Problemas-de-Vibraciones-Con-Respuesta-U-1.doc

Problemas de Unidad 1

Omar Alvarez

7 de marzo de 2014

PROBLEMAS (IMPARES) 1.1* El estudio de la respuesta de un cuerpo humano sujeto a vibración y/o choque es importante en muchas aplicaciones. Estando de pie, las masas de la cabeza, el torso, las caderas, las piernas, la elasticidad y/o amortiguamiento del cuello, la columna vertebral, el abdomen y las piernas, influyen en las características de la respuesta. Desarrolle una secuencia de tres aproximaciones mejoradas para modelar el cuerpo humano.

1.3 Un motor reciprocante está montado sobre una cimentación como se muestra en la figura 1.63. Las fuerzas y momentos desbalanceados desarrollados en el motor se transmiten al marco y la cimentación. Para reducir la transmisión de la vibración se coloca una almohadilla elástica entre el motor y el bloque de cimentación. Desarrolle dos modelos matemáticos del sistema siguiendo un refinamiento gradual del proceso de modelado

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7 de marzo de 2014

1.5 Las consecuencias del choque de frente de dos automóviles se pueden estudiar considerando el impacto del automóvil contra la barrera, como se muestra en la figura 1.65. Construya un modelo matemático considerando las masas de la carrocería del automóvil, el motor, la transmisión y la suspensión, así como la elasticidad de los amortiguadores, el radiador, la carrocería de metal, el tren motriz y los soportes de montaje del motor.

Explicación: Durante el impacto del automóvil con la barrera la elasticidad del radiador, parachoques, carrocería de metal, los soportes de montaje del motor y el tren motriz se consideran del vehículo estén en contacto con la barrera. Durante el impacto el parachoques, radiador y la carrocería de metal del vehículo hacen contacto con la barrera. Como estos componentes hacen contacto directo con la barrera se consideran amortiguadores. También el motor y la transmisión del vehículo se conectan con el tren motriz y por su naturaleza este actúa como un resorte.

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1.7 Determine la constante de resorte equivalente del sistema de la figura 1.67.

1 /2K1+ 1 /K2 + 1/2K = (K2K+2K1K3+K1K2 /2K1K2K3) +K4 =K2K3+2K1K3+K1K2+( K2K3 2K1 K3+ K1K2) +K4 / 2K1 K 2K3 = 2K1K2K3 / ( K1K3 + 2K1K3 + K1K2) + (K2 K3 +2K1K3+K1K2) +K4 + 1 / K5 = 2K1K2K3K5+K2K3+2K1K3+K1K2+(K2K3+2K1K3+K1K2)(K4) / (K2K3 + 2K1K3+K1K2)(K5) +(K2K3+2K1K3+K1K2)(K4)(K5) 1.9 En la figura 1.69 encuentre la constante de resorte equivalente del sistema en la dirección de .

Determinamos la energía potencial total del sistema: Determinamos la constante de resorte equivalente usando: Igualando estas dos ecuaciones, tenemos:

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1.11 Una máquina de masa m =500 kg está montada en una viga de acero sólo apoyada de longitud l =2 m que tiene una sección transversal (de profundidad = 0.1 y ancho = 1.2 m) y módulo de Young E=2.06 X1011 N/m2. Para reducir la deflexión vertical de la viga, se fija un resorte de rigidez k a la mitad de su claro, como se muestra en la figura 1.71. Determine el valor de k necesario para reducir la deflexión de la viga en a. 25 por ciento de su valor original. b. 50 por ciento de su valor original. c. 75 por ciento de su valor original. Suponga que la masa de la viga es insignificante.

1.236x10 – 100% 1.236x10 - 100% 3.09

-

25%

9.27

- 75%

b)

1.236x10 - 100% 6.18

c) -

50%

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1.13 Una viga en voladizo de longitud L y módulo de Young E se somete a una fuerza de flexión en su extremo libre. Compare las constantes de resorte de vigas con secciones transversales en la forma de un circulo (de diámetro d ), un cuadrado (de lado d ) y un círculo hueco (de diámetro medio d y espesor de pared t = 0.1d). Determine cuál de estas secciones transversales conduce a un diseño económico para un valor especificado de rigidez de la flexión de la viga.

