Problemas Mecánica de Fluidos

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MECÁNICA DE FLUIDOS

01 - Introducción 1. Un tanque contiene aceite y agua sobre los cuales la presión del aire varía. Las dimensiones que se muestran en la figura corresponden al aire a presión atmosférica. Si se agrega lentamente aire utilizando una bomba para elevar la presión manométrica del aire hasta 1MPa, ¿cuál será la disposición final de las superficies del agua y el aceite?. Módulos de elasticidad volumétrica: 2050 MN/m2 para el aceite y 2075 MN/m2 para el agua. Supóngase que el volumen del tanque no cambia y despreciar las presiones hidrostáticas. aire

200 mm

500 mm

Aceite

800 mm

Agua

300 airemm

Resultado : H agua = -0.386 mm,H aceite = - 0.244 mm 2. Un cilindro sólido A de masa 2.5 kg. se desliza con velocidad constante hacia abajo dentro de un tubo, como se muestra en la figura. El cilindro es perfectamente concéntrico con la línea central del tubo, con una película de aceite entre el cilindro y la superficie interna del tubo. La viscosidad del aceite es de 7 x 10-3 N·s/m2. ¿Cuál es la velocidad de caída del cilindro?. Ignorar los efectos de presión del aire. Datos: d=73.8 mm, D=74.0 mm, L=150 mm. d

L

A

Película de aceite

D

Resultado : 10.07 m/s 3. Un torpedo, que se mueve en agua dulce a 10 °C, tiene un punto de presión mínima dado por la fórmula: p min  p 0  0.35V 2

donde p0 = 115 kPa,  es la densidad del agua y V es la velocidad del torpedo. Estime la velocidad para la que se formarán burbujas de cavitación en el torpedo. La constante 0.35 es adimensional. Resultado : v = 18 m/s

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01 - Introducción 4. Halle una expresión para el ascenso capilar h en un tubo circular, de un líquido con tensión superficial  y ángulo de contacto , como muestra la figura. Suponga R = 1 mm, entrefase agua-aire-vidrio,   0,  = 0.073 N/m y  = 1000 kg/m3 Solución: h = 14,88 mm

5. Un bloque de masa M se desliza sobre una película delgada de aceite. El espesor de la película es h, el área del bloque es A. Cuando se suelta, la masa m ejerce una tensión sobre la cuerda, provocando la aceleración del bloque. Despreciar la fricción en la polea y la resistencia del aire. Obtener: 1) Una expresión algebraica para la fuerza viscosa que actúa sobre el bloque cuando éste se mueve a la velocidad v. 2) La ecuación diferencial para la velocidad del bloque. 3) La velocidad máxima del bloque. v M

h Película de aceite m 𝑉

𝑑𝑉

ℎ

𝑑𝑡

Solución: 1) 𝜏 = 𝜇 · 2) (𝑀 + 𝑚)

= 𝑚𝑔 − 𝜇

𝑉·𝐴 ℎ

3) 𝑉𝑚á𝑥 =

𝑚·𝑔·ℎ 𝜇·𝐴

6. Para medir la viscosidad de una muestra se emplean dos discos paralelos. El disco superior gira a una altura h sobre el disco inferior. La viscosidad del líquido entre los discos se calcula a partir de la medida del momento de torsión necesario para hacer girar el disco superior de manera estable. Obtener una expresión algebraica del momento de torsión necesario para hacer girar el disco.

 Película de aceite

h R

Solución: 𝑀 =

𝜋·𝜇·𝜔·𝑅 4 2·ℎ

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01 - Introducción 7. Se muestra un viscosímetro de cilindros concéntricos. El momento de torsión viscoso se produce por medio del espacio anular en trono al cilindro interior. El fondo plano del cilindro interior genera un momento de torsión viscoso adicional, conforme gira sobre el fondo plano del cilindro exterior fijo. Obtener la expresión del momento de torsión viscoso. 

R

H

a

b

Película de aceite

3

Solución: 𝑀 = 𝜋 · 𝜇 · 𝜔 · 𝑅 (

2𝐻 𝑎

+

𝑅 2𝑏

)

8. Un eje de punta cónica gira en cojinete cónico. El espacio entre el eje y el cojinete se llena de aceite. Obtener: 1) Una expresión para el esfuerzo de corte que actúa sobre la superficie del eje cónico. 2) El momento de torsión viscoso que actúa sobre el eje. 

a



H

Película de aceite

z r

Solución: 𝑀 =

𝜋·𝜇·𝜔 ·𝐻 4 ·tan3 𝜃 2·a·cos 𝜃

9. Se muestra un cojinete de empuje esférico. El espacio entre el miembro esférico y el alojamiento es de ancho constante h. Obtener una expresión para el momento de torsión como función del ángulo .

