Problemas Entrega Miercoles Cap 1

INSTITUTO TECNÓLOGICO DE PACHUCA OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS

12 DE DICIEMBRE DEL 2012 PROBLEMAS “CAPITULO 1. CONSTRUCCIÓN DE MODELOS” Alumno: Juan Pablo Martínez Gómez Catedrático: Ing. Manuel Sosa Favela

1.- Destilación de Crudos. Crudos. Una compañía de petróleos produce produce en sus refinerías refinerías gasóleo (G), (G), gasolina sin plomo (P) y gasolina súper (S) a partir de dos tipos de crudos, C1 y C2. Las refinerías están dotadas de dos tipos de tecnologías. La tecnología nueva Tn utiliza en cada sesión de destilación 7 unidades de C1 y 12 unidades de C2, para producir 8 unidades de G, 6 de P y 5 de S. Con la tecnología antigua Ta, se obtienen en cada destilación 10 unidades de G, 7 de P y 4 de S, con un gasto de 10 unidades de C1 y 8 de C2. Estudios de demanda permiten estimar que para el próximo mes se deben producir al menos 900 unidades de G, 300 de P y entre 800 y 1700 de S. La disponibilidad de crudo C1 es de 1400 unidades y de C2 de 2000 unidades. Los beneficios por unidad producida son: Gasolina Beneficio/u

G 4

P 6

S 7

La compañía desea conocer cómo utilizar ambos procesos de destilación, que se pueden realizar total o parcialmente, y los crudos disponibles para que el beneficio sea máximo. SOLUCIÓN Se definen las variables de decisión X1 = Número de destilaciones con Tn X2 = Número de destilaciones con Ta Tenemos restricciones debidas a las limitaciones en la disponibilidad de ambos tipos de crudos. Para C1: [(7 unidades de C1 * x1 destilaciones) + (10 de C1*x2)] = .25 (XAS + XBS + XCS)

SUPER

.05 XAS +.20 XBS + .25XCS >= .10 (XAS + XBS + XCS)

.80 XAN +.45 XBN + .30XCN >= .50 (XAN + XBN + XCN) .10 XAN +.30 XBN + .40XCN >= .30 (XAN + XBN + XCN)

NORMAL

.05 XAN +.20 XBN + .25XCN >= .15 (XAN + XBN + XCN)

.80 XAE +.45 XBE + .30XCE >= .40 (XAE + XBE + XCE) .10 XAE +.30 XBE + .40XCE >= .35 (XAE + XBE + XCE)

EURO

.05 XAE +.20 XBE + .25XCE >= .20 (XAE + XBE + XCE)

La función objetivo corresponde a la cantidad de gasolina Euro que se desea maximizar, y tiene la expresión: E = XAE + XBE + XCE Por tanto el programa lineal queda: Max E = XAE + XBE + XCE s.a. 650(XAS + XAN + XAE) + 500(XBS + XBN + XBE) + 450 (XCS + XCN + XCE) =2500

Ingresando los datos:

Solución del Problema:

Se llega a la conclusión que para maximizar la cantidad de la gasolina Euro se necesita: X1 = XAE = Cantidad de crudo A dedicado a la gasolina Euro = 933.3334 bbl X2 = XBE = Cantidad de crudo B dedicado a la gasolina Euro = 2,333.333 bbl X3 = XCE = Cantidad de crudo C dedicado a la gasolina Euro = 7,000 bbl X4 = XAS = Cantidad de crudo A dedicado a la gasolina Súper = 1,333.333 bbl X5 = XAN = Cantidad de crudo A dedicado a la gasolina Súper = 2,500 bbl X6 = XBS = Cantidad de crudo B dedicado a la gasolina Súper = 666.6667 bbl Maximizando la cantidad de gasolina Euro = 10,266.67 bbl

4. Elaboración de zumos. Una empresa de alimentación produce zumos de pera, naranja, limón, tomate, manzana además de otros dos tipos denominados H y G que son combinados de algunos de los anteriores. La disponibilidad de fruta para el próximo periodo, así como los costes de producción y los precios de venta para los zumos, vienen dados en la tabla.