Teniendo que la constante de resorte de un voladizo es:

=

Momento de Inercia

=

En cuestión de flexión, la K (Constante de resorte) de un Círculo hueco, no soportaría mucha carga a comparación de lo que es la K de un área cuadrada y otra circular. La constante k de la viga cuadrada en cuestión de esfuerzos, me resistirá más que las otras dos, así que en diseño me sería más económico.

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1.15 La relación fuerza-deflexión de un resorte helicoidal de acero utilizado en un motor se encuentra experimentalmente como F(x)= 200x+ 50x2+ 10x3, donde la fuerza (F) y la deflexión (x) se miden en libras y pulgadas, respectivamente. Si el resorte experimenta una deflexión permanente de 0.5 pulg durante la operación del motor, determine la constante de resorte lineal equivalente del resorte a su deflexión permanente. Solución: = 113.75lb = Evaluamos el resultado en x=0.5 = 275.5 1.17 El trípode mostrado en la figura 1.73 se utiliza para montar un instrumento electrónico que encuentra la distancia entre dos puntos en el espacio. Las patas del trípode se ubican simétricamente con respecto al eje vertical medio, y cada pata forma un ángulo con la vertical. Si cada pata tiene de longitud l y rigidez axial k, encuentre la rigidez de resorte equivalente del trípode en la dirección vertical.

Podemos representarlo como:

De la energía potencial, tenemos:

Geometricamente:

Despejando x de la ecuacion (1):

Usando la relacion

en la ecuacion (2),

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Asumiendo que el valor de x será pequeño, y que comparación con

7 de marzo de 2014 es pequeño en

, tenemos que:

Sustituyendo (4) en la primera fórmula, tenemos que la rigidez de resorte equivalente del trípode en la dirección vertical seria entonces:

1.19 La figura 1.75 muestra un sistema en el cual la masa m está directamente conectada a los resortes con rigideces k1 y k2 en tanto que el resorte con rigidez k3 o k4 entra en contacto con la masa basada en el valor de su desplazamiento. Determine la variación de la fuerza ejercida por el resorte sobre la masa a medida que el desplazamiento (x) de ésta varía.

Equivalente de la energia cinetica entregada ½ Jeq(Θ)^2 = ½ J1(Θ)^2 + ½ J2(Θ)^2+1/2 m (x)^2+1/2m(x)^2 Diferencia Jeq = J1+ J2 ( p1/p2)^2 + m1r1^2+m2r2^2(p1/p2)^2 Equivalente de energia potencial entregada ½ keq Θ^2 = ½ k12y^2+ 1/2k34y^2+1/2kt1 Θ^2+1/2kt2 Θ^2 Con k12=k1+k2, k34=k3k4/(k3+k4) Keq=(k1+k2)(l1+l2)^2+(k3k4/k3+k4) p1^2 l2^2/p^2 + kt1 + kt2 p1^2/p2^2

1.21 La figura 1.77 muestra un manómetro de tubo en forma de U abierto por ambos extremos que contiene una columna de mercurio líquido de longitud l y peso específico . Considerando un pequeño desplazamiento x del menisco del manómetro a partir de su posición de equilibrio (o nivel de referencia), determine la constante de resorte equivalente asociada con la fuerza de restauración.

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Constante de resorte: F=k(x) k(x)=P(A) A= 2 k(x)= k= Dónde: k=constante de resorte, A=área del embolo, X=desplazamiento de resorte, h=cambio de profundidad, =densidad y g=gravedad. Para la energía potencial de la columna de líquido expandido+energía potencial de la columna de líquido contraído. Esto es igual al peso del mercurio expandido X desplazamiento de CG del segmento, más el peso del mercurio contraído X desplazamiento de CG del segmento T=

x’2.

Donde T es la energía cinética 1.23 Encuentre la constante de resorte equivalente y la masa equivalente del sistema que se muestra en la figura 1.79 con referencias a . Suponga que las barras AOB y CD son rígidas con masa insignificante.

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De la energía cinética: De la energía potencial:

1.25 La figura 1.81 muestra una barra de tres escalones empotrada por uno de sus extremos y sometida a una fuerza axial F aplicada en el otro extremo. La longitud del escalón i es li y su área de sección transversal es Ai, i = 1, 2, 3. Todos los escalones son del mismo material con módulo de Young Ei = E, i = 1, 2, 3. a. Encuentre la constante de resorte (o rigidez) ki del escalón i en la dirección axial (i 5 1, 2, 3). b. Encuentre la constante de resorte equivalente (o rigidez) de la barra escalonada, keq, en la dirección axial de modo que F = keqx. c. Indique si los escalones se comportan como resortes en serie o en paralelo.