 R 

Solución: 𝑀 =

2·𝜋·𝜇·𝜔·𝑅 4 cos3 𝛼 ℎ

(

3

2

− cos 𝛼 + ) 3

h

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02 - Cinemática 1. El flujo a través de la tobera convergente que se muestra está dado por la expresión

x    v  v1  1   i .  L

Determinar: a) La aceleración de una partícula que se mueve en el campo de flujo. b) Para la partícula localizada en x = 0 en t = 0, obtener una expresión para su posición y aceleración como función del tiempo.

y x

v

L v1 t v12  x   v1 t  v 2 v1 t  1   i b) x p  L  e L  1 , v p  v1e L , a p  1 e L L L   L     2 2. Dado un campo euleriano de velocidades : v  3t i  xz j  ty k m/s, hallar :



Resultado :a) a 

a) La aceleración de la partícula. b) ¿ Es incompresible ? ¿Es irrotacional ? c) El flujo volumétrico y la velocidad media a través de la superficie cuyos vértices son los puntos (0,1,0), (0,1,2), (2,1,2) y (2,1,0).





Resultado : a) a  3 i  (3tz  ty c) 4 m3/s, 1 m/s

2

  x ) j  (2txyz  y 2 ) k , b) Incompresible. No irrotacional, 





3. Un campo de velocidad está dado por v  ax i  ay j ; x e y en metros; a = 0.1 s-1. Obtener: a) La ecuación de las líneas de corriente en el plano xy. b) La velocidad de la partícula en el punto (2,8,0). c) Si la partícula pasa por dicho punto en t = 0, determinar su posición en t = 20s. d) ¿Cuál es la velocidad de dicha partícula en t = 20s? e) La ecuación de la línea de trayectoria de dicha partícula. f) Función de corriente que produce ese campo de velocidades. Resultado:

(𝑎)𝑥 · 𝑦 = 𝑐𝑡𝑒 (𝑏)𝑣⃗(2,8,0) = 2𝑎𝑖⃗ − 0𝑎𝑗⃗ (𝑐)𝑟⃗𝑝 (20) = 2𝑒 20𝑎 𝑖⃗ + 8𝑒 −20𝑎 𝑗⃗ (𝑑)𝑣⃗𝑝 (20) = 2𝑎 · 𝑒 20𝑎 𝑖⃗ − 8𝑎 · 𝑒 −20𝑎 𝑗⃗ (𝑒)𝑥 · 𝑦 = 16 (𝑓)Ψ = 𝑎𝑥𝑦 + 𝑐𝑡𝑒

4. Obtener las ecuaciones de las líneas de corriente en coordenadas cilíndricas (r, , z). Considerar un movimiento bidimensional estacionario tal que

 z

 0 y uz = 0. Determinar y dibujar las líneas de corriente

cuando la velocidad vale :

 q er  a) v  2 r A 1    b) v  2 ( Cos er  Sen e ) 2 r  e  c) v  K r con q, A, K constantes. Resultado : a)

q   Cte , b) r  C Sen , c) r  Cte 2

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02 - Cinemática 5. Una cierta distribución de velocidad viene dada por :

u

x 1  2t

, v

y 1  2t

Calcular : a) trayectoria de la partícula que en el instante t = 0 está en el punto A (1,1) b) línea de corriente que en el instante t = 0 pasa por el punto B (2,2). c) traza producida por el marcador situado en el punto A (1,1) y que se ve en el instante t = 2. Resultado: (𝑎)𝑟⃗𝑝 (𝑡) = √1 + 2𝑡 · (𝑖⃗ + 𝑗⃗)(𝑏)𝑥 = 𝑦 (𝑐)𝑥 = √

1+2𝑡 1+2𝜏

,𝑦 = √

1+2𝑡 1+2𝜏

6. Un flujo tridimensional no estacionario está definido por las componentes de la velocidad :

u

x 1 t

, v

y 1  2t

, w

z 1  3t

Calcular : a) ecuación de las líneas de corriente en el instante t0. b) valor de la densidad en el instante t = t0, sabiendo que para t = 0 es (0) = 1. c) línea de traza en el instante t = t0 si el trazador se sitúa en el punto M (1,1,1). Resultado: (𝑎)𝑥 1+𝑡0 = 𝐶1 · 𝑦1+2𝑡0 , 𝑥 1+𝑡0 = 𝐶1 · 𝑧1+3𝑡0 , (𝑏)𝜌 =

1 (1+𝑡)·√1+2𝑡· 3√1+3𝑡

(𝑐)𝑥 =

1+𝑡0 1+𝜏

1+2𝑡0

;𝑦 = √

1+2𝜏

;

3 1+3𝑡0

𝑧=√

1+3𝜏

7. Dado el siguiente campo de esfuerzos

 ij

y velocidades de un fluido 𝑣⃗ , obtenga la distribución de la

fuerza másica. 10𝑧 2 𝜏𝑖𝑗 = ( 0 2 + 5𝑥𝑧

0 3𝑦𝑥 3 −2𝑦𝑧

2 + 5𝑥𝑧 −2𝑦𝑧 ) 0

𝑣⃗ = [0 2𝑡(𝑥 − 𝐿) 0] NOTA. L es una constante expresando una longitud de referencia característica del problema. Considera la ecuación de conservación del momento en forma diferencial: 𝜕𝑣⃗ + (𝑣⃗ · ∇)𝑣⃗] = ∇𝜏̿ + 𝜌 · ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓𝑚 𝜕𝑡 5𝑥 3𝑥 2 −2𝑦 3𝑧 ⃗⃗ Resultado: 𝑓⃗𝑚 = − 𝑖⃗ + [2(𝑥 − 𝐿) − ( )] 𝑗⃗ − 𝑘 𝜌·[

