PROBLEMAS – ESTADÍSTICA Rufino Moya

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS – ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA (Rufino Moya C.)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

PROBLEMAS 4 – 1 PROBLEMAS 4 – 2 PROBLEMAS 4 – 4 1. Una compañía importadora tiene 9 empleados cuyos ingresos (xi) mensuales en dólares son: 100, 100, 100, 100, 200, 200, 400, 800 y 1600. Se pide a. Dibujar la curva de Lorenz o curva de concentración. b. Calcular índice de Gini.

Solución: Ingresos (xi)

$

100 200 400 800 1600

Nº de trab. ni

Fi *100%

xini

[ ∑

]*100%

4 2 1 1 1

44,5 22,2 11,1 11,1 11,1

400 400 400 800 1600

11,1 11,1 11,1 22 45

9

100

3600

100

pi=∑ *100%

qi=∑ ∑ *100%

44,5 66,7 77,8 88,9 100

11,1 22,2 33,3 55,5 100

La curva de Lorenz.

% acumulado de ingresos (qi)

Fig. 4.1 Curva de Lorenz: ingresos mensuales 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 % acumulado de trabajadores (pi)

El índice de Gini. ESTADÍSTICA GENERAL

Página 2

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FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

pi - qi

pi

44,5 – 11,1

= 33,4

44,5

66,7 – 22,2

= 44,5

66,7

77,8 – 33,2

= 44,6

77,8

88,9 – 55,5

= 33,4

88,9

∑ ∑ ∑

2.

=

∑

277,9

= 0,5609

Una empresa aduanera emplea 8 trabajadores cuyos ingresos (xi) en dólares son: 100, 100, 100, 100, 400, 800, 1600 y 3200 mensuales. Determinar a. La curva de Lorenz. b. El índice de Gini.

Solución: Ingresos

Fi *100%

(xi) $

Nº de trab. ni

xini

[

100 400 800 1600 3200

4 1 1 1 1

50 12,5 12,5 12,5 12,5

400 400 800 1600 3200

6,25 6,25 12,5 25 50

n=8

100

6400

100

∑

pi=∑ *100%

qi=∑ ∑ *100%

50 62,5 75 87,5 100

6,25 12,5 25 50 100

]*100%

La curva de Lorenz.

ESTADÍSTICA GENERAL

Página 3

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FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

Fig. 4.2 Curva de Lorenz: ingresos 100 % acumulado de ingresos (qi)

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90 100

% acumulado de trabajadores (pi)

El índice de Gini. pi - qi 50 – 6,25

pi

= 43,75

50,0

62,5 – 12,5 = 50

62,5

75 – 25

= 50

75,0

87,5 – 50

= 37,5

87,5

∑ ∑ ∑

∑

=

275

= 0,659

3. Para el cuadro estadístico que se da a continuación se pide: a. Dibujar en una misma figura la curva de Lorenz para el total ENNIV, área urbana y área rural. b. Calcular el índice de Gini en cada caso.

PERÚ: DISTRIBUCIÓN DEL INGRESO POR ÁREA URBANA Y RURAL SEGÚN DECILES DE HOGARES (PERIODO JUL.85 – JUL.86) HOGARES ESTADÍSTICA GENERAL

INGRESO TOTAL DEL HOGAR (% ) Página 4

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FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

TOTAL ENNIV % % Acum. 0.45 0.45 2.63 3.09

ÁREA URBANA

ÁREA RURAL

% 0.62 3.21

% Acum. 0.62 3.82

% 1.32 3.05

% Acum. 1.32 4.35

% 10 10

% Acum. 10 20

10 10

30 40

3.68 4.90

6.77 11.67

4.22 5.22

8.04 13.26

4.05 5.58

8.40 13.98

10 10

50 60

5.96 7.31

17.62 24.93

6.40 7.90

19.66 27.56

6.34 7.72

20.32 28.04

10 10

70 80

9.15 11.88

34.08 45.96

9.76 12.45

37.32 49.78

10.02 12.05

38.06 50.11

10 10

90 100

16.78 37.27

62.73 100.00

16.14 34.08

65.92 100.00

13.81 36.08

63.92 100.00

5 5

95 100

12.99 24.28

75.72 100.00

14.09 19.99

80.01 100.00

12.51 23.57

76.43 100.00

FUENTE: INTITUTO NACIONAL DE ESTADÍSTICA - Encuesta Nacional sobre Medición de Niveles de Vida (ENNIV).