Para calcular

tenemos que tomar encuenta que

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Donde F es la fuerza, Li la longitud, Ai el área de la sección y E es el modulo de Young Si

es dada por la formula

sustitullendo

en la

tendremos que :

Para calcular la constante de resorte equivalente Tenemos que

…………..(ec. 1) Xeq es el total de la extensión de las

barras esta dada por la formula

y sustituyendo esto en la

formula de Keq

Si tomamos que

tendríamos que de la formula

Tendremos

que donde k1 será la constante del resorte del resorte 1 y así mismo k2 para el 2 y k3 para el 3. Tomando en cuenta que la constante para resorte en paralelo es Eso quiere decir que la ecuación sacada en el inciso b es equivalente a la constante de resorte paralelo por lo cual decimos que es Un Resorte en paralelo. 1.27 La figura 1.83 muestra una flecha de tres escalones empotrada por un extremo y sometida a un momento de torsión T en el otro extremo. La longitud del escalón es li y su diámetro es Di, i = 1, 2, 3. Todos los escalones son del mismo material con módulo de cortante Gi = G, i = 1, 2, 3. a. Encuentre la constante de resorte torsional (o rigidez) kti del escalón i (i 5 1, 2, 3). b. Encuentre la constante de resorte torsional equivalente (o rigidez) de la flecha escalonada, kteq, de modo que T = kteq . c. Indique si los escalones se comportan como resortes torsionales en serie o en paralelo.

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= = Resortes torsionales en serie

1.29 La figura 1.84 muestra un resorte neumático. Este tipo de resorte se suele utilizar para obtener frecuencias naturales muy bajas al mismo tiempo que mantiene una deflexión cero sometida a cargas estáticas. Encuentre la constante de resorte de este resorte neumático, suponiendo que la presión p y el volumen v cambian adiabáticamente cuando se desplaza la masa m.

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Sugerencia: pv =constante en un proceso adiabático, donde de calores específicos. Para aire, =1.4.

es la relación

1.31 Derive la expresión para la constante de resorte equivalente que relaciona la fuerza aplicada F con el desplazamiento resultante x del sistema que se muestra en la figura 1.86. Suponga que el desplazamiento del eslabón es pequeño.

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SOLUCION: Desplazamiento horizontal

= Reacciones de los resortes

Por tanto:

Sustituyendo el desplazamiento horizontal

Simplificamos

Sustituyendo los valores de la figura

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1.33 Dos resortes helicoidales, uno de acero y el otro de aluminio, tienen valores idénticos de d y D. (a) Si la cantidad de vueltas en el resorte de acero es de 10, determine la cantidad de vueltas requerida en el resorte de aluminio cuyo peso será igual al del resorte de acero, (b). Encuentre las constantes de los dos resortes. Resorte helicoidal sometido a una carga axial d = diámetro del alambre D = diámetro de espira medio n = cantidad de vueltas activas G= modulo cortante Solución: Modulo cortante (G) del resorte de acero:

Modulo cortante del resorte de aluminio: La rigidez del resorte de acero será:

Como los valores de d y D son idénticos podemos simplificar:

La rigidez del resorte de aluminio será:

Como los valores de d y D son idénticos podemos simplificar:

Como los dos resortes están sometidos al mismo peso podemos deducir: Deducimos:

Por consiguiente:

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Despejamos para encontrar “n” en el aluminio:

Las constantes de los dos resortes

1.35* Diseñe un resorte neumático con un recipiente cilíndrico y un pistón para lograr una constante de resorte de 75 lb/pulg. Suponga que la presión del aire disponible es de 200 lb/pulg2.

Shirley

1.37 Dos resortes no lineales, S1 y S2 están conectados en dos formas diferentes como se indica en la figura 1.88. La fuerza, Fi, en el resorte Si está relacionada con su deflexión (xi) como Fi = ai xi + bi xi + bi xi 3 , i = 1, 2

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Donde ai y bi son constantes. Si W = keqx, donde x es la deflexión total del sistema, define una constante de resorte lineal equivalente keq, encuentre una expresión para keq en cada caso.