𝜌

𝜌

𝜌

⃗⃗. 8. Se tiene el siguiente campo de velocidades euleriano: 𝑣⃗ = 2𝑥𝑡𝑖⃗ + 𝑧𝑗⃗ + 2𝑡𝑘 a) Obtenga la trayectoria que sigue la partícula fluida que en el instante t=0 estaba en el punto P(x,y,z)=(1,0,0). b) Indique si el campo de velocidades corresponde a un fluido incompresible. c) Obtenga la expresión de la aceleración de una partícula en un punto (x, y, z) en el instante t. d) Obtenga la expresión de la traza en un instante t para un trazador situado en el punto P(x,y,z)=(1,0,0). 2

Resultado: (𝑎) 𝑟⃗𝑝 (𝑡) = 𝑒 𝑡 𝑖⃗ + ⃗⃗ (d) 𝑥 = 𝑒 𝑡 2𝑡𝑗⃗ + 2𝑘

2 −𝜏2

;𝑦=

𝑡3

⃗⃗ (𝑏)∇ · 𝑣⃗ = 2𝑡 ≠ 0 ⇒ 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 (𝑐) 𝑎⃗ = 2𝑥(1 + 2𝑡 2 )𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 𝑡 2 𝑘

3 2 3 𝜏 3

𝑡2

+ 𝑡 · ( − 𝜏 2) ; 𝑧 = 𝑡 2 − 𝜏 2 3

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03 - Continuidad 1. Considere un flujo estacionario de agua (=1.94 slug/ft 3) a través del dispositivo que se muestra en la figura. El flujo másico que sale de la sección 3 es de 3.88 slugs/s. El flujo volumétrico entrante en la sección 4 es de   1 ft3/s y v1  10 i ft/s. Las secciones son A1 = 0.2 pie2, A2 = 0.5 pie2 y A3 = A4 = 0.4 pie2. Si las velocidades se suponen uniformes a través de todas las secciones de entrada y salida, determinar la velocidad del flujo en la sección 2. 4

y

60º

x

1 3 30º

2

Solución: 𝑉2 = 2

𝑓𝑡 𝑠

2. A través de un tanque grande que tiene un diámetro de D fluye agua con velocidad v = a-r2 m/s. Calcular el valor de la constante a. ¿Cuál es la velocidad media del agua que sale por el tubo más pequeño que tiene un diámetro de d?. Datos: D = 1.5 m y d = 0.3 m

r D d 𝐷4

𝑚

Solución: 𝑉𝑚𝑠 = 2 = 7,03 8𝑑 𝑠 3. Un tanque de volumen 0.05 m3 que contiene aire a P=800 kPa (absolutos) y 15ºC. En t = 0, el aire empieza a escapar a través de una válvula con un área de flujo de 65 mm2. El aire que circula a través de la válvula tiene una velocidad de 311 m/s y una densidad de 6.13 kg/m3. Las propiedades en el resto del tanque pueden suponerse uniformes en cada instante. Determinar la relación de cambio instantánea de la densidad en el tanque, en t = 0. 𝑑𝜌 𝑘𝑔 Solución: = −2.478 3 𝑑𝑡

𝑚 ·𝑠

4. Un acumulador hidráulico se diseña para reducir las pulsaciones de presión en el sistema hidráulico de una máquina herramienta. Para el instante mostrado determinar el flujo de aceite hidráulico que el acumulador gana o pierde.

D = 3 cm. Q = 217 l/min.

Solución:

𝑑𝑉𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑡

= 211,49

𝐿 𝑚𝑖𝑛

v = 13 cm/s.

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03 - Continuidad 5. La sección de una tubería que conduce agua contiene una cámara de expansión con una superficie libre de área 2 m2. El tubo de entrada tiene una sección de 1 m2. En un instante determinado, la velocidad en la sección 1 es de 3 m/s hacia la cámara. El agua fluye hacia afuera en la sección 2 a 4 m3/s. Ambos flujos son uniformes. Calcular la relación de cambio del nivel de la superficie libre en el instante determinado. Indicar si el nivel asciende o desciende.

V1 1 𝑑ℎ

𝑚

v2 2

Solución: = −0,5 𝑑𝑡 𝑠 6. El globo de la figura se llena a través de la sección 1, de área A1, donde la velocidad es V1 y la densidad del fluido ρ1. La densidad media del globo es ρb(t). Obtenga una expresión para la variación temporal de la masa dentro del globo.