Fruta

Disponibilidad máxima (kg)

Coste (ptas/kg)

Precio (ptas/l)

Naranja (N) Pera (P) Limón (L) Tomate (T) Manzana (M)

32000 25000 21000 18000 27000

94 87 73 47 68

129 125 110 88 97

de

venta

Las especificaciones y precios de venta de los combinados vienen dados en la t abla:

Combinado

Especificación

Precio (ptas/l)

H

No más del 50% de M No más del 20% de P No menos del 10% de L 40% de N 35% de L 25% de P

100

G

de

venta

120

La demanda de los distintos zumos es grande, por lo que se espera vender toda la producción. Por cada kg de fruta, se produce un litro del correspondiente zumo. Determinar los niveles de producción de los siete zumos, de manera que se tenga beneficio máximo en el periodo entrante.

SOLUCIÓN Observemos que los recursos son las cinco clases de fruta, y que los productos son, además de los zumos obtenidos directamente des éstas, los dos combinados. Una posible definición de las variables de decisión consiste en considerar las posibles combinaciones recursos-productos. Así, se tendrán 11 variables de decisión que denotamos:

     





Donde  es la cantidad de naranjas utilizada para hacer zumo de naranja,  la cantidad de naranjas utilizadas para el combinado de zumo de tipo G,… Las restricciones se deben a: -Limitaciones en la disponibilidad de recursos:

                        -Especificaciones para el combinado H:

                           -No negatividad de las variables de decisión:

        Finalmente, observemos que la función objetivo representa el beneficio neto B de la producción y es de la forma de maximización. Toma la expresión:

                          En resumen, se tiene el programa lineal:

                               s.a.

                 

                                                              Ingresando los datos necesarios (variables y restricciones):

Entrando las restricciones y función objetivo:

Solución del programa:

    

5. Planificación de la producción. Una empresa produce filtros para monitores de ordenador formados por tres capas, una intermedia de calidad A y otras dos exteriores de calidad B que envuelven a la anterior. Ambas calidades se consiguen con diferentes mezclas de fibra de vidrio y resina de las que el fabricante dispone por semana de 700 y 900 t, respectivamente. La empresa posee cuatro plantas de producción que utilizan procedimientos de fabricación que difieren en las cantidades de materia prima que utilizan. Las cantidades necesarias de materia prima por operación para cada planta que se pueden llevar a cabo total o parcialmente, así como el número de capas producidas de uno y otro tipo, se tienen en la tabla: Planta

T requeridas operación

Vidrio 15 14 16 12

1 2 3 4

Resina 19 20 15 18

por  Capas producidas por  operación

Tipo A 2 3 5 4

Tipo B 5 7 4 4

Formular un modelo de programación lineal para determinar el numero de operaciones a realizar en cada planta de manera que sea máximo el numero total de filtros fabricados. SOLUCIÓN Denominamos



al número de operaciones que se realizan semanalmente en la planta respectivamente. Las restricciones se deben, únicamente, a las limitaciones en las disponibilidades de las materias primas:



                  Siendo, además,    para . Para determinar el objetivo, observemos que el numero de capas del tipo A producidas por las 4 plantas es      y el del tipo B es     . Puesto que se pretende fabricar el maximo de filtros y cada uno requiere una capa de tipo A y dos de tipo B, es evidente que el numero máximo de filtros no puede superar el máximo entre  y  . Por tanto, el problema tiene como función objetivo:

        

    , 

         

     

que es no lineal. Para convertirla en lineal, basta con definir   , equivalente a y  . Estas dos desigualdades se convierten en restricciones del problema el modelo se reformula como uno lineal equivalente quedando.