1.39 Encuentre la constante de resorte de la barra bimetálica que se muestra en la figura 1.89 en movimiento axial.

Donde: A: área E: modulo de Young L: longitud

1.41 Un extremo del resorte helicoidal está fijo y el otro está sometido a cinco fuerzas de tensión diferentes. Las longitudes del resorte medidas con varios valores de las fuerzas de tensión se dan a continuación.

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Determine la relación fuerza-deflexión del resorte helicoidal. Deflexión del resorte helicoidal. Si x es igual a la nueva longitud menos l entonces Si k es la relación fuerza deflexión que está dada por Entonces para los valores anteriores tendríamos que la relación fuerza deflexión seria

1.43 En la figura 1.92 se muestra una flecha de hélice compuesta, hecha de acero y aluminio. a. Determine la constante de resorte torsional de la flecha. b. Determine la constante de resorte torsional de la flecha compuesta cuando el diámetro interno del tubo de aluminio es de 5 cm en lugar de 10 cm.

Solución a)

GACERO = 80x109 Pa lacero=5 m Dacero = .25m

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dacero=.15m Kt1 =

(80x109 )[ (.25m)4-(.15m)4] / (32)(5m) = 5.34072 x106 N.m/rad

GALUMINIO=26x109 lacero=5 m Dacero = .15m dacero=.10m Kt2 =

(26x109) )[ (.15m)4-(.1m)4] / (32)(5m) =.207395 x106 N.m/rad

Como los resortes están en paralelo kteq es igual a la suma de los 2 kteq= Kt1+ Kt2= = 5.34072 x106 N.m/rad + .207395 x106 N.m/rad = 5.54811 x106 N.m/rad solución b)

GALUMINIO=26x109 Pa lacero=5 m Dacero = .15m dacero=.05m Kt2 =

(26x109) )[ (.15m)4-(.05m)4] / (32)(5m)=.255255 x106 N.m/rad

kteq= Kt1+ Kt2= = 5.34072 x106 N.m/rad + .255255 x106 N.m/rad x106 N.m/rad

=5.595975

1.45 Resuelva el problema 1.44 suponiendo que los diámetros de los resortes 1 y 2 son de 1.0 pulg y 0.5 pulg, en vez de 2.0 pulg y 1.0 pulg, respectivamente. Resorte 1: material, acero; cantidad de vueltas, 10; diámetro medio, 12 pulg; diámetro del alambre, 2 pulg; longitud libre, 15 pulg; módulo de cortante, 12 3 106 lb/pulg2. Resorte 2: material, aluminio; cantidad de vueltas, 10; diámetro medio de la espira, 10 pulg; diámetro del alambre, 1 pulg; longitud libre, 15 pulg; módulo de cortante, 4x106 lb/pulg2. Determine la constante de resorte equivalente cuando (a) el resorte 2 se coloca dentro del resorte 1, y (b) si el resorte 2 se coloca sobre el resorte 1. Z1 = (3-4i), Z2 = (1 + 2i) Z = Z1 - Z2 = (3 - 4I) - (1+2i) = 2-6i = A Donde A = y

=

= 6.3246 =

(-3) = -1.2490 rad

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1.51 Dos masas, con momentos de inercia de masa J1 y J2 se colocan en flechas rotatorias rígidas conectadas por medio de engranes, como se muestra en la figura 1.98. Si la cantidad de dientes en los engranes 1 y 2 son n1 y n2, respectivamente, encuentre el momento de inercia de masa equivalente correspondiente a 1.

x(t) = A1 cos wt + A2 sen wt = - A1 w sen wt + A2 w cos wt ,

=-

x(t) donde

por lo tanto x(t) es un simple movimiento armónico 1.53 Encuentre la masa equivalente del sistema que se muestra en la figura 1.100.

Cuando la masa m se desplaza por x, la palanca de leva acodada gira por el ángulo 0b= x/l1. Esto hace que la esfera central desplazamiento x 3= 0b l2 . Desde la esfera gira con deslizamiento hacia fuera. Que gira en un ángulo. la energía cinética del sistema se puede expresar como: +

0²+

+ (

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ya que para una esfera,

1.55 Encuentre una constante de amortiguamiento equivalente única para los siguientes casos: a. Cuando tres amortiguadores están en paralelo. b. Cuando tres amortiguadores están en serie. c. Cuando tres amortiguadores están conectados a una barra rígida (figura 1.102) y el amortiguador equivalente se encuentra en el sitio c1. d. Cuando se montan tres amortiguadores torsionales en flechas engranadas (figura 1.103) y el amortiguador equivalente se encuentra en ct1 Sugerencia: La energía disipada por un amortiguador viscoso en un ciclo durante movimiento armónico está dada por c X2, donde c es la constante de amortiguamiento,

es la frecuencia, y X es la amplitud de la oscilación.