Solución:

𝑑𝑀𝑔𝑙𝑜𝑏𝑜 𝑑𝑡

= 𝜌1 · 𝑉1 · 𝐴1

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04 – Cantidad de Movimiento 1. A través del codo reductor que se muestra en la figura, fluye agua estacionariamente. En la entrada del codo la presión absoluta es p1, la velocidad v1 y la sección transversal S1. En la salida la presión absoluta es p2, la velocidad v2 y la sección transversal S2. Si las características del flujo en la entrada y en la salida se pueden suponer uniformes en toda la sección, calcular: a) Fuerza que ejerce el fluido sobre el codo. b) Fuerza requerida para mantener fijo el codo. 2



1

Solución: (𝑎)𝐹⃗𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜→𝑐𝑜𝑑𝑜 = (𝑝1 𝑆1 − 𝑝2 𝑆2 cos 𝜃 + 𝜌𝑣12 𝑆1 − 𝜌𝑣22 𝑆2 cos 𝜃)𝑖⃗ + (−𝑀𝑣𝑐 𝑔 − 𝑝2 𝑆2 sin 𝜃 − 𝜌𝑣22 𝑆2 sin 𝜃)𝑗⃗ (𝑏)𝐹⃗𝑠𝑜𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒 = (−𝑝𝑚 𝑆1 + 𝑝𝑚 𝑆2 cos 𝜃 − 𝜌𝑣12 𝑆1 + 𝜌𝑣22 𝑆2 cos 𝜃)𝑖⃗ + (𝑀𝑣𝑐 𝑔 + 𝑝𝑚 𝑆2 sin 𝜃 + 𝜌𝑣22 𝑆2 sin 𝜃) 1

2

2

2. El agua que sale de la tobera, de sección S, con velocidad v, incide sobre una placa plana que la desvía según se indica en la figura. Suponiendo propiedades uniformes en la entrada y la salida. Determinar: a) Fuerza que ejerce el agua sobre el álabe b) Fuerza sobre el soporte. Nota : suponer que las velocidades relativas al álabe se conservan. Datos: = 60º, v = 30 m/s y S = 0.003 m2  2

1

Solución (Sax = Área del álabe proyectada en la dirección horizontal, S ay = Área del álabe proyectada en la dirección vertical): (𝑎)𝐹⃗𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜→á𝑙𝑎𝑏𝑒 = [𝑝𝑎𝑡𝑚 · 𝑆𝑎𝑥 − 𝑚̇𝑣(cos 𝜃 − 1)]𝑖⃗ + (−𝑀𝑣𝑐 𝑔 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝑆𝑎𝑦 − 𝑚̇𝑣 sin 𝜃)𝑗⃗ (𝑏)𝐹⃗𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜+𝑎𝑡𝑚ó𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎→𝑠𝑜𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒 =[−𝑚̇𝑣(cos 𝜃 − 1)]𝑖⃗ + (−𝑀𝑣𝑐 𝑔 − 𝑚̇𝑣 sin 𝜃)𝑗⃗ 3. Al dispositivo del problema anterior se le acoplan unas ruedes, de manera que el álabe se pone en movimiento, con velocidad u, por acción del chorro que incide sobre él. Determinar: a) la fuerza que debe aplicarse para mantener la velocidad u constante e igual a 10 m/s. b) la velocidad en el caso de que no se aplique esa fuerza. Masa del conjunto M = 75 kg. Despreciar la fricción con el suelo y el aire.  2 v u 1

Solución: (𝑎)𝐹𝑥 = 𝜌(𝑣 − 𝑢)2 𝑆(cos 𝜃 − 1) ⇒ 𝐹⃗ = 𝜌(𝑣 − 𝑢)2 𝑆(cos 𝜃 − 1)𝑖⃗ + ⋯ 𝑗⃗ −1 𝑀 (𝑏)𝑢(𝑡) = 𝑣 · (1 + ) 𝜌𝑣𝑆(1 − cos 𝜃)𝑡

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05 – Momento cinético 1. Una ranura de espesor e en el tubo de la figura, esta configurada en la parte interna de manera que una lámina de agua de espesor uniforme e sale radialmente de la tubería. La velocidad varía linealmente a lo largo de la tubería, tal como se muestra. Si entra un caudal de agua Q por su parte superior, calcular el momento respecto MM causado por el agua dentro del tubo y el aire fuera de éste. La sección interior del tubo es constante y de valor A. Datos: a = 61cm, b = 244cm, c = 30.5cm, e = 7mm, A = 4cm 2 y Q= 57 l/s. M Q

A

c

a

b

M 0

V0

Solución: 𝜌𝑄2 4𝑎 ⃗ ( + 1) 𝑘 32𝑒 𝑏 2. El aparato de riego por aspersión de la figura gira a velocidad angular  = cte. A una presión manométrica Pm de entrada, el caudal de agua en el aparato es de Q. El diámetro de cada chorro es d. Calcular: a) Velocidad relativa del chorro en cada tobera del irrigador. b) Momento de torsión de fricción en el pivote del irrigador. Datos: Pm = 20 kPa,  = 30 r.p.m., Q = 7.5 l/min., R = 150 mm,  = 30º, d = 4 mm. ⃗⃗ 𝑀𝑀 𝑎𝑔𝑢𝑎+𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎→𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 = 𝑀