Solución: a. Curva de Lorenz para el total ENNIV, área urbana y área rural.

Fig. 4.3 Curva de Lorenz para el total ENNIV, área urbana y área rural. 100

% acumulado de ingresos (qi)

90 80 70 60 50

TOTAL ENNIV

40

ÁREA URBANA

30 ÁREA RURAL

20 10 0 0

10

20

30 40 50 60 70 % acumulado de hogaress (pi)

80

90

100

b. El índice de Gini  Para total ENNIV ESTADÍSTICA GENERAL

Página 5

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pi

qi

pi -qi

10 20 30 40 50 60 70 80 90 95 =545

0,45 3,09 6,77 11,67 17,62 24,93 34,08 45,96 62,73 75,72

9,55 16,91 23,23 28,33 32,38 35,07 35,92 34,04 27,27 19,28 =261,98

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

∑ ∑

=

= 0,4807

=

= 0,4385

 Pata área urbana pi

qi

pi -qi

10 20 30 40 50 60 70 80 90 95 =545

0,62 3,82 8,04 13,26 19,66 27,56 37,32 49,78 65,92 80,01

9,38 16,18 21,96 26,74 30,34 32,44 32,68 30,22 24,08 14,99 =239,01

∑ ∑

 Para área rural pi

qi

pi -qi

10 20 30 40 50 60 70 80 90 95 =545

0,45 3,09 6,77 11,67 17,62 24,93 34,08 45,96 62,73 75,72

9,55 16,91 23,23 28,33 32,38 35,07 35,92 34,04 27,27 19,28 =240.07

∑ ∑

=

= 0,4405

4. Para los datos del ejemplo 4.28, determinar el índice de Gini y su curva de Lorenz.

ESTADÍSTICA GENERAL

Página 6

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Solución: Salarios

(xi) $ 100 200 300 400 500 600

Nº de trab. ni

Fi *100%

xini

[

3 7 8 4 2 1

12 28 32 16 8 4

300 1400 2400 1600 1000 600

4,1 19,2 32,9 21,9 13,7 8,2

n=25

100

7300

100

∑

pi=∑ *100%

qi=∑ ∑ *100%

12 40 72 88 96 100

4,1 23,3 56,2 78,1 91,8 100

]*100%

El índice de Gini pi

qi

pi - qi

12

4,1

7,9

40

23,3

16,7

72

56,2

15,8

88

78,1

9,9

96

91,8

4,2 =54,5

=308

∑ ∑

=

= 0,177

Curva de Lorenz

% acumulado de salarios (qi)

Fig. 4.4 Curva de Lorenz: salarios 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 % acumulado de trabajadores (pi)

5. Los salarios mensuales (en soles) de los obreros de una compañía se distribuye como sigue:

Salario mensual Nº de

140 - 160 7

ESTADÍSTICA GENERAL

160 - 180 20

180 - 200 200 - 220 33 25

220 - 240 11

240 - 260 4 Página 7

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FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

trabajadores Hallar el índice de Gini

Solución: Salarios

(xi) S/. 150 170 190 210 230 250

Nº de obr. ni

Fi *100%

xini

[

7 20 33 25 11 4

7 20 33 25 11 4

1050 3400 6270 5250 2530 1000

5,38 17,44 32,15 26,93 12,97 5,13

n=100

100

19500

100

∑

pi=∑ *100%

qi=∑ ∑ *100%

7 27 60 85 96 100

5,38 22,82 54,97 81,90 94,87 100

]*100%

El índice de Gini pi

qi

pi - qi

7

5,38

1,62

27

22,82

4,18

60

54,97

5,03

85

81,90

3,1

96

94,87

1,13

∑

=

∑

= 0,0548

=15,06

=275

PROBLEMAS 5 – 1 1. Se han obtenido los siguientes puntajes en matemáticas y lenguaje de 80 alumnos en un colegio.