Solución a)

F1 amortigua Ci= Ci (X2-x1); i = 1, 2, 3 Feq=Ceq(X2-X1) =F1+F2+F3 Por lo tanto Ceq = C1+C2+C3 Solución b)

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F1 = C1(X2-X1) F2=C2(X3-X2) F3=C3(X4-X3) X4-X1=X4-X3+X3-X2+X2-X1 Feq/Ceq = F3/C3+F2/C2+F1/C1 Feq=F1=F2=F3 ; 1/Ceq=1/C1+1/C2+1/C3 Solucion c) C eq w X21 = C 1 W X2 1 + C 2 W X2 2 + Donde X1= θ l1 , X2 =θ l2 y X3=θl3 Por lo tanto : Ceq = C1 + C2(l2/l1)2 +C3(l2/l1)2 Solución d) Cteq W θ21 = Ct1 W θ21 + Ct2 W θ22 + Donde W θ2 = θ1 (n1/n2) y θ3 = θ1 (n1/n3)

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C3 W X23

Ct3 W θ23

Por lo tanto Cteq = Ct1 +Ct2(n1/n2)2 +Ct3(n1/n3)2 1.57* Diseñe un amortiguador viscoso de tipo pistón-cilindro para obtener una constante de amortiguamiento de l lb-s/pulg, con un fluido con viscosidad de 4 reyn (1 reyn = l lb-s/pulg2). Si la constante de amortiguamiento c está dada por

Y si

y si suponemos que y Entonces la formula de constante de amortiguamiento quedaría

Utilizando un método de prueba y error se obtuvo que

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y si a D le otorgamos el valor de 10 pulg entonces .

1.59 Desarrolle una expresión para la constante de amortiguamiento del amortiguador rotacional que se muestra en la figura 1.105 en función de D, d, l, h, y m, donde indica la velocidad angular constante del cilindro interno, y d y h representan las holguras radial y axial entre los cilindros interno y externo.

Solución Sabiendo

que

la

velocidad

tangencial

del

cilindro

interior

es

Para la holgura de entre el pistón y la pared del cilindro , la medida del cambio de velocidad del fluido es

El esfuerzo cortante esta dado por

Y la fuerza de corte es Donde Fuerza de corte Esfuerzo cortante

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Area

Donde Esfuerzo de torsión desarrollado Para

se define como

El esfuerzo cortante es La fuerza en el área es El esfuerzo de torsión entre las superficies de los cilindros es Donde

El esfuerzo de torsión total es

Expresando

y

1.61 Si los amortiguadores linealizados del problema 1.60 se conectan en paralelo, determine la constante de amortiguamiento equivalente resultante. Amortiguadores no lineales con la misma relación fuerza-velocidad dada por F = 1000 + 400v2 + 20v3 con F en newtons y v en metros/segundo.

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1.65 Una placa plana de 0.25 m2 de área se mueve sobre una superficie plana paralela con una película de lubricante de 1.5 mm de espesor entre las dos superficies paralelas. Si la viscosidad del lubricante es de 0.5 Pa-s, determine lo siguiente: a. Constante de amortiguamiento. b. Fuerza de amortiguamiento desarrollada cuando la placa se mueve a una velocidad de 2 m/s.

1.67 Si cada uno de los parámetros ( , R, l, d y N) de la chumacera descrita en el problema 1.66 se somete a un 5% de variación con respecto al valor correspondiente dado, determine la fluctuación de porcentaje en los valores de la constante de amortiguamiento torsional y el par de torsión de amortiguamiento desarrollado. Nota: Las variaciones de los parámetros pueden tener varias causas, como un error de medición, tolerancias en las dimensiones de fabricación, y fluctuaciones en la temperatura de operación del cojinete.

