Problemas Dinamica

PROBLEMA 11.1 El movimiento de una partícula está definido por la relación x = 1.5t4 - 30t2 + 5t + 10, donde "x" y "t" se expresan en metros y segundos respectivamente. Determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t = 4s. SOLUCION: Tenemos que: x = 1.5t4 - 30t2 + 5t + 1O v = dx/dt = x´ x' = 6t3 - 60t + 5 = v a = dv/dt x´´ = 18t2 - 60 = a Evaluamos cuando t = 4s v = x´= 6(4)3 - 60(4) + 5 v = 149 m/s a = x´´ = 18(4)2 - 60 a = 228 m/s2 Distancia = x = 1.5(4)4 - 30(4)2 + 5(4) + 10 x = 60 m

Problema 11.5 El movimiento de una partícula está definido por la relación “x” y “t” se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine el tiempo, posición y velocidad cuando

donde

.

Posición: ( )

( )

( )

( )

Velocidad, 1ra Derivada:

( )

Aceleración, 2da derivada:

√

( )

( )

⁄

11.7 el movimiento de una partida esta definido por la relación:

Donde x y t se expresan en “ft” y “s” respectivamente. Determine: a) Cuando V=0 b) La velocidad, la aceleración y distancia total viajando cuando x=0 a) posición x= (6)3-(6)(6)2-36(6)-40= -256m velocidad

1° derivada 3t2-12t-36=0

ecuacion de 2°grado.

√

√

=

=

Aceleración 2° derivada 6t-12= 6(6)-12= 24 Ecuación de 3° grado (método de Rufiny) =0 1

-5

10

10 1

4

-36

-40 40

40

4

0

X1=10 +4t+4

1 4

4

-2

-4

2

o

-2 1

X2=-2 1 -2 1 X3=-2 t=10 s velocidad 1° derivada 3t2-12t-36=0 3(10)2-12(10)-36= 144

Aceleración 2° derivada 6(10)-12= 48

⁄

0 ≤ t ≤ 6 X0= (0)3-6(0)2-36 (0)-40 X0=40m X6=(6)3-6(6)2-36(0)-40 X6=-256m

2 -2 0

6s

0seg

-256 |

10 seg

-40m |

|

0m

| = 472 m

= 216+472= 688m

11.9 La aceleración de una partícula se define mediante la relación a=-8m/s^2. Si se sabe que x=20m cuando t=4s y x=4m cuando la velocidad 16m/s determinar a) el tiempo cuando la velocidad es cero b) La velocidad y la distancia total cuando el tiempo=11s.

x = -4t 2 + (16 - 8t)(t - 4) + 84

x = 20m x = 4m

-4t 2 +16t - 64 + 8t 2 - 32t + 84

t = 4seg v = 16m / s

-4t 2 -16t + 20 = 4 +4t 2 -16t +16 = 0

ò -8dt

(2t - 4)(2t - 4) 4t 2 - 8t - 8t +16

v = -8t + C

ò

x

dx =

ò

t 4

-8t + C

2t - 4 -4 t= 2

-4 t t= 8t 2 t t 2 x - 20 = 4 +C 2 14 t = -2 t2 = -2 x - 20 = -4t - éë-4(4 2 )ùû + C(t - 4) 1 a = 8t +16 = 8(2) +16 = 32 x - 20 = -4t 2 + 64 + C(t - 4) v = -8t + C = -8(2) + 32 = m / s x = -4t 2 + C(t - 4) + 64 + 20 x = -4(2)2 + 32(2) - 4 + 84 2 x = -4t + C(t - 4) + 84 - 3 x = 4m

a = -8m / s 2 v = -8t + C

a) v = 0 v = -8t - C V - C 0 - 32 = = 4s 8 8 b)vll = vll = -8t + C

x = -4t 2 + C(t - 4) + 84

t=

Sustituyendo 16 en 2

vll = -8(11+ 32) = -56m / s xo = -4(0) + 32(0 - 4) + 84 = -44m

-8t + C =16

x4 = 20m

C =16 + 8t

xll = -176m x4 - xo = 64

Luego 4 en 3

xll - x4 = 196 64 +196 = 260m

Problema 11.11 La aceleración de una partícula es directamente proporcional al tiempo cuando t = 0, la velocidad de la partícula es