Alumno P. matemática

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

43

50

83

90

53

59

71

59

31

50

72

65

75

79

ESTADÍSTICA GENERAL

Página 8

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FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

P. lenguaje

36

42

63

86

44

61

72

63

35

51

54

52

67

62

Alumno P. matemática

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

58

83

72

67

35

61

52

76

93

49

72

60

82

57

P. lenguaje

56

72

76

42

33 53

55

65

96

55

55

56

66

45

Alumno P. matemática

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

62

41

39

32

55

61

58

72

66

81

73

50

45

72

P. lenguaje

58

35

50

32

56 54

56

71

69

84

60

52

43

69

Alumno P. matemática

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

62

59

41

93

65

71

78

64

45

56

55

52

66

82

P. lenguaje

71

78

34

91

63 64

67

72

42

45

43

60

65

86

Alumno P. matemática

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

46

52

62

68

42

51

66

72

36

56

52

66

68

61

P. lenguaje

42

54

66

75

44 56

59

69

40

45

39

65

71

67

Alumno P. matemática

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

65

67

51

36

63

35

39

71

81

36

P. lenguaje

64

70

55

41

61 34

35

73

76

42

a) Construya la tabla bidimensional de frecuencias absolutas y relativas, eligiendo clases de amplitud constante c=10.

Tabla 5.1 tabla bidimensional de frecuencias absolutas Leng. [32-42>

[42-52>

[52-62>

[62-72>

[72-82>

[82-92>

[92-102>

Total = ni.

7

2

0

0

0

0

0

9

Mat. [31-41>

ESTADÍSTICA GENERAL

Página 9

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

[41-51>

3

6

2

0

0

0

0

11

[51-61>

1

6

10

1

0

0

0

18

[61-71>

0

1

6

10

2

0

0

19

[71-81>

0

0

3

8

3

0

0

14

[81-91>

0

0

0

2

2

3

0

7

[91-101>

0

0

0

0

0

1

1

2

Total= n.j

11

15

21

21

7

4

1

80

Tabla 5.2 tabla bidimensional de frecuencias relativas Leng. [32-42>

[42-52>

[52-62>

[62-72>

[72-82>

[82-92>

[92-102>

Total = ni.

[31-41>

0,0875

0,025

0

0

0

0

0

0,1125

[41-51>

0,0375

0,075

0,025

0

0

0

0

0,1375

[51-61>

0,0125

0,075

0,125

0,0125

0

0

0

0,225

[61-71>

0

0,0125

0,075

0,125

0,025

0

0

0,2375

[71-81>

0

0

0,0375

0,1

0,0375

0

0

0,175

[81-91>

0

0

0

0,025

0,025

0,0375

0

0,0875

[91-101>

0

0

0

0

0

0,0125

0,0125

0,025

Total= n.j

0,1375

0,1875

0,2625

0,2625

0,0875

0,05

0,0125

1

Mat.

b) Confeccione una lista de las: i. Marcas de clases (Xi) y (Yi)

ESTADÍSTICA GENERAL

Página 10

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ii.

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

Frecuencias absolutas acumuladas.(Nij)

Leng. [32-42>

[42-52>

[52-62>

[62-72>

[72-82>

[82-92>

[92-102>

[31-41>

7

9

9

9

9

9

9

[41-51>

10

18

20

20

20

20

20

[51-61>

11

25

37

38

38

38

38

[61-71>

11

26

44

55

57

57

57

[71-81>

11

26

47

66

71

71

71

[81-91>

11

26

47

68

75

78

78

[91-101>

11

26

47

68

75

79

80

Mat.