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1.69 La relación fuerza (F)-velocidad ( ) de un amortiguador no lineal está dada por F=a +b 2

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Donde a y b son constantes. Encuentre la constante de resorte linealizada equivalente cuando la velocidad relativa es de 5 m/s con a 5 = N-s/m y b = 0.2 N-s2/m2. Solucion:

De:

Por lo tanto: Por lo tanto la constante de amortiguación linealizado se da por:

1.71 La constante de amortiguamiento (c) del amortiguador hidráulico que se muestra en la figura 1.108 está dada por [1.27]: La constante de amortiguamiento (c) del amortiguador hidráulico que se muestra en la figura 1.108 está dada por 1.27:

Determine la constante de amortiguamiento del amortiguador hidráulico por los siguientes datos: U: 0.3445 Pa-s, l=10 cm, h=0.1 cm, a=2 cm, r=0.5 cm

Donde:

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C=

1.73 Una barra sin masa de 1 m de longitud y pivoteada en un extremo se somete a una fuerza F aplicada en el otro extremo. Dos amortiguadores traslacionales, con constantes de amortiguamiento c1 = 10 N–s/m y c2 = 15 N– s/m están conectados a la barra como se muestra en la figura 1.109. Determine la constante de amortiguamiento equivalente, ceq, del sistema de modo que la fuerza F aplicada en el punto A pueda expresarse como F 5 ceqv, donde v es la velocidad lineal del punto A

Amortiguadores en paralelo:

Fuerza: X=0.5

1.75 Exprese el número complejo 5 + 2i en la forma exponencial A A= ᶿ=

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1.77 Reste el número complejo (1 + 2i) de (3 - 4i) y exprese el resultado en la forma A (1+2i) – (3-4i) = (1-3 + [2+4] i) = (-2 + 6i) A= ([-22]+ [62])1/2 = 6.32 Ө= tan-1 (6/-2) = -71.56 En la forma AeiӨ A= 6.32 Ө=-71.56 6.32 e-i71.56 1.79 Encuentre el cociente, z1/z2, de los números complejos z1 =(1 +2i) y z2 = (3 - 4i) y exprese el resultado en la forma A

1.81 La cimentación de un compresor neumático se somete a movimientos armónicos (con la misma frecuencia) en dos direcciones perpendiculares. El movimiento resultante, desplegado en un osciloscopio, aparece como se muestra en la figura 1.112. Encuentre las amplitudes de vibración en las dos direcciones y la diferencia de fase entre ellas.

Cuando son objeto los compresores de aire armónicos el movimiento resultante se representa como una parábola cuya ecuación es la siguiente:

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…….(1) Para la anterior ecuación cuando la distancia

entonces

se convierte en

entonces la ecuación se reduce a …….(2) Para la ecuación uno cuando la distancia

entonces

se convierte en

entonces la ecuación se reduce a …….(3) Con las dimensiones de la distancias en la figura OR tenemos que = 7.6 …….(4) Dividimos las ecuaciones 2 y 3 para obtener =

= 39.20 Tomar las ecuaciones 2 y 4 para encontrar el valor de la amplitud de la vibración en X =

= 9.8082 mm

Ahora utilizaremos la ecuación numero 3 para calcular la amplitud en Y =

= 9.4918 mm

1.83 Demuestre que cualquier combinación lineal de sen

t y cos

t de modo

que x(t) = A1 cos t + A1 sen t (A1, A2 = constantes) representa un movimiento armónico simple. Combinación lineal Un vector se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores

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si se puede expresar como suma de los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , es decir:

. Así, es combinación lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de . Un movimiento armónico simple se da cuando la aceleración es proporcional al desplazamiento del elemento (Página 52 del libro). Entonces; X(t)= A1 cos wt+ A2 sen xt X’(t)= -A1 w sen wt + A2 w cos wt X’’(t)= -A1 w2 cos wt – A2 w2 sen wt Con esto se observa que la aceleración es proporcional al desplazamiento del elemento. Y se podría comprobar utilizando valores como constantes. Y porque aunque sea cero el tiempo, siempre habrá una componente ya sea seno o coseno. 1.85 Si uno de los componentes del movimiento armónico x(t) = 10 sen ( t + 60º) es x1(t) = 5 sen( t + 30º), encuentre el otro componente. Dónde:

y

10( 10 10 A=

1.87 Considere dos movimientos armónicos de diferentes frecuencias: x1(t) = 2 cos 2t y x2(t) = cos 3t. ¿Es la suma x1(t) + x2(t) un movimiento armónico? De ser así, ¿cuál es su periodo? si el primer movimiento X(t) es armónico, también X’’(t)= -w² x(t), teniendo la suma de ambas nos da como resultado lo siguiente: x(t)= 2 cos 2t + cos3t Por lo tanto x’’(t) = -8 cos 2t – 9 cos 3t

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Esto es diferente a las constantes de tiempo de x(t) , y a su ves x(t) no es una señal harmónica por lo que no cuenta con movimiento periodico 1.89 Encuentre las amplitudes máxima y mínima del movimiento combinado x(t) =x1(t) + x2(t) cuando x1(t) = 3 sen 30t y x2(t)= 3 sen 29t. Encuentre también la frecuencia de pulsacion correspondiente a x(t).