. Si se sabe que

y para X

= 20 pulgadas cuando t = 1s. Determine la velocidad, la posición y la distancia total recorrida cuando t = 7s. Datos: t = 0

V =

X = 20 pulg V = ?

V =

t = 1s

X = ?

Cuando t = 7s

?

Solución: a = Kt

K = constante

Integrando con t = 0

∫

y

V =

∫

( Sustituyendo [

y

t = 1s

]

Sustituyendo ecu. (2) en ecu. (1)

∫

∫

∫

en ecu. (1)

Sustituyendo t = 7s

Sustituyendo t = 7s

en la ecu. (1)

en la ecu. (3)

Cuando V = 0

√ Sustituyendo en la ecu. (3)

| |

| |

| |

| |

Distancia total:

11.13 La aceleración de una partícula se define mediante la relación donde A es una constante en t=0. La partícula inicia en x=8m con v=0. Si se sabe que t=1 segundo y v=30m/s determine: a) Los tiempos en la que velocidad e cero. b) La distancia total recorrida por la partícula cuando t=5 segundos Datos. t=0

x=8m

v=0 t=1seg. a) v =0

v=30m/s t=?

b) x total=? Solucion:

∫

∫

∫

∫

t=5seg.

V

|

|

|

|

|

|

| |

11.7. Una partícula oscilante entre los puntos X = 40 mm y X = 160 mm con una aceleración a = k ( 100 - X), donde a y X son expresiones en mm/s’2, respectivamente. La velocidad de la partícula es 18 mm/s cuando X = 100 mm y es cero por lo tanto X = 40 mm y X = 160 mm. Determine: a) El valor de k, b) La velocidad cuando X = 120 mm. Problema 11.17 Datos: X=40mm

x=160mm

A=k (100-X)

k=cte.

V= 18 mm/s

X= 100mm

V= 0 X= 40mm a) k =? b) V =?

V = 120 mm

Solución: V * dv/dx = a = k (100-X) ∫

∫

½ V’2 – (0) = K ∫

∫

½ V’2 = K (100X-1/2X’2) I ½ V’2 = k (100X-1/2X’2)-(100*40-1/2*40’2) ½ V’2 = k (100X-1/2 X’2 - 3200)…………… ecu. 1

a) Sustituyendo la v=18 mm/s

y

x= 100mm

en la ecu. 1.

½ (18)’2 = k (100(100)- ½ (100’2 - 3200)) k = 0.0900s’2 b) Cuando X= 120 mm

V=?

½ V’2 = 0.09 (100*120 – ½ (120)’2 - 3200)= 144 V= (+-) 16.97 mm/s Problema 11.21 A partir de X=0 con una velocidad inicial, dada una partícula una aceleración a=08 √ m/s, respectivamente.

, donde a Determinar

y

v se expresa en m/s2 y

a) la posición de la partícula cuando V=24 b) la velocidad de la partícula cuando X=40

m.

DATOS. X=0 V=0 a= 0.8 √ a) X=0

V=24

b) V=0

X=40 m

Solución: v

√

= a=0.8

Despejando para pasar la velocidad del otro lado de la igualdad √

= 0.8

√

=

∫

( ) = 0.8x

√

- √

0.8 x Aplicando los límites. √

-7 =0.8 x

…. 1

= 0.8x

√

- 7 =

a) sustituyendo √

V = 24

-7 = 0.8 x b)

Sustituyendo

√

X= 22.5 m.