      

  Sujeta a:

                                       . Llenando datos principales para el programa:

6. Optimización de mezclas en una destilería. Una destilería dispone de malta propia en cantidad de 200 barriles/días. Además, puede comprar malta de dos distribuidores A y B, con costes de 1000 y 1200 ptas/barril, en cantidades máximas de 300 y 500 barriles/días, respectivamente. La malta puede mezcladores directamente o destilarse para producir malta enriquecida de dos tipos 1, 2. El destilador puede procesar a lo sumo 700 barriles/día. Un barril destilado de la propia casa produce 3 barriles de malta 1 y 6 de malta 2. Un barril de malta A produce 4 de 1 y 4 de 2. Uno de malta B produce 7de 1 y 1 de 2. La mezcla de malta no procesada se vende a 1300 ptas/barril, limitándose el mercado a 110 barriles/día. El sobrante de malta debe destruirse con coste 100 ptas/barril. Con las maltas destiladas pueden hacerse dos productos: uno de alta calidad (H), que se venden a 1900 ptas/barril y debe contener al menos el 70% de producto 1, y otro de baja calidad (L), que se vende a 1500 ptas/barril y puede contener a lo sumo el 55% de producto 2. La destilería desea satisfacer la demanda del producto de alta calidad, que es de 215 barriles/días, y asegurarse un beneficio de 30,000 ptas/días. Además, puesto que se espera un cambio en el mercado del producto de baja calidad, la destilaría desea minimizar su producción. Formular un modelo de programación lineal que dé respuesta al problema de planificación planteado teniendo en cuenta las limitaciones en la producción y las exigencias de demanda y beneficio económico, suponiendo, además, que la venta de la mezcla está garantizada. SOLUCIÓN Teniendo en cuenta el esquema de funcionamiento de la destilería, que se resume en la figura siguiente podrían introducirse las siguientes variables de decisión, todas ellas medidas en barriles/día (denominamos con C la malta disponible en la propia destilería). X1= cantidad de malta disponible del distribuidor i= A,B,C M (ezcla) X ij= cantidad de malta i dedicada a j=

D(estilería) d (estrucción)

X1 = producción de malta tipo 1 X2= producción de malta tipo 2 XH= malta de alta calidad XL= malta de baja calidad Xkl= malta de tipo k dedicada a la calidad l, k= 1,2, l= H,L

Las restricciones se deben a: Límite de compra a los distribuidores y de disponibilidad propia XA

 300,  500, X = 200 XB

C

Límite de capacidad del destilador XA + XBD + XCD

 700

Límite de venta de mezcla XAM + XBM + XCM

 110

Distribuciones de maltas XAM +XAD + XAd = XA XBM+ XBD + XBd = XB XCM + XCD + XCd = XC Producción de maltas enriquecidas de tipos 1 y 2 de acuerdo con las recetas 0.3 XCD + 0.4XAD + 0.7 XBD = X1 0.6XCD + 0.4 XAD + 0.1 XBD = X2 Distribución de las maltas enriquecidas 1 y 2 X1H + X1 L= X1 X2H + X2L = X2 Suponiendo que se utiliza toda la malta producida por el destilador. Producción de maltas de alta y baja calidad X1H + x2 =XH X1L + X2L = XL Recetas de las maltas enriquecidas 1 y 2

X 0.55 X  X 0.7XH

1H

L

2L

Satisfacción de la demanda del producto de lata calidad XH

 215

Satisfacción del objetivo económico 1300(XAM +XBM +XCM) +1900XH +1500XL -1000XA – 1200 XB -100(X Ad + X Bd + X Cd)

 30,000

No negatividad de las variables Xi, Xij, Xkl, Xk, Xl

0

i = A,B,C  j= M, D, d k = 1,2 l = H,L Finalmente, el objetivo será la minimización de volumen producido de baja calidad, es decir, z = X1L +X2L En resumen, una vez simplificado el modelo, tras eliminar las variables X A, XB, XC, XH, XL, X1, X2 debido a las igualdades, se formula Min z= X 1L +X 2L

s.a  X   AM +X   AD + X   Ad   X BM + X BD +X Bd 

 