Solución: Soluciones referidas al sistema de referencia móvil que gira a la velocidad angular del aspersor. 2𝑄 2𝑄 ⃗ ); ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗) (𝑎)𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (− cos 𝛼 𝑖 + sin 𝛼 𝑘 𝑣𝑟 𝑌− = (cos 𝛼 𝑖 + sin 𝛼 𝑘 𝑟 𝑌+ = 2 𝜋𝑑 𝜋𝑑 2 ⃗ ⃗⃗ 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝜌𝑄(𝑅𝑣𝑟𝑠 cos 𝛼 − 𝜔𝑅2 )𝑘 (𝑏)𝑀

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06 – Energía y Ecuación de Bernoulli 1. En el sistema de la figura una máquina toma aire en régimen estacionario a través de la sección uno y lo descarga por las secciones 2 y 3. Las propiedades en cada sección son las siguientes: Sección 1 2 3

A, ft2 0,4 1 0,25

Q, ft3/s 100 40 50

T, ºF 70 100 200

P, lbf/in2 abs 20 30 ??

z, ft 1 4 1,5

La máquina comunica al aire una potencia de 150 HP. Calcular la presión P 3 en libras-fuerza por pulgada cuadrada y el flujo de calor en Btu por segundo. Suponer que el aire es un gas perfecto con R = 1715 y C p = 6003 (ft · lbf)/(slug · ºR). ¿ Podría despreciarse la influencia de las fuerzas másicas por tratarse de un gas?. Justificarlo. Solución: 21.5 lbf/in2 abs, 64 Btu/s. 2 W

•

Q

1

3

2. El tanque de la figura, de 0.1 m3 de volumen, se conecta a una línea de aire de alta presión; tanto la línea como el tanque, al principio se encuentran a una temperatura uniforme de 20 C. La presión manométrica inicial del tanque es de 100 kPa, la presión absoluta de la línea 2 MPa. En la línea la presión y la temperatura se mantienen constantes. En el instante posterior a la apertura de la válvula, la temperatura del tanque aumenta a razón de 0.05 C/s. Determinar la relación instantánea de flujo de aire hacia el tanque si se desprecia la transferencia de calor. Nota : suponer propiedades uniformes en el tanque y que éste es muy grande. Solución: 0.102 g/s Línea de presión

Tanque Válvula

3. En la figura se muestra una tubería de diámetro D a través de la cual fluye agua de un depósito de altura constante H. Antes de cierto dispositivo un manómetro marca P 1 y después de éste el chorro descarga en la atmósfera a través de una tobera con velocidad v. Si no existe transferencia de calor, ni fricción en la tubería, calcular: a) Velocidad en la sección 1. b) Diámetro de la tobera. c) Potencia que intercambia el dispositivo con el fluido. Indicar si se trata de una bomba o de una turbina. Datos: D = 16 in, H = 44 ft, h = 10 ft, P 1 = 15 lbf/in2, v = 35 ft/s Solución: a) 7.51 m/s. b) 0.34 m. c) - 43.47 kW. Turbina

H

P1 h

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06 – Energía y Ecuación de Bernoulli 4. En la figura se muestra una pequeña turbina que absorbe 7.7 kW del flujo de agua que pasa a través del túnel. ¿Qué fuerza horizontal se desarrolla en el túnel por el flujo de agua en el interior y por la presión atmosférica en el exterior ? Solución: 12.8 kN hacia la izquierda.

D = 305 mm

D = 457 mm

V = 5 m/s D = 609 mm P = 103.5 kPa man

5. Una bomba conectada a una boquilla muy perfilada eleva agua verticalmente hasta una altura H=105 m. El diámetro de la boquilla de salida es de 11 cm. Se supone que el movimiento del agua es ideal, despreciándose las fuerzas viscosas y la resistencia del aire. También se supone que la sección recta del chorro cambia gradualmente con la altura, y que éste es compacto y no sufre disgregación hasta relativamente cerca de la altura máxima. Se pide calcular: a) Caudal y velocidad en la boquilla. b) Diámetro del chorro a 60 m. c) Potencia de la bomba, suponiendo un rendimiento del conjunto bomba-boquilla de 0.8. Solución: a) 45.39 m/s, 0.43 m3/s. b) 13.57 cm. c) 553.65 kW

g 105 m 11 cm Altura despreciable

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07 – Análisis dimensional 1. La caída de presión Δp, para flujo estacionario, incompresible y viscoso a través de una tubería de sección circular depende de la longitud de ésta L, la velocidad media ( vm ), la viscosidad del fluido (  ), el diámetro

de la tubería (D), la gravedad (g), la densidad del fluido (  ) y la rugosidad del material de la tubería e. Determinar por AD los grupos adimensionales apropiados para correlar los datos experimentales.

p ( L, vm ,  , D,  , g , e)

2. La figura muestra un chorro de aire descargando verticalmente. La experimentación muestra que la bola permanece suspendida en una posición estable para una cierta altura h. La altura de equilibrio de la bola en el chorro es función del diámetro de la bola (D), el diámetro del chorro (d), la velocidad del chorro (d), la densidad (ρ) y viscosidad ( μ) del aire y el peso de la bola. Encuentre los números adimensionales que caracterizan este fenómeno.