Convertir a forma polar Convertir a forma cartesiana Sumar la forma polar y queda:

Así que las amplitudes máximas y minas quedan de 1.91 Un movimiento armónico tiene una amplitud de 0.05 m y una frecuencia de 10 Hz. Encuentre su periodo, velocidad máxima y aceleración máxima. A= 0.05 m , W= 10 Hz = 62.832 rad/sec Period = T = 2 π/w = 2 π/62.832 = 0.1 sec Máxima velocidad = A w = 0.05 x 62.832 =3.1416m/s Máxima aceleración = Aw^2 = 0.05 (62.832 )^2 = 197.393 m/s^2 1.93 Se encontró que la amplitud máxima y la aceleración máxima de la cimentación de una bomba centrífuga son xmáx = 0.25 mm y = 0.4g. Encuentre la velocidad de operación de la bomba. , ,

Cuando el desplazamiento x de una máquina está dado por x(t) = 18 cos 8t, donde x está en milímetros y t en segundos, encuentre (a) el periodo de la máquina en segundos, y (b) la frecuencia de oscilación de la máquina en rad/s así como también en Hz. X(t)= 18 cos 8t X(t)= A cos wt

Problemas de Unidad 1

Omar Alvarez

7 de marzo de 2014

W=2 () f X(t)= A cos 2 () f A) F=1.27 rad/s F= 0.635 Hz B) T=1/f= 1/ 0.635 T=1.57 1.97 Exprese la vibración de una máquina dada por x(t)= - 3.0 sen 5t - 2.0 cos 5t en la forma x(t) 5=cos(5t+ ). Solución (1)….. Donde A es nuestra amplitud,

la frecuencia natural y

el ángulo de fase.

(2)……. La ecuación de la vibración de la máquina es: (3)……. Comparando la ecuación 1 y 3 llegamos a la conclusión que: (4)……. (5)…….

Sustituimos el ángulo en la ecuación 4

Sustituimos el valor de A y de ecuación de la vibración.

en nuestra primera ecuación y obtenemos la

1.101 El desplazamiento de una máquina se expresa como x(t) = A sen(6t + ), donde x está en metros y t en segundos. Si se sabe que el desplazamiento y la velocidad de la máquina en el instante t = 0 son de 0.05 m y 0.005 m/s, determine el valor de A y .

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Omar Alvarez

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1.111 Encuentre la expansión de la serie de Fourier de la función periódica de la figura 1.117. También trace el espectro de frecuencia correspondiente.

La función de la gráfica está definida como: Donde “t” es el periodo de tiempo, y está definido en la función desde 0 hasta

Sustituyendo x(t) en la ecuación tenemos:

Como A es constante se sustrae de los corchetes

Y se resuelve la integral:

=A Al calcular

encontramos la siguiente integral:

Al resolver dicha integral obtenemos: =0 Enseguida se busca el coeficiente constante de

Que al resolverse obtenemos:

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Omar Alvarez

7 de marzo de 2014

Por último, la expansión de la serie de Fourier es la siguiente:

Substituyendo los valores correspondientes a los coeficientes constantes

,

y

1.113 Realice un análisis armónico, incluidos los primeros tres armónicos, de la función dada a continuación.

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Omar Alvarez

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1.115 Resuelva el problema 1.114 con los valores de n y N como 200 rpm en lugar de 100 rpm y 4, respectivamente. La frecuencia de estos impulsos está determinada por la velocidad de rotación del propulsor n y la cantidad de aspas, N, en el propulsor. Para n = 100 rpm y N = 4,

En un minuto, un punto será sometido a la presión máxima, donde la

Por lo tanto el periodo es =

Evaluando de m=1

y

: m=2

m=3

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Omar Alvarez

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1.117 Realice un análisis armónico de la función que se muestra en la figura 1.119 incluidos los primeros tres armónicos.

Para t >0.35s -35