X= 40 m

-7 = 0.8

para encontrar X.

para encontrar

(40)

V = ? V =

38.4

Problema 11.33 Un automovilista entra a una carretera a uniformemente asta

y acelera

. De acuerdo con el odómetro del automóvil

la conductora sabe que recorrió 0.2 km mientras aceleraba. Determinar. a) La aceleración del automóvil. b) El tiempo que se requiere para alcanzar Datos:

Solución: a) a=? b) t=?

(

)

(

)

.

(

)

(

)(

(

)

)

(

)

Problema 11.3 El movimiento

de una partícula está definido por la relación , donde

se expresan en pies y segundos,

respectivamente. Determinar el tiempo, la aceleración cuando

√

√

.

PROBLEMA

Solución. Datos. a=11 ft/s2 Va=30 Mi/hr. tb= ¿ Vb = ¿ X0 = 0 X=160 ft

V= 30 mi/h (

𝑓𝑡 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎

𝑠

Usando x= x0 + Vot + a t2 Igualando a cero: X=

v= 44 ft/s 160 = 0 + 44 ft/s + 11 ft/s2 t2.

- 160 + 44 t + 5.5 t2 = 0 ; Usamos formula general x=

√

; 𝑥

−

𝑥

𝑠 ;𝑥

𝑏 √𝑏 −

𝑎𝑐

𝑎

𝑠 ; por lo tanto el tiempo es 2.71 seg

b) Vb=Va + at ; Vb= 44 ft/s + 11 ft/s2 (2.71 s) ; Vb = 73.81 ft/s convertirse a pies/segundo. 50.4 mi/h (

𝑠 𝑚𝑖

𝑠

= 73.79 ft/s

𝑠 𝑟

(

𝑚𝑙 ) 𝑓𝑡

𝑚𝑖

este valor debe

11.37. Un atleta en una carrera de 100m acelera de manera uniforme durante los primeros 35m y luego corre con una velocidad constante. Si el tiempo del atleta para los primeros 35m es de 5.4s determine: a) Su aceleración b) Su velocidad final c) El tiempo en que completa la carrera

PROCEDIMIENTO. 0 ≤ X < 35 35 ≤ X ≤ 100m

Cuando X=35m X< 100

t=5.4s

C) 35 ≤

XB= XA + VAt +

X = Xo

+ Vo (t – t1) XB = 0 + 0t +

a

100 =

35 + (12.96 ⁄ ) (t2 – 5.4s) XB = 35m 10.41s

Despejo la ecuación 35 = a (14.58) a = 2.4005 ⁄

a)

b)

35 ≤ X < 100 = 0 + 2ª (x – 0)

X = 35m

t2 =

= 2 (2.4005)(35m) V = 12.96

⁄

11.39 Un oficial de policía en una patrulla estacionada en una zona donde la rapidez es de 70 km/h observa el paso de un automóvil que marcha a una rapidez constante. Al oficial le parece que el conductor podría estar intoxicado y arranca la patrulla, acelera uniformemente hasta 90 km/h en 8 s y mantiene una velocidad constante de 90 km/h, alcanza al automovilista 42 s después. Si se sabe que transcurrieron 18 s antes de que el oficial empezara a perseguir al automovilista. Determine: a) la distancia que recorrió el oficial antes de alcanzar al automovilista. b) la rapidez del automovilista.

a) V = Vo +a (t-to) Despejando la aceleración a = ( Vo+V ) / (t-to) a = ( 0 + 25 m/s ) / ( 26s – 18s ) =3.125 m/s2 X = Xo + Vo ( t – to ) + ½ a ( t - to) X = 0 + 0 ( 26 - 18 ) + ½ ( 3.125 m/s2 ) = 100 Xp= 100 (25m/s) ( 42s – 26s)= Xp= 500 m/s b) 500 m/s = V ( 42s ) V = 11.9 m/s (1km/1000m) (3600s/1hr)= V = 42.84 Km/h