3. Se va a predecir el arrastre de un transductor de sonar, a partir de los datos obtenidos en un modelo ensayado en un túnel de viento a TPE. El prototipo, una esfera de 30 cm de diámetro, se va a remolcar a 2.5 m/s en agua de mar a 5ºC. El modelo tiene 15 cm de diámetro. Determinar la velocidad de la corriente de aire requerida para aplicar semejanza. Si el arrastre del modelo en condiciones de prueba es 25 N, estime el arrastre del prototipo. Datos: Agua de mar a 5ºC ρ=1023kg/m3   1.56 106 m2/s 3 Aire a TPE ρ=1.224kg/m   1.452 105 m2/s Resultado: vm=46,54 m/s Fp=241,17 N 4. Para una determinada aplicación de bombeo de agua se precisa una bomba centrífuga multietapa. La bomba consta de cuatro rodetes idénticos en serie con un diámetro a la salida de 300 mm y una velocidad de giro de 1500 r.p.m. En los ensayos realizados en una bomba monoetapa de un solo rodete, geométricamente semejante a las anteriores de 150 mm de diámetro, se obtuvieron los siguientes resultados: Q=0.01 m3/s, H=20 m para una velocidad de giro de 500 r.p.m. y condición de máximo rendimiento. En el supuesto de considerar para las dos bombas condiciones de funcionamiento semejantes, se pide determinar la altura y el caudal de descarga para la bomba multietapa en condición de máximo rendimiento. Resultado: 0.24 m3/s y 2880 m.

5. Expresar de la forma más simplificada posible mediante el uso del AD, la potencia P que se puede extraer de un aerogenerador de longitud característica D (diámetro punta de las palas) sobre el que incide una corriente de aire de velocidad (v) y cuyo rotor está forzado a girar a un determinado régimen de giro (n). Se considera el aire incompresible. Estudiar los dos casos siguientes: a) La dependencia de P con la viscosidad es importante b) La dependencia de P con la viscosidad es despreciable

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07 – Análisis dimensional Bajo la hipótesis de que los efectos de la viscosidad son despreciables realícese la siguiente aplicación.Un aerogenerador de diámetro 6 m da las siguientes potencias con un viento de 10 m/s como función de las revoluciones a las que gira según la tabla adjunta. Se pide: n (r.p.m) P(kW) 4 150 5.5 175 6.3 200 6.4 215 6.1 225 c) Si la velocidad del viento es v=15m/s, a qué n se presenta la máxima potencia y valor de ésta d) Para un aerogenerador similar de D=12 m a qué velocidad del viento se presentaría la máxima potencia si el aerogenerador gira a 150 r.p.m. Valor de esa potencia. Resultado: a) P(  , V , D,  , n) b) P(  ,V , D, n) c) 322,5 rpm y 21,6 kW d) 13,95 m/s y 69,5kW

6. Una bomba centrífuga tiene una eficiencia del 80% a una velocidad específica de diseño de 2000 ( en unidades de r.p.m. , gpm y pies). El diámetro del impulsor es de 8 pulgadas. En las condiciones de diseño, el caudal es de 300 gpm de agua a 1170 r.p.m. Para obtener un caudal mayor, la bomba se va a acoplar con un motor de 1750 r.p.m. Emplee las leyes de similitud de las bombas para encontrar las características de funcionamiento de diseño de la bomba a la velocidad más alta. Muestre que la velocidad específica permanece constante para la velocidad de operación más elevada. Determine el tamaño requerido del motor. Resultado: 449 gpm, 49 pies y 5188 W. 7. Desarrollar un expresión para el cálculo de la variación de la presión reducida en un conjunto de longitud L, diámetro D y rugosidad K, por el que fluye en régimen permanente un líquido de densidad ρ y viscosidad μ con una velocidad media vm.

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08 – Flujo Laminar

1. Un fluido se mueve en régimen laminar estacionario unidireccional entre dos placas paralelas con viscosidad dominante, de las que una es móvil y está sometido a un gradiente de presiones, de tal manera que el caudal a través de una sección recta fija es nulo. Determinar la presión reducida y a qué distancia de la placa fija la velocidad es mínima.

v P1

h

P2

P1 < P2

2. Dado el cojinete del escalón que se define en la figura y suponiendo que la distribución de presiones del aceita lubricante, en régimen laminar es triangular según se indica, se pide calcular: a) El caudal en los dos tramos del cojinete. b) La carga que puede aguantar el cojinete por unidad de anchura.

