2 2 n ( n ! ) 2 2n

x

1

40. 41.

42.

arc sec h ( x ) ln

Problemas propuestos

1

1 x2 x

8

METODOS NUMERICOS

43.

arc csc h ( x ) ln

44.

tan(x)

Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA

4)n (1 4 n ) 2n 1 x , donde Bs son los números de Bernulli. 2n!

B2n( n 1

45.

46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56.

atanh(x) ln

1 x2 1 x

1 1 x ln 2 1 x

acoth(x) ln

x2 1 x 1

1 x 1 ln 2 x 1

x 2 5 x 4 61 x 6 Sec( x ) 1 .... 2 24 720 x 2 5 x 4 61 x 6 Sech( x ) 1 .... 2 24 720 1 2 7 4 Sec( x ) 1 x x ... 4 96 x2 x3 x4 ln(x 1) x ... 2 3 4 (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 ln(x) (x 1) ... 2 3 4 x x2 x3 1n x n 1 ln(a x) ln(a) ... a 2a 2 3a 3 (n 1)a n 1 ln(1 x)

x

x2 2

x3 3

x4 4

...

x2 2

x4 x6 ln(cos(x)) ... 12 45 1 1 1 1 1 ln(3) ln(2) 2 * * .... 5 3 53 5 55 4(1 1 / 3 1 / 5 1 / 7 1 / 9 1 / 11 1 / 13 ....)

57. i 1

58.

1 x2 x

1

( 1) n *4 2n 1 1 2

6

1 1 1 * 2 3 2

3

1 3 1 1 * * 2 4 5 2

5

....

2

59. 60. 61.

1 1 1 .... 2 2 6 2 3 42 1 2 2 3 3 4 x ( * * * ....) 2 3 3 4 4 5 x 1 1 ( x 1) ( x 1) 2 ( x 1) 3 1

Problemas propuestos

...

9

METODOS NUMERICOS

62. 63. 64.

d ( Log e (1 x)) dx

x2 2 1 x x2

log(1 x) (1 x)

1

Problemas propuestos

x

Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA

(1

2x 2

x3 3 x3

3x 2 3

x4 4 ...

4 x3 4

...)

...

10

METODOS NUMERICOS

Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA

TEORIA DE ERRORES 2

Dados y 0.2115 *10 y x 0.4523*104 , en un ordenador decimal con una mantisa normalizada de cuatro dígitos, al calcular x y en coma flotante: a) No se produce error generado. 1. ya b) El error absoluto generado es 0.4523*104. c) El error propagado es nulo. d) El error propagado no se puede calcular pues no conocemos el verdadero valor. El error de cancelación de cifras significativas se produce: a) Cuando se divide un número por otro muy pequeño. 2. ya b) Cuando se suma dos números de la misma magnitud y distinto signo. c) Cuando se realiza el producto de dos números muy grandes. d) Cuando se restan dos números de la misma magnitud y distinto signo. Dados x = 0.4523*104, e y = 0.2115*10-2 en un ordenador decimal con una mantisa normalizada de cuatro dígitos, al calcular x + y en coma flotante: a) No se produce error generado. 3. ya

b) El error absoluto generado es 0.4523*104. c) El error propagado es nulo. d) El error propagado no se puede calcular pues no conocemos el verdadero valor. El error de cancelación de cifras significativas se produce: a) Cuando dividimos un número por otro muy pequeño.

4. ya

b) Cuando sumamos dos números de la misma magnitud y distinto signo. c) Cuando realizamos el producto de dos números muy grandes. d) Cuando restamos dos números de la misma magnitud y distinto signo.

x 1 . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es Supongamos que tenemos la siguiente función f ( x ) correcta? a) Si queremos evaluar la función en un punto positivo cercano a uno, no habrá problemas de cancelación de términos significativos. b) Debemos utilizar la función g ( x ) 5.

x 1 , que es una función equivalente a f(x) y no presenta x 1

problemas en puntos cercanos a uno. c) Debemos utilizar la función g ( x )

x 1 , que es una función equivalente a f(x) y no presenta x 1

problemas en puntos cercanos a uno. d) Ninguna de las anteriores. Obtener el error absoluto y relativo al considerar 60 mt como la distancia entre dos postes que están situados a 59,91 mt. 6. ya a. 0.25% b. 0.15% c. 0.35%

Problemas propuestos

11

METODOS NUMERICOS

Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA

d. 1.5% e. Ninguna de las anteriores Obtener el error absoluto y relativo al considerar 3,5 mt como longitud de un terreno que mide realmente 3,59 mt. a. 2.5% 7. ya

b. 3.5% c. 1.5%

d. Ninguna de las anteriores Un carpintero tiene que construir una mesa de 136 cm de largo para obtener una superficie de 9.396 cm2. Cuanto medirá el otro lado si utiliza una regla que solo aproxima hasta los milímetros. a. 69.1 8. ya b. 69.09 c. 69.0 d. 69.2 e. Ninguna de las anteriores Calcular las siguientes expresiones, incluyendo sus cotas de error absoluto, donde x=2,00, y = 3,00 y z = 4,00 (estos valores están correctamente redondeados): 9. a) 3 x + y - z b) x y / z c) x sen (y / 40) Calcular la siguiente expresión, incluyendo su cota de error absoluto: w = x y² / z 10.

11.