300 500

 X CM + X CD + X Cd = 200



 X   AD +X  BD +X  CD

700



 X   AM + X  BM + X  CM

110

 X 1H +X 1L +.4X  AD -.7X BD -.3X CD = 0  X 2H + X 2L - .4 X   AD - .1 X BD - .6 X CD = 0



.3 X 1H -.7 X 2H

0

-.55 X 1L -.45X 2L



 X 1H +X 2H

0



215

300 X  AM + 100 X BM + 1300  X CM + 1900 ( X 1H + X 2H ) +1500 ( X 1L + X 2L ) -1000 X  AD -1100 X  Ad  -1200  X BD -1300 X Bd  -100 X Cd  30 000



7. Planificación de una Planta Química. Una planta química fabrica tres sustancias A, B y C, utilizando carbón como materia prima básica. La planta dispone de minas propias que pueden producir hasta 600 u/día de carbón con un coste de 2000 ptas/u. Si la compañía necesita más carbón, puede adquirirlo a in distribuidor con un coste de 5000 ptas/u. Además, utiliza en el proceso de producción agua, electricidad, gasóleo y mano de obra. La compañía eléctrica suministradora posee el siguiente sistema escalonado de tarifas: 34000 ptas/u para las primeras 2000 u (por día). 51000 ptas/u para las primeras 800u a partir de 2000 u. 63000 ptas/u a partir de 2800 u. La compañía de agua carga 7000 ptas/u de agua utilizada por día hasta 900 unidades y 8500 ptas/u encima de 900 unidades. Compra gasóleo a 4900 ptas/u, pero se restringe por motivos ecológicos al uso de 3000 unidades de gasóleo por día. Utilizando horario normal, la mano de obra disponible es de 750 horas sin coste. Puede conseguir hasta 220 horas extra con costo de 15200 ptas/hora. El resto de los datos del proceso de producción se dan en la siguiente tabla que contiene las unidades necesarias para fabricar cada unidad de sustancia, así sus precios de venta.

Sustancia Carbón

Electricidad

Agua Gasóleo

Horas Beneficio/u (x10 3 ptas)

A

0.6

3.2

1

2

2

290 para las primeras 85 u 240 para las posteriores

B C

0.9 1.2

2.5 4

0.26 1.7

2.4 3

3 2

320/u hasta un máximo de 95 u 380/u

Función objetivo

                                                                    

Beneficio Máximo: 100,931 ptas.

8. Planificación de mezclas en una planta química. Una planta química fabrica dos productos A, B mediante dos procesos I y II. La tabla da los tiempos de producción de A y B en cada proceso y los beneficios (en miles de ptas) por unidad vendida, es: Proceso

Producto

A I 2 II 3 Beneficio/u 4

B 3 4 10

Datos: a) b) c) d) e)

16 horas de operación del proceso I 24 horas del proceso II. La producción de B da, además, un subproducto C (sin coste adicional)  a 300 ptas/u. el sobrante de C debe destruirse con coste 2000 ptas /u. Se obtienen de 2 unidades de C por cada unidad de B producida. La demanda de C se estima en, a lo sumo, 5 unidades. Formular un programa lineal que del plan de producción con máximo beneficio.

Función objetivo planteada

                       

Resultados.

