Problemas EXAMEN Teoremas (Resueltos)

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEOREMAS Problema 1 . En el circuito de la figura 1, calcular los circuitos equivalentes de Thevenin y de Norton entre A-B. Datos: Dato s: V ¯ a = 100  0º 0º V , V ¯ b = 100 10 0  90º 90º V , L=15mH, C=200 ìF, ù=10 =103rad/ rad/s. s.

Figura 1

RESOLUCIÓN: Se va a reducir el circuito entre los terminales A y B hacia la izquierda, mediante el equivalente de Thevenin (fuente real de tensión) y equivalente Norton (fuente real de corriente). Modo de realización:

¯  ¯ TH entre los terminales A-B a circuito abierto. TENSIÓN DE THEVENIN: mediante la figura 2, se halla V

Figura 2. Cálculo de la tensión de Thevenin.

Por tanto, se necesita determinar el valor de  ¯I  , aplicando la 2 LK:

Entonces:

INTENSIDAD DE NORTON: Se cortocircuita los terminales A-B, y se halla la corriente que circula por dicho corto (¯IN) en sentido A-B, según la figura 3.

Figura 3. Cálculo de la corriente de Norton.

Aplicando la 2 LK a dicha figura, se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,  ¯I e ¯I N :

Resolviendo dicha ecuación nos queda:

Conociendo la tensión de Thevenin y la intensidad de Norton, la impedancia de Thevenin (o Nortón) será el cociente entre ambas.

Por tanto, el equivalente Thevenin (figura 4) y equivalente Norton (figura 5) nos quedará:

Figura 4. Equivalente Thevenin

Figura 5. Equivalente Norton

Problema 2 . En el circuito de la figura 6, calcular el circuito equivalente de Thevenin entre los terminales A-B hacia la izquierda, con posterior aplicación del teorema de Boucherout. Datos: e (t) = 2sen ùt (V) ; i (t) = 4cosùt (A.) ; R1 = 2Ù ; R = 4Ù ; K = 2 ; ù = 106 rd/seg ; L = 8ìH ; C = 0,5ìF.

Figura 6

RESOLUCIÓN: Se va a calcular primeramente el circuito equivalente de Thevenin entre los terminales A-B: * TENSION DE THEVENIN: En el circuito de la figura 7, se determina la tensión entre A-B a circuito abierto, de tal forma que sí aplicamos la 2 L.K. al circuito nos queda:

 por otro lado se tiene:

Figura 7. Tensión de Thevenin. sustituyendo ésta última expresión en (1),

* IMPEDANCIA DE THEVENIN: Según se puede observar en la figura 8, para el cálculo de dicha impedancia ¯ 0), que da lugar a una intensidad (¯I 0 ). El cociente entre la se coloca entre A-B una fuente ideal de tensión,  (V ¯ TH). La fuente de tensión ideal actúa como un tensión y la intensidad nos dará la impedancia correspondiente (Z cortocircuito, mientras que la fuente dependiente de tensión que depende de intensidad se mantiene, ya que no se conoce lo que existe en su interior. La bobina se encuentra en paralelo con un corto, luego, no circula corriente  por ella.

Se debe encontrar otra ecuación que relacione  ¯I1 con  ¯I0 ó V ¯ 0 , por ejemplo utilizando la malla de la derecha y aplicando la 2 L.K.:

Figura 8. Impedancia de Thevenin.

Sustituyendo (3) en (2) nos queda:

Una vez hallado el circuito equivalente Thevenin entre A-B, se procede a determinar las potencias puestas en  juego por los elementos activos y pasivos del circuito de la figura 9, mediante el teorema de Boucherot. (Tener en cuenta: Para el cálculo de las potencias, trabajar con valores eficaces).