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08 – Flujo Laminar 3. La banda continua de la figura se desplaza a una velocidad Uo, recogiendo una película de espesor h de un fluido de densidad ρ y viscosidad μ, descargándolo en un plano superior según se muestra en la figura. El flujo es laminar con viscosidad dominante. El ancho de la banda b y su longitud L (L>>h). Determinar a) perfil de velocidades b) caudal c) distribución de presiones. d) fuerza por unidad de superficie y total necesaria para mover la banda. e) disipación viscosa por unidad de volumen y total. f) potencia necesaria para accionar la banda. g) rendimiento del dispositivo

g

Uo h  L

4. Una pared de L= 30 cm de anchura es utilizada para retener agua tal como se indica en la figura. A H= 36 cm bajo la superficie libre del agua, se produce una grieta de 0.045 cm de altura en toda la anchura de la pared y sobre una envergadura de b= 8.65 m. Determinar suponiendo flujo laminar en la grieta: 1) La velocidad media, el caudal y la velocidad máxima del agua a través de la grieta. 2) El nº de Reynolds. 3) Justificar la hipótesis de flujo laminar unidireccional. 4) Calcular el incremento de temperatura del agua a través de la grieta por disipación viscosa. NOTA: Tomar como viscosidad del agua = 10-3 Kg/m.seg y como densidad = 1000 Kg/m3. Distribución 1 Pr y ( y  h) de velocidades: v x  2  x

H=36 cm

Pa h=0.045cm

L=30 cm

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08 – Flujo Laminar 5. Determinar el esfuerzo cortante en la pared en un tubo de 15 m de longitud y 6 mm de diámetro, por el cual circula un aceite (=0.014 Kg/m.seg. y ρr=0.898 a 50 ºC) con una velocidad de 2 m/s. 6. En una industria se debe conducir un fluido pastoso ( = 2 poises , = 1.2 gr/ cm3) desde un depósito abierto de almacenamiento hasta un muelle de carga. Para ello, se dispone de un sistema de tuberías y una bomba, cuyas dimensiones se indican en la figura. El caudal que se desea transvasar vale 7.5 l/s. Suponiendo movimiento laminar con viscosidad dominante y que las pérdidas secundarias son despreciables, calcular: 1º- Presiones manométricas a la entrada y salida de la bomba, expresadas en k/cm 2. 2º- Potencia del motor de accionamiento de la bomba, suponiendo un rendimiento total para ésta de 0.6. 3º- Expresar matemáticamente la distribución de velocidades en la sección transversal de la tubería. 4º- Justificar las hipótesis adoptadas en el enunciado del problema. Pa

L =300 m Pa D=20 cm 4m

L=60 m

Muelle de carga D=20 cm

20 m

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09 – Flujo turbulento. Pérdidas de carga 1.- Un flujo de aceite de densidad 900 Kg/m3 y viscosidad cinemática 0.00001m2/s, circula con un caudal de 0.2m3/s a través de un tubo de hierro fundido de 200mm de diámetro y 500m de longitud. Determinar la pérdida de carga y la caída de presión si el tubo tiene una pendiente hacia abajo de 10º en el sentido del flujo. 2.- Agua a 15ºC fluye por una tubería de 300 mm de diámetro y 0.3 cm de rugosidad, con una pérdida de energía en 300 m de 6 m. Determinar el caudal. 3.- Determinar el diámetro de una tubería de acero de rugosidad k=0.0458 mm necesaria para transportar 0.25 m3/s de aceite lubricante de viscosidad cinemática =10-5 m2/s a una distancia de 3000 m si las pérdidas de carga correspondientes ascienden a 23m. 4.- Un depósito prismático de base A= 24 m2 se encuentra inicialmente lleno de agua hasta una altura ho= 3 m por encima de la base. El depósito descarga a través de una tubería de 500 m de longitud y 0.3 m de diámetro. La rugosidad k vale 0.2mm y la diferencia de cotas entre la entrada y la salida de la tubería es de 3m. Se supone que durante toda la descarga la corriente de agua en la tubería va a tener un nº de Reynolds lo suficientemente elevado para que el coeficiente de fricción f sólo dependa de la rugosidad relativa. En estas 0.33 k condiciones, dicho coeficiente se puede aproximar por: f  0.18    D Suponiendo flujo cuasi-estacionario en la tubería y despreciando pérdidas locales, calcular: 1) El tiempo de descarga del depósito a través de la tubería. 2) Valores de los nos de Reynolds en la tubería al comienzo de la descarga y cuando el depósito se vacía totalmente ( = 0.01 gr/cm.s) . De acuerdo con el diagrama de Moody discutir la validez de la ecuación de aproximación anterior.

ho= 3m

L = 500 m

H= 3m D = 0.3 m

5.- Una tubería horizontal y lisa de 100m de largo se conecta a un gran depósito. ¿Qué profundidad H debe mantenerse en el depósito para producir un flujo de 0.0084 m3/s de agua?. El diámetro interior de la tubería lisa es de 75 mm. La entrada es de borde cuadrado y se descarga a la atmósfera.

H D=75mm

100m

6.- Un fluido de viscosidad 3.5·10-4 lbf·s/pie2 y densidad relativa 0.93 fluye a través de una tubería nivelada a razón de 67.2 106 galones/día. La tubería es de hierro galvanizado de diámetro interior 48 pulg. La máxima presión permisible es de 1200 psi y la mínima es de 50 psi. Determinar el máximo espaciamiento posible entre las estaciones de bombeo. Si la eficiencia de la bomba es del 85%, determinar la potencia de cada instalación de bombeo.