Conviene producir 6 de A Y 11 de B, con un beneficio máximo de 85.333 ptas

10.- Planificación de la fabricación y gestión de alimentos. Una empresa de alimentación produce cuatreo productos denominados panchos, congós, roscas y tunos. Las necesidades de materia prima, tasas de producción volúmenes y beneficios vienen dados en la tabla:

NECESIDADES

PANCHOS

CONGOS

ROSCAS

TUNOS

Materia prima (dag/u) Tasas Produc. (u/min) Volumen(cm3/u) Beneficio/pieza (ptas/u)

4 80 100 70

3 90 200 93

5 70 100 85

6 50 200 110

La cantidad de materia prima disponible para los cuatro productos es de 60000 dag (decagramos), el volumen de almacenamiento es de 42 m3 y el tiempo de producción disponible es de 26 horas por día. Un estudio de mercado establece unos límites superiores e inferiores para la demanda, que se presentan en la tabla, donde la raya significa que la consultora no ha sido capaz de proponer unas demandas máximas y /o mínimos. DEMANDAS Panchos Congos Roscas Tunos

Mínima 3000 2700 3900 -

Máxima 5000 6400 4700

Se pide: a) Formular un modelo de programación lineal que haga máximo beneficio si se admite la producción parcial de los productos. b) Si la compañía se siente satisfecha con el beneficio este por encima de 400000 ptas., formular un modelo en el que el objetivo sea la utilización de la menor cantidad de materia prima posible. c) Discutir el problema si se desea optimizar beneficio y materia prima simultáneamente.

Resultados

Iteración 1

Iteración 2

Iteración 3

11. Control de la producción de alimentos. Un alimento se produce mediante refinado y mezcla 5 tipos de sustancias liquidas de dos clases: artificiales (a1, a2) y naturales (n1, n2 ,n3). Cada sustancia puede adquirirse para reparto inmediato o futuro. La tabla de los precios (x102 ptas.) por t de las sustancias para el primer semestre del año entrante

Enero Febrero marzo Abril Mayo  junio

a1

a2

n1

n2

n3

130 150 130 140 120 110

140 150 160 130 140 120

150 130 150 140 170 160

130 110 120 140 130 100

135 135 115 145 125 155

El precio de venta del producto es de 17000 ptas., por t. A lo sumo, se pueden refinar 320 t de sustancias artificiales y 350 t de sustancias naturales por mes. El proceso de refinado se realiza sin pérdida de peso y sin coste. Además, se pueden almacenar hasta 1360 t de cada sustancia para su posterior uso, con coste de almacenamiento de 600 ptas., por t y mes. No es posible almacenar el alimento ni las sustancias refinadas. Existe, además, una restricción tecnológica sobre la dureza del alimento que debe estar entre 5 y 7 unidades. Se supone que las durezas de las sustancias se mezclan linealmente siendo éstas. a1

a2

n1

n2

n3

9.5

7.1

3.4

5.2

4.8

Se comienza con un intervalo de 730 t de cada sustancia y se desea disponer de ese mismo inventario al final de junio. Formular un modelo de programación lineal cuya solución de la política de compra y producción de máximo beneficio, suponiendo que se venden las sustancias refinadas. SOLUCIÓN Con i= 1, 2, 3, 4, 5 designaremos las sustancias a1, a2, n1, n2, n3 y con j=1, 2, 3, 4, 5, 6 los seis meses del horizonte de planificación, respectivamente. Cada mes se puede adquirir, refinar y almacenar cada tipo de sustancia. Definimos las variables de decisión Cij=Cantidad de sustancia i adquirida el mes j rij=Cantidad de sustancia i refinada el mes j aij=Cantidad de sustancia i almacenada (al final) del mes j las restricciones son consecuencia de:

Relación inicial de continuidad 730 + Cil = ril + ail,

i = 1, 2, 3, 4, 5

La relación general de continuidad Aij + cij+1 = rij+1 + aij+1

i,j = 1,2,3,4,5

Relación de continuidad final Ai6 = 730,

i = 1, 2 ,3 ,4 ,5

Limite de refinado r1j + r2j = 0 -0.15x2 + 0.20x4 >= 0 x1, x2, x3, x4 >= 0

Iteración 1

Iteración 2