Figura 9 La reactancia del condensador:

# Potencias en los elementos pasivos: -- En las resistencias R= 2Ù y R= 4Ù ( potencia activa)

-- En el condensador ( potencia reactiva):

# Potencias en los elementos activos: Se va a hallar mediante el cálculo de la potencia compleja y se tomará como referencia la intensidad saliente del elemento activo. -- En la fuente independiente de tensión (potencia activa y reactiva): En este caso, la intensidad saliente de dicha fuente es ¯I = - 4  90º = 4  -90º A

¯ I , para -- En la fuente independiente de corriente (potencia activa y reactiva): Se procede a determinar la tensión V  posteriormente aplicar la concepto de potencia compleja. Sí se aplica la 2 L.K. al circuito de la figura 9, nos queda:

Aplicando el teorema de Boucherot para las potencias activas y reactivas:

ÓP el. activos que actúan = ÓP el. pasivos más el. activos como generadores

que actúan como receptores

ÓQ el. activos con su signo = ÓP el. pasivos con su signo

Problema 3 . En el circuito de la figura 10, se pide calcular: ¯  a) Potencias puestas en juego (activa y reactiva) por el generador dependiente de tensión âV ¯ R  que hay que conectar entre los puntos A y B para que reciba la máxima potencia.  b) La impedancia Z ¯ R . c) La potencia máxima que recibe la carga, Z Datos: i1(t) = senw t (A) ; e1(t) = 2 sen (w t+ ð/4) (V) ; e2 (t) = 40 sen (w t - 18,4º) (V) ; Z ¯ 1 = 1+ j1 ( Ù) ; Z ¯ 2 = 1-j1 ( Ù) ; Z ¯ 3 = j2 (Ù) ; á = 2 ; â = 0,5 ; R1 = R2 = 2 Ù.

Figura 10

RESOLUCIÓN:

Figura 11

a) Se procede a calcular las potencias activa y reactiva de la fuente dependiente de tensión âV, mediante la ¯ âV·¯I*âV . Para poder calcular la intensidad y tensión de dicha fuente expresión de la potencia compleja  S âV = V se aplican las leyes de Kirchhoff al circuito de la figura 11.

Igualando las ecuaciones 1) y 2) y luego sustituyendo 3) nos queda la siguiente expresión:

sustituyendo la intensidad ¯I en 3) nos queda:

Generador dependiente de tensión âV ¯:

Elementos activos  (Teorema de Boucherot) : Tener en cuenta la referencia de la intensidad saliente al elemento activo, por tanto , ¯IâV = 1 180º A. POTENCIAS ACTIVA Y REACTIVA: Trabajar con los valores eficaces de las variables.

 b) En primer lugar, se calcula el circuito equivalente de Thevenin (fuente real de tensión, figura 12) entre los terminales A-B.

Figura 12. Equivalente de Thevenin * TENSION DE THEVENIN: En el circuito de la figura 11, se determina la tensión entre A-B a circuito abierto, de tal forma que sí aplicamos la 2 L.K. al circuito nos queda:

* IMPEDANCIA DE THEVENIN: Según se puede observar en la figura 13, para el cálculo de dicha ¯ 0 ), que da lugar a una intensidad (¯I0 ). Aplicando impedancia se coloca entre A-B una fuente ideal de tensión, ( V las leyes de Kirchhoff al circuito, se debe conseguir una única ecuación con las dos variables V ¯ 0e ¯I 0. El cociente ¯ TH). entre la tensión y la intensidad nos dará la impedancia correspondiente (Z Las fuentes de tensión ideales actúan como cortocircuitos, la fuente de corriente ideal actúa como un circuito abierto, mientras que las fuentes dependientes de tensión y corriente se mantienen.

Figura 13. Cálculo de la impedancia de Thevenin

sustituyendo 4) en la ecuación que resulta de igualar 2) y 3) se obtiene:

Una vez obtenida esta ecuación  ¯I = f (¯I 0), se sustituye en 1) y se tiene la impedancia de Thevenin.

¯ R ) que hay que conectar entre los puntos A y B para que reciba la máxima potencia El valor de la impedancia (Z debe ser:

¯ R ) para que reciba la máxima potencia, se determinará cuanto vale c) Una vez calculada la impedancia de carga (Z esa potencia máxima (figura 14).

Figura 14 Para ello se debe determinar la intensidad que circula por el circuito de la figura 14.

¯ R  será: Por tanto, (recordar trabajar con valores eficaces), la potencia máxima en Z