Donde x = 2,0 ± 0,1, y = 3,0 ± 0,2 y z = 1,0 ± 0.1. Indicar qué variable tiene mayor incidencia en el error en w. ¿Con cuántos decimales significativos hay que tomar a pi y e en las siguientes expresiones para que el resultado tenga tres decimales significativos?: a) 1,3134 b) 0,3761 e Se tienen las siguientes expresiones algebraicamente equivalentes:

12.

c)

e

6

21 / 2 1 1 6 21 / 2 1

a.

f

b.

f

c.

f

d.

f

e.

f

3 2 * 21 / 2 1 3 2 * 21 / 2 99 70 * 21/ 2

f.

f

1 / 99 70 * 21/ 2

3

3

a) Demostrar que, efectivamente, son algebraicamente equivalentes. b) Utilizando el valor aproximado 1,4 para la raíz cuadrada de 2, indicar qué alternativa proporciona el mejor resultado. Se tiene la expresión y

ln [x - (x² - 1) ½ ]

13. a. Calcular y para x = 30, incluyendo su error absoluto. Suponer que la raíz cuadrada se conoce con 6

Problemas propuestos

12

METODOS NUMERICOS

14.

Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA

decimales correctos y que el error en x es despreciable. b. Obtener una expresión matemáticamente equivalente a la anterior, pero mejor condicionada desde el punto de vista numérico, y recalcular el resultado con el nuevo error. Se realizan observaciones de un satélite para determinar su velocidad. En la primera observación la distancia al satélite es L = 30.000 ± 10 km. Luego de 5 segundos (medido con 4 dígitos de precisión) la distancia radial ha aumentado en r = 125 ± 0,5 km y el cambio en la orientación ha sido ø =0,00750 ± 0,00002 radianes. Calcular la velocidad del satélite, incluyendo su error, suponiendo que el mismo se mueve en línea recta y a velocidad constante durante ese intervalo de tiempo. Se dispone de un algoritmo para computar la siguiente integral: bx

1

I ( a, b)

e

(a x2 )

dx

0

Utilizando dicho algoritmo se obtuvo la siguiente tabla: a 0.39 0.40 0.40 0.40 0.41

15.

b 0.34 0.32 0.34 0.36 0.34

I 1.425032 1.408845 1.398464 1.388198 1.372950

Ahora bien, se midieron las cantidades físicas z e y, obteniéndose: z = 0,400 ± 0,003

16.

y = 0,340 ± 0,005

Estimar el error en I ( z, y ) y expresar el resultado final. En una computadora, una celda de memoria tiene 2 posiciones binarias para almacenar los signos de la mantisa y del exponente, 11 posiciones decimales para la mantisa y 3 posiciones decimales para el exponente. Por ejemplo, el número p se almacena de la siguiente forma: +31415926536+001. Indicar cómo se almacenan los números: a)

2.7182818285 b) -1073741824

c) 0.577216

d) -123E-45

Indicar cuál es la cota de error relativo que tiene un número almacenado según esta representación. Determinar las cotas para los errores relativos de v y w (que son dos expresiones algebraicamente equivalentes) en los siguientes casos, utilizando la gráfica de proceso: a)

17.

18.

b)

Suponer que a es positivo y que los números 2 y 3 tienen una representación exacta en la computadora. Comparar los resultados de las dos expresiones y extraer conclusiones. Calcular dichos errores para a=0,6992 (correctamente redondeado), redondeando a 4 dígitos luego de cada operación aritmética. Considerar las expresiones v (a b) / c y w (a / c) (b / c) . Suponer que a, b y c son positivos, sin errores de entrada y que a es aproximadamente igual a b. a) Demostrar que el error relativo por redondeo en w puede ser mucho mayor que el mismo error en v. b) Calcular dichos errores para a = 0,41, b = 0,36 y c = 0,70, utilizando aritmética de punto flotante con 2 dígitos de precisión.

Problemas propuestos

13

METODOS NUMERICOS

19.

Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA

Mostrar en los siguientes cálculos que, trabajando en punto flotante con una precisión de 5 dígitos, no valen las leyes asociativa y distributiva. Usar redondeo simétrico. 0.98765 + 0.012424 - 0.0065432, 3

20.

(4.2832 - 4.2821) * 5.7632

2

3 x - 0,149 en x 4.71 utilizando aritmética de punto flotante de 3 Evaluar el polinomio P(x) x - 6 x dígitos con redondeo truncado. Evaluarlo luego usando la expresión alternativa P( x ) (( x 6) x 3) x 0.149 (denominada Esquema de Horner). Comparar con el resultado exacto y sacar conclusiones. Repetir el ejercicio con redondeo simétrico. Sumar los siguientes números de menor a mayor y luego de mayor a menor utilizando aritmética de punto flotante con 4 dígitos de precisión. Comparar con el resultado exacto y obtener conclusiones.

21. 0.2897 0.4976 0.2488*10 0.7259*10 0.1638*10² 0.6249*10² 0.2162*103 0.5233*103 0.1403*104 0.5291*104 Calcular v 2 w2 usando aritmética de punto flotante de 4 dígitos de precisión, con v=43,21 y w = 43,11, utilizando los siguientes algoritmos: 22. a) Indicar cuál algoritmo es más conveniente y justificar. Investigar la estabilidad numérica en el cálculo de:

b)

x 1/(1 2 * a) (1 a) /(1 a ) , siendo |a|