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09 – Flujo turbulento. Pérdidas de carga 7.- El depósito elevado a 80 pies sobre el nivel del suelo de la figura alimenta una red de agua. La tubería más larga tiene 600 pies y está hecha de hierro fundido con una antigüedad de 20 años. La tubería tiene una válvula de compuerta, otras pérdidas menores pueden despreciarse. El diámetro de la tubería es de 4 pulg. Determinar el flujo máximo a través de la tubería.

H

L

8.- Una longitud equivalente es aquella longitud de tubería en la que una pérdida de altura, para el mismo caudal, es igual a la de cualquier otro sistema con geometría diferente para el cual es equivalente. Considere una tubería de acero de diámetro nominal de 10 pulg, con una válvula de globo abierta y cuatro codos de 90º atornillados. La longitud de la tubería es 100 pies y a través de ella fluyen 5 pies 3/s de agua a 60ºF. ¿Cuál es la longitud equivalente de tubería de diámetro nominal 14 pulg ? 9.- Entre dos depósitos se bombea agua (=1000Kg/m3,=1.12x10-6m2/s) a razón de 5 l/s a través de una tubería de hierro fundido de D=5cm y L=1200m, con varios elementos intermedios. Calcular la potencia requerida para la bomba.

Codo de 90º Válvula de compuerta semiabierta

100m

500m

B 2 Codos de 45º

Válvula de esfera abierta

10.- Una bomba sube agua desde un pozo a un depósito a través de un tubo de fundición de hierro de 100 m de longitud y 30 cm de diámetro. Las pérdidas localizadas son una entrada y varios accesorios roscados, con Keq=Ki=1. La curva característica de la bomba es la indicada en la figura. Se pide determinar el punto de funcionamiento, calculando Q y la potencia.

50m

B

Q(l/s) 0 50 130 190 250 290 330

H(m) 60 59 57 55 53 51 49

 0 50 60 65 60 55 50

11.- Una instalación de una central hidroeléctrica consta de una tubería de longitud L y por ella circula un caudal Q. El factor de fricción de las paredes es f. La diferencia de altura entre el nivel del embalse y la salida

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09 – Flujo turbulento. Pérdidas de carga de la turbina es H. Además de las pérdidas por fricción en la tubería se deben considerar: la correspondiente a la energía cinética de salida (supuesto el desagüe con una sección de igual diámetro que la tubería), la de entrada a la tubería, supuesta de aristas vivas y otras locales iguales a K veces la energía cinética del agua en el conducto. Se pide plantear la ecuación que nos determina el diámetro D de la tubería si quisiéramos que una parte H1 de la altura total H se invirtiese en vencer las pérdidas por fricción y locales antes mencionadas. Si con la misma instalación (H,L,D,K,rendimiento fijos), variamos el caudal Q, dar una expresión que ligue la potencia de la turbina con dicho caudal. ¿ Cree que al aumentar el caudal aumenta la potencia de la turbina? Discutir el resultado.

Q

H

L,f T

12.- Se tiene un sistema de tuberías como el de la figura. La caída de presión total es 150 kPa, y la diferencia de nivel 5 m. Los datos de los tubos son Tubo 1 2 3

L (m) 100 150 80

d (cm) 8 6 4

k (mm) 0.24 0.12 0.20

3 2 1

El fluido es agua, = 1000 kg/m3 y  = 1.02·10-6m2/s . Calcular el caudal Q en m3/h. 13.- Los tres tubos del ejemplo anterior están en paralelo con una pérdida de carga total de 23.3 m. Calcular el caudal total Q, despreciando las pérdidas locales. 14.- Los mismos tubos anteriores están conectando tres depósitos cuyos niveles son z 1 = 20 m, z2 = 100 m y z3 = 40 m. Calcular los caudales que circulan por cada tubo, despreciando las pérdidas localizadas. z2

z3 z1

15- Dos depósitos A y B , mediante el sistema de tuberías de la figura, han de suministrar un caudal de agua Qt= 0.3 m3/s al depósito C , de modo que el caudal suministrado por el depósito B sea el doble que el

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09 – Flujo turbulento. Pérdidas de carga suministrado por el depósito A. Con los datos de la figura, determina el diámetro D2 de la tubería que conduce el agua desde el depósito B al nudo N y el valor del coeficiente de pérdidas de carga K de la válvula situada en la tubería que conduce el agua desde el nudo N al depósito C. (Suponer coeficiente de fricción f=0.025 en todas las tuberías). 40m

38m

A B L2=250m L1=500m D1= 0.2m N 0m C

L3=50m D3=0.3m Válvula

16.- Se trata de llevar agua a un depósito C desde otros A y B a través del sistema de tuberías mostrado en la figura. Considerando el problema como estacionario y suponiendo que las tuberías AN, BN y AB llevan el mismo caudal, calcular: 1) Caudal que llega al depósito C. 2) Longitudes de las tuberías BN y AB. NOTA: Despreciar pérdidas secundarias y alturas de velocidad. Tomar f = 0.02

A 5m DAB = 30cm LAB=?

B

Q

25 m LAN =100m DAN=20cm

Q

Q LBN=? DBN=25cm N

C

LCN=80m DCN=30cm