Calcule: c) Las frecuencias absolutas marginales.

Frecuencias absolutas marginales de X Xi

ni.

Ni.

6

9

9

46

11

20

56

18

38

66

19

57

76

14

71

86

7

78

96

2

80

ESTADÍSTICA GENERAL

Frecuencias absolutas marginales de Y

Página 11

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Xi

ni.

Ni.

36

11

11

INGENIERÍA QUÍMICA 46FACULTAD DE15 26

80

d) Las frecuencias condicionales.

56

21

47

66

21

68

76

7

75

86

4

79

96

1

80

80 Leng.

nx/y=[32-42>=nij

Fx/y=[32-42>=

Mat. [31-41>

7

7/11

[41-51>

3

3/11

[51-61>

1

1/11

[61-71>

0

0/11

[71-81>

0

0/11

[81-91>

0

0/11

[91-101>

0

0/11

Total

11

1

e) ̅ ̅

̅

̅

∑

∑

∑

ESTADÍSTICA GENERAL

̅

Página 12

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∑

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

̅

f) Cov(x, y); V(x + y); V(x - y).

∑∑

̅̅

2. En un estudio para conocer la relación entre el sexo y delincuencia, se toma una muestra de 522 personas, los resultados se presenta en la tabla siguiente:

Delincuente No delincuente Total

Hombre 122 210 332

Mujer 112 78 190

Total 234 288 522

a. Represente gráficamente la distribución de frecuencias absolutas y relativas.

ESTADÍSTICA GENERAL

Página 13

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FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

tab. 5.2 Distribución de frecuencias absolutas 250 200 150 100 50

Hombre

0

Mujer Delincuente

Mujer Hombre

tab. 5.3 Distribución de frecuencias relativas 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00

Hombre Mujer Delincuente

No delincuente

Delincuente 112

No delincuente 78

122

210

Mujer

No delincuente

Delincuente 0.21

No delincuente 0.15

0.23

0.40

Hombre

b. Represente la gráfica del sexo respecto de la delincuencia. tab.5.4 Sexo respecto a la delincuencia 350 300 250 200 Hombre 150

Mujer

100 50 0 Delincuente

No delincuente

3. La tabla de frecuencias que se presenta a continuación es el resultado de una muestra aleatoria de parejas de padre e hijo.

ESTADÍSTICA GENERAL

Página 14

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Padre

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

Menos de 1.60 m

De 1.60 a 1.80 m

Más de 1.80 m

Menos de 1.60 m

50

400

10

De 1.60 a 1.80 m

150

2000

200

Más de 1.80 m

5

300

60

Hijo

Hallar: a. La distribución marginal Distribución marginal para el hijo

Distribución marginal para el padre

Hijo

ni.

fi.

Padre

ni.

fi.

150

460

0,145

150

205

0,065

170

2350

0,740

170

2700

0,850

180

365

0,115

180

270

0,085

total

3175

1,00

total

3175

1,00

150 m

170 m

190 m

50 200 205

450 2600 2905

460 3115 3175

b. L a tabla de distribución absoluta acumulada.

Padre Hijo 150 m 170 m 190 m

c.

̅ ̅

̅

̅

y Cov(x, y) si es posible.

∑

∑

∑

√ ESTADÍSTICA GENERAL

̅

= √

= Página 15

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∑

√

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

̅

= √

=

4. Se conocen las varianzas de la suma y la diferencia de dos variables: V(x + y) = 8.3

y

V(x - y) = 10.1

Hallar la covarianza de ambas variables.

 Sabemos que : ….(1) ….(2)  Resolviendo el sistema tenemos :

 Reemplazando datos del problema:

….(3)  Reemplazando (3) en (1)

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